一模备考专题07 材料阅读题（中考新题型，预测28题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（上海专用）

一模备考专题07 材料阅读题（中考新题型，预测28题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广．对于任意三角形，任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．定理解读：如图，在任意中，以边为例，其它两边是和，和的夹角为，根据余弦定理有，类似的可以得到关于和的关系式．已知在中，，，是和的比例中项，那么的余弦值为 ． 【答案】/0.75 【分析】根据余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB，再根据AC是BC和AB的比例中项，即可推出结果． 【详解】解：根据余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB， ∵AC是BC和AB的比例中项， ∴AC2=AB•BC， ∴AB•BC=AB2+BC2-2AB•BC•cosB， 即1×2=12+22-2×1×2×cosB， ∴cosB=， 故答案为：． 【点睛】本题是阅读理解题，考查了线段比例中项的定义，读懂题意，采用类比的方法是解题的关键． 2．阅读：对于线段与点O（点O与不在同一直线上），如果同一平面内点P满足：射线与线段交于点Q，且，那么称点P为点O关于线段的“准射点”．问题：如图，矩形中，，点E在边上，且，连接．设点F是点A关于线段的“准射点”，且点F在矩形的内部或边上，如果点C与点F之间距离为d，那么d的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设交于点Q，由点F是点A关于线段的“准射点”可得，过点F作交于点G，交于点H，由平行线分线段成比例定理得，，连接，求出的长，作于M，求出的长即可． 【详解】解：如图，设交于点Q， ∵点F是点A关于线段的“准射点”， ∴， ∴Q是的中点，即， 过点F作交于点G，交于点H， ∴， ∴，， 连接，由矩形性质可得：，，， 则． 作于M， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴d的取值范围是． 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义，矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积公式，平行线分线段成比例定理，以及平行四边形的判定与性质，判断出点F的位置是解答本题的关键． 3．阅读：对于线段与点O（点O与不在同一直线上），如果同一平面内点P满足：射线与线段交于点Q，且，那么称点P为点O关于线段的“准射点”． 问题：如图，矩形中，，点E在边上，且，联结．设点F是点A关于线段的“准射点”，且点F在矩形的内部或边上，如果点C与点F之间距离为d，那么d的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设交于点Q，由点F是点A关于线段的“准射点”可得，过点F作交于点G，交于点H，由平行线分线段成比例定理得，，联结，求出的长，作于M，求出的长即可． 【详解】如图，设交于点Q， ∵点F是点A关于线段的“准射点”， ∴， ∴Q是的中点，即， 过点F作交于点G，交于点H， ∴， ∴，， ∴点F在线段上， 联结，则． 作于M， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴ ∴d的取值范围是． 【点睛】本题考查了新定义，矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积公式，平行线分线段成比例定理，以及平行四边形的判定与性质，判断出点F的位置是解答本题的关键． 二、解答题 4．阅读以下材料，并解决相应的问题． 巧设密码 在日常生活中，微信支付、取款、上网等都需要密码．有一种用因式分解生成密码的程序，方便记忆．例如：对于多项式，因式分解的结果是．若取，，则各个因式的值分别是，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码 问题解决： （1）按材料中的原理，若取，，生成的密码是_______； （2）若将程序修改为：整式因式分解的结果，取，时（来源年月出生），用上述方法产生的密码是多少？（写出一种即可） 【答案】（1）；（2）产生的密码是（答案不唯一）． 【分析】（1）将，分别代入，，计算即可得到答案； （2）先将分解因式得，再将，代入每个因式计算即可得到答案． 【详解】解：（1）当，时， ，，， ∴生成的密码是128160， 故答案为：128160； （2） 当，时， ，． 产生的密码是“”． （说明：答案不唯一，还可以是“”等）． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，考查了用类比的方法解决问题；熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键． 5．阅读材料： 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程： 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．…… 解决问题： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程； (2)如图3，在中，是角平分线，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，由，可求证，，，可得，即可求解； （2）根据（1）中的结论即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，，． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是角平分线， ∴． ∵，，， ∴，解得，经检验符合题意． 故的长为． 6．阅读下列材料： 解一些复杂的因式分解问题常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小张同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小张同学的解法中，第二步运用了因式分解的______． A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小张同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______． (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解—换元法、公式法等知识点，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式的特点即可判定； （2）再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （3）根据材料，用换元法进行分解因式即可． 【详解】（1）解：根据第二步的因式分解过程可知是运用了完全公式法． 故选C． （2）解：原式． 故答案为：． （3）解：设， ． 7．阅读与思考： 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质： 重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小明证明性质的过程． 如图，在中，D、E分别是边、的中点，、相交于点G， 求证： 证明：连接， ∵D，E是边，的中点， ∴，（依据1） ∴ ∴（依据2） ∴ (1)任务一，在小明的证明过程中，依据1和依据2的内容分别是： 依据1：______________________依据2：______________________ (2)应用 ①如图，在中，点G是中的重心，连接并延长交与点E，若，求长． ②在中，中线、相交于点O，若的面积等于30，求的面积． 【答案】(1)三角形的中位线定理，相似三角形的性质 (2)①；② 【分析】此题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的性质，三角形重心的性质， （1）根据三角形的中位线定理和相似三角形的性质求解即可； （2）①首先根据重心的性质得到，然后求解即可； ②首先得到点O是的重心，求出，利用重心的性质求解即可． 【详解】（1）依据1：三角形的中位线定理； 依据2：相似三角形的性质； （2）①∵G是的重心， ∴， ∵， ∴ ∴； ②∵中线、相交于点O， ∴点O是的重心， ∴， ∴ 故． 8．材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： (1)求的正弦值； (2)求的长（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据已知易得：，从而根据对顶角相等可得； （2）然后在中，根据锐角三角函数的定义可设，则，从而利用勾股定理进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，，， ， ∵我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． ∴， ； （2）解：， ， ∴在中，， 设，则， ， ， 解得：， ， ， 答：的长约为． 9．阅读材料：求解一元一次方程，需要根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求解三元一次方程组，要把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，需要把它转化为连个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解；各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知来求解. 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程. 例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解. 再例如，解根号下含有来知数的方程：，通过两边同时平方把它转化为，解得：. 因为，且，所以不是原方程的根，是原方程的解. （1）问题：方程的解是，__________，__________； （2）拓展：求方程的解. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用因式分解法，即可得出结论； （2）先方程两边平方转化成整式方程，再求一元二次方程的解，最后必须检验. 【详解】（1）∵x3+x2-2x=0， ∴x（x-1）（x+2）=0 ∴x=0或x-1=0或x+2=0， ∴x1=0，x2=1，x3=-2， 故答案为1，-2；； （2），（） 给方程两边平方得： 解得：，（不合题意舍去）， ∴是原方程的解； 【点睛】主要考查了根据材料提供的方法解高次方程，无理方程，理解和掌握材料提供的方法是解题的关键. 10．阅读理解：小明同学进入初二以后，读书越发认真．在学习“用因式分解法解方程”时，课后习题中有这样一个问题： 下列方程的解法对不对？为什么？ 解：或． 解得或． 所以，． 同学们都认为不对，原因：有的说该题的因式分解是错误的；有的说将答案代入方程，方程左右两边不成立，等等． 小明同学除了认为该解法不正确，还给出了一种因式分解的做法，小明同学的做法如下： 取与的平均值，即将与相加再除以2． 那么原方程可化为 左边用平方差公式可化为． 再移项，开平方可得 请你认真阅读小明同学的方法，并用这个方法推导： 关于x的方程的求根公式（此时）． 【答案】 【分析】根据小明同学的做法，将方程的常数项移至右边，二次项系数化为1，提取公因式，再将方程进行变形，利用平方差公式进行解答即可． 【详解】∵ ∴ ∴ 取x与的平均值，即将x与相加再除以2，即 那么原方程可化为： 左边用平方差公式可化为： 再移项可得：   开平方可得： ． 【点睛】本题考查了新型定义题型解一元二次方程，读懂题干意思，获取正确的解题步骤是解题的关键． 11．阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”，“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻．杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍；现有两块试验田，A块种植杂交水稻，B块种普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩； (1)A块试验田收获水稻9720千克、B块试验田收获水稻7260千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？ (2)为增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田部分改种杂交水稻，使总产量不低于17760千克，那么至少把B块试验田改多少亩种植杂交水稻？ 【答案】(1)普通水稻的亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克 (2)至少把块试验田改1.3亩种植杂交水稻 【分析】（1）设普通水稻的亩产量是千克，则杂交水稻的亩产量是千克，利用种植亩数总产量亩产量，结合块试验田比块试验田少4亩，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）利用种植亩数总产量亩产量，可分别求出，两块试验田的亩数，设把块试验田改亩种植杂交水稻，利用总产量亩产量种植亩数，结合总产量不低于17760千克，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设普通水稻的亩产量是千克，则杂交水稻的亩产量是千克， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：普通水稻的亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克． （2）解：块试验田有（亩， 块试验田有（亩． 设把块试验田改亩种植杂交水稻， 依题意得：， 解得：． 答：至少把块试验田改1.3亩种植杂交水稻． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 12．阅读下面的材料： 如果函数满足：对于自变量的取值范围内的任意，， （1）若，都有，则称是增函数； （2）若，都有，则称是减函数． 例题：证明函数是减函数． 证明：设， ． ∵， ∴，． ∴．即． ∴． ∴函数是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数， ， （1）计算：　 　，　 　； （2）猜想：函数是　 　函数（填“增”或“减”）； （3）请仿照例题证明你的猜想． 【答案】（1），；（2）增；（3）函数是增函数，证明猜想见解析. 【分析】根据题目中函数解析式代入自变量值可以解答本题； 由结论可得； 根据题目中例子的证明方法可以证明中的猜想成立． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为， （2）∵， ∴函数是增函数 故答案为增 （3）设， ∵ ∵， ∴，， ∴ ∴ ∴函数是增函数. 【点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答． 13．阅读下列有关记忆的资料，分析保持记忆的措施和方法．资料：德国心理学家艾宾浩斯对人的记忆进行了研究，他采用无意义的音节作为记忆的材料进行实验，获得了如下表中的相关数据，然后他又根据表中的数据绘制了一条曲线，这就是著名的艾宾浩斯遗忘曲线．其中横轴表示时间，纵轴表示学习中的记忆量． 时间 记忆量 刚记忆完 100% 20分钟后 58.2% 1小时后 44.2% 9小时后 35.8% 1天后 33.7% 2天后 27.8% 6天后 25.4% 30天后 21.1% 观察表格和图像，回答下列问题： （1）图中点A的坐标表示的实际意义是________； （2）在下面哪个时间段内遗忘的速度最快（    ） A．0—20分钟；B．20分钟—1小时C．1小时9小时；D．1天—2天． （3）王老师每节数学课最后五分钟都会对本节课进行回顾总结，并要求学生每天晚上对当天课堂上所学的知识进行复习．据调查这样一天后记忆量能保持98%．如果小明同学一天没有复习，那么记忆量大约会比复习过的记忆量减少多少？由此对你的学习有什么启示？ 【答案】（1）2天大约记忆量保持了27.8%；（2）A；（3）减少约66.3%；①每天上午、下午、晚上各复习10分钟；②坚持每天复习，劳逸结合（答案不唯一）． 【分析】（1）依据图象中点的坐标，即可得到A点表示的意义； （2）根据图象判断即可； （3）依据函数图象，可得如果一天不复习，记忆量只能保持33.7%左右． 【详解】解：（1）由题可得，点A表示：2天大约记忆量保持了27.8%； 故答案为：2天大约记忆量保持了27.8% （2）由图可得，0-20分钟 内记忆保持量下降41.8%，故0-20分钟内内遗忘的速度最快， 故选：A； （3）如果一天不复习，记忆量只能保持33.7%，记忆量减少约66.3%； 学习计划两条：①每天上午、下午、晚上各复习10分钟；②坚持每天复习，劳逸结合（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象获得有效信息是解题关键． 14．阅读与应用 我们知道，即，所以（当且仅当时取等号）． 阅读1：若为实数， 且， （当且仅当时取等号） 阅读2：若函数（为常数）， ， 由阅读1的结论可知，即 当时，函数有最小值，最小值为． 阅读理解以上材料，解答下列问题： (1)当____时，函数有最小值，最小值为_______． (2)疫情防控期间，某核酸检测采样点用隔离带分区管理，如图是一边靠墙其它三边用隔离带围成的面积为的矩形隔离区域，假设墙足够长，则这个矩形隔离区域的长和宽分别是多少时，所用隔离带的长度最短？ (3)随着高科技赋能传统快递行业，某大型物流公司为提高工作效率引进一批分拣机器人，已知每台机器人的运营成本包含以下三个部分：一是进价为25000元；二是材料损耗费，每小时为7元；三是折旧费，折旧费y（元）与运营工作时间t（小时）的函数关系式为．当运营工作时间t长达多少小时时，每台机器人平均每小时的运营成本最低？最低运营成本是多少？ 【答案】(1)2，4 (2)这个矩形隔离区域的长是8m，宽是4m时，所用隔离带的长度最短； (3)当运营工作时间t长达500小时时，每台机器人平均每小时的运营成本最低，最低运营成本是107元． 【分析】（1）根据阅读材料2，即可求解； （2）设这个矩形隔离区域的长为xm，宽为ym，所用隔离带的长度为S，可得，从而得到，再由阅读材料2，即可求解； （3）根据题意可得每台机器人平均每小时的运营成本为，再由阅读材料2，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴当时，函数有最小值，最小值为4， 此时x=2，x=-2（舍去）， 即x=2时，函数有最小值，最小值为4； 故答案为：2，4 （2）解：设这个矩形隔离区域的长为xm，宽为ym，所用隔离带的长度为S，根据题意得： xy=32， ∴， ∴， ∴当时，函数S有最小值，最小值为16， 此时x=8，x=-8（舍去）， 即这个矩形隔离区域的长是8m，宽是4m时，所用隔离带的长度最短； （3）解：根据题意得：每台机器人平均每小时的运营成本为 ， ∴当时，运营成本最低，最低运营成本是107元， 此时t=500或t=-500（舍去）， 即当运营工作时间t长达500小时时，每台机器人平均每小时的运营成本最低，最低运营成本是107元． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的性质，分式方程的应用，明确题意，理解阅读材料是解题的关键． 15．请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：． 解：设，解得：，， 则抛物线与轴的交点坐标为和． 画出二次函数的大致图象（如图所示）． 由图象可知：当时函数图象位于轴下方， 此时，即． 所以一元二次不等式的解集为：．    通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的_________和_________（只填序号） ①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想． (2)用类似的方法解一元二次不等式：． (3)某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： ①自变量的取值范围是___________；与的几组对应值如表，其中___________． … 4 0 1 2 3 4 … … 5 0 0 1 0 … ②如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整． ③结合函数图象，解决下列问题： 解不等式：    【答案】(1)①，③ (2) (3)①全体实数；；②见解析；③或或 【分析】（1）根据转化思想和数形结合思想解答，即可； （2）依照例题，先求得的解，再画出的草图，观察图象即可求解； （3）①当时，代入数据求解即可；②描点，连线，即可画出函数图象；③观察图象即可求解． 【详解】（1）解：上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的转化思想和数形结合思想； 故答案为：①，③ （2）解：， 设，解得：，， 则抛物线与轴的交点坐标为和． 画出二次函数的大致图象（如图所示）．    由图象可知：当时函数图象位于轴上方， 此时，即． 所以一元二次不等式的解集为：； （3）解：①自变量的取值范围是全体实数； 当时，，即 列表； … 0 1 2 3 4 … … 5 0 0 1 0 … 故答案为：全体实数；； ②描点，连线，函数图象如图：    ③由图象可知；由图象可知：当或或时函数的图象位于与0之间，此时，即． 一元二次不等式的解集为：或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次不等式的解法，数形结合的思想方法，本题是阅读型题目，理解题干中的解题的思想方法并熟练运用是解题的关键． 16．（1）阅读与证明 如图1，在正的外角内引射线，作点关于的对称点（点在内），连接，分别交于点、． ①完成证明：点是点关于的对称点， ，，， 正中，，， ，得． 在中，，__________． 在中，，__________． ②请证明：． （2）类比与探究 把（1）中的“正”改为“正方形”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得： ①__________； ②线段之间存在数量关系___________． 【答案】（1）①60，30；②见解析 （2）①45；② 【分析】（1）①由对称性可得，，，由等腰三角形的性质即可求解； ②连接，在上取一点，使得，连接．证明可得结论； （2）①如图2中，利用圆周角定理求解即可； ②，连接，在上取一点，使得，连接，证明，推出，推出可得结论． 【详解】（1）①如图1中，点是点关于的对称点， ，，， 正中，，， ，得． 在中，， ， 在中，， ． 故答案为：60，30； ②证明：如图1中，连接，在上取一点，使得，连接． ，关于对称， 垂直平分线段， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． （2）①如图2中，， 点是的外接圆的圆心， ， ， , 故答案为：45； ②． 理由：如图2中，连接，在上取一点，使得，连接， ，， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，对称的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形或相似三角形是解题的关键． 17．阅读填空：如图①中，是的角平分线，它具有一些和边有关的特殊性质，下面我们一块来研究． (1)如图②，作，，垂足分别为E、F，易得． 如图③，作，垂足为G，易得． 综合图②图③可得中，当平分时，______． (2)如图④，，作交延长线于M，请你利用图④，填空 ∵，∴，，又∵ ∴，∴______，∵， ∴，∴______． (3)应用如图⑤： 在中，，平分，，，则______，______． 【答案】(1) (2)；； (3)， 【分析】（1）利用同高三角形的面积比等于底的比进行计算解题； （2）作交延长线于M，则有，根据平行线分线段成比例得到，然后等量代换解题即可； （3）先利用勾股定理求出长，然后利用（1）中结论解题即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）如图④，，作交延长线于M，请你利用图④，填空 ∵， ∴，， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；；； （3）解：∵，，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查三角形的面积，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 18．【背景阅读】我国古代著名数学著作《周髀算经》记载了“勾三、股四、弦五”，直观地证明了勾股定理，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15的三角形就是型三角形． 【实践操作】如图1，在正方形纸片中，，点E为边上的中点，将沿折叠得，延长交于点G，交的延长线于点H． 【问题解决】（1）证明是型三角形； （2）在不添加字母的情况下，直接写出图1中还有哪些三角形是型三角形； 【拓展探究】（3）如图2，在矩形纸片中，，，E是上的一点，将沿折叠得到，延长交于点G．其中是型三角形，请求出的面积． 【答案】（1）见解析；（2），是型三角形；（3）或 【分析】（1）先证明，然后在中，利用勾股定理可求出，，证明可求出，利用勾股定理求出，即可得证； （2）由可得，即可判断是型三角形，由（1）中所求各边可知是型三角形； 【详解】解：（1）∵在正方形纸片中，， ∴，，， ∵点E为边上的中点， ∴， ∵翻折， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是型三角形； （2）∵， ∴， ∴是型三角形， ∵，，， ∴ ∴是型三角形， ∴图中还有，是型三角形； （3）∵翻折， ∴，，， ∵是型三角形， ∴或， 当时， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得，舍去）， ∴，， ∴； 当时， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴，， ∴； 综上，的面积或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 19．阅读下列材料： 如图①，在中，所对的边分别为a，b，c，可以得到． 证明：如图②，过点A作，垂足为D． 在中，，所以．所以． 同理可得． 所以． (1)通过上述材料证明：； (2)运用（1）中的结论解决问题：如图③，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A，B，C三个测量点，在B点测得A在北偏东方向上，沿笔直公路向正东方向行驶千米到达C点，测得A在北偏西方向上，根据以上信息，求A，B，C三点围成的三角形面积．（结果取整数，参考数据：） 【答案】(1)见解析 (2)38平方千米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题： （1）利用材料可得：，从而可得，进而可得，然后同理可得：，从而利用等量代换即可解答； （2）根据题意可得：千米，，从而可得，然后利用（1）的结论可得：，从而可得：，再利用材料的结论进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得：千米，，， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， 解得：， ∴ ， ∴A，B，C三点围成的三角形面积约为38平方千米． 20．上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题及参考答案． 2．如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空： 先作，其中，；然后延长到点，使，连接． （1）． （2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），． （3）． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究： 【知识迁移】 在中，，，那么____；____． 【拓展应用】 如图，在中，，，，点、分别在边、上，且，，连接、交于点，求的值． 【答案】知识迁移：，；拓展应用：1． 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 知识迁移： 作平分交于，过作于，设，则，，由面积法求得，进而即可求得；同理可得：； 拓展应用： 连接，证出，，，设，，，，求出，则可得出答案． 【详解】知识迁移： 解：如图，作平分交于，过作于， ∵， ∴， ∵平分交于， ，， 中，， 即， 设， 则， ， ∵， ∴即， ∴， ∴； 同理可得：， 故答案为：，； 拓展应用： 解：连接， ，， ， ，， ， ， ， ，； 设，， ，， ， ， ， ， ． 21．定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题： 已知直线外有一点P，，，，圆M是点P与直线的点切圆． (1)如果圆心M在线段上，那么圆M的半径长是_____（直接写出答案）． (2)如图2，以O为坐标原点、为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点P在第一象限，设圆心M的坐标是． ①求y关于x的函数解析式； ②点B是①中所求函数图象上的一点，连接 并延长交此函数图象于另一点C．如果，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了二次函数与相似三角形的综合题，以新定义的形式出现，理解题意是解决本题的关键． （1）过点M作，设圆M的半径为R，根据点切圆的定义，先通过勾股定理求，再利用同角三角函数值相等得：，求解即可； （2）①过点M作,，则，，则，对运用勾股定理即可建立y关于x的函数关系式； ②设点，过点C、B作的垂线交于点D、E，构造相似三角形，用x，y的代数式表示出B点坐标，再代入抛物线解析式，联立即可求解． 【详解】（1）解：过点M作，设圆M的半径为R， ∵，， ∴， ∵圆M是点P与直线的点切圆， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． （2）解：①过点M作,， 由（1）得，则，，则， 在中，得：，化简得：． ②设点，过点C、B作的垂线交于点D、E， ∵， ∴， ∴，则， ∴点代入得： 解得：或， ∴点或． 22．某校为培养学生的阅读习惯，发起“阅读悦听”活动，现有两种打卡奖励方式： 方式一：每天打卡可领取听书时长； 方式二：第一天打卡可领取听书时长，之后每天打卡领取的听书时长是前一天的2倍． (1)根据上述两种打卡奖励方式补全表二： 表一每天领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 60 60 60 ··· 60 方式二 5 ··· 表二累计领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 120 180 240 ··· 方式二 ··· (2)根据表二，以天数n为横坐标，以该天累计领取的听书时长为纵坐标，绘制了相应的点，并用虚线表达了变化趋势．其中表示方式二变化趋势的虚线是________（填a或b），从第_______天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一； (3)现有一本时长不超过的有声读物，小云希望通过打卡领取该有声读物．若选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多两天，则这本有声读物的时长t（单位：）的取值范围是______． 【答案】(1)， (2)，7 (3) 【分析】（1）根据表二中两种方式每天累计领取听书时长的数字规律，即得答案； （2）根据表二中的数据变化情况及图中两线的交点情况，即得答案； （3）由已知可得选择方式一只需打卡1天，选择方式二需打卡3天，由此即得答案． 【详解】（1）表二中，对于方式一，第1天累计领取听书时长为， 第2天累计领取听书时长为， 第3天累计领取听书时长为， 依次规律，第n天累计领取听书时长为； 对于方式二，第1天累计领取听书时长为， 第2天累计领取听书时长为， 第3天累计领取听书时长为， 依次规律，第n天累计领取听书时长为； 故答案为：，． （2）由表二的数据可知，表示方式二变化趋势的虚线是a，第7天开始，曲线a上点的纵坐标大于射线b上对应点的纵坐标， 即选择方式二累计领取的听书时长超过方式一； 故答案为：，7． （3）该有声读物的听书时长不超过， 选择方式一只需打卡1天， 选择方式二需打卡3天， t的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字规律的探求，函数的表示方法,从函数图象获取信息及求函数值的取值范围等知识，正确理解题意是解题的关键． 23．【新知阅读】 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． 【新知理解】 （1）①若，，则____“准直角三角形”；（填“是”或“不是”） ②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为_________. 【新知运用】 （2）如图①，在中，，是的角平分线．求证：是“准直角三角形”； （3）如图②，在中，，，，点在边上，若是“准直角三角形”，求的长； 【新知拓展】 （4）如图③，在四边形中，，，，，且是“准直角三角形”，求的长，请直接写出答案. 【答案】（1）①是，②或；（2）证明见解析；（3）或；（4）或 【分析】（1）①根据三角形内角和定理求解即可；②根据三角形内角和定理求解即可； （2）根据三角形角平分线的性质，得到，通过三角想外角性质和三角形和差关系即可求解； （3）根据题意可分为两种情况；当时，过点作于，结合勾股定理求解；当时，利用三角函数、结合相似三角形的判定和性质求解即可； （4）过点作于，，交的延长线于，设，根据和可得，证明，可得，进而分情况讨论求解；当时和时，分别求出的长即可； 【详解】解：（1）①若，， 则， 是“准直角三角形” ②已知是“准直角三角形”， 且， 若， 则 则； 若, ， 则 故的度数为或 （2）在中，，是的角平分线， ， ， 是“准直角三角形” （3）当时，如图，过点作于， 在中，，，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 当时， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，或 （4）过点作于，，交的延长线于， 设， ，， ， ， ，， ， ， ， 当， ， ， 由（3）得：， 设，，则， ，则 则； 当时， ， ， ， ， ， 故的长为或 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理和三角形内角和定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 24．阅读下面的材料： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，以此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1、a2、a3，…，an，…，一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，名校模考a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．根据以上材料，解答下列问题： （1）等差数列5，10，15，…的公差d为______，第5项是______． （2）如果一个数列a1，a2，a3，…，an，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…．所以a2＝a1+d，a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d……，由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an＝a1+（______）d （3）求﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第几项？并说明理由． 【答案】（1）5，25；（2）n﹣1；（3）第2018项，理由见解析． 【分析】（1）根据题目中的材料，可以得到等差数列5，10，15，…的公差d和第5项的值； （2）根据题目中推导，可以得到等差数列的通项公式； （3）根据题意和题目中的数据，利用（2）中的结论，可以得到等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的公差和通项公式，从而可以求得﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第几项. 【详解】解：（1）由题意可得， d＝15﹣10＝5， 第5项是：15+5+5＝25， 故答案为：5，25； （2）如果一个数列a1，a2，a3，…，an，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到： a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…． 所以a2＝a1+d， a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d， a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d， …… 由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an＝a1+（n﹣1）d， 故答案为：n﹣1； （3）﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第2018项， 理由：等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…， ∴d＝﹣7﹣（﹣5）＝﹣7+5＝﹣2， ∴an＝﹣5+（n﹣1）×（﹣2）＝﹣2n﹣3， 令﹣2n﹣3＝﹣4039， 解得，n＝2018， 即﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第2018项. 【点睛】此题考查数的计算规律，解题的关键是读懂题意，理解等差数列及等差数列公差的定义，由此正确计算各等差数列中的公差，得到数据的计算规律由此解决问题. 25．阅读短文，解决问题 如果一个三角形和一个菱形满足条件：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”.如图1，菱形AEFD为△ABC的“亲密菱形”. 如图2，在△ABC中，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交AB、AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点F，过点F作FD//AC，FE//AB． (1)求证：四边形AEFD是△ABC的“亲密菱形”； (2)当AB=6，AC=12，∠BAC=45°时，求菱形AEFD的面积. 【答案】(1)证明见解析；(2) 四边形的面积为. 【详解】【分析】（1）根据尺规作图可知AF平分∠BAC，再根据DF//AC，可得AD=DF，再由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEFD是平行四边形，继而可得平行四边形AEFD是菱形，根据“亲密菱形”的定义即可得证； （2）设菱形的边长为a，即DF=AD=a，则BD=6-a，可证得△BDF∽△BAC，根据相似三角形的性质可求得a=4，过D作DG⊥AC，垂足为G，在Rt△ADG中， DG=2，继而可求得面积. 【详解】（1）由尺规作图可知AF平分∠BAC， ∴∠DAF=∠EAF， ∵DF//AC，∴∠DFA=∠EAF，∴∠DAF=∠DFA，∴AD=DF， ∵FD//AC，FE//AB，∴四边形AEFD是平行四边形， ∴平行四边形AEFD是菱形， ∵∠BAC与∠DAE重合，点F点BC上， ∴菱形AEFD为△ABC的“亲密菱形”； （2）设菱形的边长为a，即DF=AD=a，则BD=6-a， ∵DF//AC，∴△BDF∽△BAC， ∴BD：BA=BF：AC， 即（6-a）:6=a：12， ∴a=4， 过D作DG⊥AC，垂足为G， 在Rt△ADG中，∠DAG=45°，∴DG=AD=2， ∴S菱形AEFD=AE•DG=8， 即四边形AEFD的面积为8. 【点睛】本题考查了尺规作图，新概念题，菱形的判定与性质等，正确理解新概念是解题的关键. 26．【阅读材料】关于三角函数有如下的公式：①；②；③．利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如． 【学以致用】根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： (1)求的值； (2)如图，一架直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为，求建筑物的高； (3)疫情封控期间，直升机给该建筑物的居民投放物资，试求飞机从点处往正东方向飞多远，居民在点处看飞机的仰角恰好是． 【答案】(1) (2)84米 (3)飞机再飞168米可使点看飞机的仰角为 【分析】（1）根据，可求的值； （2）根据求得AB，再根据ED=求得A、E两点垂直距离ED，最后CD的长即可求得； （3）延长交于点，作交于点，并使，根据可求EF的值，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：如图，延长交于点， ∵，米， ∴ 米， ∵，米 ∴、垂直距离为ED=米， ∴米． 答：建筑物的高为84米． （3）解：延长交于点， 作交于点，并使， ∴米， 由（2）得、垂直距离米， ∵， ， ∴， ∴米， ∴米． 答：飞机再飞168米可使点看飞机的仰角为． 【点睛】本题主要考查了特殊的锐角三角函数值，解题关键是将不特殊三角函数转化为特殊三角函数并结合图像解直角三角形． 27．请阅读下列材料，并完成相应的任务： 公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值． 如图①，在线段上找一个点C，C把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比值叫做黄金分割数． 为简单起见，设，则． ∵，∴…… 任务： (1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数． (2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点： ①设是已知线段，过点B作且使； ②连接，在上截取； ③在上截取； 则点C即为线段黄金分割点．你能说说其中的道理吗？ (3)已知线段，点C，D是线段上的两个黄金分割点，则线段的长是 　　． 【答案】(1)黄金分割数为 (2)能，道理见解析 (3) 【分析】（1）设，则．根据黄金分割的定义，构建方程求出x即可． （2）设，根据勾股定理求出，再证明即可． （3）利用黄金分割的定义求出，再根据求解即可． 【详解】（1）设，则． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即黄金分割数为． （2）能，道理如下： 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C是线段的黄金分割点． （3）如图，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割的定义，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 28．在平面直角坐标系中，对于直线l及点P给出如下定义：过点P作y轴的垂线交直线l于点Q，若，则称点P为直线l的关联点，当时，称点P为直线l的最佳关联点，当点P与点Q重合时，记．例如，点是直线的最佳关联点．根据阅读材料，解决下列问题．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线：，：．    (1)已知点，，上述各点是直线的关联点是_______； (2)若点是直线的最佳关联点，求m的值； (3)点E在x轴的正半轴上，点，以、为边作正方形，若直线与正方形相交，且交点中至少有一个是直线的关联点，求b的取值范围． 【答案】(1)A； (2)3或5； (3)或． 【分析】（1）根据定义分别判断即可； （2）由题意可知，求出m的值即可； （3）画出图象，当直线经过时，，当直线经过时，，则时，交点中至少有一个是直线的关联点；当直线经过时，，当直线经过时，，当时，可得交点中至少有一个是直线l1的关联点． 【详解】（1）解：如图，      当时，，则， ∴， ∴A点是直线的关联点； 当时，则，解得：， ∴， ∴B点不是直线的关联点； 故答案为：A； （2）解：设过点D的垂直于y轴的直线交于点Q，      当时，，解得：， ∴， ∵点是直线的最佳关联点， ∴， ∴或， 故答案为：3或5； （3）解：∵四边形是正方形，， ∴，E点在x轴正半轴， ∴， 如图，当直线在和之间，在和之间时，符合条件；      当时，对于，，此时A是直线的最佳关联点，当直线经过时，； 当时，对于，，此时是直线的最佳关联点，当直线经过时，， ∴时，交点中至少有一个是直线的关联点； 当时，对于，，，此时是直线的最佳关联点，当直线经过时，， 当时，对于，，，此时E是直线的最佳关联点，当直线经过时，， ∴当时，交点中至少有一个是直线的关联点； 综上所述：或时，交点中至少有一个是直线的关联点． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与坐标轴的交点，一次函数与几何综合等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解定义，数形结合讨论是解题的关键． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一模备考专题07 材料阅读题（中考新题型，预测28题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广．对于任意三角形，任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．定理解读：如图，在任意中，以边为例，其它两边是和，和的夹角为，根据余弦定理有，类似的可以得到关于和的关系式．已知在中，，，是和的比例中项，那么的余弦值为 ． 2．阅读：对于线段与点O（点O与不在同一直线上），如果同一平面内点P满足：射线与线段交于点Q，且，那么称点P为点O关于线段的“准射点”．问题：如图，矩形中，，点E在边上，且，连接．设点F是点A关于线段的“准射点”，且点F在矩形的内部或边上，如果点C与点F之间距离为d，那么d的取值范围为 ． 3．阅读：对于线段与点O（点O与不在同一直线上），如果同一平面内点P满足：射线与线段交于点Q，且，那么称点P为点O关于线段的“准射点”． 问题：如图，矩形中，，点E在边上，且，联结．设点F是点A关于线段的“准射点”，且点F在矩形的内部或边上，如果点C与点F之间距离为d，那么d的取值范围为 ． 二、解答题 4．阅读以下材料，并解决相应的问题． 巧设密码 在日常生活中，微信支付、取款、上网等都需要密码．有一种用因式分解生成密码的程序，方便记忆．例如：对于多项式，因式分解的结果是．若取，，则各个因式的值分别是，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码 问题解决： （1）按材料中的原理，若取，，生成的密码是_______； （2）若将程序修改为：整式因式分解的结果，取，时（来源年月出生），用上述方法产生的密码是多少？（写出一种即可） 5．阅读材料： 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程： 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．…… 解决问题： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程； (2)如图3，在中，是角平分线，，，，求的长． 6．阅读下列材料： 解一些复杂的因式分解问题常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小张同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小张同学的解法中，第二步运用了因式分解的______． A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小张同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______． (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 7．阅读与思考： 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质： 重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小明证明性质的过程． 如图，在中，D、E分别是边、的中点，、相交于点G， 求证： 证明：连接， ∵D，E是边，的中点， ∴，（依据1） ∴ ∴（依据2） ∴ (1)任务一，在小明的证明过程中，依据1和依据2的内容分别是： 依据1：______________________依据2：______________________ (2)应用 ①如图，在中，点G是中的重心，连接并延长交与点E，若，求长． ②在中，中线、相交于点O，若的面积等于30，求的面积． 8．材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： (1)求的正弦值； (2)求的长（结果精确到，参考数据：，，）． 9．阅读材料：求解一元一次方程，需要根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求解三元一次方程组，要把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，需要把它转化为连个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解；各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知来求解. 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程. 例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解. 再例如，解根号下含有来知数的方程：，通过两边同时平方把它转化为，解得：. 因为，且，所以不是原方程的根，是原方程的解. （1）问题：方程的解是，__________，__________； （2）拓展：求方程的解. 10．阅读理解：小明同学进入初二以后，读书越发认真．在学习“用因式分解法解方程”时，课后习题中有这样一个问题： 下列方程的解法对不对？为什么？ 解：或． 解得或． 所以，． 同学们都认为不对，原因：有的说该题的因式分解是错误的；有的说将答案代入方程，方程左右两边不成立，等等． 小明同学除了认为该解法不正确，还给出了一种因式分解的做法，小明同学的做法如下： 取与的平均值，即将与相加再除以2． 那么原方程可化为 左边用平方差公式可化为． 再移项，开平方可得 请你认真阅读小明同学的方法，并用这个方法推导： 关于x的方程的求根公式（此时）． 11．阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”，“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻．杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍；现有两块试验田，A块种植杂交水稻，B块种普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩； (1)A块试验田收获水稻9720千克、B块试验田收获水稻7260千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？ (2)为增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田部分改种杂交水稻，使总产量不低于17760千克，那么至少把B块试验田改多少亩种植杂交水稻？ 12．阅读下面的材料： 如果函数满足：对于自变量的取值范围内的任意，， （1）若，都有，则称是增函数； （2）若，都有，则称是减函数． 例题：证明函数是减函数． 证明：设， ． ∵， ∴，． ∴．即． ∴． ∴函数是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数， ， （1）计算：　 　，　 　； （2）猜想：函数是　 　函数（填“增”或“减”）； （3）请仿照例题证明你的猜想． 13．阅读下列有关记忆的资料，分析保持记忆的措施和方法．资料：德国心理学家艾宾浩斯对人的记忆进行了研究，他采用无意义的音节作为记忆的材料进行实验，获得了如下表中的相关数据，然后他又根据表中的数据绘制了一条曲线，这就是著名的艾宾浩斯遗忘曲线．其中横轴表示时间，纵轴表示学习中的记忆量． 时间 记忆量 刚记忆完 100% 20分钟后 58.2% 1小时后 44.2% 9小时后 35.8% 1天后 33.7% 2天后 27.8% 6天后 25.4% 30天后 21.1% 观察表格和图像，回答下列问题： （1）图中点A的坐标表示的实际意义是________； （2）在下面哪个时间段内遗忘的速度最快（    ） A．0—20分钟；B．20分钟—1小时C．1小时9小时；D．1天—2天． （3）王老师每节数学课最后五分钟都会对本节课进行回顾总结，并要求学生每天晚上对当天课堂上所学的知识进行复习．据调查这样一天后记忆量能保持98%．如果小明同学一天没有复习，那么记忆量大约会比复习过的记忆量减少多少？由此对你的学习有什么启示？ 14．阅读与应用 我们知道，即，所以（当且仅当时取等号）． 阅读1：若为实数， 且， （当且仅当时取等号） 阅读2：若函数（为常数）， ， 由阅读1的结论可知，即 当时，函数有最小值，最小值为． 阅读理解以上材料，解答下列问题： (1)当____时，函数有最小值，最小值为_______． (2)疫情防控期间，某核酸检测采样点用隔离带分区管理，如图是一边靠墙其它三边用隔离带围成的面积为的矩形隔离区域，假设墙足够长，则这个矩形隔离区域的长和宽分别是多少时，所用隔离带的长度最短？ (3)随着高科技赋能传统快递行业，某大型物流公司为提高工作效率引进一批分拣机器人，已知每台机器人的运营成本包含以下三个部分：一是进价为25000元；二是材料损耗费，每小时为7元；三是折旧费，折旧费y（元）与运营工作时间t（小时）的函数关系式为．当运营工作时间t长达多少小时时，每台机器人平均每小时的运营成本最低？最低运营成本是多少？ 15．请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：． 解：设，解得：，， 则抛物线与轴的交点坐标为和． 画出二次函数的大致图象（如图所示）． 由图象可知：当时函数图象位于轴下方， 此时，即． 所以一元二次不等式的解集为：．    通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的_________和_________（只填序号） ①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想． (2)用类似的方法解一元二次不等式：． (3)某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： ①自变量的取值范围是___________；与的几组对应值如表，其中___________． … 4 0 1 2 3 4 … … 5 0 0 1 0 … ②如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整． ③结合函数图象，解决下列问题： 解不等式：    … 0 1 2 3 4 … … 5 0 0 1 0 … 16．（1）阅读与证明 如图1，在正的外角内引射线，作点关于的对称点（点在内），连接，分别交于点、． ①完成证明：点是点关于的对称点， ，，， 正中，，， ，得． 在中，，__________． 在中，，__________． ②请证明：． （2）类比与探究 把（1）中的“正”改为“正方形”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得： ①__________； ②线段之间存在数量关系___________． 17．阅读填空：如图①中，是的角平分线，它具有一些和边有关的特殊性质，下面我们一块来研究． (1)如图②，作，，垂足分别为E、F，易得． 如图③，作，垂足为G，易得． 综合图②图③可得中，当平分时，______． (2)如图④，，作交延长线于M，请你利用图④，填空 ∵，∴，，又∵ ∴，∴______，∵， ∴，∴______． (3)应用如图⑤： 在中，，平分，，，则______，______． 18．【背景阅读】我国古代著名数学著作《周髀算经》记载了“勾三、股四、弦五”，直观地证明了勾股定理，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15的三角形就是型三角形． 【实践操作】如图1，在正方形纸片中，，点E为边上的中点，将沿折叠得，延长交于点G，交的延长线于点H． 【问题解决】（1）证明是型三角形； （2）在不添加字母的情况下，直接写出图1中还有哪些三角形是型三角形； 【拓展探究】（3）如图2，在矩形纸片中，，，E是上的一点，将沿折叠得到，延长交于点G．其中是型三角形，请求出的面积． 19．阅读下列材料： 如图①，在中，所对的边分别为a，b，c，可以得到． 证明：如图②，过点A作，垂足为D． 在中，，所以．所以． 同理可得． 所以． (1)通过上述材料证明：； (2)运用（1）中的结论解决问题：如图③，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A，B，C三个测量点，在B点测得A在北偏东方向上，沿笔直公路向正东方向行驶千米到达C点，测得A在北偏西方向上，根据以上信息，求A，B，C三点围成的三角形面积．（结果取整数，参考数据：） 20．上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题及参考答案． 2．如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空： 先作，其中，；然后延长到点，使，连接． （1）． （2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），． （3）． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究： 【知识迁移】 在中，，，那么____；____． 【拓展应用】 如图，在中，，，，点、分别在边、上，且，，连接、交于点，求的值． 21．定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题： 已知直线外有一点P，，，，圆M是点P与直线的点切圆． (1)如果圆心M在线段上，那么圆M的半径长是_____（直接写出答案）． (2)如图2，以O为坐标原点、为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点P在第一象限，设圆心M的坐标是． ①求y关于x的函数解析式； ②点B是①中所求函数图象上的一点，连接 并延长交此函数图象于另一点C．如果，求点B的坐标． 22．某校为培养学生的阅读习惯，发起“阅读悦听”活动，现有两种打卡奖励方式： 方式一：每天打卡可领取听书时长； 方式二：第一天打卡可领取听书时长，之后每天打卡领取的听书时长是前一天的2倍． (1)根据上述两种打卡奖励方式补全表二： 表一每天领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 60 60 60 ··· 60 方式二 5 ··· 表二累计领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 120 180 240 ··· 方式二 ··· (2)根据表二，以天数n为横坐标，以该天累计领取的听书时长为纵坐标，绘制了相应的点，并用虚线表达了变化趋势．其中表示方式二变化趋势的虚线是________（填a或b），从第_______天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一； (3)现有一本时长不超过的有声读物，小云希望通过打卡领取该有声读物．若选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多两天，则这本有声读物的时长t（单位：）的取值范围是______． 23．【新知阅读】 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． 【新知理解】 （1）①若，，则____“准直角三角形”；（填“是”或“不是”） ②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为_________. 【新知运用】 （2）如图①，在中，，是的角平分线．求证：是“准直角三角形”； （3）如图②，在中，，，，点在边上，若是“准直角三角形”，求的长； 【新知拓展】 （4）如图③，在四边形中，，，，，且是“准直角三角形”，求的长，请直接写出答案. 24．阅读下面的材料： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，以此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1、a2、a3，…，an，…，一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，名校模考a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．根据以上材料，解答下列问题： （1）等差数列5，10，15，…的公差d为______，第5项是______． （2）如果一个数列a1，a2，a3，…，an，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…．所以a2＝a1+d，a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d……，由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an＝a1+（______）d （3）求﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第几项？并说明理由． 25．阅读短文，解决问题 如果一个三角形和一个菱形满足条件：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”.如图1，菱形AEFD为△ABC的“亲密菱形”. 如图2，在△ABC中，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交AB、AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点F，过点F作FD//AC，FE//AB． (1)求证：四边形AEFD是△ABC的“亲密菱形”； (2)当AB=6，AC=12，∠BAC=45°时，求菱形AEFD的面积. 26．【阅读材料】关于三角函数有如下的公式：①；②；③．利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如． 【学以致用】根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题： (1)求的值； (2)如图，一架直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为，求建筑物的高； (3)疫情封控期间，直升机给该建筑物的居民投放物资，试求飞机从点处往正东方向飞多远，居民在点处看飞机的仰角恰好是． 27．请阅读下列材料，并完成相应的任务： 公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值． 如图①，在线段上找一个点C，C把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比值叫做黄金分割数． 为简单起见，设，则． ∵，∴…… 任务： (1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数． (2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点： ①设是已知线段，过点B作且使； ②连接，在上截取； ③在上截取； 则点C即为线段黄金分割点．你能说说其中的道理吗？ (3)已知线段，点C，D是线段上的两个黄金分割点，则线段的长是 　　． 28．在平面直角坐标系中，对于直线l及点P给出如下定义：过点P作y轴的垂线交直线l于点Q，若，则称点P为直线l的关联点，当时，称点P为直线l的最佳关联点，当点P与点Q重合时，记．例如，点是直线的最佳关联点．根据阅读材料，解决下列问题．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线：，：．    (1)已知点，，上述各点是直线的关联点是_______； (2)若点是直线的最佳关联点，求m的值； (3)点E在x轴的正半轴上，点，以、为边作正方形，若直线与正方形相交，且交点中至少有一个是直线的关联点，求b的取值范围． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$