一模备课专题11 解答题25题：代几综合题（压轴题，25题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（上海专用）

一模备课专题11 解答题25题：代几综合题 （压轴题，25题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（22-23九年级上·上海静安·期末）如图，矩形中，，点是边上的一个动点，联结，过点作，垂足为点.    (1)设，的余切值为，求关于的函数解析式； (2)若存在点，使得、与四边形的面积比是，试求矩形的面积； (3)对（2）中求出的矩形，联结，当的长为多少时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2) (3)或或1 【分析】（1）根据已知条件矩形和，得出，，从而求出，再根据求出结果； （2）假设存在，由题意、与四边形的面积比是，可得，设，证，根据三角形的相似比，从而求解； （3）过点作，垂足为点，判断是等腰三角形，要分类讨论，①；②；③，根据三角形相似进行求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∵在矩形中，， ∴， 则， ； （2）：四边形的面积比是， ， ， 设，则， ∵，， ，且， ， ， 解得， ， ∴； （3）①时，过点作，垂足为点， 则，，延长交于点，   ， ， 当时，是等腰三角形； ②时，则，   ，， ， 则， 当时，是等腰三角形； ③时，则点在的垂直平分线上，故为中点．   ，， ， ∴， ， ，即， ∴， 解得， 当时，是等腰三角形， 综上：的长度为或或1． 【点睛】此题难度比较大，主要考查矩形的性质、相似三角形的性质、三角函数及等腰三角形的判定，考查知识点比较多，综合性比较强，另外要注意辅助线的作法． 2．（上海徐汇·一模）已知二次函数的大致图像如图所示，这个函数图像的顶点为点． （1）求该函数图像的开口方向、对称轴及点的坐标； （2）设该函数图像与y轴正半轴交于点，与x轴正半轴交于点B，图像的对称轴与x轴交于点A，如果 ，，求该二次函数的解析式； （3） 在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图像上，且点M的横坐标为，如果的面积是，求点M的坐标． 【答案】（1）抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点；（2）；（3）点M的坐标为 【分析】（1）根据二次函数图象与系数之间的关系即可判断开口方向，对称轴以及顶点坐标； （2）过点D作DE⊥y轴，即可判断出△CDE∽△BCO，然后结合，可推出，从而通过相似三角形的性质列式求解a，即可得出解析式； （3）首先根据M的坐标求出直线CM的解析式，从而得到直线CM与对称轴的交点P的坐标，进而利用割补法建立关于△ACM面积的等式，求解出t的值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴抛物线开口向下， 根据对称轴公式可得：， 当时，，则顶点， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点； （2）如图所示，作DE⊥y轴， 由（1）可知顶点，则OA=ED=1， ∵DC⊥BC， ∴∠DCE+∠BCO=90°， 又∵∠DCE+∠CDE=90°， ∴∠CDE=∠BCO， ∴△CDE∽△BCO， ∴， ∵， ∴ 当时，，即点C的坐标为 ∴，则：， 解得：， 经检验a=-1是方程的解， ∴抛物线的解析式为：； （3）在（2）的条件下，如图所示，连接MC，M的坐标为， 此时设直线CM的解析式为：， 将C，M的坐标代入得：，解得：， 即：直线CM的解析式为：， 设直线CM与对称轴交于P点，则P的坐标为，， ∴， 解得：， 将代入抛物线解析式得：， ∴点M的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，相似三角形的判定与性质，正切函数的定义等，熟悉二次函数的性质，灵活构造相似三角形并运用其性质是解题关键． 3．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，已知中，，是边上一点，且，过点作，并截取，射线与的延长线交于点． (1)求证：； (2)设，，求与的函数关系式； (3)如果是直角三角形，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)或． 【分析】（1）先证明，得出，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （2）过点作，交于点，证明，得出，，根据相似三角形的性质得出比例式，即可得出函数关系式； （3）由，分两种情况分别讨论，，，在中，根据三角函数的定义，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：过点作，交于点 又∵， ∴， ∴ ∴， 由，,则，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴. （3）①， ②如果， 由，，可得 设，则， 在中，， ∴，. ③如果， 由，，可得， 设，， 在中，， ∴，. 所以，当是直角三角形时，的长为或. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质，列函数关系式，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 4．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，，，点是边上的动点（点不与点重合），以为斜边在直线上方作等腰直角三角形． (1)当点是边的中点时，求的值； (2)，点在边上运动的过程中，的大小是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的大小； (3)设与的交点为，点是边上的一点，且，如果点到直线的距离等于线段的长度，求的面积． 【答案】(1) (2)不变，，理由见解析． (3) 【分析】（1）过点作，根据已知条件，得到为等腰直角三角形，，，利用勾股定理，得到，由此得到答案． （2）根据题意，由等腰直角三角形的性质，得到，在中，，，在中，设，则，由此证明，得到答案． （3）过点作，交与，，由，得到，通过证明，得到，再通过，得到，进而得到是等腰直角三角形，不难得到，得到，，，由此得到答案． 【详解】（1）解：过点作， ，， ， ， 为等腰直角三角形， 点是边的中点， ， 在中， ， 在中， ， ， ． （2）不变，，理由如下： 在中，， ， ， ， 在中，，， 在中，设，则， ， ， ． （3）过点作，交与，， ， ， ， 由（2）知，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 为的角平分线， ， ， ，，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，利用已知条件，作辅助线，构造全等三角形是解答本题的关键． 5．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，是斜边的中点，交于，垂足为，连接． (1)求证：； (2)如果与相似，求其相似比； (3)如果，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2)相似比为； (3)． 【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质求得推出，利用等角的余角相等求得，证明，即可证明结论成立； （2）分两种情况讨论，当时，证明是的中位线，据此求解；当时，证明是等边三角形，据此求解即可； （3）取的中点，连接，作于点，设，利用三角形中位线定理求得，证明和以及勾股定理，求得和的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是斜边的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴点H和点C对应， 当时，， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， 设，则， 由（1）知，则， ∴， ∴， ∵， ∴相似比为； 当时，， 由（1）知， ∴， ∴， 又∵，即，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故， 设，则，，， ∴， ∵， ∴相似比为； 综上，相似比为； （3）解：取的中点，连接，作于点， 则是的中位线， ∴，，则， 设， ∵，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， ∵，即， ∴，， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 6．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知中，，平分，，．点分别是边、上的点（点D不与点B、C重合），且，、相交于点F．    (1)求的长； (2)如图1，如果，求的值； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求长． 【答案】(1)10 (2) (3)或1 【分析】（1）根据角平分线的定义，得到，进而得出，证明，得到，求出，进而得到，即可求出的长； （2）由得到，进而得出，证明，得到，求出，，过点作交于点，得到，，求出，即可得出比值； （3）当时，根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质，得出，,进而得出，证明，，得到，，先求出，再求出，即可得到此时长；当时，在上截取点M，使，证明，得出，，得出，再求出即可． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 如图，过点作交于点，   ，， ，， ， ， ； （3）解：当， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ． 当时，在上截取点M，使，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 综上分析可知：或1． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 7．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：如图，在中，，，，与边相交于点P． (1)求证：； (2)如果，求的值； (3)如果是直角三角形，求的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据等边对等角可得；推得；根据等角对等边可得；根据直角三角形两锐角互余，等角的余角相等可得；根据等角对等边可得；根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边成比例，且都等于相似比即可证明． （2）结合题意可得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得；结合（1）中结论可求得；分别求出和，即可求解． （3）分两种情况讨论：当时，根据相似三角形的判定和性质可求得；根据勾股定理和（1）中结论可求得，即可列出等式，求得，根据勾股定理求出，分别求出、与的关系，根据锐角三角函数的定义即可求解；当时，根据同旁内角互补，两直线平行可得；根据两直线平行，内错角相等可得；根据锐角三角函数的定义可推得，根据正方形的判定和性质即可求出，根据特殊角的锐角三角函数值即可求解；当时，分析可得不存在，即可推得该情况不存在． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴, 即． （2）解：∵， ∴， 即， ∴， 在中，， ∴， 又∵， 即， 整理得：； ∵， ∴， ∴． （3）解：当时， ∵，， ∴， ∴, ∴， 即， 在中，， 即， 又∵， ∴， 故， 则， 整理得：， 在中，， 即，， ， 即； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵，， 故， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； 则和是正方形的对角线， ∴ 故． 当时，点A在上，即不存在， 故不存在这种情况． 【点睛】本题考查了等边对等角，等角对等边，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，锐角三角函数等；结合第1问中的结论通过列出等式，求出是解题的关键． 8．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知正方形的边长为，点是射线上一点(点不与点、重合)，过点作，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点、． (1)当点在边上时，如果，求的余切值； (2)当点在边延长线上时，设线段，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； (3)当时，求的面积． 【答案】(1)的余切值为或； (2) (3)或 【分析】（1）根据正方形的性质证明，根据全等三角形得出，、根据平行线分线段成比例得出，进而求得或，进而根据锐角三角函数的定义即可求解； （2）利用等腰三角形的性质，相似三角形的性质得出，再根据勾股定理得出即可； （3）分类讨论，当在上和的延长线上，分别利用相似三角形的判定和性质求出的边上的高即可． 【详解】（1）解：如图1， 正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， 设则 ， 解得或， 经检验，，都是原方程的根， 或， 在中， 或； （2）如图2，由（1）得， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 即； （3）当点在上时，如图，过点作，垂足为， ， ， 由（）可知，当时，， ， ， ， ， ， ， 在中，， 的面积为 当点在的延长线上时，如图，过点作，垂足为， 由（）可得，， ， ，即， 解得：， ， ，即， 解得： 的面积为 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角函数，掌握全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义是解题的关键． 9．（23-24九年级上·上海崇明·期末）已知中，，点D是边上的一个动点（不与点A、B重合），点F是边上的一点，且满足，过点C作交的延长线于E． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，联结，设，求y关于x的函数解析式并写出定义域； (3)过点C作射线的垂线，垂足为H，射线与射线交于点Q，当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1) (2)函数关系式为，定义域为 (3) 【分析】（1）由平行关系可得，由，则可得，由面积关系可求得，进而由勾股定理求得结果； （2）由已知易得，由相似三角形的性质及，可得，由相似三角形的性质即可得函数关系式；再由点D是边上的一个动点，且不与点A、B重合，即可确定自变量的取值范围； （3）由（2）得，则可得，进而得；由面积关系求得的长；由勾股定理可求得；由平行可得，由相似三角形的性质即可求得的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴； ∴； 由勾股定理得：， ∵， ∴， 由勾股定理得：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ∵点D是边上的一个动点，且不与点A、B重合， ∴自变量x的取值范围为； （3）解：由（2）知，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴； 由勾股定理得； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴, ∴为等腰三角形时，只能是； ∴，； ∵， ∴， 设，由勾股定理得， ∴， ∵， 即， 解得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，面积关系的应用，等腰三角形的性质，综合运用这些知识是关键． 10．（23-24九年级上·上海青浦·期末）在中，，，．点D、E分别在边、上，连接，将线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段． (1)如图1，当点E与点C重合，时，与相交于点O，求的值； (2)如图2，如果，当点A、E、F在一条直线上时，求长； (3)如图3，当，时，连接，求的正切值． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】（1）根据勾股定理得出，根据，求出，进而得出，根据旋转的性质得出，，则，通过证明，即可求解； （2）过点D作于点H，求出，进而得出，，设，则，通过证明，得出，求出x 的值即可； （3）以点E为原点建立平面直角坐标系，令相交于点G，过点D作y轴的垂线，垂足为P，过点F作y轴的垂线，垂足为点Q，则，，，用待定系数法求出的函数解析式为，通过证明，得出，再用待定系数法求出的函数解析式为，进而得出，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∵， ∴，即， 解得：， 在中，根据勾股定理可得：， ∵线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：过点D作于点H， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，则， 解得：， ∴，， 设，则， ∵线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段， ∴， ∵点A、E、F在一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：，， ∴或； （3）解：以点E为原点建立平面直角坐标系，令相交于点G，过点D作y轴的垂线，垂足为P，过点F作y轴的垂线，垂足为点Q， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的函数解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴的函数解析式为， ∵线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设的函数解析式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴的函数解析式为， 联立： 解得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 11．（23-24九年级上·上海松江·期末）在中，．点D是射线上一点（不与A、C重合），点F在线段上，直线交直线于点E，． (1)如图，如果点D在的延长线上 ①求证：； ②联结，如果，，求的长． (2)如果，求：的值． 【答案】(1)①见详解；② (2)的值为1 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． （1）①由，得，因为，所以，得，由，得，所以，则，即可证明； ②由，得，则，可证明，得，所以，而，得，所以，则，求得，于是得，求得； （2）分两种情况，一是当点在的延长线上，联结，作交的延长线于点，可证明，得，再证明，得，则；二是当点在线段上，可证明与不相似，则不存在的情况． 【详解】（1）证明：如图1，∵， ， ， ， ， ②如图， 解得或（舍去）， （2）如图2，点在的延长线上， 联结，作交的延长线于点，则 ∴， ∵， 在和中， ， 在和中， 如图3，点在线段上， 与不相似， 不存在的情况， 综上所述，的值为1． 12．（2023·上海·模拟预测）如图1，在中，，，点是形内一点，，，，垂足分别为、、． (1)当为中点时，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域； (2)当时，求的度数； (3)当与相似时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）延长，交于，可得出，，根据得出，进而得出结果； （2）可证得四边形是矩形，从而，根据得出是的外接圆的圆心，从而得出； （3）连接，，可推出当是等腰直角三角形时，；当时，作于，可证得，从而，．设，，则，，，可得出，可证得，从而得出，可证得，从而得出，进而得出，求得，的值，进一步得出结果，当时，可得出相同的结果． 【详解】（1）解：如图1， 延长，交于， ，， ， ，， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， 是的外接圆的圆心， ； （3）解：如图3， 连接，， 与相似，是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ，，， ， ，， 点、、、共圆， ， 同理可得， ， ， ， 如图4， 当时，， 作于， ， ， ， ， ， ，， 设，， 则，，， ， ①， ， ， ， ， ， ， 点、、、共圆，点、、、共圆， ，， ；， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ②， 由①②得， ， ， ， 当时， 同理可得， ， 综上所述：的面积为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，确定圆的条件，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是分类讨论． 13．（2024·上海·名校模考）我们知道：如图①，点B把线段分成两部分，如果．那么称点为B线段的黄金分割点．它们的比值为． (1)在图①中，若，则的长为 ； (2)如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明G是的黄金分割点； (3)如图③，在边长为a的正方形的边上任取点E，连接，作，交于点F，延长交于点P．若E、F恰好分别是的黄金分割点，请直接写出：的值 【答案】(1) (2)见详解 (3)或时，、分别是、的黄金分割点 【分析】（1）由根据黄金分割的定义直接求出的长即可； （2）延长、交于点，由折叠得，，由，，得，则，根据勾股定理得到，再证明，即可求得，则点是的黄金分割点； （3）先证明，得，由，得，再证明，得，所以，再分两种情况讨论，一是，可证明，所以，则、分别是、的黄金分割点；二是，先探究出当、分别是、的黄金分割点时，，再证明当时，则，，所以、分别是、的黄金分割点． 【详解】（1）解：，点是的黄金分割点， ， 故答案为：． （2）证明：如图②，延长、交于点， 四边形是正方形，， ，，， ， 由折叠得，， ， ， ， ， ， ， 点是的黄金分割点． （3）解：或时，、分别是、的黄金分割点， 理由：设交于点， 四边形是正方形， ，，， 于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 若，如图③， 则， 当时，则， ， 、分别是、的黄金分割点； 若，如图④， 设，则， 由可知， ， 当时，由得， 整理得， 解关于的方程得，（不符合题意，舍去）， ，， 、分别是、的黄金分割点． 【点睛】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法与应用、黄金分割原理的应用等知识与方法，解题过程中还要注意数形结合与分类讨论数学思想的运用，求得所有符合题意的结论． 14．（2024·上海·名校模考）如图，在中，，，，分别为，，的中点，连接，． (1)如图1，求：的值 (2)如图2，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，连接并延长交射线于点M，判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，求的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据中位线定理可得，即可求解； （2）证明，根据（1）的结论即可得； （3）连接，过点作于，证明，可得，勾股定理求得，，根据，，可得，进而求得，根据求得，根据（2）的结论，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，连接， ，，，分别为，，的中点， ，， ， ． （2）解：， 理由如下： 连接，如图2， ，，，分别为，，的中点， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 将绕点顺时针旋转一定角度，得到， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，连接，过点作于， 中，， ， ， ， ， ， ， ， 中，， 中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 15．（2024·上海宝山·一模）如图，已知在中，，是边上的一点（不与点、重合），是边延长线上一点，，延长交边于点． (1)求证：； (2)如果，且，求：的余切值； (3)连结，当平分时，求：的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边对等角可得，，再根据，，即可证明； （2）先证明，再证明，即有，根据，，可得，进而可得，，即可解答； （3）过点作，交于点，与交于点，通过得到，设，，，即有，证明，可表示出，从而表示出和，进而表示出和，易证，可得，进而得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：在中，， ， 在中，， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作于点， 在中，，， ，，， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； （3）解：如图，过点作，交于点，与交于点， 平分， ， ， ，， 又， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ，， ， ， ， 整理得， ， ， 解得 （负值舍去）， 经检验，是原方程的根， ． 【点睛】本题是相似的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，余切，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的应用等知识，作出合理的辅助线，构造相似三角形，是解答本题的关键． 16．（2023·上海·一模）如图，是等边三角形，点D是平面内一点，连接，在平面内将线段绕点D逆时针方向旋转得到线段． (1)如图1，若点D在上，将绕点D逆时针方向旋转得到线段，此时点E正好落在上，G是延长线上一点，连接交于点F，若，，求的长； (2)如图2，将绕点D逆时针方向旋转，连接、，点H是中点，连接交于点Q，连接，． ①若与的值相同，求：的余切值； ②如图3，点M是中点，连接，将沿翻折至，当点N到直线的距离最大时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）过点作交于点，证明是等边三角形，再结合旋转的性质，得出，进而得出，，证明，得出，即可求出的长； （2）①延长至点，使得，连接、、，，延长交于点，交于点，易证四边形是平行四边形，进而推出，可证是等边三角形，由等腰三角形的性质和勾股定理，得出，，进而可求出的余切值； ②取中点，连接、，与交于点，先得出点在以为直径的圆上运动，再得出点在以为直径的圆上运动，取的中点，作以为直径的圆，交于点，作弦的垂直平分线交于点，垂足为，当点运动到与点重合时，点N到直线的距离最大，此时与的交点与点重合，连接、，设，则，，，，，证明，得出，再分别用表示出和即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点作交于点， 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，，， ，， ， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：①如图2，延长至点，使得，连接、、，，延长交于点，交于点， 由旋转的性质可知，，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ，，， ， ， ∴， ∵与的值相同， ∴， ， ； ②如图3，取中点，连接、，与交于点， 由①可知，，， ， 点在以为直径的圆上运动， ，， 是的中位线， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 取的中点，作以为直径的圆，交于点，作弦的垂直平分线交于点，垂足为， 沿翻折得到， 点到直线的距离等于点到直线的距离， 当点运动到与点重合时，点到直线的距离最大，即点N到直线的距离最大，此时与的交点与点重合，连接、，如图4， 设， ，， 是等边三角形， ， ， ，，，， ， ， ，， ， ， ， ， 在等边中，点是中点，， ，， ， ， 由①可知，，， ，， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，含30度的直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，正确作辅助线是解题关键，难度较大． 17．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：在平面直角坐标系中，抛物线过点、、． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)点在抛物线对称轴上，，求点的坐标； (3)抛物线的对称轴和轴相交于点，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点，，的延长线交原抛物线为，，求新抛物线的表达式． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法解得该抛物线解析式，并将其转化为顶点式，即可确定点的坐标； （2）设点，根据勾股定理可得，，，在中，由勾股定理可得，然后代入求值，即可获得答案； （3）首先过点作于点，根据等腰三角形“三线合一”的性质确定点为中点，易得；过点作轴于点，证明，由全等三角形的性质可得，，易知点的横坐标为，进而确定点，点，然后根据平移的性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点、、代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线的表达式为， 又∵， ∴顶点的坐标为； （2）如下图， 根据题意，点在抛物线对称轴上，， 设点， ∵，， ∴，，， 在中，由勾股定理可得， 即， 解得， ∴点的坐标为； （3）如下图， ∵原抛物线， ∴其对称轴为， ∴， ∵新抛物线的顶点为点，， 过点作于点，则，即点为中点， ∵，， ∴， ∴， 过点作轴于点， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵把原抛物线平移，得到新抛物线， ∴新抛物线解析式为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、利用二次函数解决几何问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 18．（2024·上海普陀·名校模考）如图，在梯形中，（），，．将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、． (1)当点正好落在的延长线上时，求的度数； (2)联结，设，． ①求关于的函数解析式； ②定义：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形．设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段、为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求双同正多边形的边数． 【答案】(1) (2)①；②理由见解析，双同正多边形的边数为 【分析】（1）当点正好落在的延长线上时，连接，根据平行线的性质、旋转的性质、等边对等角的性质，得出，结合三角形内角和为求出度数即可； （2）①连接、、、，过点作于点，根据旋转的性质、相似三角形的判定定理，证明，得出，结合勾股定理，用含的代数式表示出、，代入中整理得出关于的函数解析式即可；②根据①过程中，，，已知，说明以线段、为边的正多边形是双同正多边形即可；根据当这两个正多边形的面积比是时，相似多边形的面积比等于相似比的平方，得出相似比为，求出的长，结合勾股定理计算，求出，得出，计算即可得出双同正多边形的边数． 【详解】（1）解：如图，当点正好落在的延长线上时，连接， ∵，，将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、， ∴（两直线平行，内错角相等），，， ∴， ∴； （2）解：①如图，连接、、、，过点作于点， ∵将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、， ∴， 和都等于旋转角，即， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， ， 整理得：； ②以线段、为边的正多边形是双同正多边形，理由如下， 如图，由①过程得：，，， ∵，是一个正多边形的中心角，将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、， ∴， ∴也是一个正多边形的中心角， ∴以线段、为边，以点为的中心的两个正多边形的中心角也相等，即这两个正多边形是双同正多边形， ∴这两个正多边形也是相似多边形， ∵当这两个正多边形的面积比是时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这两个正多边形的中心角， ∴这两个正多边形的边数， ∴当这两个正多边形的面积比是时，双同正多边形的边数为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正多边形的性质等，熟练掌握相似三角形的判定与性质、推理证明是解题的关键． 19．（2024·上海杨浦·名校模考）如图，已知在中，，是边上的一点（不与点、重合），是边延长线上一点，，延长交边于点． (1)求证：； (2)如果，且，求的余切值； (3)连接，当平分时，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据等边对等角可得，，再根据，，即可证明； （2）先证明，再证明，即有，根据，，可得，进而可得， ，问题随之得解； （3）过点F作，交于点N，与交于点O，先证明，设，，，即有，证明，可得，则有，，进而可得，，再证明，可得，进而得方程，解方程即可求解． 【详解】（1）∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）过点A作于点N，如图， ∵在中，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵； （3）过点F作，交于点N，与交于点O，如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ， ∵， ∴， 解得：（负值舍去），经检验，是原方程的根， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，余切，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的应用等知识，作出合理的辅助线，构造相似三角形，是解答本题的关键． 20．（2024·上海·中考真题）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：； (2)已知； ①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】（1）延长交于点G，由，得到，由已知数据得到，，故，因此； （2）①记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，先证明，再证明，则，即，求得； ②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q，由，求得，可证明，角度推导得，则，求出，继而得到，由，则，设，则，由，设，，由，得到，设，可证明，求出，则，在中，运用勾股定理得：，则，在中，由勾股定理得，，故． 【详解】（1）证明：延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）①解：记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接， ∵点O为外接圆圆心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴外接圆半径为； ②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q， ∵， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由， 得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴， 而， ∴在中，由勾股定理得，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 21．（2024·上海虹口·名校模考）在梯形中，，点E在射线上，点F在射线上，连接相交于点P，．    (1)如图①，如果，点E、F分别在边上．求证：； (2)如图②，如果，，，．在射线的下方，以为直径作半圆O，半圆O与的另一个交点为点G．设与弧的交点为Q． ①当时，求和的长； ②当点Q为弧的中点时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据平行线的性质以及三角形外角的性质证明即可得证； （2）①过作于，连接，根据锐角三角函数的定义，求出的长，从而求得和的长，根据勾股定理求出的长，从而得到的三角函数值，进而求得的长，然后根据，推出和相似，从而求出的长即可； ②过点作于，根据垂径定理以及勾股定理求出的三角函数值，然后用表示出的长，即可求出的长度． 【详解】（1）证明：∵， ， 又， ， ， ； （2）解：①过作于，连接，如图：   ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， ， ， 又， ， 在中，， ， ∵为直径， ， ， ， ， ； ②过点作于，连接，如图：   是的中点， ，， ， ， 设， ， ， ， 设， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，综合运用三角函数的定义、垂径定理、相似三角形的性质和判定、矩形的性质和判定、勾股定理以及平行线的性质等知识点，掌握以上知识点是本题解题的关键． 22．（2024·上海·模拟预测）如图，在矩形中，点E为线段上一动点，已知，点F在边上，，点D关于直线对称点为P，射线交线段于G，点C关于直线的对称点为H，作交边BC于M，    (1)当点P与点G重合时，求证：H，F，D三点共线 (2)当点P在上方运动时，连接，设，，求y关于x的函数解析式并写出其定义域，以及当为直角三角形时x的值 (3)当点P在下方运动时，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，定义域，当为直角三角形时 (3) 【分析】（1）连接，，先证明是菱形，然后根据正切得到，然后证明是即可解题； （2）可以得到和为矩形，然后根据菱形的性质和等边三角形的性质，利用三角函数求出和长，表示y即可，然后根据点P在上方运动时，点F在边上，计算出定义域即可解题； （3）过点P作于点Q，然后解直角三角形求出和的值，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）解：连接， ∵是矩形， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴ ∴是菱形， 又∵， ∴， 即 设射线与交于点N， 则， 又∵点C关于直线的对称点为H， ∴， ∴， ∴， ∴H，F，D三点共线；    （2）解：当点P与点G重合时，由（1）可得是菱形，且°， 又∵， ∴和为矩形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， ∵点P在上方运动时，点F在边上， ∴， 当为直角三角形时，即，， ∴， ∴， ∴，即； （3）过点P作于点Q， 如图，， 又∵， ∴，， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形和勾股定理，轴对称的性质，综合性强，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23．（2024·上海·模拟预测）如图1，分别是的内角的平分线且，过A作，交延长线于E． (1)，求证：A，D，C，E四点共圆； (2)如图2，若，求的余角的正切值； (3)若与相似，请直接写出的正弦值以及其对应的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的正弦值为：或者， 的值为：或者 【分析】(1) 设的中点为O，连接，过点E作边的垂线，垂足分别为F，G，H，根据分别是角的平分线，得到是角的平分线，，，，根据垂直定义推出，得到，根据角平分线性质得到，得到，得到平分， ，得到，即得A，D，C，E四点共圆； (2) 延长交于点F，过点D作于点G，则，根据等腰三角形性质和角平分线定义得到，得到，得到，得到，根据角平分线性质推出，设，，根据勾股定理得到，得到，即得； (3) 过点D作，垂足分别为M，N，T，根据角平分线性质和切线长性质得到，设，根据，当时，得到四边形是正方形，，根据，推出，得到,，得到，，由勾股定理得到，得到；当，时，得到，得到，，，得到，得到，根据，由勾股定理得到，即得 【详解】（1）设的中点为O，连接，过点E分别作边的垂线，垂足分别为F，G，H， ∵分别是的内角的平分线， ∴是的内角的平分线，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴A，D，C，E四点共圆； （2）延长交于点F，过点D作于点G，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∵，， ∴的余角的正切值为：； （3）过点D作，垂足分别为M，N，T， ∵D为角平分线交点， ∴， 设， ∵与相似，，， ①当时， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， 由(1)知，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当，时， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故的正弦值为：或者， 的值为：或者； 【点睛】本题主要考查了三角形和圆综合，熟练掌握角平分线计算、判断和性质，直角三角形斜边中线性质 ，等腰三角形性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，三角形内切圆性质，正方形的判定和性质，切线长定理，分类讨论，是解题的关键． 24．（2021·上海松江·一模）如图，已知在等腰中，，，，垂足为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合） （1）求边BC的长； （2）如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果，求线段AD的长； （3）过点D作，垂足为E，DE交BF于点Q，连接DF，如果和相似，求线段BD的长． 【答案】（1）10；（2）；（3）或． 【分析】（1）如图作交BC于点H，设BH=x，根据正切可求出AH=2x，再根据勾股定理解出x即可． （2）作交AC于点E，利用三角形面积公式可求出的长，再利用勾股定理可求出，从而得到．再利用和结合边的等量关系得到两个关于未知边的方程组，解出方程组即可． （3）根据题意可证明，所以分两种情况讨论①当DQ=DF时，如图，作交BF于点P，，再反复利用正切函数结合勾股定理求出x的值，最后再利用正切函数即可求出BD的长②当DF=QF时，如图，作 交DQ于点O，同理设，解出x的值，最后再利用正切函数即可求出BD的长． 【详解】（1）如图作交BC于点H，设BH=x， 根据题意，， ∴AH=2x， 在中，， ∴ 解得x=5． ∴BH= 5． 又∵是等腰三角形，即H点为BC中点， ∴BC=2BH=10． （2）根据题意可知，即， ∴， ∴，． 作交AC于点E， ∴，得到：，即． ，得到：． 又∵ ∴， 由 ， 解得，． ∵，是等腰三角形， ∴也是等腰三角形， ∴． （3）∵，， ∴， 又∵， ∴ 当DQ=DF时，如图，作交BF于点P， 设， ∵, ∴， ∴， ∴， ∵， ∵, ∴， ∴， ∵，即 解得x=，经检验是原方程的解，即． ∴ ． 当DF=QF时，如图，作 交DQ于点O， 设， 同理，，， ∵ , ∴， ∴， ∴， 同理∵，即 解得，经检验是原方程的解，． ∴ ． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正切函数，边的等量关系等知识，作出每一个问的辅助线是解答本题的关键，综合性较强，较难．需特别注意最后问的分情况讨论． 25．（2024·上海浦东新·一模）新定义1：将宽与长的比等于黄金分割比的矩形称为黄金矩形   新定义2：将顶角为的等腰三角形称为黄金三角形 ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平 ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平 ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处 ④展平纸片，按照所得到的点D折出 (1)根据以上折纸法，求证：矩形为黄金矩形 (2)如图5，已知为黄金三角形，，求：的长 (3)在（2）的条件下，截取交AC于D，截取交线段于E，过E作任意直线与边交于P，Q两点，试判断：是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据折叠的性质得出，，结合，即可判定四边形是正方形，可得，再求出，则由勾股定理可得，再证明即可； （2）作的角平分线交于D，先求出，再证明，得到，进一步证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为F，G，过点Q作于H，根据，得到；再证明，进而得到，解直角三角形得到，则，再解直角三角形得到，则；证明，得到，则，可得；如图所示，连接，由勾股定理得到，根据，得到，据此代值计算即可． 【详解】（1）证明：由折叠可知：， 又∵， 四边形是矩形， 又由折叠可知：， 四边形是正方形， ∴， 由题意得， ∴； 由折叠得， ∴， ∴，， ∴矩形是黄金矩形； （2）解：如图所示，作的角平分线交于D， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解． （3）解：如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为F，G，过点Q作于H， ∵， ∴； 由（2）可知，当平分时有， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 如图所示，连接， 在中，， ∵， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，矩形与折叠问题，等腰三角形的性质与判定等等，正确理解题意作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一模备课专题11 解答题25题：代几综合题 （压轴题，25题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（22-23九年级上·上海静安·期末）如图，矩形中，，点是边上的一个动点，联结，过点作，垂足为点.    (1)设，的余切值为，求关于的函数解析式； (2)若存在点，使得、与四边形的面积比是，试求矩形的面积； (3)对（2）中求出的矩形，联结，当的长为多少时，是等腰三角形？ 2．（上海徐汇·一模）已知二次函数的大致图像如图所示，这个函数图像的顶点为点． （1）求该函数图像的开口方向、对称轴及点的坐标； （2）设该函数图像与y轴正半轴交于点，与x轴正半轴交于点B，图像的对称轴与x轴交于点A，如果 ，，求该二次函数的解析式； （3） 在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图像上，且点M的横坐标为，如果的面积是，求点M的坐标． 3．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，已知中，，是边上一点，且，过点作，并截取，射线与的延长线交于点． (1)求证：； (2)设，，求与的函数关系式； (3)如果是直角三角形，求的长． 4．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，，，点是边上的动点（点不与点重合），以为斜边在直线上方作等腰直角三角形． (1)当点是边的中点时，求的值； (2)，点在边上运动的过程中，的大小是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的大小； (3)设与的交点为，点是边上的一点，且，如果点到直线的距离等于线段的长度，求的面积． 5．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，是斜边的中点，交于，垂足为，连接． (1)求证：； (2)如果与相似，求其相似比； (3)如果，求的大小． 6．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知中，，平分，，．点分别是边、上的点（点D不与点B、C重合），且，、相交于点F．    (1)求的长； (2)如图1，如果，求的值； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求长． 7．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：如图，在中，，，，与边相交于点P． (1)求证：； (2)如果，求的值； (3)如果是直角三角形，求的正切值． 8．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知正方形的边长为，点是射线上一点(点不与点、重合)，过点作，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点、． (1)当点在边上时，如果，求的余切值； (2)当点在边延长线上时，设线段，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； (3)当时，求的面积． 9．（23-24九年级上·上海崇明·期末）已知中，，点D是边上的一个动点（不与点A、B重合），点F是边上的一点，且满足，过点C作交的延长线于E． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，联结，设，求y关于x的函数解析式并写出定义域； (3)过点C作射线的垂线，垂足为H，射线与射线交于点Q，当是等腰三角形时，求的长． 10．（23-24九年级上·上海青浦·期末）在中，，，．点D、E分别在边、上，连接，将线段绕点E按顺时针方向旋转得到线段． (1)如图1，当点E与点C重合，时，与相交于点O，求的值； (2)如图2，如果，当点A、E、F在一条直线上时，求长； (3)如图3，当，时，连接，求的正切值． 11．（23-24九年级上·上海松江·期末）在中，．点D是射线上一点（不与A、C重合），点F在线段上，直线交直线于点E，． (1)如图，如果点D在的延长线上 ①求证：； ②联结，如果，，求的长． (2)如果，求：的值． 12．（2023·上海·模拟预测）如图1，在中，，，点是形内一点，，，，垂足分别为、、． (1)当为中点时，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域； (2)当时，求的度数； (3)当与相似时，求的面积． 13．（2024·上海·名校模考）我们知道：如图①，点B把线段分成两部分，如果．那么称点为B线段的黄金分割点．它们的比值为． (1)在图①中，若，则的长为 ； (2)如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明G是的黄金分割点； (3)如图③，在边长为a的正方形的边上任取点E，连接，作，交于点F，延长交于点P．若E、F恰好分别是的黄金分割点，请直接写出：的值 14．（2024·上海·名校模考）如图，在中，，，，分别为，，的中点，连接，． (1)如图1，求：的值 (2)如图2，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，连接并延长交射线于点M，判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，求的长． 15．（2024·上海宝山·一模）如图，已知在中，，是边上的一点（不与点、重合），是边延长线上一点，，延长交边于点． (1)求证：； (2)如果，且，求：的余切值； (3)连结，当平分时，求：的值． 16．（2023·上海·一模）如图，是等边三角形，点D是平面内一点，连接，在平面内将线段绕点D逆时针方向旋转得到线段． (1)如图1，若点D在上，将绕点D逆时针方向旋转得到线段，此时点E正好落在上，G是延长线上一点，连接交于点F，若，，求的长； (2)如图2，将绕点D逆时针方向旋转，连接、，点H是中点，连接交于点Q，连接，． ①若与的值相同，求：的余切值； ②如图3，点M是中点，连接，将沿翻折至，当点N到直线的距离最大时，请直接写出的值． 17．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：在平面直角坐标系中，抛物线过点、、． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)点在抛物线对称轴上，，求点的坐标； (3)抛物线的对称轴和轴相交于点，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点，，的延长线交原抛物线为，，求新抛物线的表达式． 18．（2024·上海普陀·名校模考）如图，在梯形中，（），，．将梯形绕点按顺时针方向旋转，使点与点重合，此时点、的对应点分别是点、． (1)当点正好落在的延长线上时，求的度数； (2)联结，设，． ①求关于的函数解析式； ②定义：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形．设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段、为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求双同正多边形的边数． 19．（2024·上海杨浦·名校模考）如图，已知在中，，是边上的一点（不与点、重合），是边延长线上一点，，延长交边于点． (1)求证：； (2)如果，且，求的余切值； (3)连接，当平分时，求的值． 20．（2024·上海·中考真题）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：； (2)已知； ①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长． 21．（2024·上海虹口·名校模考）在梯形中，，点E在射线上，点F在射线上，连接相交于点P，．    (1)如图①，如果，点E、F分别在边上．求证：； (2)如图②，如果，，，．在射线的下方，以为直径作半圆O，半圆O与的另一个交点为点G．设与弧的交点为Q． ①当时，求和的长； ②当点Q为弧的中点时，求的长． 22．（2024·上海·模拟预测）如图，在矩形中，点E为线段上一动点，已知，点F在边上，，点D关于直线对称点为P，射线交线段于G，点C关于直线的对称点为H，作交边BC于M，    (1)当点P与点G重合时，求证：H，F，D三点共线 (2)当点P在上方运动时，连接，设，，求y关于x的函数解析式并写出其定义域，以及当为直角三角形时x的值 (3)当点P在下方运动时，当时，求的长． 23．（2024·上海·模拟预测）如图1，分别是的内角的平分线且，过A作，交延长线于E． (1)，求证：A，D，C，E四点共圆； (2)如图2，若，求的余角的正切值； (3)若与相似，请直接写出的正弦值以及其对应的值． 24．（2021·上海松江·一模）如图，已知在等腰中，，，，垂足为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合） （1）求边BC的长； （2）如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果，求线段AD的长； （3）过点D作，垂足为E，DE交BF于点Q，连接DF，如果和相似，求线段BD的长． 25．（2024·上海浦东新·一模）新定义1：将宽与长的比等于黄金分割比的矩形称为黄金矩形   新定义2：将顶角为的等腰三角形称为黄金三角形 ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平 ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平 ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处 ④展平纸片，按照所得到的点D折出 (1)根据以上折纸法，求证：矩形为黄金矩形 (2)如图5，已知为黄金三角形，，求：的长 (3)在（2）的条件下，截取交AC于D，截取交线段于E，过E作任意直线与边交于P，Q两点，试判断：是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$