4.2 等比数列（第2课时） （九大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

4.2 等比数列（第2课时） 题型1：定义法求等比数列的前n项和 1．设是公比为的等比数列，且，则（    ） A． B． C．8 D．11 【答案】B 【分析】先根据等比数列通项公式基本量运算求得首项，然后代入求和公式计算即可. 【解析】是公比为的等比数列，且， 则，解得，所以. 故选：B 2．等比数列的前项和为，若，，则 . 【答案】63 【分析】由和的关系求出的值，从而求出的值，然后求 【解析】， ∴， ∴， ∴. 故答案为： 3．已知数列满足，，（），则的前项和为 ． 【答案】 【分析】由题可知数列为等比数列，根据题意求出首项和公比即可知道前项和. 【解析】因为, 所以数列是公比为的等比数列， 因为, 所以, 所以, . 故答案为：15. 4．记为等比数列的前n项和．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式，结合已知条件，可求和的值，再利用等比数列求和公式可得的表达式. 【解析】设等比数列的公比为，则由，所以， 又. 所以． 故选：A 5．已知，则数列前11项之和为 ． 【答案】377 【分析】由通项公式依次写出11项，求和即可. 【解析】由题意：，， 所以前11项之和为， 故答案为：377 6．若等比数列满足，，则的前项和 . 【答案】 【分析】由条件结合等比数列通项公式可求和公比，再利用等比数列通项公式可求. 【解析】设数列的公比为， 因为，，， 所以，故， 代入， 得，得. 故． 故答案为：. 7．等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，，则 . 【答案】28 【分析】根据给定条件，列式求出等比数列的公比，再利用等比数列前n项和公式计算即得. 【解析】设等比数列的公比为，由，，成等差数列，得， 即，由，得， 于是，即，而，解得， 所以. 故答案为：28 题型2：等比数列前n项和的基本量计算 8．记为等比数列的前n项和．若成等差数列，则的公比为 ． 【答案】 【分析】设出公比，根据题意得到，化简得到，从而求出公比. 【解析】设公比为，由题意得， 即， 所以，故， 解得. 故答案为：. 9．已知等比数列的前项和为，且满足，则 ． 【答案】或 【分析】根据题意，结合等比数列的求和公式，得出方程，即可求解. 【解析】当时，由，所以， 当时，由，即， 即，解得或. 故答案为：或． 10．已知在等比数列中，，前三项之和，则公比的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】C 【分析】按照和分类讨论，利用等比数列通项公式和求和公式列方程组求解即可. 【解析】当时，，符合题意； 当时，，解得. 综上，的值是1或. 故选：C 11．等比数列的前项和为，若，，则 ． 【答案】 【分析】由题意可得，利用等比数列前项和公式可得，可求公比及，可求得. 【解析】当公比时，，， 等式显然不成立，所以， 由，可得， 解得，又，所以，解得，所以， 所以. 故答案为：, 题型3：等比数列片段和的性质及应用 12．若等比数列的前项和为，且，则 . 【答案】511 【分析】根据等比数列前n项和片段和的性质列式计算即可. 【解析】因为等比数列中成等比数列， 所以成等比数列，所以， 即，解得. 故答案为：511 13．已知等比数列中，若前项的和是，前项的和是，则前项的和是 ． 【答案】 【分析】利用等比数列的片断和性质，列式计算即得. 【解析】等比数列的前项和为，而，则成等比数列， 因此，即，所以. 故答案为： 14．设是等比数列的前项和，若，，则= . 【答案】 【分析】由，又，，成等比数列，求出，即可求出的值. 【解析】由题意得，则， 因为，，成等比数列，故， 即，解得， 故. 故答案为：. 15．已知等比数列的前项和满足，满足，，则 . 【答案】210 【分析】根据等比数列的片段和即可求解. 【解析】由等比数列的性质可得：，，也成等比数列， 所以，即. 所以. 故答案为：210 16．已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合等比数列片断和性质，列式计算即得. 【解析】设等比数列的公比为，由，得，则， 又为的前项和，则成等比数列，公比为， 于是， 所以. 故选：B 17．等比数列的前项和为，且数列的公比为32，则 ． 【答案】8 【分析】根据的公比，求出的公比，利用等比数列的通项公式即可求解. 【解析】设的公比为，则的公比为， 则的公比，则． 故答案为： 题型4：等比数列奇、偶项和的性质及应用 18．已知等比数列中共有项，公比，且其奇数项和比偶数项和小20，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用，在由奇数项和比偶数项和小，求得，即可求解. 【解析】由题意，可得， 因为奇数项和比偶数项和小，可得，即， 解得，所以． 故答案为：． 19．已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则 ． 【答案】1 【分析】设出公比，根据，求出公比，故，得到. 【解析】设公比为，则， 其中，又， 故，， 故，即， 解得. 故答案为：1 20．若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【答案】300 【分析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案. 【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 由题意可得：，即，解得， 故数列的所有项之和是. 故答案为：300. 21．数列满足：，数列的前项和记为，则 ． 【答案】2191 【分析】，对分类讨论，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出. 【解析】数列是以公差的等差数列; . ,数列是以公比的等比数列; . . 故答案为：2191. 题型5：等比数列前n项和的其他性质 22．若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合等比数列性质判断“”和“单调递增”之间的逻辑关系，即可得答案. 【解析】由题意可知是公比为的等比数列， 当，时，则， 由于，，且随n的增大而减小，故单调递增， 当，时，也单调递增，推不出， 故“”是“单调递增”的充分而不必要条件， 故选：A 23．已知等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列前项和公式特征求解即可. 【解析】设等比数列公比为，则， 即等比数列的前项和要满足， 又因为， 所以. 故答案为： 24．在等比数列中，公比，前87项和，则（    ） A． B．60 C．80 D．160 【答案】C 【分析】根据题意，得到构成公比为的等比数列，设，得到，进而求得的值. 【解析】在等比数列中，由公比， 可得构成公比为的等比数列， 设，则， 因为数列的前87项和， 所以，解得，所以. 故选：C. 25．设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对进行分类讨论，结合等比数列前项和公式求得正确答案. 【解析】依题意，， 若，则，，此时不存在符合题意的，所以. 若，则， 当为正偶数时，，所以存在无穷多个正整数，使. 当时，， 其中，，所以，此时不存在符合题意的. 当时，， 其中，当是正奇数时，，所以，此时不存在符合题意的； 当是正偶数时，，，所以存在无穷多个正整数，使. 综上所述，的取值范围是. 故选：B 题型6：最值问题 26．已知函数，数列为等比数列，其前项和为，若，则满足的的最大值为 ． 【答案】6 【分析】利用等比数列的求和公式，得到，求得的值，得出不等式，即可求解. 【解析】设等比数列的公比为，且， 因为函数，且， 可得，所以， 所以，解得，故的最大值为6． 故答案为：. 27．已知等比数列的前n项和为，前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则 ；的最大值是 ． 【答案】 64 【分析】由题意先求得或，分析可知只有满足题意，进一步结合等差数列、等比数列求和公式即可求解. 【解析】由题意或， 当时，，，此时没有最大值，故这种情况不可能存在， 所以只可能，此时，， 而二次函数的对称轴是， 所以当或4时，有最大值且的最大值是， . 故答案为：；64. 28．设首项为正且大于1的无穷等比数列的公比为，前项和为，若，则（    ） A．数列无最大项 B．数列有最小项为 C．数列是递增数列， D．数列最大值为 【答案】B 【分析】设无穷等比数列的公比为，根据已知可得，得数列是摆动数列可判断C；由，；得数列的最小项、最大项可判断ABD． 【解析】设无穷等比数列的公比为，因为， 即，又，所以， 因为， 所以当时，数列是摆动数列，故单调性不确定，故C错误； 又，所以；， 此时数列的最小项为，最大项为，故B正确，AD错误． 故选：B. 题型7：Sn与an的关系 29．在等比数列中，前项和，则实数的值为 ． 【答案】/ 【分析】利用与的关系求出的通项，可解出的值，再验证此时数列是等比数列即可. 【解析】，当时，， 依题意，也应满足，所以有，得． 此时，，，满足是等比数列，所以. 故答案为： 30．已知等比数列的前项和，则 . 【答案】 【分析】由求得数列的前三项，由前三项成等比数列求得． 【解析】由已知，，， 成等比数列，则，解得， 此时，也适合， 所以，满足题意. 故答案为：， 31．数列是等差数列，数列是等比数列，公比为q，数列中，，是数列的前n项和．若，，（m为正偶数），则的值为 ． 【答案】 【分析】设d为的公差，根据题意结合数列片段和性质推出，代入相应数值求得，设，根据，即可求得答案. 【解析】令，，， q为等比数列的公比，设d为等差数列的公差， ∴， ∴， 同理， ∴，结合，，， 可得：，解得或， 由于m为正偶数，故不合题意； 设，同理可知， 可得， ∴， 故答案为： 32．已知数列的前n项和为，前n项积为，若，当取最小值时， . 【答案】1 【分析】 根据条件，先利用数列的前n项和与的关系求得和，再根据，时，前n项积取得最小值（），得到，即可求解. 【解析】 由得：， 两式相减整理得， 又当时，，解得：， 故是首项为，公比为的等比数列， ，， 可知， 则，即当，时，取得最小值，， 因为时，；时，， 时，取最小值时，此时. 故答案为：1. 33．已知等差数列满足：，，数列的前n项和满足，则数列的前n项和 . 【答案】 【分析】根据题意求出，再由与的关系求通项公式，再由错位相减法求即可得解. 【解析】因为，，所以， 所以， 因为，所以， 两式相减可得，，即， 又，可得， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 故， 令， ， ， 两式相减得： . 故答案为： 34．已知数列的前项和为，（），对任意，都存在，使得.若（），则 ， . 【答案】 【分析】由和与的关系，得出（），分别求出与，再由建立方程组进行求解即可. 【解析】∵， ∴当时，， 以上两式相减，得，即（）， 又∵，∴当时，， ∴， ①当时，， ∴，即， 对任意，不一定存在，使得， ∴不成立； ②当时，则（）， ∴（），即（）， 当时，，，即时，存在使成立； 当时，，， 若对任意，都存在，使得， 则，即时，有满足题意， 解得. 又∵ ∴将和代入，得，解得. ∴，. 故答案为：，. 【点睛】本题解题关键是由建立方程组，再由题意得出，存在使成立，从而可以对和进行求解. 题型8：等比数列前n项和的实际应用 35．纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以，，，，，…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：①，，，…，所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，…，如此对开至规格．现有，，，…，纸各一张．若纸的宽度为，则纸的面积为 ；这9张纸的面积之和等于 ． 【答案】 / 【分析】根据题设背景，分析纸张长宽、面积为等比数列，利用列举等比数列的项求对应长宽，进而求面积，再应用等比数列前n项和求面积和. 【解析】由题设，若的长宽分别为，则的长宽分别为，的长宽分别为，的长宽分别为，的长宽分别为， 又纸宽度为，所以，则的面积为， 由上分析，面积为，面积为，面积为，，依次类推， 易知，这9张纸的面积是以为首项，为公比的等比数列， 所以，面积之和为. 故答案为：； 36．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：...，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于，则操作的次数的最大值为 . 【答案】5 【分析】根据题意求出第次操作后去掉的各区间长度之和，列不等式即可求解 【解析】记表示第次去掉的长度，，第2次操作，去掉的线段长为，第次操作， 去掉的线段长度为，则， 由，， 所以的最大值为5. 故答案为：5. 37．随着全球的经济发展和人口增长，资源消耗和环境问题日益凸显，为了实现可持续发展，我国近年来不断推出政策促进再生资源的回收利用.某家冶金厂生产的一种金属主要用于电子设备的制造，2023年起该厂新增加了再生资源的回收生产，它每年的金属产量将由两部分构成：一部分是由采矿场新开采的矿石冶炼，每年可冶炼3万吨金属；另一部分是从回收的电子设备中提炼的再生资源，每年可生产的金属约占该厂截止到上一年末的累计金属总产量的10%.若截止2022年末这家冶金厂该金属的累计总产量为20万吨，则估计该厂2024年的金属产量为 万吨，预计到 年，这家厂当年的金属产量首次超过15万吨.（参考数据：，） 【答案】 5.5 2035 【分析】设2023年为第一年，第n年该厂的金属产量为，截止第n年末这家冶金厂该金属的累计总产量为，由初始数据求得，，利用题意得出关系式，用作差法求得，然后解不等式可得结论． 【解析】设2023年为第一年，第n年该厂的金属产量为，截止第n年末这家冶金厂该金属的累计总产量为，， ，，故2024年产量为5.5万吨， ， 作差得，所以， 也成立，所以， 由得， ，则n取13，为2035年 故答案为：5.5；2035. 题型9：解答题 38．在等比数列中， (1)若，，且，求； (2)若，，，求和n； (3)若，，求和公比q． 【答案】(1)； (2)，； (3)或. 【分析】（1）利用等比数列通项公式列式求出公比，再其前7项和. （2）利用等比数列前项和公式及通项公式列式求解. （3）利用给定条件，列出方程组并求解即得. 【解析】（1）等比数列中，，， 则，即，而，解得，所以. （2）在等比数列中，，则，解得， 又，得，即，所以. （3）由，，得，即，又， 于是，解得或. 39．已知数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用来求得. （2）对进行分类讨论，利用分组求和法来求得正确答案. 【解析】（1）当时，； 当时，. 也满足，故数列的通项公式为. （2）当为偶数时， . 当为奇数时， . 综上， 40．在等比数列中，公比，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的基本量运算，可得数列的通项公式； （2）利用裂项相消法可得数列的前项和． 【解析】（1）由及，得， 两式相减，得， 即， 所以， 由，得， 所以，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1），得， 所以. 41．设数列是首项为1的等比数列，已知成等差数列，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)记和分别为数列和的前项和，证明：. 【答案】(1)，. (2)证明见解析 【分析】（1）设的公比为，利用等比数列的基本量运算代入计算求出即得； （2）利用等比数列求和公式计算，利用错位相减法计算，运用作差法比较两者即得证. 【解析】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，设的公比为， 由，可得，解得：或（舍去）. 故，. （2）由（1）可得. 数列的前项和，① 则.② 由①②得 ， 即. 由， 可得，得证. 42．已知数列和满足：，，，其中为实数，为正整数． (1)试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论； (2)设，为数列的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)当时，是等比数列；当时，不是等比数列，证明见解析 (2)当时，不存在这样的；当时，存在这样的，此时的取值范围是. 【分析】（1）先证明，然后判断的首项是否为零即可； （2）将命题等价转化为不等式，然后讨论参数之间的大小关系即可得到答案. 【解析】（1）我们有 . 所以是等比数列当且仅当，即. 综上，当时，是等比数列；当时，不是等比数列. （2）我们已经证明，而， 所以无论怎样都有. 这表明. 故条件即为对任意正整数成立， 此即，即. 当为奇数时，有，； 而当为偶数时，有，. 故，而这两个不等号分别在和时取等， 故条件等价于且. 此即且. 由于，故且，从而条件等价于. 这表明存在的充要条件是，即，此时的取值范围是. 综上，当时，不存在这样的；当时，存在这样的，此时的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对参数之间大小关系的分类讨论，在分类讨论时需要避免重复或遗漏. 43．已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列，，其前项和为，求使得对所有都成立的自然数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，求出的值，令，由可得，两式作差推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）利用裂项相消法求出的表达式，求出的取值范围，可得出关于的不等式，即可得出符合条件的自然数的值. 【解析】（1）（1）解：因为数列的前项和为，，， 当时，有，解得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，可得， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则. （2）（3）解：因为 ， 所以， ， 因为，且，故数列单调递增， 所以，，且，故对任意的，， 因为不等式对所有恒成立， 所以，，解得， 因为，则的值为. 一、填空题 1．已知数列满足，，且设的前项和为，则 . 【答案】 【分析】由已知等式可求得，设，则可整理得到，从而构造出等比数列，利用等比数列通项公式可求得，采用分组求和法，结合等比数列求和公式即可求得. 【解析】当时，，又，，； 由得：，， ，， ， 设，则，， 又， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ，，即； . 故答案为：. 2．已知等比数列的前项和满足，数列满足，其中，给出以下命题： ①； ②若对恒成立，则； ③设，，则的最小值为； ④设，若数列单调递增，则实数的取值范围为． 其中所有正确的命题的序号为 ． 【答案】②④ 【分析】由等比数列前项和公式特点确定，进而明确与的通项，结合数列的单调性判断各个命题. 【解析】由为等比数列，其前项和，则，故①不正确； 由，可得，则，若对恒成立， 即对恒成立， 令，则 当时，； 当时，， 当时，，则， 则，故②正确； 由，， 令，则 当，时，， 当，时 则，故③不正确； ，由单调递增， 则，则，故④正确． 故答案为：②④ 【点睛】关键点点睛：（1）等比数列的前项和； （2）证明数列的单调性一般采用作差（或作商）的方式； （3）数列作为特殊函数，特殊在定义域上，定义域不连续. 二、单选题 3．设等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，并满足条件，，则下列结论中不正确的有（    ） A．q>1 B． C． D．是数列中的最大项 【答案】A 【分析】根据并结合，得到，，进而结合等比数列的性质求得答案. 【解析】因为，所以或，而为等比数列，，于是，，则A错误； ，则B正确； ，则C正确； 因为，所以是数列中的最大项，则D正确. 故选：A. 4．记．对数列和U的子集T，若，定义；若，定义．则以下结论正确的是（    ） A．若满足，则 B．若满足，则对任意正整数 C．若满足，则对任意正整数 D．若满足，且，则 【答案】D 【分析】根据新定义直接计算，即可判断A，举反例判断B错，利用等比数列的通项公式和前n项和公式以及放缩法判断C，D. 【解析】因为， 所以，A错， 取，， 则，，所以，B错， 因为，， 所以. 因此，，C错， 若是的子集，则. 若是的子集，则. 若不是的子集，且不是的子集. 令，则，，. 于是，，进而由，得. 设是中的最大数，为中的最大数，则. 由（2）知，，于是，所以，即. 又，故， 从而， 故，所以， 即. 所以D对， 故选：D. 【点睛】对于数列新定义问题解决的关键在于准确理解新定义，再根据定义进行计算；本题的难点是利用放缩法证明不等式，放缩的目的是将非特殊数列转化为特殊数列，从而可利用特殊数列的性质. 三、解答题 5．某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，A型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年）.若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%.现用（）表示A型车床在第n年创造的价值. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前n项的和，，企业经过成本核算，若万元，则继续使用A型车床，否则更换A型车床，试问该企业须在第几年年初更换A型车床？ 【答案】(1)（万元） (2)该企业需要在第12年年初更换A型车床 【分析】（1）由题意得构成首项，公差的等在数列，构成首顶，公比的等比数列，从而可求出其通项公式， （2）由（1）得是单调递减数列，于是，数列也是单调递减数列，然后分别求出和时的值，再由可求得结果. 【解析】（1）题意得构成首项，公差的等差数列. 故（万元）. 构成首顶，公比的等比数列， 故万元. 于是，（万元）. （2）由（1）得是单调递减数列，于是，数列也是单调递减数列. 当时单调递减，（万元）. 所以（万元）； 当时，（万元）；当时，（万元）. 所以，当时，恒有. 故该企业需要在第12年年初更换A型车床. 6．设是等差数列，是各项都为正整数的等比数列，且，，，. (1)求，的通项公式； (2)若数列{dn}满足，，且，试求的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)，. (2). (3). 【分析】（1）通过已知条件运用基本量法求得，的通项公式即可； （2）通过已知条件求得，讨论为奇数和为偶数两种情况下的通项公式； （3）由已知条件求得通项公式，分为奇数和为偶数两种情况分别运用错位相减法和裂项相消法求和并相加求得数列的前项和. 【解析】（1）设的公差为，的公比为，则依题意有， 因为，，， 所以，解得或． 由于是各项都为正整数的等比数列，所以. 所以，. 所以的通项公式为，的通项公式为. （2）因为，所以， 所以，，两式相除：， 由，，得. 所以是以为首项，以为公比的等比数列； 是以为首项，以为公比的等比数列. 所以当为奇数时，， 当为偶数时， 所以的通项公式. （3）因为， 所以 当n为奇数时，， 错位相减得， 当n为偶数时，，裂项相消得， ∴． 7．对于有限数列，，，，定义：对于任意的，，有： （i ）； （ii ）对于，记.对于，若存在非零常数，使得，则称常数为数列的阶系数. (1)设数列的通项公式为，计算，并判断2是否为数列的4阶系数； (2)设数列的通项公式为，且数列的阶系数为3，求的值； (3)设数列为等差数列，满足-1，2均为数列的阶系数，且，求的最大值. 【答案】(1)30；2是数列的4阶系数． (2)26 (3)26 【分析】（1）根据阶系数的定义进行判断； （2）根据4阶系数的定义列出相应的等量关系，进行求解； （3）根据阶系数的定义建立方程，构造函数，根据函数性质得到不等式组，进行求解． 【解析】（1）因数列通项公式为，所以数列为等比数列，且， 得． 数列通项公式为，所以当时， , 所以2是数列的4阶系数． （2）因为数列的阶系数为3，所以当时，存在，使成立． 设等差数列的前项和为，则, 令，则, 所以，, 设等差数列的前项和为，， 则, 令，则, 所以， 当时，， 当时，， 则，解得． （3）设数列为等差数列，满足，2均为数列的阶系数，， 则存在，使 成立． 设数列的公差为，构造函数． 由已知得 ， 所以，函数至少有三个零点，，， 由函数可知为偶数，且满足， 得， 所以，解得， 构造等差数列为：，，，，38， 可知当时命题成立，即的最大值为26． 【点睛】本题主要考查数列的综合运用，根据阶系数的定义建立方程是解决本题的关键，综合性较强，难度较大． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2 等比数列（第2课时） 题型1：定义法求等比数列的前n项和 1．设是公比为的等比数列，且，则（    ） A． B． C．8 D．11 2．等比数列的前项和为，若，，则 . 3．已知数列满足，，（），则的前项和为 ． 4．记为等比数列的前n项和．若，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，则数列前11项之和为 ． 6．若等比数列满足，，则的前项和 . 7．等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，，则 . 题型2：等比数列前n项和的基本量计算 8．记为等比数列的前n项和．若成等差数列，则的公比为 ． 9．已知等比数列的前项和为，且满足，则 ． 10．已知在等比数列中，，前三项之和，则公比的值是（    ） A．1 B． C．1或 D．或 11．等比数列的前项和为，若，，则 ． 题型3：等比数列片段和的性质及应用 12．若等比数列的前项和为，且，则 . 13．已知等比数列中，若前项的和是，前项的和是，则前项的和是 ． 14．设是等比数列的前项和，若，，则= . 15．已知等比数列的前项和满足，满足，，则 . 16．已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 17．等比数列的前项和为，且数列的公比为32，则 ． 题型4：等比数列奇、偶项和的性质及应用 18．已知等比数列中共有项，公比，且其奇数项和比偶数项和小20，则 ． 19．已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则 ． 20．若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 21．数列满足：，数列的前项和记为，则 ． 题型5：等比数列前n项和的其他性质 22．若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 23．已知等比数列的前项和为，若，则 . 24．在等比数列中，公比，前87项和，则（    ） A． B．60 C．80 D．160 25．设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型6：最值问题 26．已知函数，数列为等比数列，其前项和为，若，则满足的的最大值为 ． 27．已知等比数列的前n项和为，前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则 ；的最大值是 ． 28．设首项为正且大于1的无穷等比数列的公比为，前项和为，若，则（    ） A．数列无最大项 B．数列有最小项为 C．数列是递增数列， D．数列最大值为 题型7：Sn与an的关系 29．在等比数列中，前项和，则实数的值为 ． 30．已知等比数列的前项和，则 . 31．数列是等差数列，数列是等比数列，公比为q，数列中，，是数列的前n项和．若，，（m为正偶数），则的值为 ． 32．已知数列的前n项和为，前n项积为，若，当取最小值时， . 33．已知等差数列满足：，，数列的前n项和满足，则数列的前n项和 . 34．已知数列的前项和为，（），对任意，都存在，使得.若（），则 ， . 题型8：等比数列前n项和的实际应用 35．纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以，，，，，…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：①，，，…，所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，…，如此对开至规格．现有，，，…，纸各一张．若纸的宽度为，则纸的面积为 ；这9张纸的面积之和等于 ． 36．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：...，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于，则操作的次数的最大值为 . 37．随着全球的经济发展和人口增长，资源消耗和环境问题日益凸显，为了实现可持续发展，我国近年来不断推出政策促进再生资源的回收利用.某家冶金厂生产的一种金属主要用于电子设备的制造，2023年起该厂新增加了再生资源的回收生产，它每年的金属产量将由两部分构成：一部分是由采矿场新开采的矿石冶炼，每年可冶炼3万吨金属；另一部分是从回收的电子设备中提炼的再生资源，每年可生产的金属约占该厂截止到上一年末的累计金属总产量的10%.若截止2022年末这家冶金厂该金属的累计总产量为20万吨，则估计该厂2024年的金属产量为 万吨，预计到 年，这家厂当年的金属产量首次超过15万吨.（参考数据：，） 题型9：解答题 38．在等比数列中， (1)若，，且，求； (2)若，，，求和n； (3)若，，求和公比q． 39．已知数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 40．在等比数列中，公比，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为. 41．设数列是首项为1的等比数列，已知成等差数列，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)记和分别为数列和的前项和，证明：. 42．已知数列和满足：，，，其中为实数，为正整数． (1)试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论； (2)设，为数列的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 43．已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列，，其前项和为，求使得对所有都成立的自然数的值. 一、填空题 1．已知数列满足，，且设的前项和为，则 . 2．已知等比数列的前项和满足，数列满足，其中，给出以下命题： ①； ②若对恒成立，则； ③设，，则的最小值为； ④设，若数列单调递增，则实数的取值范围为． 其中所有正确的命题的序号为 ． 二、单选题 3．设等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，并满足条件，，则下列结论中不正确的有（    ） A．q>1 B． C． D．是数列中的最大项 4．记．对数列和U的子集T，若，定义；若，定义．则以下结论正确的是（    ） A．若满足，则 B．若满足，则对任意正整数 C．若满足，则对任意正整数 D．若满足，且，则 三、解答题 5．某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，A型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年）.若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%.现用（）表示A型车床在第n年创造的价值. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前n项的和，，企业经过成本核算，若万元，则继续使用A型车床，否则更换A型车床，试问该企业须在第几年年初更换A型车床？ 6．设是等差数列，是各项都为正整数的等比数列，且，，，. (1)求，的通项公式； (2)若数列{dn}满足，，且，试求的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 7．对于有限数列，，，，定义：对于任意的，，有： （i ）； （ii ）对于，记.对于，若存在非零常数，使得，则称常数为数列的阶系数. (1)设数列的通项公式为，计算，并判断2是否为数列的4阶系数； (2)设数列的通项公式为，且数列的阶系数为3，求的值； (3)设数列为等差数列，满足-1，2均为数列的阶系数，且，求的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$