一模备课专题09 解答题23题：几何证明（新题速递，30题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（上海专用）

一模备课专题09 解答题23题：几何证明 （新题速递，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（2023·上海嘉定·模拟预测）如图，中，，点D在边上，延长线于E，且．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点A作于点F，如图所示．由等腰三角形三线合一，得．可证，进一步证得． （2）由，得，进一步证得，于是，可得，等量代换即可得证结论． 【详解】（1）过点A作于点F，如图所示．   ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴ ∴． （2）∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴． ∵，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质；由三角形全等、相似得出线段之间的数量关系是解题的关键． 2．（2024·上海嘉定·名校模考）如图，在梯形中，，，点在四边形内部，，连接、． (1)求证：是等腰三角形； (2)已知点在上，连接，如果，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先证明梯形是等腰梯形，再，即可证明； （2）先证明，再证明，即可证明． 【详解】（1）证明 ∵， ∴梯形是等腰梯形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即是等腰三角形； （2）证明：由（1）得 ∴ ∵ ∴ ∵四边形是等腰梯形 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形． 3．（2024·上海长宁·名校模考）已知：在梯形中，，点E在边上（点E不与点A、D重合），点F在边上，且． (1)求证：； (2)连接，与交于点G，如果，求证：四边形为等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形判定及性质，等腰梯形判定等． （1）根据题意判定即可得到本题答案； （2）根据角的转换，证明两个底角即，继而得到本题答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据题意如下图： ∵， ∴， ∵，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为梯形， ∴， ∴， ∴四边形为等腰梯形． 4．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)为线段延长线上一点，且满足，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，， 进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【详解】（1）证明：在矩形中，，，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ； （2）证明：连接交于点，如图所示： 在矩形中，，则， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题第的关键． 5．（2023·上海·中考真题）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，    (1)求证： (2)若，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：， ， 在和中，， ， ． （2）证明：， ， ，即， 在和中，， ， ， 由（1）已证：， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 6．（2023·上海虹口·一模）如图，在中，已知点D、E分别在边上，和相交于点F，，．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 取的中点G，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（2024·上海杨浦·一模）已知：如图，在等腰梯形中，，，点在边上，与交于点，． (1)求证：； (2)如果点是边的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． (1)先证明，得到；再证明，得到，等量代换即可． (2)先，得到；再证明，得到，等量代换即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， ∴； ∵等腰梯形中，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． （2）∵等腰梯形中，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵点是边的中点， ∴． ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，点在边上，． (1)求证：； (2)当点是边的中点时，分别延长、交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质; （1）根据相似三角形的判定与性质求解即可； （2）结合平行四边形的性质利用证明，根据全等三角形的性质得出，等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， ， ， ， ； （2）如图， 在中，，， ，， 点是边的中点， ， ， ， ， ， ． 9．（2024·上海普陀·一模）已知：如图，在中，点D在边上，，，与交于点F． (1)求证：； (2)连接，如果，求证∶． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）证明，即可得出； （2）先推导出，证明，得，即可证明进而得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（23-24九年级上·上海长宁·期末）如图，在中，点分别是的中点，且，连接并延长交于点． (1)证明：； (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）根据等边对等角可得，再证这组夹角的两边成比例即可； （2）作交于点H，可证，，推出，，进而可得，再根据得出，推出，等量代换可证． 【详解】（1）证明：， ，即， 又点分别是的中点， ，， ， ∴， ； （2）证明：如图，作交于点H， ， ，；，， ，， 又点分别是的中点， ，， ，， ， 由（1）得， ，即， ， ． 11．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，在平行四边形中，，过点作，垂足为，再过点作交直线于点． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，： （1）运用三角形内角和，对顶角相等，得，结合三角形内角和以及对顶角相等，得，则即可作答． （2）先由，结合对顶角相等，证明，因为夹角相等，两边成比例，证明，结合平行四边形性质，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∵ 即 ∵对顶角相等，， ∴ ∴ ∴ 即； （2）解：如图：与相交于点G ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ 即 12．（23-24九年级上·上海青浦·期末）已知：如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）先由，得到，再根据性质可得，由和等角的补角相等，得出，即可求证； （）由，得，，，则有，从而证明，可得，故可证明； 此题考查了相似三角形的性质与判定． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，已知是矩形的对角线，，交延长线于，交于，交于. (1)求证：点是的重心； (2)如果，求的正弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查重心的判定，三角函数的定义，熟练掌握求正弦值的方法是解题的关键． （1）证明是的中线，是的中线即可得到结论． （2）根据重心的性质得到，求出的值，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是的中线， ， ， 是的中线， 点是的重心； （2）解：点是的重心， ， ，， ， ， ，， ， ， 在中，， ． 14．（2024·上海·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，点是边上一点，点是边的中点， (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）延长交的延长线于，证明，得出，，由题意得出，再由等腰三角形的性质即可得出答案； （2）由角平分线的定义结合等腰三角形的性质得出，由平行四边形的性质得出，，，证明， 得出，结合，即可得证． 【详解】（1）证明：如图，延长交的延长线于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴． 15．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在正方形中，点分别在边上，且，分别交于点．    (1)求证：； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论； （2）如图，过作于，得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过作于， 故，    则是等腰直角三角形， 由（1）知，， 即． 16．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，，点D在边上，已知，边交于点E． (1)求证：； (2)连接，如果，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （2）利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， （2）∵， ∴， ∴， 17．（2024·上海杨浦·一模）已知：如图，在梯形中，，，，的平分线交延长线于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点G，如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证明，可得，结合，可得四边形是平行四边形，从而可得结论， （2）如图，连接交于点G，交于，证明梯形是等腰梯形，证明，结合，可得，再利用相似三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵的平分线交延长线于点E，交于点F． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，而， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）如图，连接交于点G，交于， ∵在梯形中，，， ∴梯形是等腰梯形， ∴，， ∵菱形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰梯形的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握基本几何图形的性质是解本题的关键． 18．（2024·上海静安·名校模考）已知：如图，直线经过矩形顶点，分别过顶点、作的垂线，垂足分别为点E和点F，且，连接． (1)求证：； (2)连接和，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定和性质，根据梯形中位线定理得出是解题关键． （1）连接交于点O，得是梯形的中位线，进而可得，再证明，由相似三角形性质即可得出结论， （2）根据垂直平分即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点O， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， （2）由（1）得，， ∴， 又∵， ∴ 19．（2024·上海闵行·名校模考）如图，在中，点在边上，点在边上，点、在边上，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明四边形是平行四边形是解题关键． （1）首先证明，然后利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形即可； （2）首先由平行四边形的性质可得，，进而证明，由相似三角形的性质即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．（2024·上海虹口·名校模考）如图，在中，，延长至点，使得，过点、分别作，，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)连接交于点，连接交于点．如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形和矩形的判定方法． （1）先证四边形是平行四边形，得出从而证出四边形是矩形，即可证明结论； （2）设，算出，证明，求出 ，进而证出结论； 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 又，点D在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ； （2）解：如图，   四边形是平行四边形， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ． 21．（2024·上海奉贤·名校模考）如图，在四边形中，，，点E、F分别在边、上，且． (1)求证：； (2)连接 、，如果，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，先证明得，再证明，得，从而得出，即可由比例的性质得出结论． （2）由平行线分线段使得，即 ，由（1）知，从而得，即可得出，再证明，得出，，从而得出，可由菱形的判定得出结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． （2）证明：如图， ∵ ∴ ∴ 由（1）知 ∴ ∴ ∴ ∵∵ ∴ ∴ 在与中， ∴ ∴，， ∴ ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，全等三我的判定与性质，菱形的判定．熟练掌握相似三角形的判定与性质、菱形的判定是解题的关键． 22．（2024·上海金山·名校模考）如图，已知：D是的边上一点，点E在外部，且，，交于点F． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）由得到，根据“角边角”推得，即可证得答案； （2）先证明，得到，再证明，得到，所以，由此即得答案． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 23．（2024·上海徐汇·名校模考）如图，在菱形中，点、、、分别在边、、、上，，，． (1)求证：； (2)分别连接、，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰梯形的判定 （1）连结，可得，，进而即可得到结论； （2）欲证明四边形是等腰梯形，只需推知，，即可． 【详解】（1）证明：连结． ∵四边形是菱形， ∴； 又，， ∴，； ∴，； ∴． （2）证明：连接 ∵， ∴； ∵， ∴； 又， ∴； 又， ∴四边形是梯形； ∵,即； 又∵，即； ∵四边形是菱形， ∴； ∴； ∴； ∴梯形是等腰梯形． 24．（2024·上海·模拟预测）已知在锐角中，的平分线交边于D，的平分线交边于F，与交于O，连接并延长交于E (1)尺规规范作图，写出已知 (2)求证：平分 (3)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，角平分线的性质定理、三角形面积公式、角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据角平分线的作法结合题意画出图形即可； （2）作于，于，于，由角平分线的性质定理得出，即可判定出平分； （3）由和等高，得出，作于，于，由角平分线的性质定理可得：，得出，从而推出，同理可得：，，即可得证． 【详解】（1）解：如图所示： 已知：为锐角三角形，平分，平分，与交于O，连接并延长交于E； （2）证明：如图，作于，于，于， ∵平分，，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴平分； （3）证明：∵和等高， ∴， 如图：作于，于， 由角平分线的性质定理可得：， ∵，， ∴， ∴，即， 同理可得：，， ∴． 25．（2024·上海静安·名校模考）已知：如图，四边形的对角线相交于点，，； (1)求证：． (2)过点作交延长线于点，延长、交于点，分别取的中点，连结，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，可得，进而可证，则，； （2）如图，连结，记的交点为，由为的中点，可得，，则，由为中点，可得，则，垂直平分，，证明，则，即平分． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连结，记的交点为， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即平分． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，中位线，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，中位线，垂直平分线的判定与性质，全等三角形判定与性质是解题的关键． 26．（2024·上海黄浦·名校模考）如图，在梯形中，，，与对角线交于点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）由，得四边形是平行四边形，由得，得到，同理得，进而由得到，即可求证； （）连接，与交于点，证明得到，进而由，，，可得，据此即可求证； 本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是菱形； （2）证明：连接，与交于点，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即． 27．（23-24九年级上·上海·名校模考）如图，在四边形中，，过D作交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线性质，得，结合，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，得到证明即可． （2）根据，结合得，只需证明即，故证明即可． 本题考查了平行线的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 28．（2023·上海普陀·名校模考）已知：如图，四边形中，，，对角线、相交于点，点在边上，，垂足为点，．    (1)求证：四边形为矩形； (2)过点作交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意证明，得出，又，则，进而即可得证； （2）证明，根据相似三角形的性质即可得证． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵，且， ∴四边形是矩形； （2）∵， ∴， 在矩形中，， 又∵， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴， ∵， ∴．    【点睛】本题考查了三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 29．（2024·上海嘉定·模拟预测）如图，在中，，过点C作于点F，交于点M，且，连接，使，连接． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）利用证明，即可推导出； （2）根据平行四边形、平行线的性质先证，再利用证明，推出，进而得出，可知是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定与性质等，解题的关键是熟练掌握上述性质或定理，逐步推导论证． 30．（2024·上海青浦·名校模考）已知：如图，在四边形中，，点E是对角线上一点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)延长分别交线段的延长线于点，如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得, 则，所以，则四边形是平行四边形， 由且得, 所以则, 即可证明四边形D是菱形； （2）由菱形的性质得, 而, 所以, 可证明, 得 则再证明, 得 所以, 再证明, 得则 即可证明 【详解】（1）)证明: ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴四边形是平行四边形， ∵, ∴, ∴， ∵, ∴, ∴, ∴, ∴四边形是菱形； （2）证明：根据题意作图如下， ∵四边形是菱形, ∴， ∵, ∴, ∵, ∴, ， ， ∵, ∴, ， ∴, ∴, 且, ∴, ∵, ∴, ∴, ， ． 【点睛】此题重点考查平行线的性质、菱形的判定性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出是解题的关键． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一模备课专题09 解答题23题：几何证明 （新题速递，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（2023·上海嘉定·模拟预测）如图，中，，点D在边上，延长线于E，且．    (1)求证：； (2)求证：．   ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴ ∴． 2．（2024·上海嘉定·名校模考）如图，在梯形中，，，点在四边形内部，，连接、． (1)求证：是等腰三角形； (2)已知点在上，连接，如果，，求证：四边形是平行四边形． 3．（2024·上海长宁·名校模考）已知：在梯形中，，点E在边上（点E不与点A、D重合），点F在边上，且． (1)求证：； (2)连接，与交于点G，如果，求证：四边形为等腰梯形． 4．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)为线段延长线上一点，且满足，求证：． 5．（2023·上海·中考真题）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，    (1)求证： (2)若，求证： 6．（2023·上海虹口·一模）如图，在中，已知点D、E分别在边上，和相交于点F，，．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 7．（2024·上海杨浦·一模）已知：如图，在等腰梯形中，，，点在边上，与交于点，． (1)求证：； (2)如果点是边的中点，求证：． 8．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，点在边上，． (1)求证：； (2)当点是边的中点时，分别延长、交于点，求证：． 9．（2024·上海普陀·一模）已知：如图，在中，点D在边上，，，与交于点F． (1)求证：； (2)连接，如果，求证∶． 10．（23-24九年级上·上海长宁·期末）如图，在中，点分别是的中点，且，连接并延长交于点． (1)证明：； (2)证明：． 11．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，在平行四边形中，，过点作，垂足为，再过点作交直线于点． (1)求证：； (2)连接，求证：． 12．（23-24九年级上·上海青浦·期末）已知：如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 13．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，已知是矩形的对角线，，交延长线于，交于，交于. (1)求证：点是的重心； (2)如果，求的正弦值. 14．（2024·上海·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，点是边上一点，点是边的中点， (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 15．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在正方形中，点分别在边上，且，分别交于点．    (1)求证：； (2)． 16．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，，点D在边上，已知，边交于点E． (1)求证：； (2)连接，如果，求证：． 17．（2024·上海杨浦·一模）已知：如图，在梯形中，，，，的平分线交延长线于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点G，如果，求证：． 18．（2024·上海静安·名校模考）已知：如图，直线经过矩形顶点，分别过顶点、作的垂线，垂足分别为点E和点F，且，连接． (1)求证：； (2)连接和，求证：． 19．（2024·上海闵行·名校模考）如图，在中，点在边上，点在边上，点、在边上，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 20．（2024·上海虹口·名校模考）如图，在中，，延长至点，使得，过点、分别作，，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)连接交于点，连接交于点．如果，求证：． 21．（2024·上海奉贤·名校模考）如图，在四边形中，，，点E、F分别在边、上，且． (1)求证：； (2)连接 、，如果，求证：四边形是菱形． 22．（2024·上海金山·名校模考）如图，已知：D是的边上一点，点E在外部，且，，交于点F． (1)求证：； (2)如果，求证：． 23．（2024·上海徐汇·名校模考）如图，在菱形中，点、、、分别在边、、、上，，，． (1)求证：； (2)分别连接、，求证：四边形是等腰梯形． 24．（2024·上海·模拟预测）已知在锐角中，的平分线交边于D，的平分线交边于F，与交于O，连接并延长交于E (1)尺规规范作图，写出已知 (2)求证：平分 (3)求证： 25．（2024·上海静安·名校模考）已知：如图，四边形的对角线相交于点，，； (1)求证：． (2)过点作交延长线于点，延长、交于点，分别取的中点，连结，求证：平分． 26．（2024·上海黄浦·名校模考）如图，在梯形中，，，与对角线交于点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，如果，求证：． 27．（23-24九年级上·上海·名校模考）如图，在四边形中，，过D作交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，求证：． 28．（2023·上海普陀·名校模考）已知：如图，四边形中，，，对角线、相交于点，点在边上，，垂足为点，．    (1)求证：四边形为矩形； (2)过点作交于点，求证：． 29．（2024·上海嘉定·模拟预测）如图，在中，，过点C作于点F，交于点M，且，连接，使，连接． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 30．（2024·上海青浦·名校模考）已知：如图，在四边形中，，点E是对角线上一点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)延长分别交线段的延长线于点，如果，求证：． 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$