一模备考专题08 解答第22题：解直角三角形的应用（期末新题速递，30题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（上海专用）

一模备考专题08 解答第22题：解直角三角形的应用 （期末新题速递，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（24-25九年级上·上海杨浦·名校模考）在学习“三角形的重心”一课时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心，如果四边形有重心，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：四边形也有重心；在平面内，图形与图形拼成一个图形，那么图形的重心一定在图形的重心与图形的重心连接的线段上．根据以上信息，解决下列问题： 如图，有两张全等的直角三角形纸片，其中一张记为，为直角顶点，，将这两个三角形拼成一个四边形，使得斜边重合． (1)请画出所有符合要求的四边形，并作出所作四边形的重心；（不用写作法，保留痕迹，写出结论） (2)直接写出线段与线段之比的比值． 【答案】(1)见解析； (2)或． 【分析】当两个直角三角形拼成一个矩形时，两个三角形的重心连接的线段与斜边的交点就是拼成的四边形的重心；当两个直角三角形拼成一个任意四边形时，四边形的两条对边线把四边形分成两对三角形，与的重心连接的线段与，与的重心连接的线段的交点就是四边形的重心； 根据重心的定义，可知四边形的重心是两个直角三角形的重心与直角三角形斜边的交点，分两种情况求出与的比值． 【详解】（1）解：如下图所示， 直角的重心是直角三角形三条中线的交点， 两个完全相同直角三角形拼成一个矩形， 当两个的直角三角形的斜边重合时，两个直角三角形的重心连接的线段与斜边的交点就是四边形的重心； 如下图所示， 直角的重心是直角三角形三条中线的交点， 直角的重心是直角三角形三条中线的交点， 由题意可知和是等腰三角形且，， 和的重心都在边上， 四边形的重心是线段与的交点； （2）解：当两个直角三角形拼成一个矩形时， 如下图所示， 矩形对角线互相平分， ， ． 当直角三角形拼成如下图所示的四边形时， ， 是的垂直平分线， ， ， 设，则， ， ，， 点是重心， ， ，， 设， 则有， ， ， 整理得：， 解得：， ， ． 综上所述线段与线段的比值是或． 【点睛】本题主要考查了四边形的重心、三角形的重心、三角形的中线和勾股定理．解决本题的关键是根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，两个三角形拼成的四边形的中心是两个三角形重心连接的线段的中点． 2．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)高楼的高度为米 (2)点离地面的距离为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）在中，解直角三角形即可得出答案； （2）作于，于，则四边形是矩形，得出，，设米，则米，米，在中，解直角三角形即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：在中，米，， ∴（米）， ∴高楼的高度为米； （2）解：如图，作于，于， ， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 设米， ∴米， ∵斜坡的坡比是， ∴米， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴点离地面的距离为米． 3．（24-25九年级上·上海闵行·名校模考）嘉嘉使用桌上书架如图1所示．嘉嘉发观，当书架与桌面的夹角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时舒适度不太理想．嘉嘉调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角时（点是的对应点），舒适度较为理想． (1)书架在旋转过程中，求顶部边缘点到走过的路径长． (2)如图2这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在处，书上有一点，旋转点到点的距离为，嘉嘉看点的俯角为，眼睛到桌面高度为点到点的距离为，求此时眼睛到点的距离，即的长度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用平角定义先求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进而利用弧长公式求解即可． （）过点作，于点、，则四边形是矩形，，在中，解直角三角形即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，， ∴， 由题意得：， ∵， ∴， ∴边缘点到走过的路径长． （2）解：过点作，于点、，则四边形是矩形，，， ∵，， ∴， ∴， ∵向下看的俯角为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、度直角三角形的性质、求弧长以及矩形的判定及性质，熟练掌握解直角三角形、度直角三角形的性质是解题的关键． 4．（24-25九年级上·上海宝山·名校模考）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱的高为11.2米，灯柱与灯杆的夹角为，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为14.7米，从、两处测得路灯的仰角分别为和，且，求灯杆的长度． 【答案】灯杆的长度为2.8米 【分析】本题主要考查解直角三角形−仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．过点A作，交于点F，过点B作，交于点G，则．设知、，由求得，据此知，再求得可得． 【详解】解：过点A作，交于点F，过点B作，交于点G，则， 由题意得． 设． ∵， ∴． 在中， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， 答：灯杆的长度为2.8米． 5．（24-25九年级上·上海嘉定·名校模考）将一副三角板按如图所示放置，使点A在边上，此时 (1)如果平行线与间的距离为a，用a的代数式表示的面积． (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）过点作于点，解分别求出，即可表示，继而即可求的面积； （2）解求出，继而可求，再由即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点， 由题意得，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， 在中，， ∴， 在中，， 同理在等腰中，， ∵， ∴ ∴ 6．（2024·上海虹口·模拟预测）如图1是一张乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，台面（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为（台面与地面之间的距离），直线型支架与的上端E，F与台面下方相连，与的下端P，Q与直径为的脚轮（侧面是圆）相连（衔接之间的距离忽略不计），直线型支架与的上端C，D与台面下方相连，下端G，H与，相连，圆弧形支架分别与，在点G，H相连，且，已知，， (1)求：的长度 (2)当所在的圆经过点P、Q时，求：所在的圆的圆心到台面之间的距离 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理及解直角三角形的应用，理解和灵活运用垂径定理，并能够熟练地解直角三角形是解答本题的关键． （1）过点，交于点M．连接．根据已知条件求出、，由勾股定理计算的长度； （2）设点O为所在圆的圆心．连接、、、，过点O作OK⊥GH，交GH于点K，交PQ于点N．由垂径定理求得、，由勾股定理和半径相等列方程，求出，进而求出圆心到的距离． 【详解】（1）解：过点G作，交于点M．连接． 由题意可得：，， ∴． 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设点O为所在圆的圆心．连接、、、，过点O作OK⊥GH，交GH于点K，交PQ于点N． 由垂径定理，得， ∴． ∴． ∵，，且， ∴， ∴，即， 解得． ∴． ∴所在的圆的圆心到台面之间的距离为． 7．（24-25九年级上·上海宝山·名校模考）如图所示，和表示前后两幢楼，按照有关规定两幢楼问的间距不得小于楼的高度，即图中大于等于．小明想测量一下他家所住楼与前面楼是否符合规定，于是他在间的点M处架了测角仪，测得楼顶D的仰角为，已知米，测角仪距地面米． (1)问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由； (2)为了知道前面楼的高度，小明又到家里（点P处），用测角仪再次测得楼顶D的仰角为，如果米，，请你来计算一下楼的高度． 【答案】(1)两楼的间距符合规定，理由见解析 (2)37.5米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，题目中涉及到了仰角的问题，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解． （1）过点作于点，在中，由得到，比较与即可； （2）延长，交于，由，可得，由正切函数可求得，设，则，，列方程可求得结论． 【详解】（1）解：过点作于点， 在中， ， ，，米，米， ∴， 两楼的间距符合规定； （2）解：延长，交于， 则，（米）， ， ， （米）， 设，则， ， ， 解得，即米， （米， 楼的高度为37.5米． 8．（2024·上海青浦·模拟预测）图是某折叠式靠背椅实物图，图是椅子打开时的侧面示意图，椅面与地面平行，支撑杆，可绕连接点转动，且，椅面底部有一根可以绕点转动的连杆，点是的中点，，均与地面垂直，测得，，． (1)求椅面的长度为 ； (2)如图，椅子折叠时，连杆绕着支点带动支撑杆，转动合拢，椅面和连杆夹角的度数达到最小值时，求，两点间的距离（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）延长交于点，则，根据相似三角形的性质求出长度，则； （）根据图可得，对应图中求出长度，列比例求即可； 本题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识点，找到对应相似三角形并正确列出比例是解题的关键． 【详解】（1）如图，延长交于点， ∵椅面与地面平行， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （2）在图中， ∵，椅面与地面平行， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵椅面与地面平行， ∴， ∴， 图中，过点作的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 答：，两点间的距离为． 9．（2024·上海·模拟预测）小张同学用无人机测量教学楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面100米的P点，测得楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行米到达点Q，测得楼底端B的俯角为，求教学楼的高度（保留4位有效数字，参考数据：，，） 【答案】米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，交的延长线于，用三角函数解和即可． 【详解】解:延长交的延长线于,则， 由题意得，米， 在中， ， ， 在中， ， ， ， 答:教学楼的高度约为米. 10．（2024·上海宝山·一模）如图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，，，． (1)求：的度数． (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)该运动员能挂上篮网，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解； （2）延长，交于点，根据题意得出，通过解求得，根据与3比较即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：该运动员能挂上篮网，理由如下． 如图，延长，交于点， ，， ， 又， ， 在中，， ， 该运动员能挂上篮网． 11．（2023·上海青浦·一模）如图，在距某输电铁塔（垂直地面）的底部点H左侧水平距离45米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度，山坡坡底点B到坡顶A的距离等于30米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔与山坡在同一平面内）． (1)求山坡的高度； (2)求铁塔的高度．（结果保留根号） 【答案】(1)山坡的高度为15米 (2)米 【分析】（1）过点A作，交的延长线于点D，由坡度的定义计算出与的关系，根据勾股定理求出即可得到答案； （2）过点A作于点H，则四边形是矩形，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，过点A作，交的延长线于点D， ∴， ∵山坡AB的坡度，米， ∴，； 又∵，即， ∴米， ∴山坡的高度为15米； （2）解：过点A作于点H，则四边形是矩形， 由题意可知：米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米， 又∵米， ∴米， 答：铁塔的高度为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，掌握锐角三角函数、坡度的意义是解题的关键． 12．（2023·上海黄浦·一模）圭表（如图1）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．某地发现一个圭表遗迹（如图2），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即的长）为11.3米．现已知该地冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，请通过计算推测损坏的“表”原来的高度（即的长）约为多少米？(参考数据 ；；；；) 【答案】损坏的“表”原来的高度约为9米 【分析】设米，则米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：设米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴（米）， ∴损坏的“表”原来的高度约为9米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，垂线段最短，平行投影，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 13．（21-22九年级上·上海徐汇·期末）如图（1）是一种自卸货车，图（2）是该货车的示意图，货厢侧面是矩形，，初始状态下，点A，B，F在同一水平线上，此时货厢底部离地面的距离为．卸货时货厢绕着点A旋转．    (1)当时，求货厢最高点C离地面的距离． (2)点A处的转轴与货车后车轮转轴（点E）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货厢对角线的交点G是货厢的重心．卸货时，如果A，G两点间的水平距离小于安全轴距，那么车辆会倾覆．当时，该货车是否会倾覆？请说明理由．（参考数据： ） 【答案】(1)货厢最高点C离地面的距离约为 (2)该货车不会倾覆，理由见解析 【分析】（1）要求车厢最高点C离地面的距离，所以过点C作，垂足为H，再过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q，这样构造一个矩形，两个直角三角形和，然后进行计算即可； （2）要求A、G两点的水平距离，所以过点G作，垂足为O，再过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K，这样构造一个矩形，四个直角三角形，分别为，，，，然后进行计算即可． 【详解】（1）过点C作，垂足为H，过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q，    则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：车厢最高点C离地面的距离是5.3米； （2）不会发生安全事故， 理由是：过点G作，垂足为O，过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K，    则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴不会发生安全事故． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的重心，旋转的性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 14．（22-23九年级上·上海静安·期末）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，、间的距离为6米，．        (1)请问身高米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在处会不会碰到头部？请说明理由． (2)若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度．（参考数据：，，） 【答案】(1)不会，理由见解析 (2)7米 【分析】（1）先过点作，交于点，根据，，得出，再根据正切定理求出的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案； （2）根据的长求出，再过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设，则，根据段和段的坡度，求出和的长，最后根据，即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作，交于点，        ，， ， 不会碰到头部； （2）， ， 过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 设，则， 段和段的坡度， ，， ， （米）．      【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形． 15．（23-24九年级上·上海黄浦·名校模考）已知：如图，在中，，，，，垂足为点D，E是的中点，连结并延长，交边于点F．    (1)求的正切值； (2)求的值． 【答案】(1)的正切值为，详见解析 (2)，详见解析 【分析】（1）先根据三角函数值求的长，由勾股定理得的长，根据三角函数定义可得结论； （2）作平行线，构建平行线分线段成比例定理可设，分别表示和的长，代入可得结论． 【详解】（1）∵， ∴， 在中， ， ∴， 由勾股定理得：， ∵E是的中点， ∴， ∴的正切； （2）过D作交于G，    ∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是考查了解直角三角形，平行线截线段成比例定理，勾股定理等知识点，熟练掌握三角函数的定义，在直角三角形中，根据三角函数的定义列式，如果没有直角三角形，或将角转化到直角三角形内，或作垂线构建直角三角形． 16．（24-25九年级上·上海静安·名校模考）如图，小明身高（即）为米，通过地面上的一块平面镜（即点C），刚好能看到前方大树（即）的树梢，此时他测得俯角为，然后他直接抬头观察树梢，测得仰角为，求树的高度．（结果保留整数米，，） 【答案】米． 【分析】此题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定和性质等知识．作于点F，证明四边形是矩形，设米，由题意可得，，则米，米，则，得到，即可求出树的高度． 【详解】解：作于点F，则， ∴四边形是矩形， 由题意可得，， 则米， 设米，则米， 米， 在中，， ∴， 即 解得， 答：树的高度约为米． 17．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔．小山斜坡的坡度为，坡长为39米，在小山的坡底处测得该塔的塔顶的仰角为45°，在坡顶处测得该塔的塔顶的仰角为74°． (1)求坡顶到地面的距离的长； (2)求古塔的高度（结果精确到1米）． （参考数据：，，，） 【答案】(1)15米 (2)古搭的高度约为29米． 【分析】本题考查解直角三角形的应用． （1）根据坡度得到，设设，则，勾股定理求出的值即可； （2）延长交于点，得到，四边形为矩形，在中，得到，列出算式，求解即可． 解题的关键是构造直角三角形，掌握锐角三角函数的定义． 【详解】（1）由题意，得， ， 图8 设，则      （米） 答：坡顶到地面的距离的长为15米 （2）延长交于点，则，四边形为矩形． ∴，， ， ，   ，   ， ； 在中，，   ， ，， ， ，   （米）．   答：古搭的高度约为29米． 18．（23-24九年级上·上海长宁·期末）小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． 测量方法：如图2，人眼在点观察所测物体最高点，量角器零刻度线上两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为，且此时的仰角为． 实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼的高度．他先站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决： (1)请用含的代数式表示仰角； (2)如果在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼的高度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）延长交于L，根据题意可得：，从而可得：，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答； （2）延长交于点M，根据题意可得：米，米，然后设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：如图：延长交于L， 由题意得： ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：延长交于点M， 由题意得：， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵， ∴ 解得： ∴米， ∴米， ∴大楼EF的高度为米． 19．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）在世纪公园的小山坡上有一棵松树，初三（3）班的雏鹰小队带着工具对这棵松树进行测量，并试图利用所学的数学知识与方法推算出这棵松树的高度．他们选好位置架设测角仪先测出了这棵松树的根部与顶端的仰角，并绘制了如下示意图：测角仪为，树根部为、树顶端为A，其中，视线的仰角为（已知），视线的仰角为（已知）． (1)测得这两个数据后，小明说：“我可以算出这棵松树的高度了．”小聪接着说：“不对吧，只知道这两个角度，这个示意图显然是可以进行放大或缩小的，高度一定是确定不了的．如果还能测出测角仪到松树的垂直距离，即图示中的长度，就可以了．”设，请你用含有的代数式表示松树的高度． (2)小明又反问道：“虽然我们带了尺，是一把刻度精确到1分米，长为2米的直尺，但也没有办法量出的长度，我们总不能把坡给挖平了吧?”请你想一个测量办法，利用现有的工具，测量出有关数据（数据可以用字母常数表示），并用含有这些字母常数的表达式表示出松树的高度． 【答案】(1) (2)在松树上取点D，使，并用测角仪测出点D的仰角，用直尺测出小山坡的长度米； 【分析】（1）过点M作于点C，证明四边形为矩形，得出，根据，求出，根据，求出，即可得出答案； （2）在松树上取点D，使，并用测角仪测出点D的仰角，用直尺测出小山坡的长度米，连接，过点M作于点C，证明四边形为平行四边形，得出，求出，利用解析（1）的方法求出即可． 【详解】（1）解：过点M作于点C，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， 解得：， 在中，， 解得：， ∴． （2）解：在松树上取点D，使，并用测角仪测出点D的仰角，用直尺测出小山坡的长度米，连接，过点M作于点C，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 解得：， 在中，， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形函数的定义，解题的关键是熟练掌握三角形函数的定义，数形结合． 20．（23-24九年级上·上海金山·期末）随着人民生活水平的日益提高，许多农村的房屋普遍进行了改造，小明家改造时在门前安装了一个遮阳棚，如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为4米，与墙面的夹角，靠墙端A离地高为3米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：） 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点作于点，于点，则四边形是矩形，据此可得，解得到，，进而求出，再解得到，则． 【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴阴影的长为． 21．（23-24九年级上·上海青浦·期末）北淀浦河上的浦仓路桥是一座融合江南水乡文化气息的现代空间钢结构人行廊桥．某校九年级数学兴趣小组开展了测量“浦仓路桥顶部到水面的距离”的实践活动，他们的操作方法如下：如图，在河的一侧选取、两点，在处测得浦仓路桥顶部点的仰角为，再往浦仓路桥桥顶所在的方向前进17米至处，在处测得点的仰角为，在处测得地面到水面的距离为米（点、、在一条直线上，， ，），求浦仓路桥顶部到水面的距离．（精确到米）（参考数据：，，；，，） 【答案】浦仓路桥顶部到水面的距离约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交于点，结合题干的条件，设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数表示出的长，列出关于的方程，算出，最后利用，即可解题． 【详解】解：延长交于点，如图所示： 由题意得：，米，米， 设米，则米， 在中，由题知， （米）， 在中，由题知， （米）， ， 解得， ， （米）， 答：浦仓路桥顶部到水面的距离约为米． 22．（23-24九年级上·上海松江·期末）已知：如图，中，，，，于D． (1)求的长； (2)如果点E是边的中点，求大小． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形性质和判定，三角形中位线定理，勾股定理，关键是由锐角的正弦求出长，证明是的中位线． （1）由锐角的正弦求出长，由勾股定理求出长，得到长，由勾股定理即可求出长． （2）过作，由相似三角形性质，推出，得到是的中位线，因此，求出，即可求出． 【详解】（1）解：∵ （2）解：过作于， ， 点E是边的中点， ∴是的中位线， 23．（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，A处有一垂直于地面的标杆，热气球沿着与的夹角为的方向升空，到达B处，这时在A处的正东方向200米的C处测得B的仰角为（、B、C在同一平面内）．求A、B之间的距离．（结果精确到1米，） 【答案】、之间的距离约为141米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键； 过点作，垂足为，根据题意可得：米，，从而利用三角形内角和定理可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得米，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：米，， ∴， 在中，， ∴(米)， 在中，(米)， ∴、之间的距离约为141米．    24．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，某建筑物高为200米，某人乘热气球来到距地面400米的处（即长为400米）.此时测得建筑物顶部的俯角为，当乘坐的热气球垂直上升到达处后，再次测得建筑物顶部的俯角为.（，） (1)请在图中标出俯角、，并用计算器求、的大小：___________，__________；（精确到“1”） (2)求热气球上升的垂直高度（即的长）. 【答案】(1)， (2)80米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）根据俯角的定义标出、，再利用计算器求、的大小； （2）作于点F，则，，利用锐角三角函数解和即可． 【详解】（1）解：、如图所示， 计算器求得，， 故答案为：，； （2）解：如图，作于点F， 则，， ，， ，， ，， ， ， ， 解得， （米）， 即热气球上升的垂直高度为80米． 25．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡的坡度，在坡面D处有一棵树（假设树垂直水平线），在坡底B处测得树梢A的仰角为，沿坡面方向前行30米到达C处，测得树梢A的仰角为．（点B、C、D在一直线上）    (1)求A、C两点的距离； (2)求树的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 【答案】(1) (2)树的高度约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形外角的性质，等角对等边等等： （1）如图所示，延长交于G，过点C作于H，先得到，进而推出，再求出，则可推出，得到； （2）先解得到，再解得到，则． 【详解】（1）解：如图所示，延长交于G，过点C作于H， ∵， ∴， ∵小山的斜坡的坡度， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；    （2）解：中，， 在中，， ∴， ∴树的高度约为． 26．（24-25九年级上·上海·名校模考）如图，为测量学校旗杆的高度，小明从旗杆正前方3米处的点出发，沿坡度为的斜坡前进米到达点，在点处放置测角仪，测得旗杆顶部的仰角为37°，量得测角仪的高为1.5米．、、、、在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．求旗杆的高度（精确到0.1）．（参考数据：，，，．） 【答案】7.7米 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题和坡度坡比问题，掌握仰角俯角和坡度坡比的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键． 延长交射线于点H，过点E作于点F，根据坡度比得出，，再根据求出的长即可求解． 【详解】解：延长交射线于点H，过点E作于点F， 由题意得， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴旗杆的高度为7.7米． 27．（24-25九年级上·上海青浦·名校模考）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（参考数据：） (1)当时，求点离地的距离约为多少分米：（结果精确到0.1） (2)当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点烧点随之旋转至上的点处，则______． 【答案】(1)13.7分米 (2)分米 【分析】（1）作于P，于Q，于K，于J，解直角三角形求出即可求出的长； （2）在（1）所作辅助线的基础上，借助三角函数解、、、，求出即可． 【详解】（1）解：如图，作于P，于Q，于K，于J， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴（分米）， ∵，即， ∴， ∴（分米）， ∴（分米）； 即点A离地面的距离约为13.7分米； （2）∵， ∴， ∴在中，（分米）， （分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）， 在中，（分米）， （分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 28．（2024·上海·名校模考）如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，，，可在水平面上转动，连接轴分别垂直和，过圆心，点C在的中垂线上，且，， 如图2是折叠镜俯视图，墙面与互相垂直，在折叠镜转动过程中，与墙面始终保持平行， (1)当点E落在上时，，此时A，B，F三点共线，求：的长． (2)将绕点A逆时针旋转至，当时，测得点与E′到的距离之比，则求：的长． 【答案】(1)cm (2)cm 【分析】（1）连接, 过点作于.首先证明利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理可得； （2）设 利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程求出即可. 【详解】（1）连接, 过点作于. 由题意， , ， ， ， ， ， ， ，即 ， ； （2） 设 ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 在中, 则有， 解得 ， ． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 29．（2024·上海浦东新·一模）如图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上． (1)__________，__________； (2)求点到道路的距离； (3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，垂足为，解，求出，解，求出，即可； （3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为，解，求出，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正八边形的一个外角的度数为：， ∴，； （2）解：过点作，垂足为． ∵ ∴在中，，， ∴， ． 在中，， ． 答：点到道路的距离为千米． （3）解：连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为． 正八边形的外角均为， 在中，． ． 又，， ． ∵， ∴， ，即， ， ． 答：小李离点不超过，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响． 【点睛】本题考查正多边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 30．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：如图，在中，，，，与边相交于点P． (1)求证：； (2)如果，求的值； (3)如果是直角三角形，求的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据等边对等角可得；推得；根据等角对等边可得；根据直角三角形两锐角互余，等角的余角相等可得；根据等角对等边可得；根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边成比例，且都等于相似比即可证明． （2）结合题意可得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得；结合（1）中结论可求得；分别求出和，即可求解． （3）分两种情况讨论：当时，根据相似三角形的判定和性质可求得；根据勾股定理和（1）中结论可求得，即可列出等式，求得，根据勾股定理求出，分别求出、与的关系，根据锐角三角函数的定义即可求解；当时，根据同旁内角互补，两直线平行可得；根据两直线平行，内错角相等可得；根据锐角三角函数的定义可推得，根据正方形的判定和性质即可求出，根据特殊角的锐角三角函数值即可求解；当时，分析可得不存在，即可推得该情况不存在． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴, 即． （2）解：∵， ∴， 即， ∴， 在中，， ∴， 又∵， 即， 整理得：； ∵， ∴， ∴． （3）解：当时， ∵，， ∴， ∴, ∴， 即， 在中，， 即， 又∵， ∴， 故， 则， 整理得：， 在中，， 即，， ， 即； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵，， 故， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； 则和是正方形的对角线， ∴ 故． 当时，点A在上，即不存在， 故不存在这种情况． 【点睛】本题考查了等边对等角，等角对等边，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，锐角三角函数等；结合第1问中的结论通过列出等式，求出是解题的关键． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一模备考专题08 解答第22题：解直角三角形的应用 （期末新题速递，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（24-25九年级上·上海杨浦·名校模考）在学习“三角形的重心”一课时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心，如果四边形有重心，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：四边形也有重心；在平面内，图形与图形拼成一个图形，那么图形的重心一定在图形的重心与图形的重心连接的线段上．根据以上信息，解决下列问题： 如图，有两张全等的直角三角形纸片，其中一张记为，为直角顶点，，将这两个三角形拼成一个四边形，使得斜边重合． (1)请画出所有符合要求的四边形，并作出所作四边形的重心；（不用写作法，保留痕迹，写出结论） (2)直接写出线段与线段之比的比值． 2．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 3．（24-25九年级上·上海闵行·名校模考）嘉嘉使用桌上书架如图1所示．嘉嘉发观，当书架与桌面的夹角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时舒适度不太理想．嘉嘉调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角时（点是的对应点），舒适度较为理想． (1)书架在旋转过程中，求顶部边缘点到走过的路径长． (2)如图2这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在处，书上有一点，旋转点到点的距离为，嘉嘉看点的俯角为，眼睛到桌面高度为点到点的距离为，求此时眼睛到点的距离，即的长度．（结果精确到；参考数据：，，） 4．（24-25九年级上·上海宝山·名校模考）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱的高为11.2米，灯柱与灯杆的夹角为，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为14.7米，从、两处测得路灯的仰角分别为和，且，求灯杆的长度． 由题意得． 设． ∵， ∴． 在中， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， 答：灯杆的长度为2.8米． 5．（24-25九年级上·上海嘉定·名校模考）将一副三角板按如图所示放置，使点A在边上，此时 (1)如果平行线与间的距离为a，用a的代数式表示的面积． (2)求的值. 6．（2024·上海虹口·模拟预测）如图1是一张乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，台面（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为（台面与地面之间的距离），直线型支架与的上端E，F与台面下方相连，与的下端P，Q与直径为的脚轮（侧面是圆）相连（衔接之间的距离忽略不计），直线型支架与的上端C，D与台面下方相连，下端G，H与，相连，圆弧形支架分别与，在点G，H相连，且，已知，， (1)求：的长度 (2)当所在的圆经过点P、Q时，求：所在的圆的圆心到台面之间的距离 7．（24-25九年级上·上海宝山·名校模考）如图所示，和表示前后两幢楼，按照有关规定两幢楼问的间距不得小于楼的高度，即图中大于等于．小明想测量一下他家所住楼与前面楼是否符合规定，于是他在间的点M处架了测角仪，测得楼顶D的仰角为，已知米，测角仪距地面米． (1)问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由； (2)为了知道前面楼的高度，小明又到家里（点P处），用测角仪再次测得楼顶D的仰角为，如果米，，请你来计算一下楼的高度． 8．（2024·上海青浦·模拟预测）图是某折叠式靠背椅实物图，图是椅子打开时的侧面示意图，椅面与地面平行，支撑杆，可绕连接点转动，且，椅面底部有一根可以绕点转动的连杆，点是的中点，，均与地面垂直，测得，，． (1)求椅面的长度为 ； (2)如图，椅子折叠时，连杆绕着支点带动支撑杆，转动合拢，椅面和连杆夹角的度数达到最小值时，求，两点间的距离（结果精确到）．（参考数据：） 9．（2024·上海·模拟预测）小张同学用无人机测量教学楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面100米的P点，测得楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行米到达点Q，测得楼底端B的俯角为，求教学楼的高度（保留4位有效数字，参考数据：，，） 10．（2024·上海宝山·一模）如图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，，，． (1)求：的度数． (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 11．（2023·上海青浦·一模）如图，在距某输电铁塔（垂直地面）的底部点H左侧水平距离45米的点B处有一个山坡，山坡AB的坡度，山坡坡底点B到坡顶A的距离等于30米，在坡顶A处测得铁塔顶点G的仰角为30°（铁塔与山坡在同一平面内）． (1)求山坡的高度； (2)求铁塔的高度．（结果保留根号） 12．（2023·上海黄浦·一模）圭表（如图1）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．某地发现一个圭表遗迹（如图2），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即的长）为11.3米．现已知该地冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，请通过计算推测损坏的“表”原来的高度（即的长）约为多少米？(参考数据 ；；；；) 13．（21-22九年级上·上海徐汇·期末）如图（1）是一种自卸货车，图（2）是该货车的示意图，货厢侧面是矩形，，初始状态下，点A，B，F在同一水平线上，此时货厢底部离地面的距离为．卸货时货厢绕着点A旋转．    (1)当时，求货厢最高点C离地面的距离． (2)点A处的转轴与货车后车轮转轴（点E）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货厢对角线的交点G是货厢的重心．卸货时，如果A，G两点间的水平距离小于安全轴距，那么车辆会倾覆．当时，该货车是否会倾覆？请说明理由．（参考数据： ） 14．（22-23九年级上·上海静安·期末）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，、间的距离为6米，．        (1)请问身高米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在处会不会碰到头部？请说明理由． (2)若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度．（参考数据：，，） 15．（23-24九年级上·上海黄浦·名校模考）已知：如图，在中，，，，，垂足为点D，E是的中点，连结并延长，交边于点F．    (1)求的正切值； (2)求的值． 16．（24-25九年级上·上海静安·名校模考）如图，小明身高（即）为米，通过地面上的一块平面镜（即点C），刚好能看到前方大树（即）的树梢，此时他测得俯角为，然后他直接抬头观察树梢，测得仰角为，求树的高度．（结果保留整数米，，） 17．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔．小山斜坡的坡度为，坡长为39米，在小山的坡底处测得该塔的塔顶的仰角为45°，在坡顶处测得该塔的塔顶的仰角为74°． (1)求坡顶到地面的距离的长； (2)求古塔的高度（结果精确到1米）． （参考数据：，，，） 18．（23-24九年级上·上海长宁·期末）小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． 测量方法：如图2，人眼在点观察所测物体最高点，量角器零刻度线上两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为，且此时的仰角为． 实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼的高度．他先站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决： (1)请用含的代数式表示仰角； (2)如果在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼的高度．（结果保留根号） 19．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）在世纪公园的小山坡上有一棵松树，初三（3）班的雏鹰小队带着工具对这棵松树进行测量，并试图利用所学的数学知识与方法推算出这棵松树的高度．他们选好位置架设测角仪先测出了这棵松树的根部与顶端的仰角，并绘制了如下示意图：测角仪为，树根部为、树顶端为A，其中，视线的仰角为（已知），视线的仰角为（已知）． (1)测得这两个数据后，小明说：“我可以算出这棵松树的高度了．”小聪接着说：“不对吧，只知道这两个角度，这个示意图显然是可以进行放大或缩小的，高度一定是确定不了的．如果还能测出测角仪到松树的垂直距离，即图示中的长度，就可以了．”设，请你用含有的代数式表示松树的高度． (2)小明又反问道：“虽然我们带了尺，是一把刻度精确到1分米，长为2米的直尺，但也没有办法量出的长度，我们总不能把坡给挖平了吧?”请你想一个测量办法，利用现有的工具，测量出有关数据（数据可以用字母常数表示），并用含有这些字母常数的表达式表示出松树的高度． 20．（23-24九年级上·上海金山·期末）随着人民生活水平的日益提高，许多农村的房屋普遍进行了改造，小明家改造时在门前安装了一个遮阳棚，如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为4米，与墙面的夹角，靠墙端A离地高为3米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：） 21．（23-24九年级上·上海青浦·期末）北淀浦河上的浦仓路桥是一座融合江南水乡文化气息的现代空间钢结构人行廊桥．某校九年级数学兴趣小组开展了测量“浦仓路桥顶部到水面的距离”的实践活动，他们的操作方法如下：如图，在河的一侧选取、两点，在处测得浦仓路桥顶部点的仰角为，再往浦仓路桥桥顶所在的方向前进17米至处，在处测得点的仰角为，在处测得地面到水面的距离为米（点、、在一条直线上，， ，），求浦仓路桥顶部到水面的距离．（精确到米）（参考数据：，，；，，） 22．（23-24九年级上·上海松江·期末）已知：如图，中，，，，于D． (1)求的长； (2)如果点E是边的中点，求大小． 23．（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，A处有一垂直于地面的标杆，热气球沿着与的夹角为的方向升空，到达B处，这时在A处的正东方向200米的C处测得B的仰角为（、B、C在同一平面内）．求A、B之间的距离．（结果精确到1米，） 24．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，某建筑物高为200米，某人乘热气球来到距地面400米的处（即长为400米）.此时测得建筑物顶部的俯角为，当乘坐的热气球垂直上升到达处后，再次测得建筑物顶部的俯角为.（，） (1)请在图中标出俯角、，并用计算器求、的大小：___________，__________；（精确到“1”） (2)求热气球上升的垂直高度（即的长）. 25．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡的坡度，在坡面D处有一棵树（假设树垂直水平线），在坡底B处测得树梢A的仰角为，沿坡面方向前行30米到达C处，测得树梢A的仰角为．（点B、C、D在一直线上）    (1)求A、C两点的距离； (2)求树的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 26．（24-25九年级上·上海·名校模考）如图，为测量学校旗杆的高度，小明从旗杆正前方3米处的点出发，沿坡度为的斜坡前进米到达点，在点处放置测角仪，测得旗杆顶部的仰角为37°，量得测角仪的高为1.5米．、、、、在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．求旗杆的高度（精确到0.1）．（参考数据：，，，．） 27．（24-25九年级上·上海青浦·名校模考）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（参考数据：） (1)当时，求点离地的距离约为多少分米：（结果精确到0.1） (2)当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点烧点随之旋转至上的点处，则______． 28．（2024·上海·名校模考）如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，，，可在水平面上转动，连接轴分别垂直和，过圆心，点C在的中垂线上，且，， 如图2是折叠镜俯视图，墙面与互相垂直，在折叠镜转动过程中，与墙面始终保持平行， (1)当点E落在上时，，此时A，B，F三点共线，求：的长． (2)将绕点A逆时针旋转至，当时，测得点与E′到的距离之比，则求：的长． 29．（2024·上海浦东新·一模）如图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上． (1)__________，__________； (2)求点到道路的距离； (3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，） 30．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：如图，在中，，，，与边相交于点P． (1)求证：； (2)如果，求的值； (3)如果是直角三角形，求的正切值． 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$