4.2 等比数列（第1课时） （十大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

4.2 等比数列（第1课时） 题型1：等比数列的定义 1．在等比数列中，若，，则（    ） A．-32 B．-16 C．16 D．32 【答案】D 【分析】利用等比数列的性质即可得出. 【解析】设等比数列的公比为， . 故选：D. 2．已知数列为等比数列，则 . 【答案】－3 【解析】由题意，知a2＝9，且第2项与第4项符号一致，所以a＝－3. 3．设是等比数列，且，，则 ． 【答案】或 【分析】设等比数列的公比为，则有，求出公比，即可得答案. 【解析】解：设等比数列的公比为， 因为，， 所以，解得，或， 当时，； 当时，. 故答案为：或 4．已知等比数列的公比，且满足，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由等比数列的通项公式计算基本量即可. 【解析】由于，， 所以，两式相除得， 解得或， 因为，所以. 故选：A 5．和的等比中项是 ． 【答案】 【分析】设和的等比中项为，依题意得到方程，解得即可. 【解析】设和的等比中项为，则，解得. 故答案为： 题型2：等比数列中项及其应用 6．与的等比中项是 ． 【答案】或 【分析】由等比中项性质列方程求等比中项即可. 【解析】令与的等比中项是，则，故. 故答案为：或 7．若数列是等比数列，且是与的等差中项，则 . 【答案】 【分析】由数列是等比数列，及是与的等差中项，得出公比的值， 再由即可得出答案． 【解析】设等比数列的公比为， 因为是与的等差中项， 所以， 所以，解得， 所以 故答案为：. 8．已知等差数列（）中，，成等比数列，，则 . 【答案】25或13； 【分析】设公差为，由已知条件求得后，利用等差数列的通项公式可得结论． 【解析】设公差为，因为，，成等比数列，所以， 即，所以或， 若，则， ，则，，，， 故答案为：13或25. 9．，，若是与的等比中项，则的最小值是 . 【答案】 【分析】根据条件得到，从而有，再利用“1”的妙用，即可求解. 【解析】因为是与的等比中项，得到，得到， 又，，则， 又，当且仅当，即时，取等号， 所以，当且仅当时，取等号， 故答案为：. 10．设椭圆的焦距为.若，，依次成等比数列，则该椭圆的离心率 . 【答案】 【分析】根据等比中项可得，结合椭圆中，即可根据齐次式求解. 【解析】由，，依次成等比数列，故， 又，所以， 解得，或（舍去）， 故答案为： 题型3：利用递推关系求等比数列通项公式 11．已知，且则通项公式 . 【答案】 【分析】先证明数列是等比数列，进而根据等比数列的通项公式求解即可. 【解析】由，得， 所以数列为等比数列，公比为2， 又，所以， 即. 故答案为：. 12．已知数列满足：，，则 . 【答案】 【分析】利用赋值得到新的等式与原来的等式作商，即可得新的递推关系，来证明数列是等比数列，从而可求解. 【解析】由，得， 又可得：，再与作商得：， 所以数列是等比数列，公比为2，则， 故答案为：. 13．设数列满足，，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意分析可得数列是以首项为1，公比为3的等比数列，结合等比数列的通项公式分析运算. 【解析】因为，则， 且，可得 所以数列是以首项为1，公比为3的等比数列， 则，即， 可得. 故答案为：. 14．已知数列和满足，，，.则数列的通项 . 【答案】 【分析】将条件中两式相加可得数列为等比数列，利用等比数列的通项公式求解即可. 【解析】，， 又， 所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列 故答案为： 15．在数列中，，，，则 . 【答案】 【分析】首先由已知推导出的关系发现，是公比为2的等比数列，从而即可求解. 【解析】由题意， 所以是公比为2的等比数列，且， 从而. 故答案为：. 题型4：等比数列下标和性质及应用 16．在等比数列中，，，则 ． 【答案】16 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【解析】由，及 可得：，即， 又， 所以16. 故答案为：16 17．在正项等比数列中，，则 ，公比 ． 【答案】 1 2 【分析】根据等比数列项的性质得出，，应用等比数列基本量运算即可. 【解析】因为正项等比数列中，，所以. 又，则， 又因为，所以，解得. 又因为，解得， 故公比． 故答案为：1；2. 18．在等比数列中，，，则 . 【答案】8 【分析】根据等比数列的性质求解． 【解析】因为是等比数列， 所以， 故答案为：8. 19．若数列是等比数列，且则 【答案】 【分析】等比数列中，，，再利用对数的运算性质即可得出． 【解析】 等比数列中，，， 则． 故答案为：8． 20．在各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则 ． 【答案】16 【分析】利用等差数列的性质得，结合条件得，根据等比数列的性质得，代入可求结果. 【解析】∵为等差数列， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍）， ∴， ∴， ∴. 故答案为：16. 21．已知函数，数列为等比数列，，，则 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的性质可得，再由对数的运算知，又，再由倒序相加得到和，即可求出答案． 【解析】∵，∴， ∵ 数列为等比数列， ∴， ， ，同理可得，， ∴ 设① ， 又∵ ② ， ① +② 得， ， 故答案为：. 题型5：求等比数列中的项 22．设等比数列满足，，则 . 【答案】 【分析】根据题设及等比数列通项公式求基本量，即可求. 【解析】令公比为，则，可得， 所以或（舍），可得，则. 故答案为： 23．在数列中，，若是等比数列，则 【答案】41 【分析】根据等比数列的定义求出，再求解得出. 【解析】已知，则，， 因为是等比数列， 所以公比， 所以， 所以. 故答案为：41. 24．设数列的每一项均为正数，且，且有，则 ． 【答案】 【分析】分析可得，令，可得出是以首项为，公比为的等比数列，求出的值，即可得出的值. 【解析】因为，则， 对任意的，，所以，， 令，所以，故是以首项为，公比为的等比数列． 所以，，故． 故答案为：. 题型6：等比数列的单调性 25．设是公比不为1的无穷等比数列，则“为严格减数列”是“存在正整数，当时，”的 条件．（选填“充分而不必要条件”，“必要而不充分条件”，“充分必要条件”，“既不充分也不必要条件”） 【答案】充分而不必要条件 【分析】根据等比数列和指数函数的关系，结合数列单调性和题意，从充分性和必要性分析即可. 【解析】不妨设 若“为严格减数列”，则，或， 若，令，则，，解得， 记表示不超过的最大整数，故存在，当时，； 若，显然，故存在为任意正整数，当时，； 综上，充分性满足； 若存在正整数，当时，，不妨取， 满足存在正整数，当时，，但显然此时，该等比数列为摆动数列，不单调递减，故必要性不满足； 综上所述，“为严格减数列”是“存在正整数，当时，”的充分而不必要条件. 故答案为：充分而不必要条件. 26．若数列是公比为的递增等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】举反例判断ACD错误，根据数列递增的性质判断B. 【解析】依题意，不妨设，数列是递增的等比数列，由此判断选项错误. 设，数列是递增的等比数列，由此判断A选项不正确. 因为数列是公比为的递增等比数列，所以或， 即故选项B正确. 故选：B. 27．数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】D 【分析】根据“”与“数列是严格增数列”的互相推出关系判断属于何种条件. 【解析】当时，取，则，显然不是严格增数列， 所以“”不能推出“数列是严格增数列”； 当数列是严格增数列时，设， 当时，是摆动数列，不符合要求，所以， 若，则， 若，则， 所以“数列是严格增数列”不能推出“”； 综上所述，“”是“数列是严格增数列”的既非充分也非必要条件， 故选：D. 28．等比数列为递减数列，若，，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】由结合，可得为方程的两个根，又，解得，，再结合等比数列通项公式即可得出. 【解析】由为等比数列，得，又， ∴为方程的两个根， 解得，或，， 由为递减数列得，∴，， ∴， 则， 故选：A. 29．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，则 . 【答案】 【分析】设等比数列的公比为，则，根据等差中项和等比数列的通项公式列式求出，再根据等比数列的通项公式可求出结果. 【解析】设等比数列的公比为，则， 因为，，成等差数列，所以， 所以，所以， 解得或（舍）， 所以. 故答案为：. 30．已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】利用等比数列的通项公式及函数的单调性，结合数列的单调性即可求解. 【解析】设等比数列的公比为，有， 由函数单调递增，且，可得. 有，由数列单调递减， 所以取得最大值时的值为9， 故选：B. 31．已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（    ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】根据题意结合等比数列的性质可推得以及，即可判断数列的的增减性以及项与1的大小关系，由此即可求得答案. 【解析】由题意知，故， 则，即， 结合等比数列满足，公比，可知， 由，得， 即得，故，即， 由此可得， 故当最小时，， 故选：A 题型7：等比数列的实际应用 32．某学校一航模小组进行飞机模型飞行高度实验，飞机模型在第一分钟内上升了10米高度.若通过动力控制系统，可使飞机模型在以后的每一分钟内上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%.在此动力控制系统下，该飞机模型在第三分钟内上升的高度是 米. 【答案】/6.4 【分析】根据题意，得到，公比的等比数列，利用等比数列的通项公式，可得答案. 【解析】由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成，公比的等比数列，则米.即飞机模型在第三分钟内上升的高度是米. 故答案为： 33．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为，则 ．    【答案】/ 【分析】观察图形可知周长形成的数列是首项，公比为的等比数列，即可求解作答. 【解析】观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列， 从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的， 因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的，即有， 因此数列是首项，公比为的等比数列，，， 所以. 故答案为： 34．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.02mg/mL．如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减小，他至少要经过几小时才可以驾驶机动车（精确到小时）（    ） A．5小时 B．4小时 C．3小时 D．2小时 【答案】B 【分析】设个小时后才可以驾车，根据题意可知，每单位时间内酒精下降的量成等比数列，进而可得方程，求得． 【解析】解：设个小时后才可以驾车， 由题得方程，即，因为，，所以， 即至少要经过4小时后才可以驾驶机动车． 故选：B． 题型8：等比数列中的最值问题 35．已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最大值时，n的值为 . 【答案】6或7 【分析】首先求数列的通项公式，再根据数列的单调性，由前项积最大时满足的不等式，即可列式求解. 【解析】由题意可知，，数列单调递减，若最大时， 即，解得：， 所以或7. 故答案为：或 36．在等比数列中，若，，则当取得最大值时， ． 【答案】6 【分析】 利用题意的等式得到数列的公比，继而求出首项，即可得到通项公式，判断数列的单调性和符号，即可求解 【解析】 在等比数列中，，， 所以公比， 所以，解得，故， 易得单调递减，且， 因为，， 所以当时，，当时，， 所以当取得最大值时，． 故答案为：6 37．等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法错误的是（    ） A．为递增数列 B．为递增数列 C．中最小项的值为1 D． 【答案】C 【分析】A选项，计算出且，故A正确；B选项，计算出且公比大于1，B正确；C选项，在B选项基础上得到最小值；D选项，计算出，从而得到当时，，当时，，故. 【解析】A选项，由题意可知，， 且公比，故为递增数列，A正确； B选项，，， 则为递增数列，故B正确； C选项，当时，取得最小值，故C错误； D选项，， 当时，， 当时，， 故，故D正确． 故选：C． 38．已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（   ） A．数列的最大项为 B．数列的最小项为 C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列 【答案】D 【分析】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误. 【解析】对于A，由题意知：当为偶数时，； 当为奇数时，，，最大； 综上所述：数列的最大项为，A正确； 对于B，当为偶数时，，，最小； 当为奇数时，； 综上所述：数列的最小项为，B正确； 对于C，，， ， ，，， 数列为递增数列，C正确； 对于D，，， ； ，，，又， ，数列为递减数列，D错误. 故选：D. 题型9：难点分析 39．已知数列满足：，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用的特征方程，求得两解，构造等比数列， 求得，结合，得到对任意恒成立，结合其单调性，求得答案. 【解析】解的特征方程 ， 即 ，可得 ， 故， 两式相除得：， 即 为首项是，公比为3的等比数列， 故，则 ， 由于对任意恒成立， 故对任意恒成立， 即对任意恒成立， 而随n的增大而减小，当时，取到最大值1，故 ， 故选：D 【点睛】本题考查了根据数列的递推公式求参数的取值范围，综合性较强，解答的关键是要明确利用递推式的特征方程构造等比数列，求得数列通项公式，进而分离参数，解决恒成立问题. 40．已知函数的定义域为，当时，；对任意的，成立.若数列满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，令，即有，结合递推式有，即在上单调增，进而求且，利用构造法确定为等差数列并写出通项公式，即可求. 【解析】当时，，在上任取两数，且，令，则． ，即在上是单调增函数． 令，则，解得．而数列满足， ， ，则， ∴数列是公比为，首项为的等比数列，得：， ∴，故. 故选：C． 【点睛】关键点点睛：首先应用已知条件判断函数的单调性，求；再由，应用构造法求数列通项，进而求项. 41．对于无穷数列，给出下列命题： ①若既是等差数列，又是等比数列，则是常数列； ②若等差数列满足，则是常数列； ③若等比数列满足，则是常数列； ④若各项为正数的等比数列满足，则是常数列． 其中正确的命题个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①设出公差和公比，列出方程，求出公差为0，公比为1，得到是常数列； ②假设，得到无最大值，推出矛盾，从而得到是常数列； ③举出反例即可； ④首先推出，假设，得到无最大值，所以，是常数列． 【解析】①因为既是等差数列，设的公差为， 则相邻的三项为， 因为又是等比数列，则，设公比为， 则相邻的三项为， 所以①， ②， 两式相减得：③， 将③代入①中，， 因为， 所以， 解得：，则， 所以是常数列，①正确； ②因为等差数列为无穷数列，假设，则无最大值，不满足， 所以假设不成立，即，所以是常数列，②正确； ③考虑，能够满足，而不是常数列，③错误； ④设各项为正数的等比数列的公比为， 因为， 所以，则， 若，则无最大值，不合题意， 所以，进而是常数列，④正确． 故选：C 题型10：解答题 42．在等比数列中，公比为q． (1)若，，求通项公式； (2)若，，求q并写出通项公式； (3)若，，，求项数n． 【答案】(1) (2)， (3)5 【分析】（1）根据等比数列通项公式直接可得； （2）利用等比数列通项公式先求公比q，然后可得； （3）根据等比数列通项公式直接列方程计算即可. 【解析】（1）因为，， 所以 （2）由题知，，解得 所以 （3）由题可知，，即 所以，所以 43．若数列及满足且，. （1）证明：； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）根据题设的交叉递推关系可得，而，故可证明. （2）利用（1）的结果可得，从而可得数列是首项为2，公比也为2的等比数列，故可求的通项公式，从而可求的通项公式. 【解析】（1）∵，故， 而，(n∈N*)，∴， ∴当且时，有， 又，也满足， ∴对任意的n∈N*，都有．                     （2）将代入，得， 进而，而，故，故， ∴数列是首项为2，公比也为2的等比数列， ∴，∴． 44．已知等差数列的首项为6，公差为，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，求的值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】（1）由通项公式写出，利用成等比数列可求得，从而得数列的通项公式； （2）由（1）得的表达式，确定中哪些项为正，哪些项为负，然后分类求和． 【解析】（1）公差为 成等差数列，解得或 当时，； 当时，， 故或. （2）∵0，∴=-1，此时． 当时， 当时， 故 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质．考查含绝对值的等差数列的和．含绝对值的数列的和，一般要确定项的正负后根据绝对值的定义去掉绝对值符号后再求和，这就要求分类讨论，最后结论是一分段函数． 45．已知数列满足，. (1)证明：是等比数列； (2)设，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）对取倒数，整理得，变形得，然后利用等比数列定义即可证明； （2）先利用等比数列通项公式求得，然后利用裂项相消法求和，再利用数列的符号得范围即可. 【解析】（1）因为，，则，，… 以此类推可知，对任意的，， 由已知得，即， 所以，且， 所以是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知，，， ， . 46．已知等比数列的各项均为正数，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的通项公式. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）设数列的公比为q，利用等比数列的性质求出公比，再由基本量运算求出首项，进而可得数列的通项公式； （2）利用等差数列的求和公式计算即可． 【解析】（1）设数列的公比为q， 由得， 所以. 由条件可知，故. 由得， 所以. 故数列的通项式为. （2）. 47．某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为，以后学生人数年增长率为.该校今年年初有旧实验设备套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%增加新设备，同时每年淘汰套旧设备． (1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年淘汰的旧设备是多少套？ (2)依照（1）的淘汰速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？ 参考数据：，． 【答案】(1)套 (2)16（年） 【分析】（1）利用配凑法求得明年起第年学校的实验设备的套数，根据“10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番”列方程，从而求得每年淘汰的旧设备套数. （2）根据的值以及旧设备的套数求得需要的年数. 【解析】（1）今年学生人数为，则10年后学生人数为． 设明年起第年（明年为第1年）学校的实验设备的套数为数列， 则，，令，则， 所以，即，所以数列是首项为，公比为1.1的等比数列， 所以，即． 所以，由题意得，解得． 所以每年淘汰的旧设备为套． （2）更换所有需要更换的旧设备共需（年）． 48．已知数列中，是其前项和，并且，. (1)设，求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)数列中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在最小项，不存在最大项，理由见解析. 【分析】（1）根据给定递推公式，结合“当时，”及已知变形，利用等比数列定义判断作答. （2）由（1）求出，再构造数列求解作答. （3）由（2）的结论，判断数列的单调性即可作答. 【解析】（1）因，，则当时，， 因此，即， 而，则，又，，即，有， 所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知，则有， 因此数列是以为首项，为公差的等差数列，则， 所以数列的通项公式是. （3）由（2）知，，于是得是递增数列， 所以数列存在最小项，不存在最大项. 49．定义函数.数列满足 （1）若，求及； （2）若且数列为周期数列，且最小正周期，求的值； （3）是否存在，使得成等比数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由. 【答案】（1）;(2);(3)存在，且的取值范围为. 【分析】(1)分别取，2，由，，去掉绝对值符号即可得出． （2）由已知可得，分三种情况讨论即可求值． （3）假设存在，使得，，，，成等比数列，分类讨论当及当，和时，分别利用递推关系及等比数列的定义，得出的取值范围． 【解析】解：（1）， ，，， ． ． （2）， ，， 数列是周期数列，且最小正周期为， 则当时，， ，解得（舍， 当时，，， ，解得（舍， 当时，， ， 令，则， 解得， 综上得到． （3）假设存在，使得，，，，成等比数列， ①当时，，， ，则公比为， ，则，解得，满足题意； ②当时，，则必存在，使得， 若，，由①知， 若，，， ，解得， 则，， 满足，满足公比为， 综上可知：的取值范围为，． 【点睛】本题的关键是采用零点分段，对绝对值函数进行分类讨论. 一、解答题 1．已知数列满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)当时，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由递推式可得，令有，根据等比数列的定义写出的通项公式，进而求出的通项公式. （2）应用基本不等式，结合放缩法分别证明不等式的左右两侧. 【解析】（1）将，整理得， 所以． 令，，则， 所以数列是公比为，首项为的等比数列，则，即． 所以． （2）先证： 因为，又， 所以，则． 再证： 当时，， 所以． 综上，，得证． 2．已知数列的首项，． (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且，，成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由两边取倒数，再减去1得到，再计算，故证得结论； （2）由（1）知的首项和公比，利用等比数列的通项公式可求得； （3）先假设存在，则则，，将代入化简得到，利用基本不等式推得矛盾，故假设不成立，即不存在. 【解析】（1）因为，所以， 即，且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． （2）由（1）可求得， 所以，即． （3）假设存在，则，， 即，化简得． 因为，当且仅当时等号成立． 又因为m，n，s互不相等，所以不存在． 3．已知首项大于0的等差数列的公差，且； （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，其中； ①已知，求证：当时，数列为等差数列； ②是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）①证明见解析②存在实数，使得数列为等比数列. 【解析】（1）利用化简可得，可得； （2）①代入得当时，，变形为，即，，根据等差数列的定义可证结论正确； ②当时，，若存在实数，使得数列为等比数列，则，求出或，再验证可知，符合题意. 【解析】（1）因为 所以由得，得，得， 得，解得或（舍）， 所以. （2）①因为当时，， 所以，所以，， 所以，，， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. ②当时，，， 所以， 若存在实数，使得数列为等比数列，则，即， 即，解得或， 当时，，不是常数， 数列不为等比数列； 当时，，数列为等比数列， 所以存在实数，使得数列为等比数列. 【点睛】关键点点睛：当时，求出后，由求出或，再对的取值进行验证是解题关键. 4．设数列共有项，记该数列前项，，…，中的最大项为，该数列后项，，…，中的最小项为，（1，2，3，…，）. （1）若数列的通项公式为，求数列的通项公式； （2）若数列是单调数列，且满足，，求数列的通项公式； （3）试构造一个数列，满足，其中是公差不为零的等差数列，是等比数列，使得对于任意给定的正整数，数列都是单调递增的，并说明理由. 【答案】（1），；（2），；（3）见解析. 【分析】（1）由单调递增，可得，，即可得到； （2）由题意可得，即，又因为，2，3，，，所以单调递增，可得是公差为2的等差数列，进而得到所求通项公式； （3）构造，其中，，运用新定义即可得证． 【解析】解：（1）因为单调递增， 所以，， 所以，； （2）根据题意可知，，， 因为，所以， 可得，即， 又因为，2，3，，，所以单调递增， 则，，所以，即，， 所以是公差为2的等差数列，，； （3）构造，其中，， 下证数列满足题意． 证明：因为，所以数列单调递增， 所以，， 所以，， 因为， 所以数列单调递增，满足题意． 【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 5．若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等比数列； （1）已知数列为2级等比数列，且前四项分别为、、、，求的值； （2）若（为常数），且数列是3级等比数列，求所有可能的值，并求取最小正值时数列的前项和； （3）证明：正数数列为等比数列的充要条件是数列既为2级等比数列，也为3级等比数列； 【答案】（1）；（2）， ；（3）证明详见解析. 【分析】（1）利用定义，求出、，即可求的值； （2）根据 是3级等比数列，列出方程，即可求所有可能值的集合，从而求取最小正值时数列的前项和； （3）根据数列为级等比数列的定义，分充分性与必要性进行证明即可． 【解析】（1）解：由题意， ， ， ， . （2）解：是3级等比数列， ， ， ， 整理为： ， 即 ，， ， 的最小正值是， 此时， ， ，， ， ， ， ， …….. （3）必要性：若为等比数列，则， 对一切成立，显然对成立． 既为2级等比数列，也为3级等比数列． 充分性：若为2级等比数列，，则，均成等比数列， 设等比数列，的公比分别为， 为3级等比数列，，则 成等比数列，设公比为 既是中的项，也是中的项， ，既是中的项，也是中的项， ， ， 设，则 ， ，， 又， ， ， ，， ， ， 综合得：,显然为等比数列． 【点睛】本题考查数列的应用，考查新定义，考查推理与证明，和计算能力，正确理解和应用新定义是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2 等比数列（第1课时） 题型1：等比数列的定义 1．在等比数列中，若，，则（    ） A．-32 B．-16 C．16 D．32 2．已知数列为等比数列，则 . 3．设是等比数列，且，，则 ． 4．已知等比数列的公比，且满足，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型2：等比数列中项及其应用 5．和的等比中项是 ． 6．与的等比中项是 ． 7．若数列是等比数列，且是与的等差中项，则 . 8．已知等差数列（）中，，成等比数列，，则 . 9．，，若是与的等比中项，则的最小值是 . 10．设椭圆的焦距为.若，，依次成等比数列，则该椭圆的离心率 . 题型3：利用递推关系求等比数列通项公式 11．已知，且则通项公式 . 12．已知数列满足：，，则 . 13．设数列满足，，且，则 ． 14．已知数列和满足，，，.则数列的通项 . 15．在数列中，，，，则 . 题型4：等比数列下标和性质及应用 16．在等比数列中，，，则 ． 17．在正项等比数列中，，则 ，公比 ． 18．在等比数列中，，，则 . 19．若数列是等比数列，且则 20．在各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则 ． 21．已知函数，数列为等比数列，，，则 ． 题型5：求等比数列中的项 22．设等比数列满足，，则 . 23．在数列中，，若是等比数列，则 24．设数列的每一项均为正数，且，且有，则 ． 题型6：等比数列的单调性 25．设是公比不为1的无穷等比数列，则“为严格减数列”是“存在正整数，当时，”的 条件．（选填“充分而不必要条件”，“必要而不充分条件”，“充分必要条件”，“既不充分也不必要条件”） 26．若数列是公比为的递增等比数列，则（    ） A． B． C． D． 27．数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 28．等比数列为递减数列，若，，则（    ） A． B． C． D．6 29．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，则 . 30．已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 31．已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（    ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 题型7：等比数列的实际应用 32．某学校一航模小组进行飞机模型飞行高度实验，飞机模型在第一分钟内上升了10米高度.若通过动力控制系统，可使飞机模型在以后的每一分钟内上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%.在此动力控制系统下，该飞机模型在第三分钟内上升的高度是 米. 33．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为，则 ．    34．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.02mg/mL．如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减小，他至少要经过几小时才可以驾驶机动车（精确到小时）（    ） A．5小时 B．4小时 C．3小时 D．2小时 题型8：等比数列中的最值问题 35．已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最大值时，n的值为 . 36．在等比数列中，若，，则当取得最大值时， ． 37．等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法错误的是（    ） A．为递增数列 B．为递增数列 C．中最小项的值为1 D． 38．已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（   ） A．数列的最大项为 B．数列的最小项为 C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列 题型9：难点分析 39．已知数列满足：，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40．已知函数的定义域为，当时，；对任意的，成立.若数列满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 41．对于无穷数列，给出下列命题： ①若既是等差数列，又是等比数列，则是常数列； ②若等差数列满足，则是常数列； ③若等比数列满足，则是常数列； ④若各项为正数的等比数列满足，则是常数列． 其中正确的命题个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 题型10：解答题 42．在等比数列中，公比为q． (1)若，，求通项公式； (2)若，，求q并写出通项公式； (3)若，，，求项数n． 43．若数列及满足且，. （1）证明：； （2）求数列的通项公式. 44．已知等差数列的首项为6，公差为，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，求的值. 45．已知数列满足，. (1)证明：是等比数列； (2)设，证明：. 46．已知等比数列的各项均为正数，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的通项公式. 47．某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为，以后学生人数年增长率为.该校今年年初有旧实验设备套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%增加新设备，同时每年淘汰套旧设备． (1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年淘汰的旧设备是多少套？ (2)依照（1）的淘汰速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？ 参考数据：，． 48．已知数列中，是其前项和，并且，. (1)设，求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)数列中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，说明理由. 49．定义函数.数列满足 （1）若，求及； （2）若且数列为周期数列，且最小正周期，求的值； （3）是否存在，使得成等比数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由. 一、解答题 1．已知数列满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)当时，证明：． 2．已知数列的首项，． (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且，，成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由． 3．已知首项大于0的等差数列的公差，且； （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，其中； ①已知，求证：当时，数列为等差数列； ②是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 4．设数列共有项，记该数列前项，，…，中的最大项为，该数列后项，，…，中的最小项为，（1，2，3，…，）. （1）若数列的通项公式为，求数列的通项公式； （2）若数列是单调数列，且满足，，求数列的通项公式； （3）试构造一个数列，满足，其中是公差不为零的等差数列，是等比数列，使得对于任意给定的正整数，数列都是单调递增的，并说明理由. 5．若数列满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等比数列； （1）已知数列为2级等比数列，且前四项分别为、、、，求的值； （2）若（为常数），且数列是3级等比数列，求所有可能的值，并求取最小正值时数列的前项和； （3）证明：正数数列为等比数列的充要条件是数列既为2级等比数列，也为3级等比数列； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$