清单01 相似形（9个考点梳理+题型解读+提升训练）（期末复习知识清单）九年级数学上学期北京版

清单01 相似形（9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单1】相似图形及比例线段 1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 易错点拨： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等； 2.相似多边形 如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 易错点拨： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比. 3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 易错点拨： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项） （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 【清单2】相似三角形 1. 相似三角形的判定: 判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 易错点拨： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 易错点拨： 　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 2. 相似三角形的性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； （2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比； 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 易错点拨：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. (3) 相似三角形周长的比等于相似比； （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 3.相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 【清单3】黄金分割 1.定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割． 2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形． 黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割． 【考点题型一】比例的性质 【例1】如果，那么的值是（） A． B． C． D． 【变式1 -1】已知，则下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1 -2】如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1 -3】若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1 -4】已知，那么下列比例式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【考点题型二】比例线段 【例2】某两地的实际距离为千米，画在地图上的距离是厘米，则在地图上的距离与实际的距离之比是（    ）． A． B． C． D． 【变式2 -1】在比例尺为的图纸上长度为的线段表示实际长为（　　） A． B． C． D． 【考点题型三】成比例线段 【例3】下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式3 -1】下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【考点题型四】相似多边形 【例4】《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为（　　）    A． B．2 C． D．4 【变式4 -1】如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的面积是 ．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是 ． 【考点题型五】平行线分线段成比例定理 【例5】如图，四边形是平行四边形，点E在的延长线上，点F在的延长线上，连接，分别交，于点G，H，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式5 -1】如图，在平行四边形中，是上一点，连接并延长交的延长线于点，则下列结论中错误的是（    ）    A． B． C． D． 【变式5 -2】如图，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式5 -3】如图，在中，于E，且交的延长线于F，当，，时，的长是 ． 【变式5 -4】如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．    【变式5 -5】如图，在矩形中，若，则的长为 ． 【变式5 -6】如图，在菱形中，，E是边上一点（不与A，B重合），点F与点A关于直线对称，连接．作射线，交直线于点P，设．    (1)用含的代数式表示； (2)连接．求证：是等边三角形； (3)过点B作于点G，过点G作的平行线，交于点H．补全图形，猜想线段CH与PH之间的数量关系，并加以证明． 【变式5 -7】如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接，． (1)求证：． (2)当，且为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明理由． (3)求∶∶，时，求的长． 【考点题型六】相似三角形的判定 【例6】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上点，且BE＝BD． (1)求证：； (2)若BD＝1，CD＝2，求的值． 【变式6 -1】如图，D是的边AB上一点（不与点A，B重合），若添加一个条件使，则这个条件不可以是（    ） A． B． C． D． 【变式6 -2】如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式6 -3】已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（   ） A．①组和②组的两个三角形都相似 B．①组和②组的两个三角形都不相似 C．只有①组的两个三角形相似 D．只有②组的两个三角形相似 【变式6 -4】如图，点为平行四边形边延长线上的一点，连接与相交于点．则图中相似三角形共有（    ）    A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【变式6 -5】如图，将矩形沿着、、翻折，使得点、、恰好都落在点处，小聪同学得出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是(　　) A．①②③ B．①③⑤ C．①④⑤ D．②③⑤ 【变式6 -6】如图，∥，∥，与交于点G，则图中相似三角形共有 对． 【变式6 -7】如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：． 【变式6 -8】如图，在中，点在上，连接．请添加一个条件 ，使得，然后再加以证明．    【变式6 -9】如图，在中，，． (1)利用尺规作图在边上求作一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 【变式6 -10】如图，在和中，，且． 求证：． 【变式6 -11】如图，在平面直角坐标系内有两点，，所在直线的方程为，连接．    (1)求的值； (2)求证：． 【变式6 -12】如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为． (1)求证：； (2)若，，直接写出，的周长； (3)在（2）的条件下，求的长． 【变式6 -13】如图分别是的边上的点，．求证：． 【考点题型七】相似三角形的性质 【例7】如图，在平行四边形中，点在边上．若，，且，则的长为（    ）    A． B．1 C． D．2 【变式7 -1】一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是，．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到（    ） A． B． C． D． 【变式7 -2】如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（    ） A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤ 【变式7 -3】如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 【变式7 -4】在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，在x轴上取一点C，使以B，O，C为顶点的三角形与△AOB相似，写出符合请条件的C点坐标 ． 【变式7 -5】如图，，相交于点，，，，则的长为 ． 【变式7 -6】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是线段AD的中点，连接AC，BE，交于点O，若=1，则= ． 【变式7 -7】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，记x＝AC，y＝BC﹣AC，在平面直角坐标系xOy中，定义（x，y）为这个直角三角形的坐标，Rt△ABC为点（x，y）对应的直角三角形．有下列结论：①在x轴正半轴上的任意点（x，y）对应的直角三角形均满足AB＝BC；②在函数y＝（x＞0）的图象上存在两点P，Q，使得它们对应的直角三角形相似；③对于函数y＝（x﹣2020）2﹣1（x＞0）的图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；④在函数y＝﹣2x+2020（x＞0）的图象上存在无数对点P，Q（P与Q不重合），使得它们对应的直角三角形全等．所有正确结论的序号是 ． 【变式7 -8】如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个相似三角形的周长比是 ． 【变式7 -9】如图，在和中，，平分． (1)证明：； (2)若，，求和的长． 【变式7 -10】如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，D是BC边上的一个动点，（不与B、C重合）在AC边上取一点E，使∠ADE=45°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）设BD=x，AE=y．    ①求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；   ②求y的最小值． 【变式7 -11】在中，，，点是线段的中点，点在射线上，连接，平移，使点移动到点，得到（点与点对应，点与点对应），交于点．    （1）若点是线段的中点，如图1． ①依题意补全图1； ②求的长； （2）若点在线段的延长线上，射线与射线交于点，若，求的长． 【考点题型八】相似三角形的实际应用 【例8】如图，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图，从“矩”的一端望向树顶端的点，使视线通过“矩”的另一端，测得，．若“矩”的边，边，则树高为（    ） A． B． C． D． 【变式8 -1】《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为（    ） A．4 B．3 C．3.2 D．3.4 【变式8 -2】如图，实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山距离为米的B处，然后沿着射线退后到点E，这时恰好在镜子里看到山头A，利用皮尺测量米，若小宇的眼睛到地面的距离为米，则假山高度为 米． 【变式8 -3】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．小明同学依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点在同一水平线上，与相交于点D．测得，则树高 m． 【变式8 -4】图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为 cm．        图1              图2 【变式8 -5】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为 ． 【考点题型九】相似三角形的性质与判定综合 【例9】如图，在菱形中，点E 在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式9 -1】如图，在中，，点为线段上一点（不与，重合），连接，，交于点，若．给出下面三个结论：；；．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A． B． C． D． 【变式9 -2】如图，矩形中，点E是边上一点，点D关于直线AE的对称点点F恰好落在边上，给出如下三个结论：①；②；③若，，则．上述结论一定正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式9 -3】如图，在菱形中，点在边上，与交于点．若，，则的值为 ．    【变式9 -4】如图，是的中位线，点F在上，，连接并延长，与的延长线交于点M．若，则线段的长为 ． 【变式9 -5】如图，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，过点P作的垂线与，分别相交于点E，F．    小明根据学习函数的经验对线段，，的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)对于点P在边上的不同位置，画图、测量，得到了线段，，的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 位置11 0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.5 6.0 0 1.5 2.2 2.5 2.4 m 2.0 1.6 1.3 0.4 0 0 0.9 1.7 2.3 2.9 3.0 2.9 2.7 2.3 0.9 0 在，，的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数； (2)①确定表格中m的值约为____________（结果精确到0.1）； ②在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；    (3)结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且时，_____（结果精确到0.1）． 【变式9 -6】（1）如图1，平分分别在射线上，若，求证：; （2）如图2，在中，交边于点于点H．已知，求的面积； （3）如图3，在等边中，点D在边上，P为延长线上一点，E为边上一点，已知平分，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 相似形（9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单1】相似图形及比例线段 1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 易错点拨： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等； 2.相似多边形 如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 易错点拨： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比. 3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 易错点拨： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项） （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 【清单2】相似三角形 1. 相似三角形的判定: 判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 易错点拨： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 易错点拨： 　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 2. 相似三角形的性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； （2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比； 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 易错点拨：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. (3) 相似三角形周长的比等于相似比； （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 3.相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 【清单3】黄金分割 1.定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割． 2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形． 黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割． 【考点题型一】比例的性质 【例1】如果，那么的值是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 利用比例的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， 故选：C． 【变式1 -1】已知，则下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质．根据比例的性质“如果，那么”进行解答即可得． 【详解】解：A、，则，故该选项说法正确，符合题意； B、，则，故该选项说法错误，不符合题意； C、，则，故该选项说法错误，不符合题意； D、，则，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 【变式1 -2】如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了比例的性质，根据已知条件得出，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 【变式1 -3】若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】∵， ∴设，（）， ∴， 故选：． 【变式1 -4】已知，那么下列比例式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用比例的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，与已知不符，符合题意； B、∵，∴，与已知相符，不符合题意； C、∵，∴，与已知相符，不符合题意； D、∵，∴，与已知相符，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查比例的性质．熟练掌握内项积等于外项积，是解题的关键． 【考点题型二】比例线段 【例2】某两地的实际距离为千米，画在地图上的距离是厘米，则在地图上的距离与实际的距离之比是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】千米米厘米， ∴地图上的距离与实际的距离之比是， 故选：． 【点睛】此题考查了比例尺，解题的关键是正确理解比例尺的定义． 【变式2 -1】在比例尺为的图纸上长度为的线段表示实际长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据比例尺图上距离实际距离进行求解即可． 【详解】解：， 故选C． 【点睛】本题主要考查了比例尺，熟知比例尺图上距离实际距离是解题的关键． 【考点题型三】成比例线段 【例3】下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查了成比例线段的定义，根据最大线段最小线段其他两条线段的乘积，那么这些线段是成比例线段，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握成比例线段的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，则不是成比例线段，故不符合题意； B、，则不是成比例线段，故不符合题意； C、，则不是成比例线段，故不符合题意； D、，则是成比例线段，故符合题意； 故选：D． 【变式3 -1】下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】此题考查了比例线段，根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、∵，故不符合题意； B、∵，故符合题意； C、∵，故不符合题意； D、∵，故不符合题意． 故选：B． 【考点题型四】相似多边形 【例4】《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为（　　）    A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】如图，连接，利用相似多边形的性质求出正方形的面积，求出 可得结论． 【详解】解：如图，连接．    ∵正方形与四边形是位似图形，，正方形的面积为4， ∴四边形是正方形，面积为， ∴，， ∴， ∴四边形的外接圆的半径为． 故选C． 【点睛】本题考查位似变换，相似多边形的性质等知识，解题的关键是掌握位似图形的概念． 【变式4 -1】如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的面积是 ．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】连接BD，由勾股定理分别求出AB、AD的长，由勾股定理的逆定理得出△ABD为等腰直角三角形，继而由，利用面积公式进行计算即可得 四边形的面积；由相似的性质可得出，代入值即可得出四边形的面积． 【详解】连接BD，如图， 由图可知，，，，， ∵， ∴ △ABD为等腰直角三角形， ∴ ，， ∴； ∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， 由（1）求得， ∴； 故答案为：； 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，相似三角形的性质，能灵活运用相关定理和性质进行推理和计算是解题的关键．相似三角形对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【考点题型五】平行线分线段成比例定理 【例5】如图，四边形是平行四边形，点E在的延长线上，点F在的延长线上，连接，分别交，于点G，H，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定和性质来分析判断． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，故选项A不合题意； ∵， ∴， ∴，故选项B不合题意； ∵， ∴， ∴，故选项C不合题意，选项D符合题意， 答案：D． 【变式5 -1】如图，在平行四边形中，是上一点，连接并延长交的延长线于点，则下列结论中错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知及平行线分线段成比例定理进行分析，可得，依据平行线成比例的性质即可得到答案． 【详解】解：A、根据对顶角相等，此结论正确； B、根据相似三角形的性质定理，得，所以此结论错误； C、根据平行线分线段成比例定理得，此项正确； D、根据平行四边形的对边相等，所以此项正确． 故选：B． 【点睛】此题综合运用了平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 【变式5 -2】如图，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理，得到比例式，进而判断即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 【变式5 -3】如图，在中，于E，且交的延长线于F，当，，时，的长是 ． 【答案】2 【分析】利用平行四边形的性质求得，，，再利用平行线分线段成比例求得，根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例，含30度角的直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【变式5 -4】如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．    【答案】 【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而. 【详解】，   ，， ， ， ， ， ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键. 【变式5 -5】如图，在矩形中，若，则的长为 ． 【答案】1 【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可． 【详解】解：在矩形中， ，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 【变式5 -6】如图，在菱形中，，E是边上一点（不与A，B重合），点F与点A关于直线对称，连接．作射线，交直线于点P，设．    (1)用含的代数式表示； (2)连接．求证：是等边三角形； (3)过点B作于点G，过点G作的平行线，交于点H．补全图形，猜想线段CH与PH之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）由点F与点A关于直线对称，，则，，在菱形中，，则，，得到，，则，，即可得到，得到结论； （2）由点F与点A关于直线对称得到，，则是等腰三角形，由得到，则，即得到，结论得证； （3）连接，证明，则，再证是等边三角形，则，由于点G得到，由得到，猜想得证． 【详解】（1）解：∵点F与点A关于直线对称，， ∴，， ∵在菱形中，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即； （2）∵点F与点A关于直线对称， ∴，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）如图所示，猜想，证明如下： 过点B作于点G，过点G作的平行线，交于点H．连接，    ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵于点G， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、菱形的性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 【变式5 -7】如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接，． (1)求证：． (2)当，且为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明理由． (3)求∶∶，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 (3) 【分析】（1）证明四边形是平行四边形即可得证； （2）根据题意证明四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，则四边形是菱形，根据已知条件证明，即可得出结论； （3）根据勾股定理求得，根据平行线分线段成比例得出，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）四边形是正方形，理由如下， ∵在中，， ， ∴是等腰直角三角形， ∵为的中点， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵∶∶，， ∴ ∴中 ∴ ∵， ∴ ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，正方形的性质与判定，平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键． 【考点题型六】相似三角形的判定 【例6】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上点，且BE＝BD． (1)求证：； (2)若BD＝1，CD＝2，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠，根据等腰三角形的性质得到∠，由等角的补角相等得到∠，根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到，化简即可得到结果． 【详解】（1）证明：∵ ∴∠ ∴ 即∠ 又平分 ∴∠， ∴． （2）解：由（1）可得 又， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【变式6 -1】如图，D是的边AB上一点（不与点A，B重合），若添加一个条件使，则这个条件不可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：若，且，则，故选项A不符合题意； 若，且，则，故选项B不符合题意； 若，且，则无法证明，故选项C符合题意； 若，且，则，故选项D不符合题意； 故选：C． 【变式6 -2】如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．此题考查三角形相似判定定理的应用，勾股定理与网格． 【详解】解：已知给出的三角形的三边按小到大分别为， A选项的三边按小到大排序是，不与原三角形三边成比例，故该选项不符合题意； B选项的三边按小到大排序是，与原三角形三边成比例，故该选项符合题意； C选项的三边按小到大排序是，不与原三角形三边成比例，故该选项不符合题意； D选项的三边按小到大排序是，不与原三角形三边成比例，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式6 -3】已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（   ） A．①组和②组的两个三角形都相似 B．①组和②组的两个三角形都不相似 C．只有①组的两个三角形相似 D．只有②组的两个三角形相似 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 根据相似三角形的判定去判断两个三角形是否相似即可． 【详解】解：在图①中：第一个三角形三个角分别为：，，；第二个三角形的两个角分别为：，；故根据两个角分别相等的两个三角形相似，得两个三角形相似； 在图②中：，， ∴， ∵， ∴， 故①组和②组的两个三角形都相似． 故选：A． 【变式6 -4】如图，点为平行四边形边延长线上的一点，连接与相交于点．则图中相似三角形共有（    ）    A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质可得，，从而即可得到，，，由此得到答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ，， ， 共3对， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【变式6 -5】如图，将矩形沿着、、翻折，使得点、、恰好都落在点处，小聪同学得出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是(　　) A．①②③ B．①③⑤ C．①④⑤ D．②③⑤ 【答案】B 【分析】由折叠的性质知，，点为的中点，点为的中点，设，在中，由勾股定理求得，然后利用勾股定理再求得，据此求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质知，， ∴， 同理， ∴ ∴；故①正确； 根据折叠的性质知，， ∴，即点为的中点， 同理可得点为的中点， 设，，则， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴，故②不正确； 设，则， 在中，， 即， ∴，即， ， ∴， ∴；故③正确； ∴， ∴；故⑤正确； ∵与不一定相等， ∴不成立，故④不正确； 综上，正确的有①③⑤， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，相似三角形的判定，勾股定理，矩形的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 【变式6 -6】如图，∥，∥，与交于点G，则图中相似三角形共有 对． 【答案】3 【分析】根据相似三角形的判定即可判断． 【详解】图中三角形有：，，， ∵， ∴ 共有3个组合分别为：∴，， 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 【变式6 -7】如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】证明：选择① ∵， ∴， ∵， ∴． 或选择② ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式6 -8】如图，在中，点在上，连接．请添加一个条件 ，使得，然后再加以证明．    【答案】（答案不唯一），证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，添加，结合，即可得证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：添加， 证明：∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式6 -9】如图，在中，，． (1)利用尺规作图在边上求作一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形判定，三角形内角和定理与性质及作角平分线的方法，解题的关键是根据题意得到相似的条件是作角平分线． （1）作的角平分线，交边于点D； （2）根据两角对应相等三角形相似作等角即可得到答案． 【详解】（1）解：点D，如图所示， ； （2）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴． 【变式6 -10】如图，在和中，，且． 求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据得出，再根据得出，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，得出结论即可． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． 【变式6 -11】如图，在平面直角坐标系内有两点，，所在直线的方程为，连接．    (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（）把代入即可求解； （）由得直线的方程为，求出，从而得，，，然后根据“两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可求证； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵在直线上， ∴， 解得：； （2）由（）得， ∴所在直线的方程为， 当时，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 又， ∴． 【变式6 -12】如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为． (1)求证：； (2)若，，直接写出，的周长； (3)在（2）的条件下，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)14，10 (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由等边三角形的性质、折叠的性质以及三角形外角的性质可得、即可证明结论； （2）有已知条件可得，由等边三角形的性质可得，再由折叠的性质可得，，最后根据三角形周长的定义即可解答； （3）根据相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵等边三角形 ∴ ∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴． （2）∵， ∴ ∵等边三角形 ∴ ∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处 ∴， ∴的周长为： 的周长为：． （3）∵． 又∵的周长为：14，的周长为：10 ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式6 -13】如图分别是的边上的点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定；由条件得出，根据相似三角形的判定即可解决问题； 【详解】证明：∵， 又∵， ∴． 【考点题型七】相似三角形的性质 【例7】如图，在平行四边形中，点在边上．若，，且，则的长为（    ）    A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】由平行四边形的性质可得，从而可得，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得，代入数据即可求得，最后根据即可得到答案． 【详解】解：四边形为平行四边形，， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 【变式7 -1】一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是，．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出斜边的长，以长的木条为直角边，设相似的三角形中斜边长为，利用相似三角形的对应边的比相等列分式方程，解方程即可得到答案． 【详解】∵直角三角形两条直角边分别是，， ∴斜边， ∵要做一个与其相似的三角形木架， ∴两个三角形对应边成比例， ∵直角三角形中斜边最大， ∴以长的木条为直角边，设相似的三角形中斜边长为， 则有2种情况， ①，解得：， ②，解得：， ∴另两边中长度最大的一边最多可达到， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及勾股定理，利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等进行计算是解题的关键． 【变式7 -2】如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（    ） A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤ 【答案】A 【分析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断． 【详解】解：由题意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°， 又∵， ∴，， ∴△ABC∽△ADE∽△HFA， 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式7 -3】如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解． 【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示： ∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA， ∴△BOC∽△AOB， ∵点， ∴OA=10， ∵， ∴， ∴AB=2OB， ∴BC=2OC， ∴在Rt△BOC中， ，即， ∴， ∴BC=4， ∴点B的坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式7 -4】在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，在x轴上取一点C，使以B，O，C为顶点的三角形与△AOB相似，写出符合请条件的C点坐标 ． 【答案】或或 【分析】分当∽相似时和当∽相似时两种情况利用相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵A（4，0），B（0，3）， ∴OA=4，OB=3， 当∽相似时， ，即， ∴， ∴此时C点坐标为或； 当∽相似时， ，即， ∴， ∴此时C点坐标为 故答案为：（-4，0）或或． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质，坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质． 【变式7 -5】如图，，相交于点，，，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】根据相似三角形的性质有，再利用求出的比值，即可求出答案． 【详解】∵， ∴ ． ∵， ∴． ， ． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【变式7 -6】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是线段AD的中点，连接AC，BE，交于点O，若=1，则= ． 【答案】4 【分析】由平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，通过证明△AEO∽△CBO，利用相似三角形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵点E是线段AD的中点， ∴AE=AD=BC， ∵AD∥BC， ∴△AEO∽△CBO， ∴   ∴S△BOC=4×1=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握以上知识是本题的关键． 【变式7 -7】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，记x＝AC，y＝BC﹣AC，在平面直角坐标系xOy中，定义（x，y）为这个直角三角形的坐标，Rt△ABC为点（x，y）对应的直角三角形．有下列结论：①在x轴正半轴上的任意点（x，y）对应的直角三角形均满足AB＝BC；②在函数y＝（x＞0）的图象上存在两点P，Q，使得它们对应的直角三角形相似；③对于函数y＝（x﹣2020）2﹣1（x＞0）的图象上的任意一点P，都存在该函数图象上的另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似；④在函数y＝﹣2x+2020（x＞0）的图象上存在无数对点P，Q（P与Q不重合），使得它们对应的直角三角形全等．所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据在x轴上点的坐标特征可得，即，再由勾股定理即可得到，即可判断①；设P点坐标为（，），Q点坐标为（，），则P、Q两点对应的直角三角形的两条直角边分别为：，；，，若P、Q对应的两个三角形相似，则或，由此即可判断②；同理即可判断③；设P点坐标为（，），Q点坐标为（，），则P、Q两点对应的直角三角形的两条直角边分别为：，；，，若P、Q对应的两个三角形全等，，即可判断④． 【详解】解：①∵点（x，y）在x轴的正半轴上， ∴， ∴，即， ∵∠C=90°， ∴，故此说法正确； ②设P点坐标为（，），Q点坐标为（，）， ∴P、Q两点对应的直角三角形的两条直角边分别为：，；，， 若P、Q对应的两个三角形相似， ∴或 ∴或 ∵， ∴，，不符合题意， ∴在函数上不存在两点P，Q，使得它们对应的直角三角形相似，故②错误； ③设P点坐标为（，），Q点坐标为（，）， ∴P、Q两点对应的直角三角形的两条直角边分别为：，；，， 若P、Q对应的两个三角形相似， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴图像上的任意一点P都存在另一点Q，使得这两个点对应的直角三角形相似，故③正确； ④设P点坐标为（，），Q点坐标为（，）， ∴P、Q两点对应的直角三角形的两条直角边分别为：，；，， 若P、Q对应的两个三角形全等， ∴ ∵， ∴在函数y＝﹣2x+2020（x＞0）的图象上存在无数对点P，Q（P与Q不重合），使得它们对应的直角三角形全等，故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质，相似三角形的性质，一次函数，二次函数图像上点的坐标特征，x轴上点的坐标特征，熟知相关知识是解题的关键． 【变式7 -8】如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个相似三角形的周长比是 ． 【答案】 【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是1：3 ∴这两个相似三角形的周长比是1：3， 故答案为：1：3． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键． 【变式7 -9】如图，在和中，，平分． (1)证明：； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理可求出的长，再利用相似三角形的性质即可得的长． 【详解】（1）∵平分， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵在中，，，， ∴， 由（1）已证：∵， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 【变式7 -10】如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，D是BC边上的一个动点，（不与B、C重合）在AC边上取一点E，使∠ADE=45°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）设BD=x，AE=y．    ①求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；   ②求y的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）①，②1 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠B＝∠C＝45°，根据三角形的外角性质得到∠BAD＝∠EDC，根据相似三角形的判定定理证明结论； （2）①根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到y关于x的函数关系式； ②根据二次函数的性质计算即可． 【详解】（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠B=∠C=45°． ∵∠ADC=∠B+∠1=45°+∠1，∠ADC=∠ADE+∠2=45°+∠2， ∴∠1=∠2．    ∴△ABD∽△DCE． （2）解：①∵△ABD∽△DCE， ∴． ∵AB=AC=2，BD=x，AE=y， ∴，，． ∴． ∴．   ② ∵， ∴y的最小值是1． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式7 -11】在中，，，点是线段的中点，点在射线上，连接，平移，使点移动到点，得到（点与点对应，点与点对应），交于点．    （1）若点是线段的中点，如图1． ①依题意补全图1； ②求的长； （2）若点在线段的延长线上，射线与射线交于点，若，求的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2）CE＝ 【分析】（1）①利用平移的性质画出图形； ②利用相似得出比例，即可求出线段DP的长． （2）根据条件MQ＝DP，利用平行四边形的性质和相似三角形的性质，求出BN的长即可解决． 【详解】解：（1）①如图1，补全图形    ②连接AD，如图1． 在Rt△ABN中， ∵∠B＝90°，AB＝4，BN＝1， ∴AN＝， ∵线段AN平移得到线段DM， ∴DM＝AN＝， AD＝NM＝1，AD∥MC， ∴△ADP∽△CMP． ∴， ∴； （2）如图，连接NQ，    由平移知：AN∥DM，且AN＝DM． ∵MQ＝DP， ∴PQ＝DM． ∴AN∥PQ，且AN＝PQ． ∴四边形ANQP是平行四边形． ∴NQ∥AP． ∴∠BQN＝∠BAC＝45°． 又∵∠NBQ＝∠ABC＝90°， ∴BN＝BQ． ∵AN∥MQ， ∴， 又∵M是BC的中点，且AB＝BC＝4， ∴， ∴NB＝或（负数舍去）． ∴ME＝BN＝． ∴CE＝ 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质与相似三角形的综合应用，利用相似比求线段长是重难点，按照题意画出图形是解决本题的关键． 【考点题型八】相似三角形的实际应用 【例8】如图，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图，从“矩”的一端望向树顶端的点，使视线通过“矩”的另一端，测得，．若“矩”的边，边，则树高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由已知易证明，得到，代入已知数据即可求解，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：． 【变式8 -1】《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为（    ） A．4 B．3 C．3.2 D．3.4 【答案】B 【分析】由题意知：，得出对应边成比例即可得出. 【详解】解：由题意知：， 则，， ， ， ， . 故选：B. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出是解决问题的关键. 【变式8 -2】如图，实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山距离为米的B处，然后沿着射线退后到点E，这时恰好在镜子里看到山头A，利用皮尺测量米，若小宇的眼睛到地面的距离为米，则假山高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 【变式8 -3】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．小明同学依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点在同一水平线上，与相交于点D．测得，则树高 m． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可得，然后由相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵和均为直角， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式8 -4】图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为 cm．        图1              图2 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据，得出，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ， ， ，， ， 解得：， 故答案为：3． 【变式8 -5】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为 ． 【答案】四丈五尺 【分析】设出竹竿长度，根据同一时刻物高与影长成正比列出方程，即可得出结论． 【详解】解：设竹竿的长度为x尺， ∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺， ∴由相似相似原理可知： 解得x=45（尺）． 故答案为：四丈五尺． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 【考点题型九】相似三角形的性质与判定综合 【例9】如图，在菱形中，点E 在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由菱形的性质得，，可证明，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵点F在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式9 -1】如图，在中，，点为线段上一点（不与，重合），连接，，交于点，若．给出下面三个结论：；；．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，根据平行线的性质及全等三角形的性质求出，根据三角形三边关系求出，结合全等三角形的性质求出是等腰直角三角形，进而求出，再根据相似三角形的判定与性质求出，据此判断即可，熟记相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确，符合题意； ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 如图，设交于点， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即， 综上，，故正确，符合题意； ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确，符合题意； 综上可知：正确， 故选：． 【变式9 -2】如图，矩形中，点E是边上一点，点D关于直线AE的对称点点F恰好落在边上，给出如下三个结论：①；②；③若，，则．上述结论一定正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 由四边形是矩形，得到，进一步得到，即可判断①；假设成立，因为与不平行，所以，由可推导出，则，所以，可知，矩形是特殊矩形，与已知条件不符，即可判断②；由，得到，，再证明，得到，则，可判断③． 【详解】 解：如图1，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点D关于直线的对称点点F在边上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，故①符合题意； 假设成立， ∵与不平行， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图2，则， ∴， 显然，矩形是特殊矩形，与已知条件不符， ∴不成立，故②不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③符合题意， 故选：B． 【变式9 -3】如图，在菱形中，点在边上，与交于点．若，，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，首先证明是等边三角形，得，求得，再证明，可得出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 【变式9 -4】如图，是的中位线，点F在上，，连接并延长，与的延长线交于点M．若，则线段的长为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论． 【详解】解：是的中位线，， ，， ， ， ， ∴． 故答案为：10． 【变式9 -5】如图，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，过点P作的垂线与，分别相交于点E，F．    小明根据学习函数的经验对线段，，的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)对于点P在边上的不同位置，画图、测量，得到了线段，，的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 位置11 0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.5 6.0 0 1.5 2.2 2.5 2.4 m 2.0 1.6 1.3 0.4 0 0 0.9 1.7 2.3 2.9 3.0 2.9 2.7 2.3 0.9 0 在，，的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数； (2)①确定表格中m的值约为____________（结果精确到0.1）； ②在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；    (3)结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且时，_____（结果精确到0.1）． 【答案】(1)，，； (2)①2.2；②见解析； (3)1.9． 【分析】（1）由函数的定义可得答案； （2）①如图，当时，则是的中点，此时重合，过作交于，交于，证明，，，再进一步解答可得答案；②先描点，再用光滑的曲线连接即可； （3）结合函数图象可得答案． 【详解】（1）解：在，，的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数； （2）①如图，当时，而，， ∴是的中点， ∴， 此时重合， 过作交于，交于，    ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②描点画图如下：    （3）由函数图象可得：当时，； 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，平行线分线段成比例的应用，三角形的中位线的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 【变式9 -6】（1）如图1，平分分别在射线上，若，求证：; （2）如图2，在中，交边于点于点H．已知，求的面积； （3）如图3，在等边中，点D在边上，P为延长线上一点，E为边上一点，已知平分，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）直接证明即可， （2）过C作于点D．通过导角证明，利用角平分线的性质定理得出，最后利用三角形面积公式即可求解； （3）在线段上取一点F，使，并连结．先证，求出相关边长度，再证，根据对应边成比例即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ； （2）解：如图，过C作于点D． ， ， 又， ， ，， ， ； （3）解：如图，在线段上取一点F，使，并连结． 平分， ， 又， ， ， ， ，， ， ，即 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$