专题05 平面直角坐标系与几何综合8大压轴题型-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（浙教版）

专题05 平面直角坐标系与几何综合 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、平面直角坐标系上特殊三角形 3 类型二、求平面坐标系中图形面积 9 类型三、已知图形面积求点的坐标 20 类型四、平面直角坐标系上的动点问题 26 类型五、平面直角坐标系上图形的平移 37 类型六、平面直角坐标系上的“将军饮马”问题 49 类型七、平面直角坐标系上图形的轴对称 61 类型八、平面直角坐标系与全等三角形综合 68 压轴能力测评（10题） 78 （1）点到坐标轴、原点的距离 点到x轴的距离为； 点到y轴的距离为；点到原点的距离. （2）平行于x轴，y轴的直线上两点间的距离 水平线段，铅锤线段. （3）两点之间的距离公式：. （4）中点公式：. （5）平面直角坐标系上求图形面积常见模型 【模型1】一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形面积的计算 【模型2】三边都不平行于坐标轴或不在坐标轴上的三角形面积的计算（割补法） 展示1：针对直角三角形：若在平面直角坐标系中，通过点的坐标求出三角形的三边长，恰好构成直角三角形，则可以直接用面积公式进行计算； 展示2：补形法：如图，在不规则三角形ABC中，通过构造矩形EFGH，利用矩形面积与三个直角三角形面积差求值； 展示3：割形法： 类型一、平面直角坐标系上特殊三角形 例1．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形0A2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA2017A2018，则点A2017的坐标为 ． 变式1-1．如图所示，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，…其中点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…，按此规律排下去，则点的坐标为 ． 变式1-2．如图，等腰直角中，，，现将该三角形放置在平面直角坐标系中： (1)若点B坐标为，点C坐标为，求点A的坐标； (2)若点B坐标为，点C坐标为，连接，若P为坐标平面内异于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与全等，请求出满足条件的点P的坐标（用含m，n的式子表示）； (3)已知，，在x轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰三角形，直接写出点Q的坐标_____． 变式1-3．在平面直角坐标系xOy中，A（-1，0），B（1，0），C（0，1），点D为x轴正半轴上的一个动点，点E为第一象限内一点，且CE⊥CD，CE=CD． （1）试说明：∠EBC＝∠CAB ； （2）取DE的中点F，连接OF，试判断OF与AC的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，试探索O、D、F三点能否构成等腰三角形，若能，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；若不能，请说明理由． 类型二、求平面坐标系中图形面积 例2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，三角形OAB的边OA、OB分别在x轴正半轴上和y轴正半轴上，A（a，0），a是方程的解，且△OAB的面积为6． （1）求点A、B的坐标； （2）将线段OA沿轴向上平移后得到PQ，点O、A的对应点分别为点P和点Q（点P与点B不重合），设点P的纵坐标为t，△BPQ的面积为S，请用含t的式子表示S； （3）在（2）的条件下，设PQ交线段AB于点K，若PK=，求t的值及△BPQ的面积． 变式2-1．在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，且． (1)若，过点A作，且，请直接写出点C的坐标是 ； (2)如图1，若点D在的延长线上，连接，点E在第一象限，且满足，连接，求证：是等腰直角三角形； (3)如图2，点F在的延长线上，以为斜边向上构等腰直角三角形，连接，若，求的面积． 变式2-2．如图，在平面直角坐标系中，已知、分别在坐标轴的正半轴上． (1)如图1，若、满足以为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，，，则___________，___________，求点的坐标． (2)如图2，若，点是的延长线上一点（不与点重合），以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，，，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点，设、交于点，当时，求四边形的面积． 变式2-3．如图1，在平面直角坐标系中，，点在第二象限的角平分线上，的垂直平分线交于点． (1)直接写出 ； (2)如图2，设交轴于点，若，求点的坐标； (3)如图3，过作交轴于点，若，求的面积． 类型三、已知图形面积求点的坐标 例3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足，点为第三象限内一点. （1）若到坐标轴的距离相等，，且，求点坐标 （2）若为，请用含的式子表示的面积. （3）在（2）条件下，当时，在轴上有点，使得的面积是的面积的2倍，请求出点的坐标. 变式3-1．如图1，在平面直角坐标系中，，过C作轴于B． （1）三角形ABC的面积_____________； （2）如图2，过B作交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数； （3）点P在y轴上，使得三角形ABC和三角形ACP的面积相等，直接写出P点坐标．                  变式3-2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）．在第三象限内有一点M（﹣2，m）． (1)请用含m的式子表示△ABM的面积； (2)当m＝-时，在y轴上有一点P，使△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标． 变式3-3．如图，平面直角坐标系中，点A(0,3)、B(-2,0)、C(1,-1)，连接AB、BC、AC． (1)求△ABC面积； (2)点P为轴上一动点，当时，求点P的坐标． 类型四、平面直角坐标系上的动点问题 例4．如图在平面直角坐标系中，已知在x轴的负半轴上取点，在x轴的正半轴上取点，O为原点，． (1)求m的值． (2)动点P由点A出发沿向点C运动，同时点Q由点B出发，以与点P相同的速度沿射线方向运动，当点P至达点C时，两点运动同时停止，连接交x轴于点G，做轴于点E，求的长． (3)在（2）的条件下，以为底边，在x轴的上方做等腰直角三角形，即，若的面积等于8，求点M的坐标． 变式4-1．平面直角坐标系中，点，分别是轴和轴上的动点，，．    (1)如图1，若，，求点的坐标； (2)如图2，设交轴于点，若平分，，求点的纵坐标； (3)如图3，当点运动到原点时，的平分线交轴于点，为线段上一点，将沿翻折，的对应边的延长线交于点，为线段上一点，且．请你补全图形（不需要尺规作图）、并求的值．（用含的式子表示） 变式4-2．如图1，在平面直角坐标系中，A（m，0），B（n，0），C（﹣1，2），且满足式|m+2|+（m+n﹣2）2＝0． （1）求出m，n的值． （2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积等于△ABC的面积的一半，求出点M的坐标； ②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积等于△ABC的面积的一半仍然成立，若存在，请直接在所给的横线上写出符合条件的点M的坐标； （3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE，当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由． 变式4-3．已知在平面直角坐标系中，点分别是轴和轴上的动点，． (1)如图1，过点作轴 ，交轴于点， 交的延长线于点交轴于点， 若， 求的长； (2)如图2，当点运动到原点O时，的平分线交轴 于点， 点为线段上一点将沿翻折，的对应边的延长线交于点为线段上一点，且， 试判断线段之间的数量关系并证明你的结论； (3)如图3，若， 在坐标平面内是否存在一点（不与点重 合），使与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型五、平面直角坐标系上图形的平移 例5．如图，在平面直角坐标系中，点，点，将线段沿y轴向上平移4个单位，得到线段． (1)写出点C，D的坐标； (2)若点E在x轴上，求出点E坐标，使得； (3)线段沿轴向下平移得线段，轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在请直接写出点坐标，并写出求其中一个点坐标的过程；若不存在，请说明理由． 变式5-1．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，点坐标满足，连接，，． (1)四边形的面积为 ； (2)点是轴上一个动点，当三角形的面积为时，求点的坐标； (3)将线段平移至线段（点的对应点为，点的对应点为），且点在线段上，当三角形的面积为时，求点的坐标． 变式5-2．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点C在x轴负半轴上，且．将线段沿线段方向平移，点A的对应点为点E，点C的对应点为点F，线段分别交x轴，y轴于点D，G，点D坐标为． (1)点C坐标为__________； (2)若，求点F的坐标； (3)点M从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向上平移，同时，点N从点F出发，以每秒3个单位长度的速度向上平移，设点M，N运动的时间为t秒．若，求t的值． 变式5-3．如图，在平面直角坐标系中，， ． (1)求两点的坐标； (2)将平移到，点的对应点． ①若，求的值； ②若三点在同一直线上时，求点的坐标． 类型六、平面直角坐标系上的“将军饮马”问题 例6．在平面直角坐标系中，点在y轴上，点在轴正半轴上，已知点，以为直角边在左侧作等腰直角，，当点在x轴上运动时，连接，则的最小值为 ． 变式6-1．在平面直角坐标系中，等腰三角形的三个顶点，点在轴的负半轴上，，点在轴上． (1)直接写出点的坐标为______； (2)点关于直线的对称点在轴上，，在图中标出点的位置并说明理由； (3)在（2）的条件下，在轴上找到一点，使的值最小，则这个最小值为______． 变式6-2．如图1，在平面直角坐标系中，，．      (1)点关于轴的对称点在第一象限，为实数的范围内的最大整数，点的坐标______，的面积______． (2)在（1）的条件下，点是第一象限的点，且是以为腰的等腰直角三角形，点坐标______． (3)在（1）的条件下，如图2，时，以、的作等边三角形和等边，连接、交于点，连接．点是轴上一动点，的最小值______． 变式6-3．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”． 【问题描述】 如图，在直线上找一点使得最小？ 【问题解决】 作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当三点共线的时候，，此时为最小值（两点之间线段最短） 【应用模型】 （1）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，求使四边形周长最小的点的坐标？ （2）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在原点，点在坐标轴上，点的坐标为，为的中点，点为边上两个动点，且，要使四边形的周长最小，求点的坐标？ （3）如图，矩形中，，，点分别在矩形各边上，且，，求四边形周长的最小值？ 【拓展延伸】 如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，为函数的图象上的两个动点，则的最小值为____________． 类型七、平面直角坐标系上图形的轴对称 例7．在平面直角坐标系中，已知点对于点和正实数给出如下定义：若，点向右平移个单位，再关于轴对称，得到点；若，点向上平移个单位，再关于轴对称，得到点，称点为点的“-变换”点，点为点的“反-变换”点．例如，已知，，当时，点的“2-变换”点为，点的“2-变换”点为． (1)当时， ①已知点，则点的“3-变换”点为_______； ②点的“反3-变换”点坐标为_______，点的“反3-变换”点坐标为_______； (2)已知，记长方形上及内部所有点的“反-变换”点组成的图形面积为． ①当时，_______； ②当时，_______．（用含的式子表示） 变式7-1．平面直角坐标系中，过点作平行于x轴的直线l，若对于点P，先将其关于x轴对称得到点，再将点关于直线l对称得到点，若在x轴和直线l之间（可以在x轴或者直线l上），我们就称点P为近l对称点． (1)①在点，和中，近2对称点是________． ②该坐标系所在平面上一条平行于y轴的线段长为7个单位，若该线段上存在近2对称点，直接写出该线段中点纵坐标m的取值范围是________； (2)若存在底边为4的等腰直角三角形上每一点既是近t对称点又是近对称点，求t的取值范围． 变式7-2．“2024全球领导者大会”于10月在上海黄浦区举行．大会围绕能源与双碳、绿色金融、可持续发展、科技与公益等前沿议题，推动全球合作、发展与共赢．我们规定，在平面直角坐标系中，对于点作如下“可持续发展”变换：若，则作它关于x轴的对称点；若，则作它关于y轴的对称点．点作第一次“可持续发展”变换得到点，再将点作第二次“可持续发展”变换得到点．若与重合，我们称点为“可持续发展点”；若与不重合，我们称点为“合作共赢点”． (1)将点作如上“可持续发展”变换，则点的坐标为_______，点的坐标为________，由此，点为“_______点”（填“可持续发展”或“合作共赢”）； (2)若点为第三象限中的一点，求证：必为“合作共赢点”，且； (3)若点为第三象限中的一点，且，，若t为实数，，当时，求出t的值和的坐标． 变式7-3．在平面直角坐标系中，经过点且平行于x轴的直线记作直线．将点关于y轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于y轴和直线的“梅溪对称点”．例如：点关于y轴和直线的“梅溪对称点”为点． (1)点关于y轴和直线的“梅溪对称点”的坐标是_____； (2)点关于y轴和直线的“梅溪对称点”的坐标是，求m和n的值； (3)若点关于y轴和直线的“梅溪对称点”在第二象限，且满足条件的x的整数解有且只有一个，求m的取值范围． 类型八、平面直角坐标系与全等三角形综合 例8．在平面直角坐标系中，，，（a，b，c均为正数，），．    (1)判断的形状并证明； (2)如图1，作于点D交于点F，点E在上且，求证：； (3)如图2，点M在y轴的负半轴上，，过点O作于点N，过点N作于点H，交x轴于点K．探究：当点B在运动时，是否为定值．若是，求出其值；若不是，请说明理由． 变式8-1．如图1，点在轴正半轴上，点，均在轴正半轴上，把沿直线翻折，点恰好落在轴上的点处． (1)若，求点的坐标； (2)点为上一点，且，如图2，求的长； (3)如图3，过作于点，点为上一动点，点为上一动点，当点在上移动，点在上移动时，始终满足，试判断，，这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 变式8-2．在平面直角坐标系中，已知，，且满足，连接，    (1)直接写出，两点的坐标：________，________； (2)如图1，点为线段上一点，且点的横坐标为1，点为第四象限一点，满足且，求点的坐标； (3)如图2，为的角平分线，点为上一点，以为直角边作等腰，其中，且点在第四象限，，求证：． 变式8-3．(1)如图1，等腰直角中，，，线段经过点，过作于点，过作于，求证：． (2)如图2，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，若是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标； (3)如图3，在中，，，点不与点重合是轴上一个动点，点是中点，连接，把绕着点顺时针旋转得到即，，连接、、，试猜想的度数，并给出证明． 1．如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为，点P为斜边上的一个动点，点C为线段上的一个动点，则的最小值为（　　） A．3 B． C．2 D． 2．如图，直线与两坐标轴分别交于两点，，D、E分别是直线轴上的动点，则周长的最小值是（    ）． A． B． C． D． 3．已知，平面直角坐标系中，A(2,0)，B()，且满足 (1)求点B坐标； (2)P(0,)为轴上一点,求的取值范围； (3)若Q为直线AB上一点，连接OQ，且直接写出点Q的纵坐标的取值范围. 4．在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（0，4），BC平分∠ABO交x轴于点C（2，0）．点P是线段AB上一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作AB的垂线分别与x轴交于点D，与y轴交于点E，DF平分∠PDO交y轴于点F．设点D的横坐标为t． （1）如图1，当0＜t＜2时，求证：DF∥CB； （2）当t＜0时，在图2中补全图形，判断直线DF与CB的位置关系，并证明你的结论； （3）若点M的坐标为（4，-1），在点P运动的过程中，当△MCE的面积等于△BCO面积的倍时，直接写出此时点E的坐标． 5．平面直角坐标系中，点，分别是轴和轴上的动点，，． (1)如图，若，，求点的坐标； (2)如图，设交轴于点，若平分，，求点的纵坐标； (3)如图，当点运动到原点时，的平分线交轴于点，为线段上一点，将沿翻折，的对应边的延长线交于点，为线段上一点，且，求的值．（用含的式子表示） 6．如图，在平面直角坐标系中，，，满足．点是轴上的动点且在点左侧，连结，以为边作，使，，连结，交于点． (1)求点的坐标； (2)如图1，若，求点的坐标； (3)如图2，试问动点在运动过程中，几何量的数值是否发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由． 7．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，C为x轴正半轴上的一点，且， (1)求点C的坐标． (2)若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标． (3)坐标轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)请在图中作出关于轴对称的，并直接写出点A的对应点的坐标； (2)求出的面积； (3)在轴上有一点，使得的周长最小，在图中找出点的位置，并直接写出的周长最小值． 9．在平面直角坐标系中，已知点．对于点P给出如下定义：先将点P向右()或向左()平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点P的“R关联点” (1)如图1，点P坐标为 ①当点R坐标为时，则点P的“R关联点”的坐标为：________； ②若点为点P的“R关联点”，则R的坐标________； (2)如图2，点，点B与点A关于y轴对称点R在边上，点P坐标为 ①画出点P所有的“R关联点”； ②这些关联点组成的图形形状是：________； (3)如图3，点，，点R在正方形边上，点．若线段上存在点的“R关联点”，直接写出n的取值范围． 10．如图1，在平面直角坐标系中，，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段，动点在直线上． (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图1，点是线段上一点（不与点、重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，并说明理由； (3)如图2，点在轴上，且，连接，当的面积等于的面积时，请求出点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平面直角坐标系与几何综合 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、平面直角坐标系上特殊三角形 3 类型二、求平面坐标系中图形面积 9 类型三、已知图形面积求点的坐标 20 类型四、平面直角坐标系上的动点问题 26 类型五、平面直角坐标系上图形的平移 37 类型六、平面直角坐标系上的“将军饮马”问题 49 类型七、平面直角坐标系上图形的轴对称 61 类型八、平面直角坐标系与全等三角形综合 68 压轴能力测评（10题） 78 （1）点到坐标轴、原点的距离 点到x轴的距离为； 点到y轴的距离为；点到原点的距离. （2）平行于x轴，y轴的直线上两点间的距离 水平线段，铅锤线段. （3）两点之间的距离公式：. （4）中点公式：. （5）平面直角坐标系上求图形面积常见模型 【模型1】一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形面积的计算 【模型2】三边都不平行于坐标轴或不在坐标轴上的三角形面积的计算（割补法） 展示1：针对直角三角形：若在平面直角坐标系中，通过点的坐标求出三角形的三边长，恰好构成直角三角形，则可以直接用面积公式进行计算； 展示2：补形法：如图，在不规则三角形ABC中，通过构造矩形EFGH，利用矩形面积与三个直角三角形面积差求值； 展示3：割形法： 类型一、平面直角坐标系上特殊三角形 例1．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形0A2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA2017A2018，则点A2017的坐标为 ． 【答案】（0，21008）． 【详解】试题分析：∵等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…， ∴OA1=1，OA2=，OA3=（）2，…，OA2017=（）2016， ∵A1、A2、A3、…，每8个一循环，再回到y轴的正半轴， 2017÷8=252…1， ∴点A2017在第一象限， ∵OA2017=（）2016， ∴点A2017的坐标为（0，（）2016）即（0，21008）． 变式1-1．如图所示，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，…其中点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…，按此规律排下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律型问题，等边三角形的性质等知识点，观察所给图形，发现x轴上方的点A右下角序号是4的倍数，确定点在x轴上方，分别求出点的坐标为，点的坐标为，……，点的坐标为，即可求解．能够通过所给图形，找到点的坐标规律是解答本题的关键． 【详解】观察所给图形，发现x轴上方的点A右下角序号是4的倍数， ， 点在x轴上方， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 同理可知，点的坐标为， 点的坐标为， 故答案为：． 变式1-2．如图，等腰直角中，，，现将该三角形放置在平面直角坐标系中： (1)若点B坐标为，点C坐标为，求点A的坐标； (2)若点B坐标为，点C坐标为，连接，若P为坐标平面内异于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与全等，请求出满足条件的点P的坐标（用含m，n的式子表示）； (3)已知，，在x轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰三角形，直接写出点Q的坐标_____． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 (3)点的坐标为或或 【分析】（1）先根据证明，然后根据全等三角形的性质得出、的长即可得出点A的坐标； （2）结合（1）求解点A的坐标为，作关于轴的对称图形得到；作关于的轴对称图形得到；作关于轴的对称图形得到，根据对称图形的性质即可知道所作的图形全等，即可写出点的坐标； （3）当以点A为顶点时有一个点符合，当以点为顶点时分钝角三角形和锐角三角形即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作轴于， ∵点B坐标为，点C坐标为， ∴，． ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∴点A的坐标为； （2）解：如图，点B坐标为，点C坐标为， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴点A的坐标为； ①作关于轴的对称图形得到， ∴≌， ∴点的坐标为； ②∵点和点关于对称， ∴作关于轴的对称图形得到， ∴， ∴点的坐标为； ③作关于轴的对称图形得到， ∴≌， ∴≌， ∴点的坐标为， ∴综上所述点的坐标为或或； （3）解：如图， ①当以点A为顶点时，且是腰，，， ∵轴， ∴可以作点关于的对称点， ∴点的坐标为， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴是以为腰的等腰三角形； ②当以点为顶点时，且是腰，形成锐角三角形时， 即， ∴点的坐标为； ②当以点为顶点时，且是腰，形成钝角三角形时， 即， ∴点的坐标为， ∴综上所述点的坐标为或或． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，轴对称图形的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形，解题的关键是数形结合，进行分类讨论，不漏解． 变式1-3．在平面直角坐标系xOy中，A（-1，0），B（1，0），C（0，1），点D为x轴正半轴上的一个动点，点E为第一象限内一点，且CE⊥CD，CE=CD． （1）试说明：∠EBC＝∠CAB ； （2）取DE的中点F，连接OF，试判断OF与AC的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，试探索O、D、F三点能否构成等腰三角形，若能，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）OF∥AC；（3）D(1，0)或D（1+，0） 【分析】（1）易证△AOC，△BOC均为等腰直角三角形，且∠ACD=∠ECB，从而得到 △ACD≌△BCE，由全等三角形对应角相等即可得出结论； （2）作FL⊥OC ，FK⊥OB，易证∠CFL=∠KFD，CF=DF=DE，得到△CFL≌△DFK，由全等三角形对应边相等得到FL=FK，由角平分线判定定理得到OF平分∠COB，从而得到∠COF=∠BOF=45°，即可得到OF∥AC． （3）设D（x，0）(x＞0)．则OD=x，过E作EG⊥y轴于G，则△EGC≌△COD，得到E的坐标，由中点坐标公式得到F的坐标，由两点间距离公式得到OF，DF的长．然后分三种情况讨论：①OD=OF，②OD=FD，③OF=FD． 【详解】（1）∵A（-1，0），B（1，0），C（0，1），∴AO=CO=BO=1． ∵CO⊥AB，∴AC=BC，△AOC，△BOC均为等腰直角三角形，∴∠CBO=∠BCO=∠ACO=∠CAO =45°，∠ACB=90°，即∠ACD+∠BCD =90°． 又∵CE⊥CD，∴∠ECB+∠BCD =90°，∴∠ACD=∠ECB． 在△ACD与△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE，∴∠EBC＝∠CAB． （2）OF∥AC．理由如下： 作FL⊥OC ，FK⊥OB，如图，∵CO⊥BO，∴∠LFK =90°， ∵CE=CD，点F是DE的中点，∴CF⊥DE，∴∠CFL+∠LFD =90°． 又∵∠KFD+∠LFD =90°，∴∠CFL=∠KFD． ∵CE⊥CD，点F是DE的中点，∴CF=DF=DE． 在△CFL与△DFK中，∵，∴△CFL≌△DFK，∴FL=FK． 又∵FL⊥OC ，FK⊥OB，∴OF平分∠COB，∴∠COF=∠BOF=45°． 又∵∠CAO =45°，∠BOF=∠CAO，∴OF∥AC． （3）设D（x，0）(x＞0)．则OD=x，过E作EG⊥y轴于G． ∵CE⊥CD，∴∠ECD=90°，∴∠GCE+∠DCO=90°． ∵∠GCE+∠GEC=90°，∴∠GEC=∠OCD． ∵∠EGC=∠COD=90°，CE=CD，∴△EGC≌△COD，∴GE=OC=1，CG=OD=x，∴E（1，x+1）． ∵F为ED的中点，∴F(，)，∴OF==，DF==． △ODF为等腰三角形，分三种情况讨论： ①OD=OF，则x=，解得：x=，∴D(，0)； ②OD=FD，则x=，解得：x=±1（负数舍去），∴x=1，∴D(1，0)； ③OF=FD，则=，解得：x=0(舍去)，∴此种情况不成立． 综上所述：D(1，0)或D(，0)．     【点睛】本题是三角形综合题．考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，两点间距离公式、勾股定理、角平分线的判定定理等知识点，难度较大．解题的关键是证明OF平分∠COB和表示出三角形OPF的三边． 类型二、求平面坐标系中图形面积 例2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，三角形OAB的边OA、OB分别在x轴正半轴上和y轴正半轴上，A（a，0），a是方程的解，且△OAB的面积为6． （1）求点A、B的坐标； （2）将线段OA沿轴向上平移后得到PQ，点O、A的对应点分别为点P和点Q（点P与点B不重合），设点P的纵坐标为t，△BPQ的面积为S，请用含t的式子表示S； （3）在（2）的条件下，设PQ交线段AB于点K，若PK=，求t的值及△BPQ的面积． 【答案】（1）B（0，3）；（2）S=（3）4 【分析】（1）解方程求出a的值，利用三角形的面积公式构建方程求出b的值即可解决问题； （2）分两种情形分别求解：当点P在线段OB上时，当点P在线段OB的延长线上时； （3）过点K作KH⊥OA用H．根据S△BPK+S△AKH=S△AOB-S长方形OPKH，构建方程求出t，即可解决问题； 【详解】解：（1）∵， ∴2（a+2）-3（a-2）=6， ∴-a+4=0， ∴a=4， ∴A（4，0）， ∵S△OAB=6， ∴•4•OB=6， ∴OB=3， ∴B（0，3）． （2）当点P在线段OB上时，S=•PQ•PB=×4×（3-t）=-2t+6． 当点P在线段OB的延长线上时，S=•PQ•PB=×4×（t-3）=2t-6． 综上所述，S=． （3）过点K作KH⊥OA用H． ∵S△BPK+S△AKH=S△AOB-S长方形OPKH， ∴PK•BP+AH•KH=6-PK•OP， ∴××（3-t）+（4-）•t=6-•t， 解得t=1， ∴S△BPQ=-2t+6=4． 【点睛】本题考查三角形综合题，一元一次方程、三角形的面积、平移变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 变式2-1．在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，且． (1)若，过点A作，且，请直接写出点C的坐标是 ； (2)如图1，若点D在的延长线上，连接，点E在第一象限，且满足，连接，求证：是等腰直角三角形； (3)如图2，点F在的延长线上，以为斜边向上构等腰直角三角形，连接，若，求的面积． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3)13 【分析】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）分为点C在的右侧与点C在的左侧两种情况，构造全等三角形，求解即可； （2）先证明，再根据三角形全等的性质求解即可； （3）过点O作交的延长线于点T，连接．证明，再求得，再求解即可． 【详解】（1）解：若点C在的右侧，， 如图1，过点C作轴于H， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点； 若点C在的左侧，同理可得． 综上所述，点C的坐标为或． 故答案为：或； （2）证明：如图，与交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形； （3）解：如图3，过点O作交的延长线于点T，连接． ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴． 变式2-2．如图，在平面直角坐标系中，已知、分别在坐标轴的正半轴上． (1)如图1，若、满足以为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，，，则___________，___________，求点的坐标． (2)如图2，若，点是的延长线上一点（不与点重合），以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，，，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点，设、交于点，当时，求四边形的面积． 【答案】(1)2，4，的坐标为 (2)见详解 (3) 【分析】（1）过作轴于，由，可得，；证明，可得，，即可得的坐标为； （2）过作轴于，证明，可得，，知，即得，故，是等腰直角三角形，从而； （3）过作于，于，过作轴于，过作轴于，证明，可得，从而，有，根据，可知，故四边形的面积为． 【详解】（1）解：过作轴于，如图： ， ，， ，； 、， ，， ， ， ，， ∴ ，， ， 的坐标为； 故答案为：2，4；的坐标为； （2）证明：过作轴于，如图： ， ， ， ， ，， ∴， ，， ， ，即， ， 是等腰直角三角形， ； （3）解：过作于，于，过作轴于，过作轴于，如图： ， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 四边形的面积为． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及算术平方根的非负性，坐标与图形，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，三角形面积等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 变式2-3．如图1，在平面直角坐标系中，，点在第二象限的角平分线上，的垂直平分线交于点． (1)直接写出 ； (2)如图2，设交轴于点，若，求点的坐标； (3)如图3，过作交轴于点，若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角得到，设，则，根据题意可得，则，进而得到，则可求出，进而可得， （2）过点E作轴，分别过点A，点B作的垂线，垂足分别为H、G，过点B作轴于Q，设与y轴交于点P，证明，得到，根据，得到，，进而求出，则，，，证明，得到，则，即； （3）如图所示，过点E作轴于K，求出，则，由，得到，，则，进而得到，，即可证明，求出，则，证明，得到，，则可求出，，，即可得到． 【详解】（1）解：设与轴交于T， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴； 设，则， ∵点在第二象限的角平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，过点E作轴，分别过点A，点B作的垂线，垂足分别为H、G，过点B作轴于Q，设与y轴交于点P， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点E作轴于K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 类型三、已知图形面积求点的坐标 例3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足，点为第三象限内一点. （1）若到坐标轴的距离相等，，且，求点坐标 （2）若为，请用含的式子表示的面积. （3）在（2）条件下，当时，在轴上有点，使得的面积是的面积的2倍，请求出点的坐标. 【答案】（1）或；（2）；（3）或. 【分析】（1）利用M在第三象限且到坐标轴的距离相等，求出M点坐标，同时利用绝对值与算术平方根的非负性求出a、b，得到AB的长度，再利用，求出N点 （2）利用三角形的面积公式直接写出即可，注意m的取值范围 （3）同（2）利用面积公式写出两个三角形的面积，然后列出方程解方程 【详解】（1）由题意可知: ， 求得， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴或者， ∴或； （2）由题意可得： ， ∵在三象限， ∴， ∴； （3）当时，， 由题意可得： ， ， ， ， ∴或. 【点睛】本题主要考查坐标与图形性质，涉及到非负数的性质，三角形的面积等知识点，第二问和第三问要重点注意是有两种情况的. 变式3-1．如图1，在平面直角坐标系中，，过C作轴于B． （1）三角形ABC的面积_____________； （2）如图2，过B作交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数； （3）点P在y轴上，使得三角形ABC和三角形ACP的面积相等，直接写出P点坐标．                  【答案】（1）4；（2）45°；（3）P（0，-1）或（0，3） 【分析】（1）根据点的坐标，可以得到AB、BC的长度，然后计算面积； （2）过E作EF∥AC，根据平行线性质得BD∥AC∥EF，且∠3=∠CAB=∠1，∠4=∠ODB=∠2，所以∠AED=∠1+∠2=（∠CAB+∠ODB）；然后把∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=90°，代入计算即可． （3）分类讨论：设P（0，t），分P在y轴正半轴上时或在y轴负半轴时，过P作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴，利用S△APC=S梯形MNAC-S△ANP-S△CMP=4，可得到关于t的方程，再解方程求出t即可； 【详解】解：（1）∵， ∴B（2，0）， ∴AB=4，BC=2， ∴三角形ABC的面积 . 故答案为4. （2）解：如图，过E作 轴，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵AE，DE分别平分 ∴ ∴； （3）设P（0，t），过P作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴， ①当P在y轴正半轴上时，如图1， ∵ ∴ ×4×（t+t-2）- ×2t- ×2×（t-2）=4， 解得：t=3， ∴P点的坐标为：（0，3）； ②当P在y轴负半轴上时，如图2， ∵ ∴×4（-t+2-t）+×2t-×2（2-t）=4， 解得：t=-1， ∴P点的坐标为：（0，-1）； ∴综上所述，P点坐标为：（0，-1）或（0，3）． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：两直线平行，内错角相等．也考查了坐标与图形性质以及三角形面积公式，解题的关键是掌握平行线的性质，熟练的运用割补法求图形的面积. 变式3-2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）．在第三象限内有一点M（﹣2，m）． (1)请用含m的式子表示△ABM的面积； (2)当m＝-时，在y轴上有一点P，使△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】（1）－2m；（2）点P坐标是(0，﹣)或(0，). 【分析】(1)过M作CE⊥x轴于E，根据点M在第三象限可得ME=-m，根据A、B坐标可求出AB的长，利用三角形面积公式即可得答案；（2）先根据（1）计算S△ABM，再分两种情况：当点P在y轴正半轴上时、当点P在y轴负半轴上时，利用割补法表示出S△BMP，根据S△BMP=S△ABM列方程求解可得． 【详解】（1）如图1所示，过M作CE⊥x轴于E， ∵A（﹣1，0），B（3，0）， ∴OA＝1，OB＝3， ∴AB＝4， ∵在第三象限内有一点M（﹣2，m）， ∴ME＝|m|＝﹣m， ∴S△ABM＝AB×ME＝×4×（﹣m）＝﹣2m； （2）当m=-时，M（-2，-） ∴S△ABM=-2×（-）=3， 点P有两种情况： ①当点P在y轴正半轴上时，设点p（0，k） S△BMP=5×（+k）-×2×（+k）-×5×-×3×k=k+， ∵S△BMP=S△ABM， ∴k+=3， 解得：k=， ∴点P坐标为（0，）； ②当点P在y轴负半轴上时，设点p（0，n）， S△BMP=-5n-×2×（-n-）-×5×-×3×（-n）=-n-， ∵S△BMP=S△ABM， ∴-n-=3， 解得：n=﹣ ∴点P坐标为（0，﹣）， 故点P的坐标为（0，）或（0，﹣）． 【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，利用割补法表示出△BMP的面积，并根据题意建立方程是解题的关键． 变式3-3．如图，平面直角坐标系中，点A(0,3)、B(-2,0)、C(1,-1)，连接AB、BC、AC． (1)求△ABC面积； (2)点P为轴上一动点，当时，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）（-，0），（. 【分析】（1）连接OC分成三个三角形，分别计算出三个三角形的面积，再相加即可； （2）先根据面积公式求出BP的长，再求P点坐标； 【详解】解： （1）如图，连接OC， ∵点A(0,3)、B(-2,0)、C(1,-1)， ∴OA=3,OB=2, ∴S△ABC= S△ABO+ S△OBC+ S△AOC=32+31+21= （2）如图， 点P在x轴上，连接AP， ∵ ∴3= ∵BP= 又P可能在B的左侧或右侧 ∴P的坐标是（-，0），（ 【点睛】此题主要考查了三角形的面积公式，解（1）的关键是对三解形进行分割，使其有一条边在x轴或y轴上，便于把坐标转化成线段长度，从而求解.解（2）的要注意点P的位置有两种情况． 类型四、平面直角坐标系上的动点问题 例4．如图在平面直角坐标系中，已知在x轴的负半轴上取点，在x轴的正半轴上取点，O为原点，． (1)求m的值． (2)动点P由点A出发沿向点C运动，同时点Q由点B出发，以与点P相同的速度沿射线方向运动，当点P至达点C时，两点运动同时停止，连接交x轴于点G，做轴于点E，求的长． (3)在（2）的条件下，以为底边，在x轴的上方做等腰直角三角形，即，若的面积等于8，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先作，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，即，求得的值； （2）先作轴，判定，以及，得出，根据进行计算即可； （3）作轴于，连接，先判定，得出，再根据的面积等于8，得到，即，求得，得到，，得到，进而得出的坐标． 【详解】（1）解：如图1，作于，   ，，， ，， ， ，即， 解得； （2）解：如图1，作轴于， ， ， 点由点出发，以与点相同的速度沿射线方向运动， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 由（1）可得，， ，，，， ； （3）解：如图2，作轴于，连接，   ， ， 又，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， ， ∴轴， ， 的面积等于8， ，即， ， ∵轴，，轴， ， 又， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积计算公式以及坐标与图形等，解题时注意：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等．解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形． 变式4-1．平面直角坐标系中，点，分别是轴和轴上的动点，，．    (1)如图1，若，，求点的坐标； (2)如图2，设交轴于点，若平分，，求点的纵坐标； (3)如图3，当点运动到原点时，的平分线交轴于点，为线段上一点，将沿翻折，的对应边的延长线交于点，为线段上一点，且．请你补全图形（不需要尺规作图）、并求的值．（用含的式子表示） 【答案】(1)； (2)点的纵坐标为； (3) 【分析】（1）作轴于点H，证明，由全等三角形的性质得出，，求出，则可得出答案； （2）作轴于点E，并延长交的延长线于点F，证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出，则可得出答案； （3）连接，作于点，于点，证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出，由折叠的性质得出，证得，则可求出答案． 【详解】（1）解：如图中，    作轴于点H， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 则； （2）解：如图中，作轴于点，并延长交的延长线于点，   ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中，   ， ， ， 又， ， 点的纵坐标为4； （3）解：图形如图所示，连接，作于点，于点，    由折叠的性质知平分， ∵点M在的平分线上， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，   ， ， 由折叠可知：， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了折叠的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 变式4-2．如图1，在平面直角坐标系中，A（m，0），B（n，0），C（﹣1，2），且满足式|m+2|+（m+n﹣2）2＝0． （1）求出m，n的值． （2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积等于△ABC的面积的一半，求出点M的坐标； ②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积等于△ABC的面积的一半仍然成立，若存在，请直接在所给的横线上写出符合条件的点M的坐标； （3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE，当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由． 【答案】（1）m=﹣2，n=4；（2）①M的坐标为（3，0）；②点M的坐标为（3，0）或（﹣3，0）或（0，6）或（0，﹣6）；（3）2． 【分析】（1）根据非负数的性质列出方程组，解方程组即可； （2）①根据三角形的面积公式计算即可； ②分点M在x、y轴上两种情况计算； （3）根据角平分线的定义、垂直的定义得到∠POF=∠BOF，设∠POF=∠BOF=x，∠DOE=y，结合图形得到x=y，得到答案． 【详解】（1）由题意得：，解得：，∴m=﹣2，n=4； （2）①设点M的坐标的坐标为（x，0），△ABC的面积6×2=6，由题意得：x×26，解得：x=3，△COM的面积等于△ABC的面积的一半时，点M的坐标为（3，0）； ②当点M在x轴上时，由①得：点M的坐标为（3，0）或（﹣3，0），当点M在y轴上时，设点M的坐标的坐标为（0，y），由题意得：|y|×16，解得：y=±6． 综上所述：符合条件的点M的坐标为（3，0）或（﹣3，0）或（0，6）或（0，﹣6）； （3）2，不会改变． ∵OE平分∠AOP，∴∠EOP=∠AOE． ∵OF⊥OE，∴∠EOP+∠POF=90°，∠AOE+∠BOF=90°，∴∠POF=∠BOF，设∠POF=∠BOF=x，∠DOE=y． ∵CD⊥y轴，∴CD∥x轴，∴∠OPD=∠POB=2x，则∠POD=90°﹣2x． ∵∠EOF=90°，∴y+90°﹣2x+x=90°，解得：x=y，∴∠OPD=2∠DOE，即2． 【点睛】本题考查了非负数的性质、角平分线的定义、三角形的面积公式，掌握非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 变式4-3．已知在平面直角坐标系中，点分别是轴和轴上的动点，． (1)如图1，过点作轴 ，交轴于点， 交的延长线于点交轴于点， 若， 求的长； (2)如图2，当点运动到原点O时，的平分线交轴 于点， 点为线段上一点将沿翻折，的对应边的延长线交于点为线段上一点，且， 试判断线段之间的数量关系并证明你的结论； (3)如图3，若， 在坐标平面内是否存在一点（不与点重 合），使与全等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）连接，过点E作于点M，过点E作于点N，根据折叠的性质和角平分线的性质推出，通过证明，得出，通过证明，得出，即可得出，最后证明，得出，即可得证． （3）根据题意分3种情况讨论P点位置，利用全等三角形性质及判定即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵轴， ∴ ∴ ∴， 在中 ∴ ∴； （2） 证明：连接，过点E作于点M，过点E作于点N， 由折叠的性质可得：， ∵，，， ∴， ∵为的角平分线，，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ （3）解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∵与全等 ∴是等腰直角三角形， 如图所示， 过点作轴的平行线，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 如图所示， ∴， ∴， ∴平分， ∴且平分， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 如图所示，过点作轴的平行线，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴ ∴ ∴ ∴ 如图所示，， 过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， 在中， ，， ∴ ∴ ∴ ∴． 综上所述，点的坐标为：，，． 【点睛】本题主要考查了三角形综合，折叠的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，对应角相等；折叠前后对应角相等；角平分线上的点到两边距离相等． 类型五、平面直角坐标系上图形的平移 例5．如图，在平面直角坐标系中，点，点，将线段沿y轴向上平移4个单位，得到线段． (1)写出点C，D的坐标； (2)若点E在x轴上，求出点E坐标，使得； (3)线段沿轴向下平移得线段，轴上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在请直接写出点坐标，并写出求其中一个点坐标的过程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)x轴上存在点P，使得为等腰直角三角形，点坐标为：或或 【分析】（1）根据平移的性质作答即可； （2）设，，，由平移得，分三种情况，结合三角形面积公式列式求得，进而求出点坐标； （3）使为等腰直角三角形，分三种情况，设，①当时，②当时，，③当时，，根据平移和三角形全等的性质进行答题即可． 【详解】（1）解： ，，将线段沿轴向上平移4个单位， ，； （2）解：设， ，， ， 又， 由平移得， ①当时，延长交轴于点， 若点E在点F的右侧，如图，则： ，, ∴ ， ∴， 解得，（不合题意，舍去） 若点E在点F的左侧，如图，则： ， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， 则 ， 解得， ； ③当时，如图， 则 ∴， 综上，点E的坐标为； （3）解：轴上存在点，使得为等腰直角三角形， 使为等腰直角三角形，分三种情况，设， ①当时，连接，过点作轴，交延长线于点，如图， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ； ②当时，， ，， ， ， ，， ， 解得， ； ③当时，， 过点作轴，作轴，分别交于点和点，如图， 由题意知，， ，， ， ， ， ， ； 综上，存在，点坐标为或或． 【点睛】本题考查平移的性质，平移的坐标变换，三角形的面积，坐标与图形，三角形全等的判定与性质综合问题，解题的关键是对等腰直角三角形的分类讨论． 变式5-1．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，点坐标满足，连接，，． (1)四边形的面积为 ； (2)点是轴上一个动点，当三角形的面积为时，求点的坐标； (3)将线段平移至线段（点的对应点为，点的对应点为），且点在线段上，当三角形的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，平移的性质； （1）根据算术平方根与绝对值的非负性求得的值，得出，如图所示，作轴于点，根据，即可求解； （2）根据三角形的面积为时，得出，进而即可求解； （3）根据，建立方程，解方程，进而根据平移的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ 如图所示，作轴于点 ∴ ∵， ∴ ∴， 则 ； 故答案为：． （2）如图所示，作轴于点 ∵，即 解得： 若点在点的左侧，此时点的坐标为 若点在点的右侧，此时点的坐标为 综上点的坐标为或 （3）∵ 依题意， 即 解得： 即， ∴点先左移个单位，再下移3个单位得到， ∴点经过同样的平移得到点， 故点点的坐标为． 变式5-2．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点C在x轴负半轴上，且．将线段沿线段方向平移，点A的对应点为点E，点C的对应点为点F，线段分别交x轴，y轴于点D，G，点D坐标为． (1)点C坐标为__________； (2)若，求点F的坐标； (3)点M从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向上平移，同时，点N从点F出发，以每秒3个单位长度的速度向上平移，设点M，N运动的时间为t秒．若，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由，结合可得答案； （2）由，可得：，求解的中点坐标为，结合线段沿线段方向平移，点A的对应点为点E，点C的对应点为点F，可得，可得平移方式为：把向右平移4个单位，再向下平移3个单位；再进一步可得答案； （3）如图，设射线交直线于，设直线与轴交于，过作轴于，由，可得，即，可得，求解，再建立方程求解即可； 【详解】（1）解：∵点，且， ∴； （2）解：∵点，点，， ∴， ∵点D坐标为，点， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵点，点， ∴的中点坐标为， ∵线段沿线段方向平移，点A的对应点为点E，点C的对应点为点F， ∴， ∴平移方式为：把向右平移4个单位，再向下平移3个单位； ∵， ∴； （3）解：如图，设射线交直线于，设直线与轴交于，过作轴于， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， 而， ∴， ∵， ∴， 解得：或； 【点睛】本题考查的是坐标与图形，中点坐标公式的应用，平移的性质，熟练的利用方程思想求解是解本题的关键. 变式5-3．如图，在平面直角坐标系中，， ． (1)求两点的坐标； (2)将平移到，点的对应点． ①若，求的值； ②若三点在同一直线上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）根据绝对值，平方数的非负性即可求解； （2）①根据图形平移的性质，点对应点，可得向下平移个单位，可得点在直线上，分类讨论的情况，当时；当时；当点共线时；当在直线右边时；根据，图形结合分析面积的关系即可求解； ②根据平移的性质，点共线可确定的位置，在确定点，图形结合分析面积，即可求解． 【详解】（1）解：已知， ∵， ∴， 解得，，， ∴； （2）解：①点，平移后对应点，可得向下平移个单位， 当时，即点在的位置，点，如图所示， ∴，不符合题意，舍去； 当时，即点在的位置，如图所示，过点分别作轴的平行线，分别交于点，得矩形， ∴，，，，，， ∴， ， 解得，，符合题意； 当时，即点在的位置，如图所示，过点作轴于点， ∴， ∴， ， 解得，，不符合题意； 如图所示，点在的位置，即共线时，不符合题意； 当在直线右边时，即点在的位置，点在右边，如图所示，过点作轴于点，则， ∴， ， 解得，； 综上所述，当的值为或； ②∵点平移后对应点，即点在的直线上，且点三点共线，作图如下，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴点向右平移个单位，向下平移个单位，且， ∴， ∴，， ∴ 解得，， ∴． 【点睛】本题主要考查绝对值、平方数的非负性，坐标于图形的变换，图形平移的性质，几何图形面积与坐标的位置关系的综合，理解题意，掌握坐标的性质，坐标与图形面积的计算方法是解题的关键，尤其注意点在直线的直线上是解题的突破口． 类型六、平面直角坐标系上的“将军饮马”问题 例6．在平面直角坐标系中，点在y轴上，点在轴正半轴上，已知点，以为直角边在左侧作等腰直角，，当点在x轴上运动时，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】证明得，点在直线上运动，作点关于直线的对称点，所以，则的最小值为的长． 【详解】解：∵， ∴， 过点作轴的平行线，分别过点、作轴的平行线，交于、，交轴于点，如图， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， 又∵， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 点在直线上运动，作点关于直线的对称点，如图， ∴， ∴， ∴， 当，，三点在一条直线上时，的值最小，最小值为的长， 此时， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识点．通过作辅助线构造全等三角形找到点的运动路径是解题的关键． 变式6-1．在平面直角坐标系中，等腰三角形的三个顶点，点在轴的负半轴上，，点在轴上． (1)直接写出点的坐标为______； (2)点关于直线的对称点在轴上，，在图中标出点的位置并说明理由； (3)在（2）的条件下，在轴上找到一点，使的值最小，则这个最小值为______． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形性质，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质，勾股定理，轴对称—最短路径问题，正确画出图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）先含的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，再分三种情况讨论，可在y轴上符合条件的有两点和，求出即可； （2）根据，得出点和O重合，利用等面积法求出，即可得出，然后利用含直角三角形的性质和勾股定理求出和即可； （3）作出B关于y轴的对称点，连接交y轴于M，则M为所求，为的最小值，求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：符合条件的有两点，以A为圆心，以为半径画弧，交y轴于点、， ∵， ∴， ∵在中，， ∴，， ∴如图，①当时， ∴，， ∴C的坐标是或； ②当时， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 此时点C与重合； ③当时， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 此时点C与重合， 综上，C的坐标是或， 故答案为：或； （2）解：P的坐标是； 理由：过P作轴于Q， ∵点P关于直线的对称点为， ∴， ∵，， ∴ ∴点和O重合，如图，过点P作于E， ∵P和关于直线对称， ∴，， 由三角形面积公式得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴P的坐标是； （3）解：如图，作点关于轴的对称点，则， 连接，与轴交于一点，则该交点即为点， 连接，则， ∴， ∴最小值为的长， ∴由两点间距离公式可得，， ∴的最小值为． 故答案为：． 变式6-2．如图1，在平面直角坐标系中，，．      (1)点关于轴的对称点在第一象限，为实数的范围内的最大整数，点的坐标______，的面积______． (2)在（1）的条件下，点是第一象限的点，且是以为腰的等腰直角三角形，点坐标______． (3)在（1）的条件下，如图2，时，以、的作等边三角形和等边，连接、交于点，连接．点是轴上一动点，的最小值______． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据第四象限内点的坐标特征，得出不等式组，然后解不等式组，进而求出点A的坐标，最后用三角形面积公式即可得出求解； （2）分①，，②，两种情况讨论即可； （3）先判断，则可求点C的坐标，然后作C关于的对称点，过作于H，连接交y轴于M，连接，则，此时最小，最后在利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵点关于轴的对称点在第一象限， ∴点在第四象限， ∴， 解得， ∴最大整数，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：是以为腰的等腰直角三角形， 则①，或②，， ①，，如图，过点P作于Q，    则， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∴点P的坐标为； ②，，如图，过P作于H    同理：， ∴，， ∴， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； （3）解：∵，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 又， ∴，即， ∴， 作C关于的对称点，过作于H，连接交y轴于M，连接， 则，此时最小，    ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 变式6-3．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”． 【问题描述】 如图，在直线上找一点使得最小？ 【问题解决】 作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当三点共线的时候，，此时为最小值（两点之间线段最短） 【应用模型】 （1）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，求使四边形周长最小的点的坐标？ （2）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在原点，点在坐标轴上，点的坐标为，为的中点，点为边上两个动点，且，要使四边形的周长最小，求点的坐标？ （3）如图，矩形中，，，点分别在矩形各边上，且，，求四边形周长的最小值？ 【拓展延伸】 如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，为函数的图象上的两个动点，则的最小值为____________． 【答案】（） ；（） ；（） ；【拓展延伸】:． 【分析】（）作关于直线的对称点，连接交于，则此时四边形周长最小，，求出直线的解析式为，联立求解即可； （）点向右平移个单位到，点关于的对称点, 连接, 交于，此时最小，要使四边形的周长最小，只要最小即可，即，过作于，设，则，利用相似三角形的判定与性质即可求解； （）作点关于的对称点, 连接交于点，此时四边形周长取最小值，过点作于点，由勾股定理和两点之间线段最短即可求解； 【拓展延伸】：直线轴关于直线对称，直线、直线关于轴对称, 点是点关于直线的对称点，作垂足为，交轴于点交直线于，作直线垂足为，由勾股定理即可求解． 【详解】（）∵在中，，， ∴，， ∵，点为的中点， ∴，， ∴，， 作关于直线的对称点，连接交于，则此时四边形周长最小，， ∵直线经过点， ∴直线的解析式为, 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为； 联立，解得， ∴； （）解：点向右平移个单位到，点关于的对称点, 连接, 交于，此时最小， ∴，，， ∴要使四边形的周长最小，只要最小即可，即，过作于， 设，则， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得：， ∴， 故点的坐标为：， 故答案为：； （）作点关于的对称点, 连接交于点，此时四边形周长取最小值，过点作于点，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的周长为； 【拓展延伸】：如图所示， 直线轴关于直线对称，直线、直线关于轴对称, 点是点关于直线的对称点，作垂足为，交轴于点交直线于，作直线垂足为， ∵，， ∴最小（垂线段最短）， ∵正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称——最短问题，垂线段最短，两点之间线段最短，直角三角形度角的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，一次函数的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 类型七、平面直角坐标系上图形的轴对称 例7．在平面直角坐标系中，已知点对于点和正实数给出如下定义：若，点向右平移个单位，再关于轴对称，得到点；若，点向上平移个单位，再关于轴对称，得到点，称点为点的“-变换”点，点为点的“反-变换”点．例如，已知，，当时，点的“2-变换”点为，点的“2-变换”点为． (1)当时， ①已知点，则点的“3-变换”点为_______； ②点的“反3-变换”点坐标为_______，点的“反3-变换”点坐标为_______； (2)已知，记长方形上及内部所有点的“反-变换”点组成的图形面积为． ①当时，_______； ②当时，_______．（用含的式子表示） 【答案】(1)①；②或，． (2)①；②． 【分析】（1）根据题中的变换定义，可得与的大小关系，确定点是先平移再关于轴或轴对称得到变换点． （2）根据与的大小关系，确定点是先平移再关于轴或轴对称得到变换点，然后再根据点的坐标计算长方形的长和宽的长度，再计算长方形的面积即可． 【详解】（1）解：当时， ①已知点，因为， 所以点向上平移3个单位得到， 再关于轴对称得到的坐标为， 则点P的“3-变换”点为． ②点的“反3-变换”： 第一种情况：设，若， 则先关于轴对称得到， 再向左平移3个单位得到的坐标为， 此时符合题意，的坐标为． 第二种情况：设，若， 则先关于轴对称得到， 再向下平移3个单位得到的坐标为， 此时符合题意，的坐标为， 综上可得，的坐标为或． 点的“反3-变换” ： 第一种情况：设，若， 所以先关于轴对称得到， 再向左平移3个单位得到的坐标为， 此时不符合题意． 第二种情况：设，若， 则先关于轴对称得到， 再向下平移3个单位得到的坐标为， 此时符合题意， 的坐标为， 综上可得，的坐标为． （2）①当时， 对于，，向上平移4个单位得到， 再关于轴对称得到的坐标为； 对于，，向上平移4个单位得到， 再关于轴对称得到的坐标为； 对于，，向右平移4个单位得到， 再关于轴对称得到的坐标为； 所以新图形的长为，宽为， 所以． ②当时， 设长方形的长为，宽为， 对于，若，向上平移个单位得到， 再关于轴对称得到的坐标为； 对于，若，向上平移个单位得到， 再关于轴对称得到的坐标为； 对于，若，向右平移个单位得到， 再关于轴对称得到的坐标为； 所以新图形的长为，宽为， 所以． 【点睛】此题考查了平面直角坐标系点的平移和点关于坐标轴对称的变化规律、绝对值的比较、长方形面积的计算、新定义，注意题中坐标点的变换时符号的变化是解题的关键，利用坐标点求长和宽，再计算长方形的面积即可解答． 变式7-1．平面直角坐标系中，过点作平行于x轴的直线l，若对于点P，先将其关于x轴对称得到点，再将点关于直线l对称得到点，若在x轴和直线l之间（可以在x轴或者直线l上），我们就称点P为近l对称点． (1)①在点，和中，近2对称点是________． ②该坐标系所在平面上一条平行于y轴的线段长为7个单位，若该线段上存在近2对称点，直接写出该线段中点纵坐标m的取值范围是________； (2)若存在底边为4的等腰直角三角形上每一点既是近t对称点又是近对称点，求t的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2)或 【分析】（1）根据定义，分别求得三个点，先将其关于y轴对称，再关于直线对称得到点的坐标，看是否在与x轴之间，即可求解； （2）根据定义，先将关于x轴对称得到点，再将点关于直线对称得到点，点在直线与x轴之间，列出不等式组，解不等式组。再将关于x轴对称得到点，再将点关于直线对称得到点，点在直线与x轴之间，列出不等式组，解不等式组。综合起来即可得到m的取值范围。 （3）根据题意，底边为4的等腰直角三角形上每一点既是近t对称点又是近对称点，则长为4的线段在直线和与之间，或长为的线段在直线和与之间据此列出不等式即可求解． 【详解】（1）①过点作直线， 将点关于x轴对称得到， 再将关于直线对称得到， 点不在直线和x轴之间， ∴不是近2对称点， 将点关于x轴对称得到， 再将关于直线对称得到， ∵点在直线上， ∴点是近2对称点， 将点关于x轴对称得到， 再将关于直线对称得到， 点在直线和x轴之间， ∴是近2对称点； 故答案为：， ②根据题意，该坐标系所在平面上一条平行于y轴的线段长为7个单位，且该线段上存在近2对称点， ∴点或是近2对称点， 将点关于x轴对称得到， 再将关于直线对称得到， ∵点在直线和x轴之间， ∴， ∴， 将点关于x轴对称得到， 再将关于直线对称得到， ∵点在直线和x轴之间， ∴， ∴， ∴m的取值范围是或； 故答案为：或； （2）解：底边为4的等腰直角三角形腰长为， 设底边为4的等腰直角三角形，底边上的中点纵坐标为n， ∵底边为4的等腰直角三角形上每一点既是近t对称点又是近对称点， ∴①当底边平行于y轴时，长为4的线段上每一点既是近t对称点又是近对称点，所以长为4的线段夹在直线和之间， ∴， 解得或． ②当一条腰平行于y轴时，长为2的线段上的每一点既是近t对称点又是近对称点， 同理可得，长为的线段夹在直线和之间， ∴， 解得或． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，不等式的应用，轴对称的性质，中点坐标公式，理解新定义是解题的关键． 变式7-2．“2024全球领导者大会”于10月在上海黄浦区举行．大会围绕能源与双碳、绿色金融、可持续发展、科技与公益等前沿议题，推动全球合作、发展与共赢．我们规定，在平面直角坐标系中，对于点作如下“可持续发展”变换：若，则作它关于x轴的对称点；若，则作它关于y轴的对称点．点作第一次“可持续发展”变换得到点，再将点作第二次“可持续发展”变换得到点．若与重合，我们称点为“可持续发展点”；若与不重合，我们称点为“合作共赢点”． (1)将点作如上“可持续发展”变换，则点的坐标为_______，点的坐标为________，由此，点为“_______点”（填“可持续发展”或“合作共赢”）； (2)若点为第三象限中的一点，求证：必为“合作共赢点”，且； (3)若点为第三象限中的一点，且，，若t为实数，，当时，求出t的值和的坐标． 【答案】(1)；；可持续发展 (2)证明见解析 (3)； 【分析】本题考查了坐标与图形变化，新定义问题和三角形的面积，深入理解“可持续发展”变换是解决问题的关键， （1）根据“可持续发展”变换的定义及“可持续发展点”的定义进行求解即可； （2）分为①当时，②当时，两种情况结合新定义求解即可； （3）先根据新定义求得，即的坐标为，再由，求得，即可求解． 【详解】（1）解：中，， 点作第一次“可持续发展”变换，即关于x轴的对称点， 中，， 点作第二次“可持续发展”变换，即关于x轴的对称点， 与重合， 为“可持续发展点”， 故答案为：；；可持续发展； （2）解：①当时，作点关于x轴的对称点， ∵， ∴， ∴作点关于y轴的对称点， ∴，且， ∴； ②当时，作点关于y轴的对称点； ∵， ∴， ∴作点关于x轴的对称点 ∴且， ∴， 综上所述，与不重合， ∴必为“合作共赢点”，且； （3）解：∵， ∴作点关于x轴的对称点， ∴， ∴， 又由（2）可知，， ∴， 求得， 即的坐标为， ∵， ∴， ∴． ∴，的坐标为． 变式7-3．在平面直角坐标系中，经过点且平行于x轴的直线记作直线．将点关于y轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于y轴和直线的“梅溪对称点”．例如：点关于y轴和直线的“梅溪对称点”为点． (1)点关于y轴和直线的“梅溪对称点”的坐标是_____； (2)点关于y轴和直线的“梅溪对称点”的坐标是，求m和n的值； (3)若点关于y轴和直线的“梅溪对称点”在第二象限，且满足条件的x的整数解有且只有一个，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为2，的值为3； (3) 【分析】（1）依照新定义计算即可； （2）依照新定义计算出，根据题意列出关于m和n的方程组，解方程组即可； （3）依照新定义计算出，根据在第二象限求出x的取值范围，再由满足条件的的整数解有且只有一个，列不等式组得出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：如图， ∴点关于轴和直线的“梅溪对称点”的坐标是； 故答案为：； （2）解：点关于y轴的点为，再关于直线对称的点为， ∴点关于y轴和直线的“梅溪对称点”的坐标是， 的坐标是， 解得，， ∴的值为2，的值为3； （3）解：∵点关于y轴和直线的“梅溪对称点”的坐标是， 在第二象限， ，解得， 且满足条件的的整数解有且只有一个， ， 解得：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形变化，方程组与不等式组的应用，解题的关键是对新定义“梅溪对称点”的理解． 类型八、平面直角坐标系与全等三角形综合 例8．在平面直角坐标系中，，，（a，b，c均为正数，），．    (1)判断的形状并证明； (2)如图1，作于点D交于点F，点E在上且，求证：； (3)如图2，点M在y轴的负半轴上，，过点O作于点N，过点N作于点H，交x轴于点K．探究：当点B在运动时，是否为定值．若是，求出其值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)是等腰直角三角形，证明见解析 (2)见解析 (3)是定值，为 【分析】（1）由非负数的性质得到，则，进而可得， 再由，即可证明是等腰直角三角形； （2）如图所示，过点F作分别交于H、G，证明是等腰直角三角形，得到，再证明，得到，则，即可得到点E与点G重合，进而证明； （3）如图所示，延长交于Q，连接并延长交于G，证明是等腰直角三角形，进而得到垂直平分，则，证明，得到，设，则，进而得到；如图所示，在上截取，连接，则，设，则，则，由三角形外角的性质得到，则，即，再证明，得到，则，故是定值，为． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形； （2）证明：如图所示，过点F作分别交于H、G， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵点E在上， ∴点E与点G重合， ∴；    （3）解：如图所示，延长交于Q，连接并延长交于G， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； 如图所示，在上截取，连接，则， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ． ∴是定值，为．    【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，坐标与图形，非负数的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 变式8-1．如图1，点在轴正半轴上，点，均在轴正半轴上，把沿直线翻折，点恰好落在轴上的点处． (1)若，求点的坐标； (2)点为上一点，且，如图2，求的长； (3)如图3，过作于点，点为上一动点，点为上一动点，当点在上移动，点在上移动时，始终满足，试判断，，这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】(1) (2)16 (3)，证明见解析 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定理，轴对称的性质，构造出全等三角形是解本题的关键． （1）根据轴对称的性质，得，可得，求出，即可得出结论； （2）过点作于，根据角平分线得出，进而判断出，得出，进而判断出，得出，再判断出，即可得出结论； （3）在的延长线上取一点，使，再判断出，进而判断出，得出，，进而判断出，进而判断出，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：由轴对称的性质，得， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，过点作于， ， ，， 在和中， ， ， 又， ， ，， ， ， 又， ， ， ； （3）解：； 证明：如图3，在的延长线上取一点，使， 平分，，， ， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 变式8-2．在平面直角坐标系中，已知，，且满足，连接，    (1)直接写出，两点的坐标：________，________； (2)如图1，点为线段上一点，且点的横坐标为1，点为第四象限一点，满足且，求点的坐标； (3)如图2，为的角平分线，点为上一点，以为直角边作等腰，其中，且点在第四象限，，求证：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）非负性求出的值，即可； （2）过点作于点，过点作轴于点，易得是等腰直角三角形，得到，进而得到，证明，得到，，即可得出结果； （3）在上截取一点，使得，连接、，过点作于点，过点作于点，证明，推出是等腰直角三角形，进而推出是等腰直角三角形，证明，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴，； （2）过点作于点，过点作轴于点 由（1）知，，， ∴， ∴， ∵的横坐标为1， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴   ∴ ∵， ∴ ∴ 在和中    ∴ ∴， ∴； （3）在上截取一点，使得，连接、，过点作于点，过点作于点， 在和中    ∴ ∴， ∴， 即是等腰直角三角形， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴  ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，非负性，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 变式8-3．(1)如图1，等腰直角中，，，线段经过点，过作于点，过作于，求证：． (2)如图2，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，若是以为腰的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标； (3)如图3，在中，，，点不与点重合是轴上一个动点，点是中点，连接，把绕着点顺时针旋转得到即，，连接、、，试猜想的度数，并给出证明． 【答案】（1）见解析；（2）点的坐标为或或或；（3），证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，等腰直角三角形的性质与判定： （1）利用证明，得到即可得到结论； （2）如图所示，过点B作轴，过点A作于M，过点C作于N，先求出，同理可证明，得到，则，同理，根据正方形的性质，得出另外两个符合题意的点坐标，即可求解． （3）分两种情形：当点运动到点A右侧时，如图②中，延长至，使，连接，，．利用全等三角形的性质求解．当点运动到点左侧时，同理可证，． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ， ， ， ； （2）解：如图所示，过点作轴，过点作于，过点作于， 点，点， ，， 同（1）可得， ，， ； 同理，， 为的中点， ； 由题意得：四边形与四边形是正方形， 正方形对角的交点坐标为，与正方形对角的交点坐标为， ，． 综上，点的坐标为或或或； （3）解：猜想，证明如下： ①当点运动到点右侧时， 如图中，延长至，使，连接，，． 在和中， ， ， ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ，，， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，； ②当点运动到点左侧时， 同理可证，， 综上所述，． 1．如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为，点P为斜边上的一个动点，点C为线段上的一个动点，则的最小值为（　　） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的轴对称、垂直平分线的性质、两点间线段最短等知识，作出点A关于直线的对称点，将线段进行转化，从而可得出答案，作出对称是解题的关键． 【详解】解：作点A关于直线的对称点，轴交于，连接，则 即的值最小，最小值为线段的长． 的坐标为 ， 由对称可知， ，， 即的值最小值为3． 故选：． 2．如图，直线与两坐标轴分别交于两点，，D、E分别是直线轴上的动点，则周长的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF、EG，根据轴对称的性质得到周长的最小值就是FG的长，求出点F和点G坐标算出FG的长． 【详解】解：如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF、EG， ∵直线与两坐标轴分别交于A、B两点， ∴，， ∵， ∴， ∵AO=BO， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵C、G关于OA对称， ∴， 由对称的性质，DF=DC，EC=EG， ∴，此时周长最小， 在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，解题的关键是利用对称性找到周长最小时点D和点E的位置，再结合平面直角坐标系中点坐标对称的关系进行求解． 3．已知，平面直角坐标系中，A(2,0)，B()，且满足 (1)求点B坐标； (2)P(0,)为轴上一点,求的取值范围； (3)若Q为直线AB上一点，连接OQ，且直接写出点Q的纵坐标的取值范围. 【答案】（1）B（-2，4）；（2）m≥6或m≤-2；（3）≤y≤3或6≤y≤8. 【分析】（1）根据非负数的性质列出方程组，解方程组求出a、b，得到点B的坐标； （2）先利用待定系数法求得直线AB的解析式为y=-x+2，进而得出直线AB交y轴于（0，2），根据三角形的面积公式求出根据S△ABP不小于8时，×|y-2|×（2+2）≥8，得到点P的纵坐标m的取值范围； （3）分两种情况，当点Q在线段AB上时，可得2（4-y）≤y≤3（4-y）计算可得；当点Q在线段AB的延长线上时，可得2（y-4）≤y≤3（y-4）计算即可． 【详解】解：（1）∵ ∴2a+b=0，3a+2b-2=0， 解得a=-2，b=4， ∴B（-2，4）； （2）设直线AB的解析式为y=kx+b， 把A（2，0），B（-2，4）代入，可得 ，解得， ∴直线AB的解析式为y=-x+2， 令x=0，则y=2，即直线AB交y轴于（0，2）， =4， 根据得，8， 即×|m-2|×（2+2）≥8， 解得m≥6或m≤-2； （3）≤y≤3或6≤y≤8. 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，三角形外角性质以及待定系数法求一次函数解析式的运用，解题时注意：非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题． 4．在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（0，4），BC平分∠ABO交x轴于点C（2，0）．点P是线段AB上一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作AB的垂线分别与x轴交于点D，与y轴交于点E，DF平分∠PDO交y轴于点F．设点D的横坐标为t． （1）如图1，当0＜t＜2时，求证：DF∥CB； （2）当t＜0时，在图2中补全图形，判断直线DF与CB的位置关系，并证明你的结论； （3）若点M的坐标为（4，-1），在点P运动的过程中，当△MCE的面积等于△BCO面积的倍时，直接写出此时点E的坐标． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析. 【分析】（1）求出∠PBO+∠PDO=180°，根据角平分线定义得出∠CBO=∠PBO，∠ODF=∠PDO，求出∠CBO+∠ODF=90°，求出∠CBO=∠DFO，根据平行线的性质得出即可； （2）求出∠ABO=∠PDA，根据角平分线定义得出∠CBO=∠ABO，∠CDQ=∠PDO，求出∠CBO=∠CDQ，推出∠CDQ+∠DCQ=90°，求出∠CQD=90°，根据垂直定义得出即可； （3）分为两种情况：根据三角形面积公式求出即可． 【详解】（1）证明：如图1． ∵在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（0，4）， ∴∠AOB=90°． ∵DP⊥AB于点P， ∴∠DPB=90°， ∵在四边形DPBO中，∠DPB+∠PBO+∠BOD+∠PDO=360°， ∴∠PBO+∠PDO=180°， ∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO， ∴∠CBO=∠PBO，∠ODF=∠PDO， ∴∠CBO+∠ODF=（∠PBO+∠PDO）=90°， ∵在△FDO中，∠OFD+∠ODF=90°， ∴∠CBO=∠DFO， ∴DF∥CB． （2）直线DF与CB的位置关系是：DF⊥CB， 证明：延长DF交CB于点Q，如图2， ∵在△ABO中，∠AOB=90°， ∴∠BAO+∠ABO=90°， ∵在△APD中，∠APD=90°， ∴∠PAD+∠PDA=90°， ∴∠ABO=∠PDA， ∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO， ∴∠CBO=∠ABO，∠CDQ=∠PDO， ∴∠CBO=∠CDQ，∵在△CBO中，∠CBO+∠BCO=90°， ∴∠CDQ+∠DCQ=90°， ∴在△QCD中，∠CQD=90°， ∴DF⊥CB． （3）解：过M作MN⊥y轴于N， ∵M（4，-1）， ∴MN=4，ON=1， 当E在y轴的正半轴上时，如图3， ∵△MCE的面积等于△BCO面积的倍时， ∴×2×OE+×（2+4）×1-×4×（1+OE）=××2×4， 解得：OE=， 当E在y轴的负半轴上时，如图4， ×（2+4）×1+×（OE-1）×4-×2×OE=××2×4， 解得：OE=， 即E的坐标是（0，）或（0，-）． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，坐标与图形性质，三角形的面积的应用，题目综合性比较强，有一定的难度． 5．平面直角坐标系中，点，分别是轴和轴上的动点，，． (1)如图，若，，求点的坐标； (2)如图，设交轴于点，若平分，，求点的纵坐标； (3)如图，当点运动到原点时，的平分线交轴于点，为线段上一点，将沿翻折，的对应边的延长线交于点，为线段上一点，且，求的值．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作轴于点，根据题意，证明，求得，即可解答； （2）作轴于点，并延长交的延长线于点，证明≌，求得，即可解答； （3）连接，作于点，于点，证明，，根据折叠的性质得到，求出，即可解答． 【详解】（1）解：如图，作轴于点， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 则； （2）如图，作轴于点，并延长交的延长线于点， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， 又， ， 点的纵坐标为； （3）解：如图，连接，作于点，于点， 平分，平分， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 由折叠可知， ， ， ， ． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，，，满足．点是轴上的动点且在点左侧，连结，以为边作，使，，连结，交于点． (1)求点的坐标； (2)如图1，若，求点的坐标； (3)如图2，试问动点在运动过程中，几何量的数值是否发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不变，是定值，理由见解析 【分析】（1）由非负数的性质可得，，再解方程可得答案； （2）如图，过作于，证明，可得，，，从而可得答案； （3）如图，过作于，证明，可得，，证明，可得是等腰直角三角形，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，． （2）解：如图，过作于， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． （3）解：不变，，理由如下： 如图，过作于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴即的值不变． 【点睛】本题考查的是非负数的性质，二元一次方程组的解法，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，坐标与图形，作出合适的辅助线是解本题的关键． 7．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，C为x轴正半轴上的一点，且， (1)求点C的坐标． (2)若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标． (3)坐标轴上是否存在一点P，使得为直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)的坐标为：或或． 【分析】本题考查的是坐标与图形面积，勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求解，可得，从而可得答案； （2）先求解，可得，设，可得，再利用面积公式建立方程求解即可； （3）由为直角三角形，分三种情况讨论：当，此时重合，当，，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点，点，C为x轴正半轴上的一点，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点D在y轴上， ∴设， ∴， ∵，且满足， ∴， ∴， 解得：或， ∴或； （3）解：当重合时，为直角三角形， ∴； 如图，当时，设， ∴，而， ∴， 解得：， ∴， 当时，设， 同理可得： ， 解得：， ∴， 综上：的坐标为：或或． 8．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)请在图中作出关于轴对称的，并直接写出点A的对应点的坐标； (2)求出的面积； (3)在轴上有一点，使得的周长最小，在图中找出点的位置，并直接写出的周长最小值． 【答案】(1)作图见解析， (2) (3), 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴交点问题、割补法求面积、坐标与图形、轴对称作图等知识点，作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到的坐标，然后描点、顺次连接完成作图，进而求出的坐标即可； （2）利用割补法计算的面积即可； （3）如图，连接交y轴于点，连接，根据轴对称的性质可推出当三点共线时，最小，即的周长最小，此时点P与点重合，最小值为据此求解即可． 【详解】（1）解：如图：为所求； ∴； （2）解：的面积； （3）解：如图，连接交y轴于点，连接， ∴， ∴的周长， ∴当三点共线时，最小，即的周长最小，此时点P与点重合，最小值为， 设直线解析式为, ∴，解得：， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴,的周长最小值． 9．在平面直角坐标系中，已知点．对于点P给出如下定义：先将点P向右()或向左()平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点P的“R关联点” (1)如图1，点P坐标为 ①当点R坐标为时，则点P的“R关联点”的坐标为：________； ②若点为点P的“R关联点”，则R的坐标________； (2)如图2，点，点B与点A关于y轴对称点R在边上，点P坐标为 ①画出点P所有的“R关联点”； ②这些关联点组成的图形形状是：________； (3)如图3，点，，点R在正方形边上，点．若线段上存在点的“R关联点”，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)①见解析；②等腰三角形； (3)或． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的新定义问题，涉及到平移和轴对称的性质，“主从运动”模型，解不等式组，分类讨论等知识技能．根据“关联点”的定义求出、、三点之间的坐标关系是解答本题的关键． （1）①根据“关联点”的定义求出、、三点之间的坐标关系，然后代入、两点坐标即可； ②把点看作，然后根据、、三点之间的坐标关系求出点坐标即可； （2）①根据、、三点之间的坐标关系求出点关于、、三点对应的“关联点”的坐标，然后连接这三个对应点，三条边即为点所有“关联点”组成的图形； ②同理①求出点关于、、、四点对应的“关联点”的坐标，连接四个对应点得到一个矩形，再分别讨论线段和矩形四条边有交点，根据不等式组求出的范围． 【详解】（1）①和如图所示． 根据“关联点”的定义，将点向左平移个单位长度，再作其关于直线的对称点，得到点． ；． ，． 点坐标为． 故答案为：． ②点坐标为，点坐标为． 由①可得，． 点为点的“关联点”，点相当于这里的点． ，． 坐标为． 故答案为：； （2）①当、、三点作为点时，设点的“关联点”分别为、、． 由 （1）可知，． 将、、三点分别与点坐标代入可得： 、、． 连接、、三点，则点的所有的“关联点”形成的图形为的三条边． ②如图，，这些所有的关联点组成的图形形状为等腰三角形． 故答案为：等腰三角形； （3）根据，分别求出点关于、、、四点作为“点”时的四个“关联点”坐标：、、、． 如图所示，矩形四条边即点的“关联点”的轨迹． 、，并且线段上存在点的“关联点”． 线段需与矩形四条边有交点． 当线段与有交点时： ，解得． 当线段与有交点时： ，无解，则没有交点． 当线段与有交点时： 或， 解得，． 因为线段和线段分别在轴下方和上方，不可能有交点． 故的取值范围为：或． 10．如图1，在平面直角坐标系中，，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段，动点在直线上． (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图1，点是线段上一点（不与点、重合），连接，请用等式表示，，之间满足的数量关系，并说明理由； (3)如图2，点在轴上，且，连接，当的面积等于的面积时，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)，， 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，坐标系中的几何面积关系，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据坐标平移的规律，即可解答； （2）分类讨论，根据点在点左边或者右边，两种情况，利用平行线的性质进行解答即可； （3）根据点在轴正半轴或负半轴两种情况，再考虑点在点A左边或者右边，利用的面积等于的面积列方程即可解答． 【详解】（1）解：，，将线段沿轴向右平移12个单位得到线段， ， 故答案为：； （2）解：当点在点右边时，如图， ，， ， ， 即； 当点在点左边时，如图， ，， ， ， 即； （3）解：当点在轴正半轴时， ， ， ， ①点在点右边，如图， 可得， 设， 可得方程， 解得， ； ②点在点左边，如图，连接， 可得， 设，则， 可得方程， 解得， ； 当点在轴负半轴时， ③点在点左边，如图， 可得， 设， 可列方程， 解得， ； ④点在点右边，如图，连接， 可得， 设， 可列方程， 解得， ， 综上，点的坐标为，，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$