专题03 全等三角形常见模型（六大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（山东专用）

专题03 全等三角形常见模型 倍长中线模型 1．（23-24 八年级上·山东滨州·期末）如图，是中边上的中线，若，则的取值范围为 ． 2．（23-24 八年级上·山东济南·期末）如图（1），在中，，． (1)若边的长度是奇数，求的长； (2)如图（2），为的中线． ①的周长为16，求的周长； ②求中线的取值范围． 3．（23-24 八年级上·山东济南·期末）如图，在中，在上，平分，且．求证：． 4．（23-24 八年级上·山东烟台·期末）如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：．    截长补短模型 5．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，， ，则的长为 ． 6．（23-24 八年级上·山东德州·期末）在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于 ． 7．（23-24 八年级上·山东泰安·期末）已知：在△ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F． (1)如图1，若AE、CD为△ABC的角平分线． ①求∠AFC的度数； ②若AD=5，CE=3，求AC的长 (2)如图2，若∠FAC=∠FCA=30°，求证：AD=CE 8．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 9．（23-24 八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．    (1)求的度数； (2)求证：． 一线三等角模型 10．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）如图，点A，B的坐标分别是和，分别以点A，B为圆心，以的长为半径作弧，两弧在第二象限交于点C，连接，．则点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 11．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）如图，在四边形中，，，点是上一点，连接、，若，，则的长为 ．      12．（23-24 八年级上·山东聊城·期末）如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算的长为 ．    手拉手模型 13．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于），与交于点，与交于点，与交于点，连接． 试说明： ①； ②填空 °； ③． 14．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）如图，为任意三角形，以边，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，并且相交于点． 求证： (1)； (2)． 15．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，已知，，，求证：． 16．（23-24 八年级上·山东德州·期末）如图：，，，，请问图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． 角平分线模型 17．（23-24 八年级上·山东济南·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当，时，的最小值等于 ．    18．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，平分，点D是的中点，且，连接，，则的度数为 ．用含的式子表示）    19．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E，连接，． (1)求证：； (2)若，，直接写出的长为______． 20．（23-24 八年级上·山东济南·期末）如图，在四边形中，于，，．求证：；．      半角模型 21．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（　　）    A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④ 22．（23-24 八年级上·山东临沂·期末）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为 ． 23．（23-24 八年级上·山东潍坊·期末）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，点M，N在边BC 上，且∠MAN=45°．若BM= 1，CN=3，求MN的长． 1．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）已知点C为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点F，将图1中的绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在、中的一条线段上），如图2，则与α的数量关系为（　　）    A． B． C． D． 2．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（    ）      A．， B．， C．， D．， 3．（23-24 八年级上·山东德州·期末）如图，在中，平分若则 ． 4．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ． 5．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是 ．    6．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，点D在边上，，点在线段上，，若的面积为，的面积为21，则的面积为 ． 7．（23-24 八年级上·山东威海·期末）【问题提出】如图1，等腰中，，平分．若，求证：；      【问题变式】如图2，等腰中，，平分．若，求证：． 【问题拓展】如图3，已知，，且，直接写出的度数是_________． 8．（23-24 八年级上·山东烟台·期末）如图1，在五边形中，，，连接，且，． (1)求证：； (2)如图2，若，为边上的中线，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，，，，则五边形的面积为______；点到直线的距离为______． 9．（23-24 八年级上·山东临沂·期末）如图，四边形中，°，为边上一点，连接，，为的中点，延长交的延长线于点，交于点，连接交于点．    (1)求证； (2)若，，求证：四边形为矩形． 10．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 11．（23-24 八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 全等三角形常见模型 倍长中线模型 1．（23-24 八年级上·山东滨州·期末）如图，是中边上的中线，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长到，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24 八年级上·山东济南·期末）如图（1），在中，，． (1)若边的长度是奇数，求的长； (2)如图（2），为的中线． ①的周长为16，求的周长； ②求中线的取值范围． 【答案】(1) (2)①的周长为11；② 【详解】（1）∵，， ∴， ∵的长度是是奇数， ∴； （2）①∵，， ∴， ∵是中线， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为11； ②延长线段到点E，使得，连接， 在和中 ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 即， ∴， 即中线的取值范围为． 3．（23-24 八年级上·山东济南·期末）如图，在中，在上，平分，且．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图所示，延长到E，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（23-24 八年级上·山东烟台·期末）如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：．    【答案】见解析 【详解】证明：延长到点G，使，连接，    ∵为中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 截长补短模型 5．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，， ，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接． ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（23-24 八年级上·山东德州·期末）在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于 ． 【答案】13 【详解】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴ ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于 故答案：． 7．（23-24 八年级上·山东泰安·期末）已知：在△ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F． (1)如图1，若AE、CD为△ABC的角平分线． ①求∠AFC的度数； ②若AD=5，CE=3，求AC的长 (2)如图2，若∠FAC=∠FCA=30°，求证：AD=CE 【答案】(1)①120；②8 (2)见解析 【详解】（1）①分别平分，                    又，故， ②在AC上截取AG=AD，连接FG， ,                 又 （2）在AE上截取FH=FD,连接 CH， ∵∠FAC=∠FCA=30° ∴FA=FC 在 ， ∴ ∴AD=CH，∠DAF=∠HCF ∴∠CEH=∠B+∠DAF=60°+∠DAF， ∠CHE= ∠HAC+∠HCA=60°+∠HCF ∴∠CEH=∠CHE ∴CH=CE ∴AD=CE. 【点睛】本题考查了角平分线定义，三角形内角和定理的应用，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 8．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：在上截取，连接．   ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴ ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 9．（23-24 八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．    (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）在四边形中，， 又∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴． 在中，． （2）． 如图，作的平分线交于．则．    在和中， ， ． ∴． 同理，． ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 一线三等角模型 10．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）如图，点A，B的坐标分别是和，分别以点A，B为圆心，以的长为半径作弧，两弧在第二象限交于点C，连接，．则点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，作，并作轴于点，    由题意，为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴点． 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等，理解等边三角形的性质，灵活构造全等三角形并证明是解题关键． 11．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）如图，在四边形中，，，点是上一点，连接、，若，，则的长为 ．      【答案】10 【详解】， 又， ， ，， ， ，， ，， ， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质等知识，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键． 12．（23-24 八年级上·山东聊城·期末）如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算的长为 ．    【答案】16 【详解】解：由图知，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， 又，， ∴，， ∴，，，， ∴， 故答案为：16． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解答的关键． 手拉手模型 13．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于），与交于点，与交于点，与交于点，连接． 试说明： ①； ②填空 °； ③． 【答案】①见详解；②120；③见详解 【详解】证明：①、为正三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， 故答案为：120； ③在和中， ， ， ． 14．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）如图，为任意三角形，以边，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，并且相交于点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明∵和均是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）∵ ∴ ∵是的外角 ∴ ∵，， ∴． 15．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 16．（23-24 八年级上·山东德州·期末）如图：，，，，请问图中有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． 【答案】，，见解析 【详解】解：结论：，． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ， ， ∴． ∴，． 角平分线模型 17．（23-24 八年级上·山东济南·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当，时，的最小值等于 ．    【答案】3 【详解】解：如图，在上取一点，使，连接， 过点作于，   是的平分线， ， ， ， ， ∴， ，， ， 解得， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 18．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，平分，点D是的中点，且，连接，，则的度数为 ．用含的式子表示）    【答案】 【详解】过作于，于，则    ∵平分， ∴， ∵点D是的中点，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，利用角平分线的性质作辅助线是解题的关键． 19．（23-24 八年级上·山东济宁·期末）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E，连接，． (1)求证：； (2)若，，直接写出的长为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：点在的垂直平分线上， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ∴， ； （2）解：在和中， ， ∴， ， ∵，，且， ， 即， 解得． 故答案为：． 20．（23-24 八年级上·山东济南·期末）如图，在四边形中，于，，．求证：；．      【答案】详见解析 【详解】如图，过点作与点，则， ，， ， ，， ，， ， ，， ∵， ， ．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键． 半角模型 21．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（　　）    A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【详解】解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB， ∴△ABF≌△ACD， ∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正确， ∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正确 无法判断BE＝CD，故①错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 22．（23-24 八年级上·山东临沂·期末）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为 ． 【答案】2 【详解】解：延长BA到点G，使AG＝CF，连接DG，EF， ∵AD＝CD，∠DAG＝∠DCF， ∴△ADG≌△CDF（SAS）， ∴∠CDF＝∠GDA，DG＝DF， ∵∠EDF＝45°， ∴∠EDG=∠ADE+∠ADG＝∠ADE+∠CDF＝45°， ∵DE＝DE， ∴△GDE≌△FDE（SAS）， ∴GE＝EF， ∵F是BC的中点， ∴AG=CF=BF=3， 设AE＝x，则BE＝6﹣x，EF＝x+3， 由勾股定理得，（6﹣x）2+32＝（x+3）2， 解得x＝2， ∴AE＝2， ∴DE＝， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握半角模型的处理策略是解题的关键． 23．（23-24 八年级上·山东潍坊·期末）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，点M，N在边BC 上，且∠MAN=45°．若BM= 1，CN=3，求MN的长． 【答案】 【详解】解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°． ∵CE⊥BC， ∴∠ACE＝∠B＝45°． 在△ABM和△ACE中， ∴△ABM≌△ACE（SAS）． ∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE． ∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°， ∴∠BAM＋∠CAN＝45°． 于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°． 在△MAN和△EAN中， ∴△MAN≌△EAN（SAS）． ∴MN＝EN． 在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2＋NC2． ∴MN2＝BM2＋NC2． ∵BM＝1，CN＝3， ∴MN2＝12＋32， ∴MN＝． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，掌握三角形的全等的判定定理是解题关键． 1．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）已知点C为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点F，将图1中的绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在、中的一条线段上），如图2，则与α的数量关系为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设与的交点为O，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，外角的性质，证明三角形全等是解题的关键． 2．（23-24 八年级上·山东淄博·期末）如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（    ）      A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：如图，在上截取，连接，   是等边三角形， ， 是的中点， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在与中， ， ． ， ， ， ， ，； 故选：A． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，本题的难点是作出辅助线，构成全等三角形． 3．（23-24 八年级上·山东德州·期末）如图，在中，平分若则 ． 【答案】1 【详解】解：如图，作于点F， ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键． 4．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 的取值范围是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了倍长中线，全等三角形的性质与判定，三角形三边关系，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 5．（23-24 八年级上·山东青岛·期末）如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是 ．    【答案】6 【详解】如图，在上取一点E，使，连接，   是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为， 又由垂线段最短得：当时，取得最小值， ， ， 解得， 即的最小值为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键． 6．（23-24 八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，点D在边上，，点在线段上，，若的面积为，的面积为21，则的面积为 ． 【答案】9 【详解】解：∵，，，， ∴，． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：9． 7．（23-24 八年级上·山东威海·期末）【问题提出】如图1，等腰中，，平分．若，求证：；      【问题变式】如图2，等腰中，，平分．若，求证：． 【问题拓展】如图3，已知，，且，直接写出的度数是_________． 【答案】问题提出：见解析；问题变式：见解析；问题拓展： 【详解】问题提出： 证明：如图，延长至，使， ，， ， 在和中， ， ， ，， 平分， ， ，， ， ， ， ； 问题变式： 证明：如图，以为边作等边三角形，在上截取，连接并延长交于， 为等边三角形， ，， ， 是的垂直平分线， ， ，， ， ， 平分， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，即； 问题拓展：如图，延长至使，连接， ，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 设，则，， ， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的定义、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 8．（23-24 八年级上·山东烟台·期末）如图1，在五边形中，，，连接，且，． (1)求证：； (2)如图2，若，为边上的中线，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，，，，则五边形的面积为______；点到直线的距离为______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)20； 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在 和 中， ∴， ∴ （2）延长 ， 交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在 和 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 在 和 中， ， ∴， ∴， ∵即：， ∴∠， ∴； （3）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴五边形 的面积=直角梯形的面积+的面积， ∴五边形 的面积， ∵，，， ∴五边形 的面积 由（2）得， ∴，即， ∴， 设点到直线的距离为， 又∵，即， ∴， 故答案为20；. 【点睛】本题主要考查三角形全等及性质，综合性大，灵活构造辅助线是解题的关键. 9．（23-24 八年级上·山东临沂·期末）如图，四边形中，°，为边上一点，连接，，为的中点，延长交的延长线于点，交于点，连接交于点．    (1)求证； (2)若，，求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴为斜边上的中线 ∴ （2）由（1）知，又，， ∴， ∴为等腰直角三角形． 又由（1）知， ∴，， 又和都是等腰直角三角形． ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵ ∴平行四边形为矩形， 【点睛】本题考查了全等三角形的判断和性质、直角三角形斜边中线定理、矩形的判断，掌握矩形的证明步骤-先证明是平行四边形，再证明有直角是解题关键． 10．（23-24 八年级上·山东枣庄·期末）在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，理由见解析 【详解】（1），理由如下： 在上取一点F，使，连接． ∵平分， ∴， 在和中 ∴． ∴ ，， ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴． ∴ ． ∵， ∴． （2），理由如下： 在上取，，连接，． 与（1）同理，可得，． ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴．    【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 11．（23-24 八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【答案】证明见解析 【详解】证明：， ， 、分别平分、， ，， ， ， ， 如图，在上截取，连接，    在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$