一模备课专题10 解答题24题：二次函数综合题（压轴题，30题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（上海专用）

一模备课专题10 解答题24题：二次函数综合题 （压轴题，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（23-24九年级上·上海静安·期末）在平面直角坐标系中（如图），已知点、、、在同一个二次函数的图像上．    (1)请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式； (2)如果射线平分，交轴于点， ①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段的点处，求此时抛物线顶点的坐标； ②如果点在射线上，当与相似时，请求点的坐标． 【答案】(1) (2)①    ②， 【分析】（1）把解析式设为交点式，再把代入解析式中求解即可； （2）①过点E作于H，由角平分线的性质得到．利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出，则，求出直线解析式为，再求出对称轴为直线，由此即可求出；②先求出，设，则，，分当时， 当时，两种情况根据相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：①过点E作于H， ∵射线平分，， ∴， ∵、， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 在中，当时，， ∴；    ②∵， ∴， 设， ∴，， 当时，则， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当时，则， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，一次函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 2．（23-24九年级上·上海崇明·期末）已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点．                                   备用图 (1)求该抛物线的表达式； (2)点D是点C关于抛物线对称轴对称的点，连接，将抛物线向下平移个单位后，点D落在点E处，过B、E两点的直线与线段交于点F． ①如果，求的值； ②如果与相似，求m的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出抛物线对称轴为直线，则，进而得到；求出直线的解析式为，同理可得直线的解析式为，进而求出；利用勾股定理求出，，，进而利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，则；②时，则此时点F与点A重合，则与重合，可得；当时，则，如图所示，设直线交x轴于G，则，推出，得到，如图所示，取点，则，，，证明是等腰直角三角形，得到，则点F在直线上，同理可得直线的解析式为，在中，当时，，则，即可得到；综上所述，或． 【详解】（1）解：把代入中， 得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：①∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点D是点C关于抛物线对称轴对称的点， ∴， ∵将抛物线向下平移个单位后，点D落在点E处，且， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得， ∴； ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； ②当时，则此时点F与点A重合，则与重合， ∴； 当时，则， 如图所示，设直线交x轴于G，则， ∴， ∴， ∴， 如图所示，取点，则，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点F在直线上， 同理可得直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定理，一次函数与几何综合，坐标与图形变化—平移，等腰直角三角形的性质与判定等等，通过利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明直角三角形是解题的关键． 3．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线的镜像抛物线． (1)如图，已知抛物线顶点为A． ①求该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式； ②已知该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B，如果（是锐角），求m的值． (2)已知抛物线的顶点为C，它的一条镜像抛物线的顶点为D，这两条抛物线的交点为．如果是直角三角形，求该抛物线的表达式． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（1）①由，可得，则该抛物线关于y轴的镜像抛物线的顶点为，然后求镜像抛物线的表达式即可；②当在点左侧时，该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为，如图，连接交轴于点，则，由，可得，计算求解即可；如图，当在点右侧时，同理可得，，计算求解即可； （2）如图2，由题意知，若是直角三角形，则是等腰直角三角形，则，设，由，可得，即抛物线的表达式为，将代入得，，求出满足要求的，进而可得抛物线的表达式． 【详解】（1）①解：∵， ∴， ∴该抛物线关于y轴的镜像抛物线的顶点为， ∴该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式为，即； ②当在点左侧时， ∵，该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B， ∴， 如图，连接交轴于点，则， 图 ∵， ∴， 解得，； 如图，当在点右侧时， 图 同理可得，， 解得，； 综上所述，的值为或； （2）解：如图2，         图2 由题意知，若是直角三角形，则是等腰直角三角形，则， 设， ∵， ∴， ∴抛物线的表达式为， 将代入得，， 解得，或（舍去）， ∴抛物线的表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，正切等知识，熟练掌握二次函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，正切是解题的关键． 4．（2024·上海虹口·模拟预测）二次函数的图象交x轴于点，点，交轴于点，抛物线的顶点为点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，点是抛物线上的一点，设点P的横坐标为，点在对称轴上，且，若，请求出的值； (3)如图2，将抛物线绕轴正半轴上一点旋转得到新抛物线交轴于，两点，点的对应点为点，点B的对应点为点．若，求旋转中心点的坐标 【答案】(1) (2) (3)R 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）证明，则，即可求解； （3）在中，，，则，解得，在中，，故点的坐标为，进而求解． 【详解】（1）解：将，点，代入函数解析式得：， 解得：， 这个二次函数的表达式是； （2）解：过点作轴的平行线交过点与轴的平行线与点，交过点与轴的平行线于点， ，， ， ， ， ， 设点的坐标为，点的坐标为， 则，，，， 即， 解得（舍去）或4， 故； （3）解：过点作交的延长线于点， 由抛物线的表达式知，点，， 则， ，故， 故设，则， 在中，，， 则，解得， 在中，， 故点的坐标为， 由旋转的定义知，点是点、的中点， 则， 故点的坐标为． 【点睛】本题要考查了二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、图形的旋转、解直角三角形，解题的关键是正确的利用性质． 5．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)已知点坐标，点为抛物线上一动点，且在对称轴右侧，以为圆心，为半径画圆交轴于，两点（在左侧），求弦长； (3)在（2）的条件下，若与相似，求点坐标． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）根据题意，可设该抛物线解析为，将点代入并求得的值，即可获得答案； （2）过点作轴于点，连接，设，易得，再根据垂径定理以及勾股定理可得求解即可； （3）设，则，由，可得，代入数值并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可设该抛物线解析为， 将点代入，可得， 解得， ∴该抛物线解析为； （2）如下图，过点作轴于点，连接， 设，则有， ∵， ∴， ∵以为圆心，为半径画圆交轴于，两点， ∴， ∵轴， ∴， ∴； （3）如下图， 由（2）可知，， ∵，， ∴，， 设，则， 若， 则有，即， 解得（舍去），， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，结合题意正确作出图形，并熟练运用相关知识是解题关键． 6．（2024·上海·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及点D坐标； (2)点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标； (3)如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）用待定系数法，直接将代入解析式即可求解解析式，再把解析式化为顶点式求出点D的坐标即可； （2）由平分，平行即可求出，继而得出点坐标，由直线解析式即可求出与抛物线交点坐标即可． （3）由三点的坐标可得三边长，由坐标可得和中，则另两组边对应相等即可，设点坐标为；利用两点间距离公式即列方程求解． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标为； （2）解：如图1，设对称轴与轴交于点， 平分， ， 又， ， ， ． 由（1）可知对称轴为直线，则 在中，，． ， ；． ①当时，直线解析式为：， 联立得． 解得：，， 点在对称轴右侧的抛物线上运动， ， ②当时，直线解析式为：， 同理可求：， 综上所述：点的坐标为：或； （3）解：由题意可知：，，， ， ， ， 直线经过，， 直线解析式为， 抛物线对称轴为，而直线交对称轴于点， 坐标为； ， 设点坐标为，则，， ， ∴与全等，有两种情况， 当，，即时， ， 解得：，， 即点坐标为或． 当，，即时， ， 解得：，， 即点坐标为或． 综上所述，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，一次函数与几何综合，勾股定理等等．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 7．（2023·上海普陀·名校模考）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．    (1)求：二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点，若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的面积为定值 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）设，，设的解析式，联立抛物线解析式，可得，根据题意，设直线解析式为，直线的解析式为，求得到轴的距离是定值，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：对于，令，则 解得： ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，    ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； （3）解：设，， ∵点为中点，， ∴, ∵，，三点共线， ∴可设直线的解析式， 联立 消去得， ∴ ∵， ∴可设直线解析式为，直线的解析式为 联立 解得： ∴ ∵， ∴， ∴ 而不为定值， ∴在直线上运动， ∴到轴的距离为定值， ∵直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形，到的距离是变化的， ∴只有的面积是定值，且的面积为．    【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8．（2024·上海·模拟预测）如图，直线交y轴于点A，交抛物线于点，抛物线经过点，交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作交所在直线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当为等腰直角三角形时，求：P点坐标； (3)在（2）的条件下，连接，将沿直线翻折，直接写出翻折后点E的对称点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)的对称点坐标为 【分析】（1）把代入即可得到结论； （2）由求得，根据等腰直角三角形的性质得到，列方程即可得到结论； （3）分为①当点在直线的上方时，②当点在直线的下方时，根据勾股定理和锐角三角形解答即可． 【详解】（1）解：把代入得， ， ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴轴， ∵， ∴， ∴，或， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， 或， 解得：（不合题意，舍去）， 或， ∴或； （3）解：①当点在直线的上方时，如图1，设点关于直线的对称点为，过作于， 由（2）知，此时，， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴在中，，，解得：， ∴， 在中，，即， 解得：， 故点的纵坐标为，横坐标为， ； ②当点在直线的下方时，如图2，设点关于直线的对称点为，过作于， 由（2）知，此时，， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴在中，，，解得：， ∴， 在中，，即， 解得：， 故点的纵坐标为，横坐标为， ∴， 综上所述，的对称点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 9．（2024·上海嘉定·名校模考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，且与轴交于点． (1)求抛物线的表达式及点A的坐标； (2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点作，交线段的延长线于点，如果．求：点P坐标 (3)若点是线段（不包含端点）上的一点，且点关于的对称点恰好在上述抛物线上，求的长． 【答案】(1)y=x+5； (2) (3) 【分析】（1）将点、代入抛物线解析式即可； （2）先证为直角三角形，再证，又因，可得到，再根据等角的正切值相等，设坐标，建立方程求解即可； （3）做点关于的对称点，求出的坐标，直线的解析式，即可求出点的坐标，接着求直线的解析式，求出其与的交点即可． 【详解】（1）解：将，代入抛物线解析式， 得， 解得，，， 则抛物线的解析式为：， 当时，， 点坐标为； （2）解：如图， ，，， ， 为直角三角形，且， ∴， 当时，点只能在点右侧， ， ∵， ∴， ， ， ， ∴， 设 ∴ 解得：或（舍）， ∴； （3）解：作点关于的对称点，则，，三点共线， 由于，则点C为中点， ∴ ∴点， 设直线解析式为：， 代入得，， 将代入直线：， 得， ， ， 联立， 解得，，（舍去）， 则， 设直线表达式为：， 将，代入直线， 得，， 解得，，， ， 由题意知， ， 设， 将点代入 得， 得，， ， 设直线表达式为：， 代入点A、B得，， 解得：， ∴， 联立， 解得，，， ， 则． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称的性质，相似三角形的判定，交点坐标的求法等，解题关键是牢固掌握轴对称的性质，并能够灵活运用． 10．（2024·上海普陀·名校模考）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点，又与x轴正半轴相交于点A，，点P是线段上的一点，过点P作，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内． (1)求抛物线的表达式； (2)若，求点P的坐标； (3)过点M作轴，分别交直线轴于点N、C，若的面积等于的面积的2倍，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）过点作轴，垂足为点，根据等腰直角三角形的性质可求点，用待定系数法可求抛物线的表达式； （2）根据平行线的性质可得，可求点坐标，用待定系数法可求直线，直线，直线的解析式，即可求点坐标； （3）延长交轴于点，作于点，根据等腰直角三角形的性质可得，，根据锐角三角函数可得，可得，根据面积关系可求的值，再求出的值，即可得证． 【详解】（1）解：如图，过点作轴，垂足为点， 点， ，， ，， ， ， 点， 抛物线过原点、点、， 设抛物线的表达式为， ， 解得：，， 抛物的线表达式为：． （2）解：如图， ， ，且， ， ， 设点，且点在抛物线上， ， （舍去），， 点， 点，点，点， 直线解析式为，直线解析式为，， 设解析式为，且过点， ， ， 解析式为， ， 解得：， 点． （3）解：如图，延长交轴于点，作于点， ，， ， ，， 又，， ，， ， ， ， 点坐标， ， ， ， 的面积等于的面积的2倍， ， ， ， 直线解析式为， ， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，平行线的性质，锐角三角函数等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 11．（2024·上海·名校模考）如图，在平面直角坐标系中，等腰的顶点A在y轴上，，，抛物线过点A． (1)用含b的代数式表示顶点坐标 (2)若点O关于中点的中心对称点也恰好在抛物线上，求：抛物线的顶点坐标 (3)若将绕点A按逆时针方向旋转，得到，点在抛物线上，求：抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）配方得到，即得顶点； （2）过点B作轴于C，根据可求得点A的坐标，根据三角函数的定义可得，得到，得到的中点坐标，得到点O关于中点的中心对称点的坐标，代入抛物线的解析式求出b的值即可； （3）过点作于H，过H作轴于G，过点作于M，根据勾股定理和旋转的性质得：，证是等腰直角三角形，得到，证，得到，，根据，，得到，得到，代入，解得．即得． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点； （2）解：如图1，过点B作轴于C， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的中点坐标为， ∴点O关于中点的中心对称点的坐标为， ∵该点也恰好在抛物线上， ∴， 解得， ∴，， 故顶点； （3）解：如图2，过点作于H，过H作轴于G，过点作于M， 由（1）得：， 由旋转的性质可得：，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵该点也恰好在抛物线上， ∴， 解得． 故． 【点睛】本题主要考查了二次函数与三角形综合．熟练掌握二次函数的图象和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中心对称性质，旋转性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数定义，是解决问题的关键． 12．（2024·上海黄浦·名校模考）已知在直角坐标平面内，抛物线与轴交于点，顶点为点，点的坐标为，直线与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求的面积； (3)如果，求抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）本题考查了二次函数的性质，根据顶点式求得，令得到，求得直线的解析式为，进而即可求解； （2）根据题意，分两种情况讨论，①与轴只有1个交点；②过原点，根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解； （3）根据题意，过点作轴的垂线，垂足为，进而得出是等腰直角三角形，结合的坐标，建立方程，解方程，得出，进而求得抛物线解析式． 【详解】（1）解：令，则，则， ∵ ∴ 又， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 令，则， ∴； （2）①当抛物线与轴只有一个交点与轴有一个交点时， 当时， 即 ∵抛物线与坐标轴共有两个不同的交点 ∴ 解得 ∵， ∴ ∴ ②当抛物线过原点时，且与轴有2个交点时， 将代入解析式 ∴ 即 ∴ ∴此情况不存在， 综上所述， （3）解：如图所示，过点作轴的垂线，垂足为， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵， ∴ 解得：（舍去）或 ∴． 13．（2024·上海浦东新·名校模考）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点C在y轴正半轴，且，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①联结、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）； ②是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）根据三角函数的定义，求出点坐标，将，坐标代入抛物线解析式求解即可； （2）①因为和等高，所以它们的面积比就是底边和的比，先用待定系数法求出直线和的表达式，联立求出的坐标，从而得解； ②延长交轴于，在直线上取点，在上方，由对顶角相等可知，，由三角形外角的性质可知，，再根据两个坐标轴垂直可知，，从而得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 在的正半轴， ， ， 将点坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， ∴； （2）解：①设直线的表达式为：， 将点坐标代入得：， 解得：，   直线的表达式为：， 的横坐标为， ， 令抛物线，得：， 解得：，， ， 设直线的表达式为：， 将点坐标代入直线的表达式得：， ， 直线的表达式：， 联立直线和的表达式： ， 解得：， ， 和等高， ； ②存在， 延长交轴于，在直线上取点，在上方，如图：   ， ， ， ， 又， ， ， 设直线的表达式为：， 将点坐标代入表达式得：， ， 直线的表达式为：， 联立直线和抛物线解析式得：， 解得：，， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，合理运用待定系数法求二次函数表达式、待定系数法求一次函数性质、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定与性质是本题解题的关键． 14．（2024·上海徐汇·名校模考）如图，抛物线顶点为坐标原点、且经过点，直线经过点和点． (1)求抛物线与直线的表达式； (2)如果将此抛物线平移，平移后新抛物线的顶点在原抛物线上，新抛物线的对称轴与直线在原抛物线的内部相交于点，且，求新抛物线的表达式． 【答案】(1)抛物线表达式为，直线的表达式为 (2)新抛物线的表达式或 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）设直线与轴交于点，求出，设点的坐标为，则点的坐标为，分当点在线段上时，当点在延长线上时两种情况讨论即可； 本题考查二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线顶点为坐标原点O， ∴，， ∵点在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴抛物线表达式为， 设直线的表达式为， ∵直线经过点和点， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （2）设直线与轴交于点， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， 当点在线段上时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点C的坐标为， ∴新拋物线的表达式， 当点在延长线上时，延长交轴于点，在的延长线上截取，连接， 如图， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（正值不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为． ∴新抛物线的表达式． 15．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 【答案】(1)或； (2)①；②． 【分析】（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和代入可得答案； （2）①如图，设，则，，结合小于3，可得，结合，从而可得答案；②先确定平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：在的右边，当时，可得，结合平移的性质可得答案如图，当时，则，过作于，证明，可得，设，则，，，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：设平移抛物线后得到的新抛物线为， 把和代入可得： ， 解得：， ∴新抛物线为； （2）解：①如图，设，则， ∴， ∵小于3， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位， 由题意可得：在的右边，当时， ∴轴， ∴， ∴， 由平移的性质可得：，即； 如图，当时，则， 过作于， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：（不符合题意舍去）； 综上：； 【点睛】本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质 ，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 16．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线过交y轴于点C． (1)求抛物线解析式及其顶点坐标； (2)已知点D为第一象限内的抛物线上一点，点E，F分别在线段上，若四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，求其周长与面积之比； (3)点C与点P关于x轴对称，连接交线段于Q，若，求点D坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，四边形可能是矩形或者菱形，证明四边形是正方形，即可解答； （3）设直线与x轴交于点K，分别过点A、B作垂足分别为G、H；证明，根据，得到，求出，由点C与点P关于x轴对称，得到，求出直线的解析式为，联立直线与抛物线得，即可求出结果． 【详解】（1）解：将代入抛物线， 则， 解得：， 抛物线解析式为， ， 顶点坐标为 （2）解：∵四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形， 四边形可能是矩形或者菱形， 如图，当四边形是矩形时，， ， ， 四边形是正方形， 点纵坐标为6， 当时，代入， 解得：， 根据题意得：    ， ， 正方形形周长为：，面积为， 其周长与面积之比为：； 当四边形是菱形时；同理可证四边形是正方形； 正方形形周长为：，面积为， 其周长与面积之比为：； 综上，四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形时，其周长与面积之比为：； （3）解：设直线与x轴交于点K，分别过点A、B作垂足分别为G、H； 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点C与点P关于x轴对称，， ， 设直线的解析式为：， 将，代入，得， 解得：， 直线的解析式为：， 联立直线与抛物线得，即， ， 解得（负值舍去）， 则， 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与三角形相似问题，正方形的判定与性质，中心对成图形与轴对称图形的定义，二次函数面积问题、解一元二次方程等知识，属于中考题型． 17．（2024·上海·模拟预测）已知一次函数交轴，轴于，两点，抛物线经过，两点，顶点为，抛物线与轴另一交点为，抛物线的对称轴与直线交于 (1)求的值 (2)已知点为直线上的动点，且在轴上方，若，求点坐标 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，相似三角形的性质， （1）先求得抛物线的解析式为，设对称轴与轴交于点，作于点，可知； （2）根据相似三角形的性质得，进而根据（1）可得，，，得出，过点作轴于点，解，得出，进而即可求解． 【详解】（1）在中，时，，时，，则点坐标为，点坐标为 抛物线经过点，点， 解得 抛物线的解析式为 ∵ ∴点的坐标为，抛物线的对称轴为， 当时，， 解得： ∴点的坐标为 将代入一次函数，得 则点的坐标为，则 设对称轴与轴交于点，在中，，则是等腰直角三角形， ∴ 如图，作于点 在中， ∵ ∴，即 解得：， ∴； （2）解：∵ ∴ ∵，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴ 解得： 过点作轴于点， ∵ ∴ ∴，则的横坐标为 将代入得 ∴． 18．（2024·上海·模拟预测）如图，在正方形中，，点O是对角线与的交点，M是边上一动点（不与B，C重合），与交于N，连接，设 (1)求面积的最小值； (2)设四边形的周长为y，求y关于x的函数解析式及其定义域； (3)当为等腰三角形时，求的周长． 【答案】(1)2 (2) (3)或或 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾 股定理以及二次函数的性质应用等知识 ： （1）根据证明根据，得四边形的面积的面积，当的面积最大时，的面积最小，由已知，则，求得，求出的面积最大值为2，则可得的面积最小值； （2）由（1）可得，，在中，，进一步求出四边形的周长为； （3）分，，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ∴， 又是正方形的对角线， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵∠CBN=∠DCM=90°， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴四边形的面积的面积， 当的面积最大时，的面积最小， ，则， ∴， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值为2， ∴的面积最小值，为； （2）解：由（1）知， ∴ 在中， ∴ ∴四边形的周长为 ； M是边上一动点（不与B，C重合），且 ∴， ∴； （3）解：为等腰三角形，没有明确说明哪条边是腰，所以分三种情况， 当时，与重合， ∴的周长； 当时， ∵ ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴, ∴的周长； 当时，过点M作，如图， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴的周长, 综上，的周长为或或． 19．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式及点的坐标 (2)已知点在该抛物线的对称轴上，点在轴上，如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标 【答案】(1)，； (2)或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点代入解析式， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 令，则， 解得或， ∴； （2）解∶当时，， ∴， 设直线的解析式为，根据题意，得， 解得， ∴一次函数的解析式为； ∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，当四边形是平行四边形时， ∴， ∵，点的横坐标为， ∴向右平移个单位得点， ∵， ∴即； 如图，当四边形是平行四边形时， ∴， ∵，点的横坐标为， ∴向左平移个单位得点， ∵， ∴即； 如图，当四边形是平行四边形时， ∴， ∵，点的横坐标为， ∴向右平移个单位再向下平移得点， ∴向右平移个单位再向下平移也得点， ∵， ∴即； 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了待定系数法确定函数解析式，抛物线的对称轴，平行四边形的性质及平移的性质，熟练掌握待定系数法，灵活运用平移的性质，分类确定点的位置是解题的关键． 20．（2024·上海杨浦·一模）定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题： 已知直线外有一点P，，，，圆M是点P与直线的点切圆． (1)如果圆心M在线段上，那么圆M的半径长是_____（直接写出答案）． (2)如图2，以O为坐标原点、为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点P在第一象限，设圆心M的坐标是． ①求y关于x的函数解析式； ②点B是①中所求函数图象上的一点，连接 并延长交此函数图象于另一点C．如果，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了二次函数与相似三角形的综合题，以新定义的形式出现，理解题意是解决本题的关键． （1）过点M作，设圆M的半径为R，根据点切圆的定义，先通过勾股定理求，再利用同角三角函数值相等得：，求解即可； （2）①过点M作,，则，，则，对运用勾股定理即可建立y关于x的函数关系式； ②设点，过点C、B作的垂线交于点D、E，构造相似三角形，用x，y的代数式表示出B点坐标，再代入抛物线解析式，联立即可求解． 【详解】（1）解：过点M作，设圆M的半径为R， ∵，， ∴， ∵圆M是点P与直线的点切圆， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． （2）解：①过点M作,， 由（1）得，则，，则， 在中，得：，化简得：． ②设点，过点C、B作的垂线交于点D、E， ∵， ∴， ∴，则， ∴点代入得： 解得：或， ∴点或． 21．（2024·上海静安·名校模考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线关于直线对称，且经过点和点，横坐标为4的点在此抛物线上． (1)求该抛物线的表达式； (2)联结、、，求的值； (3)如果点P在对称轴右方的抛物线上，且，过点P作轴，垂足为Q，请说明，并求点P的坐标． 【答案】(1)该抛物线的表达式为； (2) (3)点的坐标为． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）先证得是等腰直角三角形，可得，，过点作轴于，则，，，进而证得是等腰直角三角形，可得，，推出，再运用三角函数定义即可求得答案； （3）连接，先证得，得出，即，设，则，可得，得出，代入抛物线解析式求得，即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线关于直线对称， 设抛物线的解析式为，把、代入， 得：， 解得：， ， 该抛物线的表达式为； （2）解：在中，令，得， ， 、， ， 是等腰直角三角形， ，， 如图，过点作轴于，则，，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ； （3）证明：如图，连接， 由（2）知是等腰直角三角形， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 点在对称轴右方的抛物线上， ，且， 解得：， 当时，， 点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识是解题关键． 22．（2024·上海虹口·名校模考）新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为． 已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为． (1)如果点的坐标为，求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)已知点在抛物线上，点坐标为，当与相似时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查的是二次函数综合题，重点考查二次函数的性质、平行四边形性质及相似三角形性质， （1）将点代入表达式，求出m的值，根据“轮换抛物线”定义写出即可； （2）根据轮换抛物线定义得出抛物线表达式及点E、F坐标，并求出P、Q坐标，根据平行四边形性质得出列方程并解出m值，进而解决问题； （3）求出，由点关于对称，平行于y轴，得到，根据和相似，分，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：抛物线：与轴交于点坐标为， 当，代入，得， ， 抛物线表达式为， 抛物线的“轮换抛物线”为表达式为； （2）解：抛物线：， 当时，，即与y轴交点为， 抛物线：的“轮换抛物线”为， 抛物线表达式为， 同理抛物线与y轴交点为， 抛物线对称轴为直线， 当时，， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， 抛物线的对称轴与直线交点， 点在点的上方， ， 解得：， ， 四边形为平行四边形， ，即， 解得：， ； （3）解：由（2）知 ：，：，，，，， 点在抛物线上， 即， 如图， 点关于对称， ， 又平行于y轴， ， ， 和相似， 有两种可能： 情形1：， ， ，， ， 解得：（符合题意）； 情形2：， ， ，， ， 解得：（符合题意）或（符合题意）， 综上，当与相似时，的值为或或． 23．（2024·上海青浦·名校模考）在平面直角坐标系中，抛物线的图像与x轴交于点和点．与y轴交于点是线段上一点． (1)求这条抛物线的表达式和点C的坐标； (2)如图，过点D作轴，交该抛物线于点G，当时，求的面积； (3)点P为该抛物线上第三象限内一点，当，且时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将、代入得，，可求，则，当时，，进而可求； （2）如图1，作于，记与的交点为，设，则，，则，，，，由，可得，计算求出满足要求的解为，则，待定系数法求直线的解析式为，进而可得，则，根据，计算求解即可； （3）如图2，作于，在上取，连接交抛物线于点，由，可知点即为所求，由勾股定理得，，由，可求，则，待定系数法求直线的解析式为，设，由，可求，（舍去），则，待定系数法求直线的解析式为，联立得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：将、代入得，， 解得，， ∴， 当时，，即； （2）解：如图1，作于，记与的交点为， 设，则，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合要求； ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）解：如图2，作于，在上取，连接交抛物线于点， ∵，， ∴， ∴点即为所求， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设， ∴， 解得，，（舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立得，， 解得，舍去或， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与角度综合，正切，二次函数与面积综合，一次函数解析式，勾股定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与角度综合，正切，二次函数与面积综合，一次函数解析式，勾股定理，三角形外角的性质是解题的关键． 24．（2024·上海长宁·名校模考）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴、线段交于点D、E． ①当时，求的长； ②联结，如果的面积是面积的3倍，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)①5；② 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①当时，则点F在的中垂线上，则，即可求解； ②证明，得到，则，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：对于，当时，， 解得， ∴点， 设点， 设直线的解析式为， 由点、F的坐标得， 解得， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∴点， ①当时，则点F在的中垂线上， 则，即， 解得：(舍去)或5， 则； ②过点D作轴，作，过点F作轴，则，， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴直线的表达式为：， 联立上式和的表达式得：， 解得：， 由得，， ∵的面积是面积的3倍， 则 则∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：(舍去)或4， 当时， ∴点． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、三角形相似、中垂线的性质等，运用数形结合思想解题是关键． 25．（2024·上海杨浦·一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上一点，如果，求点的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点平移至点处，过点作直线，垂足为点，如果，求平移后抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设点的横坐标为，点的横坐标为，根据对称轴，，列式，利用根与系数关系计算确定值即可． （2） 过点作于点，交右侧的的延长线于点，交左侧的的延长线于点，利用三角形全等，确定坐标，后根据解析式交点确定所求坐标即可． （3）设抛物线向左平移了个单位，则点，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， 证明，根据相似三角形的性质得出即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，且， ∴， 解得， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）过点作于点，交右侧的的延长线于点， ∵， ∴， 过点作轴于点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为，， ∴，， ∴ ∴， 设的解析式为，的解析式为 ∴， 解得 ∴的解析式为，的解析式为， ∴， 解得， 故； （3）∵，点, 设抛物线向左平移了个单位，则点， 过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， 由（2）知，直线的表达式为：， 设 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题为考查了二次函数综合运用，三角形全等和相似、解直角三角形、图象平移等，正确作辅助线是解题的关键． 26．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点．对称轴为直线的抛物线经过点，其与轴的另一交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)将该抛物线平移，使其顶点在线段上点处，得到新抛物线，其与直线的另一个交点为． ①如果抛物线经过点，且与轴的另一交点为，求线段的长； ②试问：的面积是否随点在线段上的位置变化而变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积． 【答案】(1)； (2)①；②的面积不变，的面积为2． 【分析】（1）先求得，，利用抛物线的对称性求得，设抛物线的表达式为，利用待定系数法即可求解； （2）①；②联立求得，利用待定系数法求得直线的解析式为，作轴交直线于点，求得，利用三角形的面积公式，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则；令，则，解得； ∴，， ∵对称轴为直线，其与轴的另一交点为， ∴， 设抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①根据题意设新抛物线的顶点坐标为，则新抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得（舍去）或， 当时，新抛物线的解析式为， 令，则， 解得或； ∴与轴的另一交点为； ∴； ②的面积不变， ∵新抛物线的解析式为， 联立得，整理得， 解得或； ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 作轴交直线于点， 则点， ∴ ， ∴的面积不变，的面积为2． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，二次函数图象的平移，掌握以上基础知识是解本题的关键． 27．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D． (1)求抛物线M的表达式和点C的坐标； (2)点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标； (3)将抛物线M向下平移个单位，得到抛物线N，抛物线N的顶点为点E，再把点C绕点E顺时针旋转得到点F．当点F在抛物线N上时，求t的值． 【答案】(1)，点 (2)或 (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当时，则，即，即可求解；当时，同理可解； （3）根据图像平移和旋转求出点，代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ，解得：， 则抛物线的表达式为：， ∵ ∴顶点； （2）解：由（1）知，， 又∵抛物线M的对称轴交x轴于点D， ∴点， ∵、，，， ∴、、、，， 又∵与相似， ∴点O与点C对应， 当时， 则，即， 解得：， 即点； 当时， 则，即， 解得：， 则点； 综上，点的坐标为：或； （3）解：如图，过点作交于点，则， 设平移后的抛物线表达式为：， 则， 在等腰中，， 则， 则点， 将点的坐标代入函数表达式得：， 解得：（舍去）或， 故． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，旋转的性质，二次函数图象性质，相似三角形的判定性质等知识，分类求解是解题的关键． 28．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，与轴交于点．    (1)求、的值和点的坐标； (2)点为抛物线上一点（不与点重合），当时，求点的坐标； (3)在（）的条件下，平移该抛物线，使其顶点在射线上，设平移后的抛物线的顶点为点，当与相似时，求平移后的抛物线的表达式． 【答案】(1)，，， (2)； (3)． 【分析】（）由待定系数法即可求解； （）证明，则直线的表达式为，即可求解； （）当与相似时，证明，得到，则  ，即可求解； 本题考查了二次函数综合运用，涉及到三角形相似、一次函数的图象和性质等，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】（1）由题意得: ，解得： ， 当时，，则， （2）由（）得： ∴抛物线解析式为，    由点、的坐标知，轴， 由点、的坐标知，， 则直线的表达式为： ， 联立得：，解得：（舍去）或， ∴时，， 则点； （3）由点、的坐标得直线的表达式为：， 故设点， 由点、、、的坐标得，，，， 当与 相似时， ∵，， 则 ， ∴， 则 ， 即， 即， 解得：， 则点， 则抛物线的表达式为：． 29．（23-24九年级上·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的图像经过原点、点，此抛物线的对称轴与x轴交于点C，顶点为B． (1)求抛物线的对称轴； (2)如果该抛物线与x轴负半轴的交点为D，且的正切值为2，求a的值； (3)将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点A、B分别对应新抛物线上的点E、P．联结，如果点P在y轴上，轴，且，求新抛物线的表达式． 【答案】(1)直线 (2) (3) 【分析】该题主要考查了二次函数综合，涉及知识点主要有解直角三角形，二次函数的图象和性质，全等三角形的性质和判断，函数平移等知识点，解题的关键是掌握以上知识点； （1）将、代入解析式再求解即可； （2）过A作轴，根据求解即可； （3）由（1）算出，，再根据点P在y轴上，轴，作轴于K ，得出 证明 得出，又结合平移得出，在中， 由列方程解出，即可求解； 【详解】（1）过 ， 又过， ∴ ， ∴的对称轴为直线， （2）由（1）知， ， ∴ ， 过A作轴， ， ， （3）由（1）得，， ∴，对称轴为直线， 故， 点P在y轴上，轴， 作轴于K ， 设交y轴于L， ， ∴ 又 又， ， ∴， 又由平移知， ∴， ∴， 又在中， ， ∴ ， 或， ， ， ∴二次函数解析式为， ∴为， ∴新抛物线解析式为 30．（2024·上海宝山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，抛物线经过点，且顶点在线段上（与点、不重合）．    (1)求：、的值； (2)将抛物线向右平移个单位，顶点落在点处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，连结，交轴于点． ①如果，求 的面积； ②如果，求：的值． 【答案】(1)， (2)①5；② 【分析】（1）先求出所在直线的表达式，然后将抛物线解析式化为顶点式，根据和都在线段上，求解即可； （2）①根据抛物线平移的性质求出点坐标以及平移后的抛物线解析式，然后求出点坐标，进而求出的直线表达式，最后求出点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； ②根据，可知在的垂直平分线上，从而求出点坐标，进而求出所在直线表达式，从而求得点坐标，最后根据在平移后的抛物线上求出的值即可． 【详解】（1）解：设所在直线的表达式为：， 将点和点的坐标代入表达式可得： ， 解得：，， 的表达式为：， 将点的坐标代入抛物线解析式得：， ， 将抛物线解析式改写成顶点式：， 点在直线上， ， 解得：或4， 当时，顶点和重合，不符合题意； ，． （2）解：①由（1）知，，抛物线解析式为：， ，原抛物线的对称轴直线为：， 平移后的抛物线解析式为：， 当时，， ， 设所在直线的表达式为：， 将点和点的坐标代入表达式得：， 解得：， 的表达式为：， ， ； ②由平移的性质可知，， ， 在的垂直平分线上， ， 设所在直线的表达式为：， 代入，的坐标得：， 解得：， 的表达式为：， ， 由顶点坐标可得平移后抛物线的表达式为：， 将点代入平移后的抛物线得：， 解得：， ， ． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、把二次函数的一般式化成顶点式、二次函数图象的平移、三角形的面积等，掌握平移变换后点以及抛物线变化的规律是解题的关键． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一模备课专题10 解答题24题：二次函数综合题 （压轴题，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（23-24九年级上·上海静安·期末）在平面直角坐标系中（如图），已知点、、、在同一个二次函数的图像上．    (1)请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式； (2)如果射线平分，交轴于点， ①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段的点处，求此时抛物线顶点的坐标； ②如果点在射线上，当与相似时，请求点的坐标． 2．（23-24九年级上·上海崇明·期末）已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点．                                   备用图 (1)求该抛物线的表达式； (2)点D是点C关于抛物线对称轴对称的点，连接，将抛物线向下平移个单位后，点D落在点E处，过B、E两点的直线与线段交于点F． ①如果，求的值； ②如果与相似，求m的值． 3．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线的镜像抛物线． (1)如图，已知抛物线顶点为A． ①求该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式； ②已知该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B，如果（是锐角），求m的值． (2)已知抛物线的顶点为C，它的一条镜像抛物线的顶点为D，这两条抛物线的交点为．如果是直角三角形，求该抛物线的表达式． 4．（2024·上海虹口·模拟预测）二次函数的图象交x轴于点，点，交轴于点，抛物线的顶点为点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，点是抛物线上的一点，设点P的横坐标为，点在对称轴上，且，若，请求出的值； (3)如图2，将抛物线绕轴正半轴上一点旋转得到新抛物线交轴于，两点，点的对应点为点，点B的对应点为点．若，求旋转中心点的坐标 5．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)已知点坐标，点为抛物线上一动点，且在对称轴右侧，以为圆心，为半径画圆交轴于，两点（在左侧），求弦长； (3)在（2）的条件下，若与相似，求点坐标． 6．（2024·上海·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及点D坐标； (2)点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标； (3)如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标． 7．（2023·上海普陀·名校模考）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．    (1)求：二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点，若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 8．（2024·上海·模拟预测）如图，直线交y轴于点A，交抛物线于点，抛物线经过点，交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作交所在直线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当为等腰直角三角形时，求：P点坐标； (3)在（2）的条件下，连接，将沿直线翻折，直接写出翻折后点E的对称点坐标． 9．（2024·上海嘉定·名校模考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，且与轴交于点． (1)求抛物线的表达式及点A的坐标； (2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点作，交线段的延长线于点，如果．求：点P坐标 (3)若点是线段（不包含端点）上的一点，且点关于的对称点恰好在上述抛物线上，求的长． 10．（2024·上海普陀·名校模考）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点，又与x轴正半轴相交于点A，，点P是线段上的一点，过点P作，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内． (1)求抛物线的表达式； (2)若，求点P的坐标； (3)过点M作轴，分别交直线轴于点N、C，若的面积等于的面积的2倍，求证：． 11．（2024·上海·名校模考）如图，在平面直角坐标系中，等腰的顶点A在y轴上，，，抛物线过点A． (1)用含b的代数式表示顶点坐标 (2)若点O关于中点的中心对称点也恰好在抛物线上，求：抛物线的顶点坐标 (3)若将绕点A按逆时针方向旋转，得到，点在抛物线上，求：抛物线的解析式． 12．（2024·上海黄浦·名校模考）已知在直角坐标平面内，抛物线与轴交于点，顶点为点，点的坐标为，直线与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求的面积； (3)如果，求抛物线的表达式． 13．（2024·上海浦东新·名校模考）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点C在y轴正半轴，且，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①联结、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）； ②是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（2024·上海徐汇·名校模考）如图，抛物线顶点为坐标原点、且经过点，直线经过点和点． (1)求抛物线与直线的表达式； (2)如果将此抛物线平移，平移后新抛物线的顶点在原抛物线上，新抛物线的对称轴与直线在原抛物线的内部相交于点，且，求新抛物线的表达式． 15．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 16．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线过交y轴于点C． (1)求抛物线解析式及其顶点坐标； (2)已知点D为第一象限内的抛物线上一点，点E，F分别在线段上，若四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形，求其周长与面积之比； (3)点C与点P关于x轴对称，连接交线段于Q，若，求点D坐标． 17．（2024·上海·模拟预测）已知一次函数交轴，轴于，两点，抛物线经过，两点，顶点为，抛物线与轴另一交点为，抛物线的对称轴与直线交于 (1)求的值 (2)已知点为直线上的动点，且在轴上方，若，求点坐标 18．（2024·上海·模拟预测）如图，在正方形中，，点O是对角线与的交点，M是边上一动点（不与B，C重合），与交于N，连接，设 (1)求面积的最小值； (2)设四边形的周长为y，求y关于x的函数解析式及其定义域； (3)当为等腰三角形时，求的周长． 19．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式及点的坐标 (2)已知点在该抛物线的对称轴上，点在轴上，如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标 20．（2024·上海杨浦·一模）定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题： 已知直线外有一点P，，，，圆M是点P与直线的点切圆． (1)如果圆心M在线段上，那么圆M的半径长是_____（直接写出答案）． (2)如图2，以O为坐标原点、为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点P在第一象限，设圆心M的坐标是． ①求y关于x的函数解析式； ②点B是①中所求函数图象上的一点，连接 并延长交此函数图象于另一点C．如果，求点B的坐标． 21．（2024·上海静安·名校模考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线关于直线对称，且经过点和点，横坐标为4的点在此抛物线上． (1)求该抛物线的表达式； (2)联结、、，求的值； (3)如果点P在对称轴右方的抛物线上，且，过点P作轴，垂足为Q，请说明，并求点P的坐标． 22．（2024·上海虹口·名校模考）新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为． 已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为． (1)如果点的坐标为，求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)已知点在抛物线上，点坐标为，当与相似时，求的值． 23．（2024·上海青浦·名校模考）在平面直角坐标系中，抛物线的图像与x轴交于点和点．与y轴交于点是线段上一点． (1)求这条抛物线的表达式和点C的坐标； (2)如图，过点D作轴，交该抛物线于点G，当时，求的面积； (3)点P为该抛物线上第三象限内一点，当，且时，求点P的坐标． 24．（2024·上海长宁·名校模考）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴、线段交于点D、E． ①当时，求的长； ②联结，如果的面积是面积的3倍，求点F的坐标． 25．（2024·上海杨浦·一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上一点，如果，求点的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点平移至点处，过点作直线，垂足为点，如果，求平移后抛物线的表达式． 26．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点．对称轴为直线的抛物线经过点，其与轴的另一交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)将该抛物线平移，使其顶点在线段上点处，得到新抛物线，其与直线的另一个交点为． ①如果抛物线经过点，且与轴的另一交点为，求线段的长； ②试问：的面积是否随点在线段上的位置变化而变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积． 27．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D． (1)求抛物线M的表达式和点C的坐标； (2)点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标； (3)将抛物线M向下平移个单位，得到抛物线N，抛物线N的顶点为点E，再把点C绕点E顺时针旋转得到点F．当点F在抛物线N上时，求t的值． 28．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，与轴交于点．    (1)求、的值和点的坐标； (2)点为抛物线上一点（不与点重合），当时，求点的坐标； (3)在（）的条件下，平移该抛物线，使其顶点在射线上，设平移后的抛物线的顶点为点，当与相似时，求平移后的抛物线的表达式． 29．（23-24九年级上·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的图像经过原点、点，此抛物线的对称轴与x轴交于点C，顶点为B． (1)求抛物线的对称轴； (2)如果该抛物线与x轴负半轴的交点为D，且的正切值为2，求a的值； (3)将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点A、B分别对应新抛物线上的点E、P．联结，如果点P在y轴上，轴，且，求新抛物线的表达式． 30．（2024·上海宝山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，抛物线经过点，且顶点在线段上（与点、不重合）．    (1)求：、的值； (2)将抛物线向右平移个单位，顶点落在点处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，连结，交轴于点． ①如果，求 的面积； ②如果，求：的值． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$