专题02 解直角三角形及其应用【九大考点+知识串讲】——2024-2025学年九年级数学上学期重难考点强化训练（北师大版）

专题02 解直角三角形及其应用 考点类型 知识串讲 （一）直角三角形边角关系 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　， ， 　　④，h为斜边上的高. （二）解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由=，求∠A； ∠B=90°－∠A； 斜边，一直角边(如c，a) 由=，求∠A； ∠B=90°－∠A； 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， （三）解直角三角形应用的相关概念 　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　　　　　 　　(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 考点训练 考点1：网格中解直角三角形 典例1：数学小组探究这样一道题：已知，，，求的度数．该组的同学经过思考后，画出如图所示的的小正方形网格，把和放在网格中，使，，连接，得到，此时，根据网格可知，，．由此可知，．该小组的这种求解体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类思想 C．统计思想 D．方程思想 【变式1】如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（  ）    A． B． C． D． 【变式2】如图，在一个的正方形网格中有一个，其顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（  ）    A． B． C． D． 【变式3】如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（　　） A．sinB B．sinC C．tanB D．sin2B+sin2C＝1 考点2：坐标系中解直角三角形 典例2：如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(﹣1，2)，以点O为圆心，将线段OA逆时针旋转，使点A落在x轴的负半轴上点B处，则点B的横坐标为（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点与原点重合，顶点的坐标为，，若顶点在第一象限，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，△AOB是等边三角形，B（2，0），将△AOB绕O点逆时针方向旋转90°到△A′OB′位置，则A′坐标是（　 　） A．（﹣1，） B．（﹣，1） C．（，﹣1） D．（1，﹣） 【变式3】如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，，，将绕点逆时针旋转，点B的对应点的坐标是(　　) A． B． C． D． 考点3：解直角三角形——直接法 典例3：在中，，a、b、c分别是的对边，，，解这个直角三角形． 【变式1】解直角三角形 (1)； (2)． 【变式2】如图，中，已知，点在边上，且，求的长．（结果精确到，参考数据：） 【变式3】根据下列条件解直角三角形． (1)在中，，，； (2)在中，，，． 考点4：解直角三角形——化斜为直 典例4：如图，在中，，，求． 【变式1】如图，在中，已知 ，，，求的长． 【变式2】公交总站点与、两个站点的位置如图所示，已知km，，，求站点离公交总站的距离即的长结果保留根号． 【变式3】在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 考点5：解直角三角形——四边形综合 典例5：如图，矩形的对角线相交于点O，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的周长为，则的长为__________． 【变式1】如图，在四边形中，对角线与相交于点，，，平分．    (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【变式2】实践与探究 操作一： （1）如图①，矩形纸片对折，使得点和点重合，点和点重合，展开得到折痕．点是上的点，沿直线将翻折，使点的对称点点落在上，则______度． 操作二： （2）如图②，连结并延长，交于点． 运用以上操作所得结论，解答下列问题： ①求证：． ②当四边形是平行四边形时，______． 【变式3】如图，在四边形中，，经测量，，求四边形的面积．（结果精确到，，） 考点6：解直角三角形应用——坡度比问题 典例6：图1所示是屹立在于都县纪念广场的中央红军长征出发纪念碑，它是由呈双帆造型的碑身与方形底座两部分组成的，底座下方是台阶，台阶的横截面如图2所示．已知台阶的坡面的坡度，坡面的长为． (1)计算坡面的铅直高度； (2)如图3，为了测量纪念碑的高度，亮亮站在纪念碑正前方广场上的点G处用高的测角仪，测得纪念碑碑身顶端A的仰角是，继续向纪念碑前进到达点K处，此时测得纪念碑顶端，求纪念碑的实际高度．（结果精确到，参考数据：） 【变式1】如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长，点为摄像机旋转轴心，为的中点，显示屏的上沿与平行，，与连接，杆，，，点到地面的距离为．若与水平地面所成的角的度数为． ．    (1)求显示屏所在部分的宽度； (2)求镜头A到地面的距离． （参考数据：，，，结果保留一位小数） 【变式2】某商场为方便顾客使用购物车，将滚动电梯的原坡面改造为坡面．已知改动后电梯的坡面长，原坡面坡角，新坡面的坡度． (1)求斜坡底部增加的长度；（结果保留根号） (2)电梯顶部水平线，电梯上方点处有悬挂广告牌，，．若一位身高的顾客乘电梯上行，行进过程中是否会碰到广告牌的下端？请通过计算说明理由． 【变式3】如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段． (1)求测角仪与塔身的水平距离； (2)求塔身的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，） 考点7：解直角三角形应用——仰角俯角问题 典例7：如图为某校大门处安装的“测温门”截面图，小敏做了如下实验：当她在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为；当她在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为．已知测温门顶部A距地面的高度为米，小敏在地面的有效测温区间的长度为米． (1)“测温门”的探测角度_______度； _______米 (2)求小敏的身高（注：额头到地面的距离以身高计，结果精确到米，参考数据：，，）． 【变式1】研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动，同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点A的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点A正上方的点处时，测得米 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离的长．（结果精确到1米．参考数据：，，，，，） 【变式2】如图，某市在城区河道上新建成的一座大桥，学校数学兴趣小组在一次数学实践活动中对桥墩的高度进行了测量，测得斜坡长为米，，在斜坡顶端处水平地面上以的速度行走半分钟到达点，在点处测得桥墩最高点的仰角为． (1)水平地面长为______米； (2)求桥墩的高（结果保留1位小数）．（参考数据：） 【变式3】神龙阁是神龙公园的地标建筑．在一次数学综合实践活动中，李老师布置了一个任务：请根据所学知识设计一种方案，测量神龙阁的高． (1)某小组通过思考，绘制了如图2所示的测量示意图，即在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为α，点C到点B的距离米，即可得出塔高 米（请你用所给数据α和a表示）． (2)但在实践中发现：由于无法直接到达塔底端的B点，因此无法直接测量．该小组对测量方案进行了如下修改：如图3，从水平地面的C点向前走a米到达点D处后，在D处测得塔顶端A的仰角为β，即可通过计算求得塔高．若测得的，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果精确到1米，参考数据：，） 考点8：解直角三角形应用——方位角问题 典例8：蚂蚁是一种靠嗅觉寻找食物的生物，它们的嗅觉比较发达，最远能闻出距离几十米处远的食物的味道某天李华同学在户外观察蚂蚁觅食时，发现他所在位置A点的北偏西方向距A点的B点有一只正在觅食的蚂蚁（如图），A点北偏东方向距A点的C点有一块糖，蚂蚁正沿正东方向朝着C点处的糖前进． (1)请求出蚂蚁所在位置B点与糖所在位置C点之间的距离； (2)若在A点北偏东方向距A点的D点处刚好有一只蜘蛛，求蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离．（结果取整数，参数数据：，，，，，） 【变式1】木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 【变式2】森林防火不仅是政府和相关部门的责任，每个公民应当参与到森林防火工作中，了解相关防火知识并在日常生活中做出相应的贡献．如图所示，在一条笔直公路上，公路两旁是林地，位于森林防火卡点的北偏东方向的处发生火灾，防火员从卡点去火灾处救援有两种方案，方案1：防火员立即骑车沿正东方向行驶800米到达离点最近的处再跑步到点救援；方案2：防火员从卡点直接跑步前往处救援．若防火员的跑步速度为，骑车的速度为．（参考数据：，，，，，） (1)的长为__________米（结果保留整数）； (2)防火员必须在两个方案中选择一个，请问选择哪个方案更合理，请通过计算说明理由． 【变式3】我国一艘巡逻船在某海域B处进行巡逻时，发现在东北方向海里的A处有一外国舰艇正在侦查我国海域，我方巡逻船立刻与其交涉文明劝返，当巡逻船沿着正东方向航行一段距离到达C处时，发现外国舰艇在位于北偏东方向A处原地不动． (1)求此时巡逻船航行的距离的长；（保留整数，参考数据：，，） (2)我方巡逻船立刻对其喊话驱离，外国舰艇立即以30海里/小时的速度沿着南偏东方向逃窜，此刻我方巡逻船同时从C处立即沿着正东方向在D处将其截获，求巡逻船的航行速度（结果保留根号） 考点9：解直角三角形应用——实物建模问题 典例9：“彼此让一让，路宽心更宽”，斑马线前礼让行人是城市文明的一种具体体现，也是司机理应履行的一项法定义务，我市设立了“礼让行人”交通标识．某数学小组在老师的指导下对某路口的交通情况进行了如下探究． 【问题情景】 如图，某无红绿灯的路口有一行人从点A处出发，通过斑马线时，正好有一辆位于车道中间的小汽车从点B（小汽车前沿中点）沿该车道中间直线匀速朝斑马线驶去，此时．已知行人的速度是，每个车道宽，双向车道中间有宽的隔离带． 【问题解决】 (1) ； (2)若在B点时小汽车司机发现行人后，立即减速慢行，结果在行人到达点C时，小汽车前沿离行人还有，此时司机停车“礼让行人”，求小汽车从点B开始减速到停下这一段的行驶的距离．（参考数据：） 【变式1】第24届冬季奥林匹克运动会已过去一年，但我国运动员取得的9块金牌、4块银牌、2块铜牌的优异成绩却激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道米，弧形跳台的跨度米，顶端E到的距离为40米，，，，． (1)求图中的高度是多少？（结果保留整数） (2)求此大跳台最高点A距地面的距离是多少米？（结果保留整数） （参考数据：，，，，，，，，） 【变式2】打篮球是学生的校园基本体育运动项目之一．如图①是一副篮球架实物图，如图②是它的示意图，其中主拉杆，点在同一直线上，与水平线之间的夹角为，主拉杆与底座上边缘之间的夹角为，水平横梁，篮筐P与水平横梁同高，底座，支撑立柱与底座边沿在同一竖直线上．（参考数据：，结果精确到） (1)求篮板到支撑立柱的水平距离． (2)求篮筐P离地面的竖直高度． 【变式3】为了打造和美社区，增强民众生活幸福感，“善美”党群服务队为小区的超市安装了一个遮阳棚．如图在侧面横截示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为．作交于点F（点B、F、C在同一直线上，且点A、B、F、C、D在同一平面内）． (1)求和的长； (2)当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 解直角三角形及其应用 考点类型 知识串讲 （一）直角三角形边角关系 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　， ， 　　④，h为斜边上的高. （二）解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由=，求∠A； ∠B=90°－∠A； 斜边，一直角边(如c，a) 由=，求∠A； ∠B=90°－∠A； 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， （三）解直角三角形应用的相关概念 　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　　　　　 　　(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 考点训练 考点1：网格中解直角三角形 典例1：数学小组探究这样一道题：已知，，，求的度数．该组的同学经过思考后，画出如图所示的的小正方形网格，把和放在网格中，使，，连接，得到，此时，根据网格可知，，．由此可知，．该小组的这种求解体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类思想 C．统计思想 D．方程思想 【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】根据题意可知，采用的是数形结合的思想，进行作答即可． 【详解】解：该小组的这种求解体现的数学思想是是数形结合的思想， 故选：A． 【点睛】本题考查数形结合的思想．熟练掌握数学中常见的数学思想：数形结合思想，分类讨论思想，转化思想，方程思想，是解题的关键． 【变式1】如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】如图，过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形即可解决问题． 【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于D．    在Rt△ABD中，tan∠ABC＝， 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式2】如图，在一个的正方形网格中有一个，其顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算、求角的余弦值、在网格中判断直角三角形、二次根式的混合运算 【分析】连接，由勾股定理的逆定理判断为直角三角形，，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：如图所示，连接，设正方形网格中小正方形的边长为个单位长度， ∴，，， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故选：B．    【点睛】本题考查解直角三角形，余弦的定义，勾股定理以及勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理及余弦的定义是解题的关键． 【变式3】如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（　　） A．sinB B．sinC C．tanB D．sin2B+sin2C＝1 【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】根据勾股定理得出AB，AC，BC的长，进而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而解答即可． 【详解】解：由勾股定理得： , ∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°， ∴，，，，只有A错误． 故选择：A． 【点睛】此题考查解直角三角形，关键是根据勾股定理得出AB，AC，BC的长解答． 考点2：坐标系中解直角三角形 典例2：如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(﹣1，2)，以点O为圆心，将线段OA逆时针旋转，使点A落在x轴的负半轴上点B处，则点B的横坐标为（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 【答案】C 【知识点】解直角三角形的相关计算、求绕原点旋转一定角度的点的坐标、用勾股定理解三角形 【分析】利用勾股定理求出OA，可得结论． 【详解】解：∵A（﹣1，2）， ∴OA＝， 由旋转的性质可知，OB＝OA＝， ∴B（﹣，0）． 故选：C． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是利用勾股定理求出OA即可． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点与原点重合，顶点的坐标为，，若顶点在第一象限，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解直角三角形的相关计算、坐标与图形 【分析】根据勾股定理求出AO的值，再通过解直角三角形的到OB的值，过点B作轴，根据勾股定理以及等腰直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵顶点的坐标为， ∴ 过点B作轴 根据点A的坐标可知OA与x轴负半轴的夹角为 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是坐标与图形的性质，根据已知条件推出是等腰直角三角形是解此题的关键． 【变式2】如图，△AOB是等边三角形，B（2，0），将△AOB绕O点逆时针方向旋转90°到△A′OB′位置，则A′坐标是（　 　） A．（﹣1，） B．（﹣，1） C．（，﹣1） D．（1，﹣） 【答案】B 【知识点】根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】过点A′作A′C⊥x轴于C，根据点B的坐标求出等边三角形的边长，再求出∠A′OC＝30 ，然后求出OC、A′C，再根据点A′在第二象限写出点A′的坐标即可． 【详解】如图，过点A′作A′C⊥x轴于C， ∵B（2，0）， ∴等边△AOB的边长为2， 又∵∠A′OC＝90 −60 ＝30 ， ∴OC＝2×cos30 =2×＝，A′C＝2×＝1， ∵点A′在第二象限， ∴点A′（﹣，1）． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转，等边三角形的性质，根据旋转的性质求出∠A′OC＝30，然后解直角三角形求出点A′的横坐标与纵坐标的长度是解题的关键． 【变式3】如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，，，将绕点逆时针旋转，点B的对应点的坐标是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算、根据旋转的性质求解、坐标与图形 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，解直角三角形等知识如图，过点作 轴于．解直角三角形求出，H即可． 【详解】解：如图，过点作 轴于． ∵，． ∴ ∵旋转， ∴ 在中，，， ∴， ∴ ， 故选：B． 考点3：解直角三角形——直接法 典例3：在中，，a、b、c分别是的对边，，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，含60度角的直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 先利用直角三角形锐角互余求出，再用的正切求出b，再用的余弦求出c． 【详解】解：∵， ． 由知：， 由知，． ∴，，． 【变式1】解直角三角形 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】（1）利用勾股定理求出AC，利用正弦值求出∠A，利用互余关系求出∠B； （2）利用勾股定理求出AC，利用正切值求出∠A，利用互余关系求出∠B． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查解直角三角形．熟练掌握直角三角形的性质，熟背特殊角得三角函数值是解题的关键． 【变式2】如图，中，已知，点在边上，且，求的长．（结果精确到，参考数据：） 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意找到直角三角形并根据锐角的三角函数值求解是解题关键，先求出，在中，利用三角函数求出结论即可． 【详解】解：中，已知， ， ， 在中，已知， ， ． 【变式3】根据下列条件解直角三角形． (1)在中，，，； (2)在中，，，． 【答案】(1) (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查的是解直角三角形，掌握解直角三角形的含义是解本题的关键； （1）先求解，再求解，，从而可得答案； （2）先求解，再求解，即可； 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴，， ∴． （2）∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点4：解直角三角形——化斜为直 典例4：如图，在中，，，求． 【答案】10 【知识点】解非直角三角形 【分析】本题考查解非直角三角形，过点作，分别解，求出的长，利用，进行求解即可．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 【详解】解：过点作，则：， 在中，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴． 【变式1】如图，在中，已知 ，，，求的长． 【答案】 【知识点】解非直角三角形 【分析】过点作，垂足为点，设，在中，得出 ，在中，得出 ，根据 ，列出方程求解得出，在中，根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点， 设，在中， ， 在中，， ， ， ， . 解得：，即， 在中，∵， ∴ 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数关系是解题的关键． 【变式2】公交总站点与、两个站点的位置如图所示，已知km，，，求站点离公交总站的距离即的长结果保留根号． 【答案】 【知识点】解非直角三角形 【分析】过点C作交的延长线于D，易得是等腰直角三角形，由勾股定理可求得的长，再由含角直角三角形的性质求得，再由勾股定理可求得，从而求得． 【详解】过点C作交的延长线于D，如图， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得， ，， ， 由勾股定理得， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造辅助线转化为特殊直角三角形来解决是问题的关键． 【变式3】在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】构造直角三角形求不规则图形的边长或面积、解非直角三角形、求角的余弦值、用勾股定理解三角形 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 考点5：解直角三角形——四边形综合 典例5：如图，矩形的对角线相交于点O，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的周长为，则的长为__________． 【答案】(1)见解析 (2)12 【知识点】解直角三角形的相关计算、证明四边形是菱形、利用菱形的性质求线段长、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查矩形的性质、菱形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）首先由，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，易得，即可判定四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出，确定，再由正切函数设，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）∵菱形的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∴即， 解得：（负值舍去）， ∴， 故答案为：12． 【变式1】如图，在四边形中，对角线与相交于点，，，平分．    (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积、证明四边形是菱形、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先证明四边形是平形四边形，再由，即可证出四边形是菱形； （2）由锐角三角函数定义求出的长，得的长，再由菱形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：，，   四边形为平行四边形， 平分， ． ， ， ， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 四边形ABCD的面积为． 【点睛】此题考查了菱形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质、解直角三角形的相关计算、利用菱形的性质求菱形的面积等知识点，解题的关键是掌握菱形的判定与性质． 【变式2】实践与探究 操作一： （1）如图①，矩形纸片对折，使得点和点重合，点和点重合，展开得到折痕．点是上的点，沿直线将翻折，使点的对称点点落在上，则______度． 操作二： （2）如图②，连结并延长，交于点． 运用以上操作所得结论，解答下列问题： ①求证：． ②当四边形是平行四边形时，______． 【答案】（1）60   （2）①证明见解析    ② 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解、矩形与折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，折叠的性质． （1）（1）连接，通过证明是等边三角形，得出，，即可解答； （2）①通过证明即可推出，即可得出结论； ②易得，，则是等边三角形，进而得出，则，再得出，则． 【详解】解：（1）连接， 由折叠的性质可得：垂直平分，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60． （2）①由题可知 四边形是矩形 ， ， ， ； ②由①可知，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴是等边三角形， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【变式3】如图，在四边形中，，经测量，，求四边形的面积．（结果精确到，，） 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． 如图，过点D作的垂线交于点E，过点B作的垂线交于点F，再证四边形是矩形，设，则，；再根据据可得列方程求得，最后根据梯形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，过点D作的垂线交于点E，过点B作的垂线交于点F， ∵，， ∴， 又， ∴四边形是矩形． 设，则，， 根据可得，可得． ∴四边形的面积． 考点6：解直角三角形应用——坡度比问题 典例6：图1所示是屹立在于都县纪念广场的中央红军长征出发纪念碑，它是由呈双帆造型的碑身与方形底座两部分组成的，底座下方是台阶，台阶的横截面如图2所示．已知台阶的坡面的坡度，坡面的长为． (1)计算坡面的铅直高度； (2)如图3，为了测量纪念碑的高度，亮亮站在纪念碑正前方广场上的点G处用高的测角仪，测得纪念碑碑身顶端A的仰角是，继续向纪念碑前进到达点K处，此时测得纪念碑顶端，求纪念碑的实际高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】(1)坡面的铅直高度为； (2)纪念碑的实际高度为． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】此题考查了解直角三角形的应用， （1）过点D作于点H，根据坡比设，，由勾股定理得到，则，解方程即可求出答案； （2）设，证明，由得到，由得到，解得，进一步即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示： 过点D作于点H， ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， 解得：，（负值舍去）， ∴， ∴坡面的铅直高度为； （2）设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴纪念碑的实际高度为． 【变式1】如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长，点为摄像机旋转轴心，为的中点，显示屏的上沿与平行，，与连接，杆，，，点到地面的距离为．若与水平地面所成的角的度数为． ．    (1)求显示屏所在部分的宽度； (2)求镜头A到地面的距离． （参考数据：，，，结果保留一位小数） 【答案】(1) (2) 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，矩形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）连接，过点作，交的延长线于点，根据已知可求出，从而可证四边形是矩形，进而可得，，然后利用平角定义求出，从而求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ，与水平地面所成的角的度数为， 显示屏上沿与水平地面所成的角的度数为． 过点作交点所在铅垂线的垂线，垂足为，则． ， ， （2）解：如图，连接，作垂直反向延长线于点， ，为的中点， ． ，， ． ，， 四边形为矩形，． ， ． ． ， 镜头到地面的距离为．    【变式2】某商场为方便顾客使用购物车，将滚动电梯的原坡面改造为坡面．已知改动后电梯的坡面长，原坡面坡角，新坡面的坡度． (1)求斜坡底部增加的长度；（结果保留根号） (2)电梯顶部水平线，电梯上方点处有悬挂广告牌，，．若一位身高的顾客乘电梯上行，行进过程中是否会碰到广告牌的下端？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)会碰到，见解析 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）先解直角三角形，求出的长，再解直角三角形，求出的长，进一步求出的长即可； （2）延长交于点，过点作于点，求出的长，进而求出的长，再求出的长，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵新坡面的坡度 ∴， 设，则：， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴； （2）会，理由如下： 延长交于点，过点作于点，由题意，得：， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴会碰到． 【变式3】如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段． (1)求测角仪与塔身的水平距离； (2)求塔身的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解． （1）延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，则，，易得，根据勾股定理得出，最后即可解答； （2）由（1）可知，，根据题意得出，，，则，，根据，即可解答． 【详解】（1）解：如图，延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点， 则，， 由题意可知，，， ， ， ， 答：测角仪与塔身的水平距离为； （2）解：由（1）可知，， 由题意可知，，，， ， ， ， 答：塔身的高度约为． 考点7：解直角三角形应用——仰角俯角问题 典例7：如图为某校大门处安装的“测温门”截面图，小敏做了如下实验：当她在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为；当她在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为．已知测温门顶部A距地面的高度为米，小敏在地面的有效测温区间的长度为米． (1)“测温门”的探测角度_______度； _______米 (2)求小敏的身高（注：额头到地面的距离以身高计，结果精确到米，参考数据：，，）． 【答案】(1) (2)小敏的身高为米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】此题考查了解直角三角形的应用， （1）延长交于点，得到，即可得到的度数，证明四边形是矩形，即可得到米； （2）设小敏的身高为米，证明四边形是矩形，则，则，求出，，得到，解方程即可． 【详解】（1）解：如图，延长交于点， 由题意可知，，， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形 ∴米， 故答案为： （2）解：设小敏的身高为米， ∵，， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 则， 在中，， ∵ ∴ 在中，， ∵ ∴ ∴ ∴ 解得， 答：小敏的身高为米． 【变式1】研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动，同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点A的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点A正上方的点处时，测得米 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离的长．（结果精确到1米．参考数据：，，，，，） 【答案】点A到地面的距离的长约为27米 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形、矩形的性质等知识点，正确作出辅助线构造直角三角形成为解题的关键． 如图：延长交于点，根据矩形的性质得到，再解直角三角形得到、；设，则，然后列关于x的方程求解即可． 【详解】解：如图：延长交于点，则四边形为矩形， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 设． ， ， ，解得， （米）． 答：点A到地面的距离的长约为27米． 【变式2】如图，某市在城区河道上新建成的一座大桥，学校数学兴趣小组在一次数学实践活动中对桥墩的高度进行了测量，测得斜坡长为米，，在斜坡顶端处水平地面上以的速度行走半分钟到达点，在点处测得桥墩最高点的仰角为． (1)水平地面长为______米； (2)求桥墩的高（结果保留1位小数）．（参考数据：） 【答案】(1) (2)桥墩的高为 【知识点】有理数乘法的实际应用、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查行程问题，解直角三角形的运用，合理作出辅助线构造直角三角形，运用正弦，余弦，正切值求线段的长是解题的关键． （1）根据行程问题即可求解； （2）如图所示，延长交于点，过点作于点，可得四边形是矩形，在中，根据， ，可得的值，从而得到的值，在中，根据，可得的值，由，即可求解． 【详解】（1）解：已知沿斜坡顶端处水平地面上以的速度行走半分钟到达点，， ∴的值为：， 故答案为：； （2）解：如图所示，延长交于点，过点作于点， ∵在斜坡顶端处水平地面上行走到达点，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，斜坡长为米，， ∴， ， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴，则， ∴， 答：桥墩的高为． 【变式3】神龙阁是神龙公园的地标建筑．在一次数学综合实践活动中，李老师布置了一个任务：请根据所学知识设计一种方案，测量神龙阁的高． (1)某小组通过思考，绘制了如图2所示的测量示意图，即在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为α，点C到点B的距离米，即可得出塔高 米（请你用所给数据α和a表示）． (2)但在实践中发现：由于无法直接到达塔底端的B点，因此无法直接测量．该小组对测量方案进行了如下修改：如图3，从水平地面的C点向前走a米到达点D处后，在D处测得塔顶端A的仰角为β，即可通过计算求得塔高．若测得的，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果精确到1米，参考数据：，） 【答案】(1) (2)塔高约52米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题是解直角三角形的实际应用； （1）在中，根据三角形函数直接求解即可； （2）设塔高的长为米，利用直角三角形的性质和锐角三角函数可求解． 【详解】（1）中，，， ， 故答案为：； （2）设塔高的长为米， 中，， ， 米， 米， 在中，， ， ， ，即（米， 答：塔高约52米． 考点8：解直角三角形应用——方位角问题 典例8：蚂蚁是一种靠嗅觉寻找食物的生物，它们的嗅觉比较发达，最远能闻出距离几十米处远的食物的味道某天李华同学在户外观察蚂蚁觅食时，发现他所在位置A点的北偏西方向距A点的B点有一只正在觅食的蚂蚁（如图），A点北偏东方向距A点的C点有一块糖，蚂蚁正沿正东方向朝着C点处的糖前进． (1)请求出蚂蚁所在位置B点与糖所在位置C点之间的距离； (2)若在A点北偏东方向距A点的D点处刚好有一只蜘蛛，求蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离．（结果取整数，参数数据：，，，，，） 【答案】(1)B点与糖所在位置C点之间的距离为 (2)蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离为 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方位角的应用，勾股定理的应用，根据题意正确找出直角三角形利用三角函数进行解题即可． （1）记正北方向为，与交于点M，利用正弦求出的长，即可得出结果； （2）过点C作与点N，根据题意可得，再根据含角的直角三角形特征求出的长，再根据勾股定理即可求出结果． 【详解】（1）解：记正北方向为，与交于点M， 由题意可知：中，，， ， ， 在中，，， ， ， 答：B点与糖所在位置C点之间的距离为； （2）如图，过点C作与点N， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， 答：蚂蚁在找到糖时与蜘蛛的距离为． 【变式1】木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 【答案】(1)30；75；5 (2)该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区 【知识点】与方向角有关的计算题、三角形内角和定理的应用、根据等角对等边求边长、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理： （1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段的长度； （2）设海里，先解得到，再解得到海里，海里，据此可得，解得海里；证明，则海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点P作于D， 由题意得， ， ∴； ∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B， ∴海里． （2）解：设海里， 在中，海里， 在中，海里，海里， ∵， ∴， 解得， ∴海里， ∵， ∴， ∴海里； 上午9时时，船距离A的距离为海里， ∵， ∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区． 【变式2】森林防火不仅是政府和相关部门的责任，每个公民应当参与到森林防火工作中，了解相关防火知识并在日常生活中做出相应的贡献．如图所示，在一条笔直公路上，公路两旁是林地，位于森林防火卡点的北偏东方向的处发生火灾，防火员从卡点去火灾处救援有两种方案，方案1：防火员立即骑车沿正东方向行驶800米到达离点最近的处再跑步到点救援；方案2：防火员从卡点直接跑步前往处救援．若防火员的跑步速度为，骑车的速度为．（参考数据：，，，，，） (1)的长为__________米（结果保留整数）； (2)防火员必须在两个方案中选择一个，请问选择哪个方案更合理，请通过计算说明理由． 【答案】(1)976 (2)选择方案一更合理．见解析 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，理解题意，熟练运用三角函数关系是解题的关键． （1）在中，直接根据正弦函数关系即可求出； （2）求出，再分别求出两种方案下所用时间较少，从而作出判断，并说明理由． 【详解】（1）解：由题意，知米，， 在中， （米）， 故答案为：976； （2）解：选择方案一更合理． 理由：在中， （米）， 方案一需要时间为：， 方案二需要时间为：， ， 选择方案一更合理． 【变式3】我国一艘巡逻船在某海域B处进行巡逻时，发现在东北方向海里的A处有一外国舰艇正在侦查我国海域，我方巡逻船立刻与其交涉文明劝返，当巡逻船沿着正东方向航行一段距离到达C处时，发现外国舰艇在位于北偏东方向A处原地不动． (1)求此时巡逻船航行的距离的长；（保留整数，参考数据：，，） (2)我方巡逻船立刻对其喊话驱离，外国舰艇立即以30海里/小时的速度沿着南偏东方向逃窜，此刻我方巡逻船同时从C处立即沿着正东方向在D处将其截获，求巡逻船的航行速度（结果保留根号） 【答案】(1)29 (2)巡逻船的航行速度海里/小时． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，方位角的问题，相似三角形的判定与性质． （1）分别过点B，C作点A所在水平线的垂线，垂足分别为，根据题意得：，证明四边形是矩形，解直角三角形求出，即可解答； （2）过点作，垂足为，证明，求，，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，分别过点B，C作点A所在水平线的垂线，垂足分别为， 根据题意得：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 在中，（海里）， （海里）， 在中，（海里）， （海里）， （海里）； （2）解：过点作，垂足为， 根据题意得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 则（海里/小时） 答：巡逻船的航行速度海里/小时． 考点9：解直角三角形应用——实物建模问题 典例9：“彼此让一让，路宽心更宽”，斑马线前礼让行人是城市文明的一种具体体现，也是司机理应履行的一项法定义务，我市设立了“礼让行人”交通标识．某数学小组在老师的指导下对某路口的交通情况进行了如下探究． 【问题情景】 如图，某无红绿灯的路口有一行人从点A处出发，通过斑马线时，正好有一辆位于车道中间的小汽车从点B（小汽车前沿中点）沿该车道中间直线匀速朝斑马线驶去，此时．已知行人的速度是，每个车道宽，双向车道中间有宽的隔离带． 【问题解决】 (1) ； (2)若在B点时小汽车司机发现行人后，立即减速慢行，结果在行人到达点C时，小汽车前沿离行人还有，此时司机停车“礼让行人”，求小汽车从点B开始减速到停下这一段的行驶的距离．（参考数据：） 【答案】(1)8 (2)31米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意、数形结合解直角三角形是解题的关键． （1）根据题意计算AC长度即可； （2）根据，求出的长度，即可得出行驶距离． 【详解】（1）解：根据题意得：（米）， 故答案为：8； （2）由题意可知，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 答：小汽车从点B开始减速到停下这一段的行驶的距离为31米． 【变式1】第24届冬季奥林匹克运动会已过去一年，但我国运动员取得的9块金牌、4块银牌、2块铜牌的优异成绩却激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道米，弧形跳台的跨度米，顶端E到的距离为40米，，，，． (1)求图中的高度是多少？（结果保留整数） (2)求此大跳台最高点A距地面的距离是多少米？（结果保留整数） （参考数据：，，，，，，，，） 【答案】(1)32米 (2)此大跳台最高点A距地面的距离约是70米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解一元一次方程等知识，正确作出辅助线，并得出是解题的关键 （1）解可得结论； （2）过点E作于点N，交于点M，则，通过解直角三角形可得结论 【详解】（1）解：在中，，， ∴（米） （2）解：过点E作于点N，交于点M，则，如图， 根据题意可知，，米， ∵， ∴， 在和中，设米，则米， ∴，； ∴， 解得，， ∴（米）， ∴米， 即：此大跳台最高点A距地面的距离约是70米 【变式2】打篮球是学生的校园基本体育运动项目之一．如图①是一副篮球架实物图，如图②是它的示意图，其中主拉杆，点在同一直线上，与水平线之间的夹角为，主拉杆与底座上边缘之间的夹角为，水平横梁，篮筐P与水平横梁同高，底座，支撑立柱与底座边沿在同一竖直线上．（参考数据：，结果精确到） (1)求篮板到支撑立柱的水平距离． (2)求篮筐P离地面的竖直高度． 【答案】(1)篮板到支撑立柱的水平距离约为 (2)篮筐P离地面的竖直高度约是 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】此题考查了解直角三角形的应用， （1）过点N作于点S，求出，利用即可求出答案； （2）过点作于点R，作于点T，则，，根据即可求出篮筐P离地面的竖直高度． 【详解】（1）解：如图所示，过点N作于点S， 则， ∴， ∴ 即篮板HF到支撑立柱CM的水平距离约为． （2）过点作于点R，作于点T， 则，， ∴篮筐P离地面的竖直高度约是 即篮筐P离地面的竖直高度约是 【变式3】为了打造和美社区，增强民众生活幸福感，“善美”党群服务队为小区的超市安装了一个遮阳棚．如图在侧面横截示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为．作交于点F（点B、F、C在同一直线上，且点A、B、F、C、D在同一平面内）． (1)求和的长； (2)当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 【答案】(1)约为米，约为米 (2)米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：连接辅助线构造直角三角形． （1）在中，根据三角函数，求出和的长，即可求解； （2）过点A作，垂足为G，先求出米，根据等腰直角三角形的性质求出，证明四边形为矩形，得出米，最后即可求解． 【详解】（1）解：在中，米，， ∴（米） （米）， 答：约为米，约为米； （2）解：过点A作，垂足为G， 由题意得：，米， ∵米， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵， ∴四边形为矩形， ∴米， ∴（米）， 答：遮阳篷靠墙端离地高的长为米． 学科网（北京）股份有限公司 $$