一模备考专题06 新定义问题（重难点题型，30题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（上海专用）

一模备考专题06 新定义问题（重难点题型，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（2023·上海杨浦·名校模考）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·上海·名校模考）定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：（1）当时，函数图像的顶点坐标是；（2）当时，函数图像截轴所得的线段长度大于；（3）当时，函数在时，随的增大而减小；（4）当时，无论取何值函数图像经过定点．其中正确的结论有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 3．（2023·上海嘉定·名校模考）新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”，一次函数（）的“特征值”是 ． 4．（23-24九年级上·上海黄浦·名校模考）新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是 ． 5．（2024·上海·模拟预测）新定义：正n边形最短对角线与最长对角线长度的比值为正n边形的特征值，则n的取值范围为 ，正六边形的特征值为 ． 6．（23-24九年级上·上海崇明·名校模考）新定义：我们把抛物线，（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，抛物线的顶点为P，且抛物与x轴相交于M、N两点，点P关于x轴的对称点为Q，若四边形是正方形，那么抛物线的表达式为 ． 7．（24-25九年级上·上海闵行·名校模考）新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“智慧线”．已知一个直角梯形的“智慧线”等于2，它的面积是 ． 8．（23-24九年级上·上海普陀·名校模考）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是 ．      9．（2023·上海虹口·一模）定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图①中正方形即为线段的“对角线正方形”．如图②，在中，，，，点P在边上，如果线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上，那么的长是 ． 10．（23-24九年级上·上海松江·名校模考）若定义等腰三角形顶角的值为等腰三角形底边和底边上高的比值，即顶角，若等腰，，且，则 ． 11．（2024九年级上·上海·名校模考）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰为“格线三角形”，且，那么直线与直线的夹角的余切值为 ． 12．（2023·上海青浦·一模）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为 ． 13．（21-22九年级上·上海杨浦·期末）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰为“格线三角形”，且，那么直线与直线的夹角的正切值为 ．    14．（23-24九年级上·上海·名校模考）新定义：平行于三角形一边的直线被其他两边所截得的线段叫做“三角形的弦”，已知等边三角形的一条弦的长度为，且这条弦将等边三角形分成面积相等的两个部分，那么这个等边三角形的边长为 cm． 15．（2023·上海闵行·模拟预测）新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，连接，如果点是的重心，那么的值是 ．    16．（24-25九年级上·上海黄浦·名校模考）定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”如图，已知，与之间的距离为．“等高底”是钝角三角形，且，的“等底”在直线上，点在直线，有一边的长是的倍．将绕点按顺时针方向旋转得到，所在直线交于，则 ． 三、解答题 17．（24-25九年级上·上海宝山·名校模考）新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点” (1)如图，若抛物线M经过和点和，则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由； (2)若直线交抛物线于A，两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围； (3)求直线的最值点． 18．（24-25九年级上·上海嘉定·名校模考）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）． (1)①四条边成比例的两个凸四边形相似（_____命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似，（_____命题） ③两个大小不同的正方形相似．（_____命题） (2)如图，在凸四边形和凸四边形中，，，求证：四边形和四边形相似 19．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）定义：对于抛物线（、、是常数，），若，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系，抛物线是黄金抛物线，与轴交于点，顶点为． (1)求此黄金抛物线的表达式及点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求的正弦值． ②在射线上是否存在点，使以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为1．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（2022·上海闵行·名校模考）我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题（第（1）（2）不必写出过程） (1)的值为（     ）． A． B．1 C． D．2 (2)对于，的正对值的取值范围是 ． (3)如果，，其中为锐角，试求的值． 21．（23-24九年级上·上海·名校模考）在初三阶段，我们要研究一个新函数：二次函数，在此前，我们研究过一次函数和反比例函数，那么如何研究一个新函数呢？现在做如下探究： 探究课题：探究函数的图象与性质． 方法1：运用已学关于根式，分式的知识． （1）函数的自变量x的取值范围是 ； 方法2：列表法借助图像性质． （2）下表是y与x的几组对应值． 其中_____________ x 1 2 3 4 … y 0 m … 如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； 方法3：分析图像的增减性： ． 22．（2024·上海普陀·一模）综合实践 九年级第一学期教材第2页 结合教材图形给出新定义 对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形，得到四边形；放大四边形，得到四边形．   图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形和四边形都与四边形形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形． 如图，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心． (1)填空：在上图中位似中心是点________；________多边形是特殊的________多边形．（填“位似”或“相似”） (2)在平面直角坐标系中（如下图），二次函数的图像与x轴交于点A，点B是此函数图像上一点（点A、B均不与点O重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，得到它的位似．    ①画出，并求经过O、、三点的抛物线的表达式； ②直线与二次函数的图像交于点M，与①中的抛物线交于点N，请判断和是否为位似三角形，并根据新定义说明理由． 23．（24-25九年级上·上海浦东新·名校模考）新定义：关于x轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”． (1)求：抛物线的“同轴对称抛物线”． (2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、， ①当四边形为正方形时，求：a的值． ②在①的条件下，抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数相交于点M和点N（其中M在N的左边），将抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线与一次函数相交于点P和点Q（其中P在Q的左边），满足，试在抛物线上有且仅有三个点，，，使得，，的面积均为定值S，请直接写出：，，的坐标． 24．（24-25九年级上·上海浦东新·名校模考）新定义：对于抛物线，若，则称该抛物线是黄金抛物线，若抛物线是黄金抛物线，与y轴交于点A，顶点为D． (1)求：此黄金抛物线的表达式及D点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求：的正切值． ②在射线上找一点P，使以点P、A、D所组成的三角形与相似，求：P点坐标． 25．（23-24九年级上·上海静安·名校模考）在平面直角坐标系中，把一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫做线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长比值为“旋似比”：如图，平面直角坐标系中有一点，把线段绕点做“旋似”运动，点的对应点是点，若“旋似角”为，    (1)当“旋似比”为时，求点的坐标； (2)过做轴，点为垂足，连接，若轴，求此时的“旋似比”； (3)当“旋似比”为时，设线段与轴交于点，点是轴上一点，且满足，求点的坐标． 26．（2023·上海杨浦·一模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在的网格图形中，的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题： (1)___________；___________； (2)请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P，使．（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论） 27．（23-24九年级上·上海长宁·名校模考）在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点、和点，与轴交于点．      (1)求该抛物线的表达式及点的坐标； (2)将抛物线平移，点平移到点． ①定义：如果有一个点既在平移前的抛物线上又在平移后的抛物线上，那么称这个点为“平衡点”． 如果平移所得新抛物线经过原点，且点是“平衡点”，求的长； ②如果平移所得新抛物线的顶点在轴正半轴上，与轴交于点，且与相似，求点的坐标． 28．（24-25九年级上·上海徐汇·名校模考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A，B，C的坐标分别为，，． (1)求过点A，B，C的抛物线及其对称轴； (2)新定义：如果点的坐标满足，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点”P到x轴的距离与C点到x轴的距离相同，求P点的坐标； (3)我们称横坐标和纵坐标为整数的点为格点，求的面积，并直接写出该值与其内部格点数量a和边上格点数量b的等式． 29．（2024·上海浦东新·一模）新定义1：将宽与长的比等于黄金分割比的矩形称为黄金矩形   新定义2：将顶角为的等腰三角形称为黄金三角形 ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平 ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平 ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处 ④展平纸片，按照所得到的点D折出 (1)根据以上折纸法，求证：矩形为黄金矩形 (2)如图5，已知为黄金三角形，，求：的长 (3)在（2）的条件下，截取交AC于D，截取交线段于E，过E作任意直线与边交于P，Q两点，试判断：是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由 30．（23-24九年级上·上海静安·名校模考）在平面直角坐标系中，对于直线l及点P给出如下定义：过点P作y轴的垂线交直线l于点Q，若，则称点P为直线l的关联点，当时，称点P为直线l的最佳关联点，当点P与点Q重合时，记．例如，点是直线的最佳关联点．根据阅读材料，解决下列问题．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线：，：．    (1)已知点，，上述各点是直线的关联点是_______； (2)若点是直线的最佳关联点，求m的值； (3)点E在x轴的正半轴上，点，以、为边作正方形，若直线与正方形相交，且交点中至少有一个是直线的关联点，求b的取值范围． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一模备考专题06 新定义问题（重难点题型，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（2023·上海杨浦·名校模考）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】取的中点，再取网格点M、N，连接格点，结合中位线的性质可证明，，，再根据，，，，可得，结合，有，即可获得答案． 【详解】解：如图，取的中点，再取网格点M、N，连接格点，    则，且， ∴，， ∴． 同理可证：，． ∵，，，， ∴， ∴，， ∴， 综上，满足条件的三角形有4个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中位线的性质、相似三角形的判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定条件是解答本题的关键． 2．（24-25九年级上·上海·名校模考）定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：（1）当时，函数图像的顶点坐标是；（2）当时，函数图像截轴所得的线段长度大于；（3）当时，函数在时，随的增大而减小；（4）当时，无论取何值函数图像经过定点．其中正确的结论有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质的综合应用等知识点，①依据题意，把代入，求得，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；②依据题意，令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；③依据题意，首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；④依据题意，根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】①当时，特征数为， ∴，， ∴函数图象的顶点坐标是：，故①正确； ②当时，令，有， 解得， ∴， ∴， ∴当时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，故②正确； ③当时，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线，在对称轴的右边y随x的增大而减小， ∵当时，，即对称轴在直线右边， ∴函数在右边先递增到对称轴位置，再递减，故③错误； ④∵， 令， 解得或， 将代入得， 将代入得， ∴时，函数图象经过定点，，故④正确； ∴正确的有：①②④共3个， 故选：D． 二、填空题 3．（2023·上海嘉定·名校模考）新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”，一次函数（）的“特征值”是 ． 【答案】4 【分析】由题意知，一次函数的“特征值”为，当时，最大，代入求解即可． 【详解】解：由题意知，一次函数的“特征值”为， 当时，， ∴一次函数的“特征值”为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了新定义，一次函数．解题的关键在于理解题意并正确的运算． 4．（23-24九年级上·上海黄浦·名校模考）新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是 ． 【答案】或12 【分析】分两种情况，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，在梯形中，，是等腰直角三角形，，    ∴， ∴， ∴梯形的面积为； 如图，在梯形中，，是等腰直角三角形，，    ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴梯形的面积为； 如图，在梯形中，，是等腰直角三角形，； 综上所述，它的面积为或12． 故答案为：或12 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形，梯形，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 5．（2024·上海·模拟预测）新定义：正n边形最短对角线与最长对角线长度的比值为正n边形的特征值，则n的取值范围为 ，正六边形的特征值为 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了多边形对角线的定义、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、余弦的定义等知识点，发现正六边形的最短对角线和最长对角线的关系成为解题的关键． 根据对角线的形成条件可确定n的取值范围，再根据正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、余弦的定义即可求得正六边形的特征值． 【详解】解：由于正多边形存在对角线，则， 如图，正六边形中，对角线交于点O，连接． 易知是正六边形最长的对角线，是正六边形的最短的对角线， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故答案为,． 6．（23-24九年级上·上海崇明·名校模考）新定义：我们把抛物线，（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，抛物线的顶点为P，且抛物与x轴相交于M、N两点，点P关于x轴的对称点为Q，若四边形是正方形，那么抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线新定义问题，正确理解定义，熟练掌握平行坐标轴直线上两点间距离计算方式是解题的关键．根据定义，得到抛物线的表达式，然后利用公式求出顶点坐标和对称点坐标，根据四边形是正方形求出距离，然后利用两点间距离公式和一元二次方程根与系数的关系求出的值，即可求解． 【详解】解： ， “关联抛物线”为：， 设抛物线的顶点，则 ，， 抛物线的顶点， 点P关于x轴的对称点， 连接交轴于，如图所示， 四边形是正方形， ， ， 设抛物线：与轴交点，，，即为方程的根， 则，， ， 解得， 抛物线的表达式为，即， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·上海闵行·名校模考）新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“智慧线”．已知一个直角梯形的“智慧线”等于2，它的面积是 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、勾股定理、平行线的性质、二次根式的运算，理解题中定义，分类讨论是解答的关键．根据题意，画出图形，根据等腰直角三角形的性质，结合梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图1，为等腰直角三角形，， ∴， ∴； 如图2，为等腰直角三角形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 综上，这个直角梯形的面积为3或． 8．（23-24九年级上·上海普陀·名校模考）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是 ．      【答案】 【分析】根据直线，可以求出该直线与轴的交点，从而可以得到点的坐标，再根据点恰好是抛物线的顶点，即可得到、的值，然后联立抛物线与直线，求出它们的交点，即可求得抛物线关于直线的割距． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴点的坐标为， ∵点恰好是抛物线的顶点， ∴， ∴，， 即：抛物线为，则，解得：或， ∴抛物线与直线的交点为，， ∴此时抛物线关于直线的割距是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是求出抛物线与直线的交点坐标． 9．（2023·上海虹口·一模）定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图①中正方形即为线段的“对角线正方形”．如图②，在中，，，，点P在边上，如果线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上，那么的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：当线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上时，设正方形的边长为x，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·上海松江·名校模考）若定义等腰三角形顶角的值为等腰三角形底边和底边上高的比值，即顶角，若等腰，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及锐角三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．过点A作于，设，，根据等腰三角形的性质及勾股定理得，即可求得答案． 【详解】解：如图，过点A作于，过点作于， ， 设，则， ，， ， 根据勾股定理得，， ． 故答案为：． 11．（2024九年级上·上海·名校模考）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰为“格线三角形”，且，那么直线与直线的夹角的余切值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线间的距离等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键． 过作直线于，延长交直线于，过作直线于，根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，，求出，再解直角三角形求出答案即可． 【详解】解：过作直线于，延长交直线于，过作直线于，则， 直线直线直线，相邻两条平行线间的距离相等（设为， 直线，， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：3． 12．（2023·上海青浦·一模）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为 ． 【答案】 【分析】连接，过点A作于点E，过点C作于点F，根据求出和的 长度，进而求出的长度，根据对余四边形的定义得出，则 ，即可求出的长度，再根据勾股定理求出的长度，最 后根据即可求解． 【详解】解：连接，过点A作于点E，过点C作于点F， ∵，， ∴， 设， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为对余四边形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 设， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合问题，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤，勾股定理的内容，正确作出辅助线，构建直角三角形． 13．（21-22九年级上·上海杨浦·期末）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰为“格线三角形”，且，那么直线与直线的夹角的正切值为 ．    【答案】 【分析】过作直线于，延长交直线于，过作直线于，根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，，求出，再解直角三角形求出答案即可． 【详解】解：过作直线于，延长交直线于，过作直线于，则，   直线直线直线，相邻两条平行线间的距离相等（设为， 直线，， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线间的距离等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键． 14．（23-24九年级上·上海·名校模考）新定义：平行于三角形一边的直线被其他两边所截得的线段叫做“三角形的弦”，已知等边三角形的一条弦的长度为，且这条弦将等边三角形分成面积相等的两个部分，那么这个等边三角形的边长为 cm． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 首先根据题意画出图形，由，可得，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得答案． 【详解】解：如图， 根据题意得：，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即这个等边三角形的边长为． 故答案为： 15．（2023·上海闵行·模拟预测）新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，连接，如果点是的重心，那么的值是 ．    【答案】/ 【分析】延长与交于点，根据轴对称性质得，，，再由是等高底三角形，是等底，得，再根据三角形的重心定理得，设，则，由勾股定理用表示，进而计算的值便可． 【详解】解：延长与交于点，如图所示：    点A关于直线的对称点是点， ，，， 是等高底三角形，是等底， ， 点是的重心， ， 设，则， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对称变换，三角形的重心性质，新定义，关键是根据三角形的重心性质得出与的数量关系． 16．（24-25九年级上·上海黄浦·名校模考）定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”如图，已知，与之间的距离为．“等高底”是钝角三角形，且，的“等底”在直线上，点在直线，有一边的长是的倍．将绕点按顺时针方向旋转得到，所在直线交于，则 ． 【答案】或 【分析】分别过点作于点，点作于点，由题意易得，然后可得，进而可分当时，当时，最后根据勾股定理可进行求解 【详解】解：分别过点作于点，点作于点，如图所示： 由题意可得：， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ①当时，则在中，由勾股定理得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②当时，则在中，由勾股定理得：， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述：或； 故答案为或； 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、二次根式的运算及勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、二次根式的运算及勾股定理是解题的关键． 三、解答题 17．（24-25九年级上·上海宝山·名校模考）新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点” (1)如图，若抛物线M经过和点和，则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由； (2)若直线交抛物线于A，两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围； (3)求直线的最值点． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）采用待定系数法求出抛物线M的解析式为，根据二次函数的性质得到当时，y随x的增大而增大，由可得当时，随x的增大而增大，即不存在最大值，即可解答； （2）结合图象即可求解； （3）对于直线，有，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线M的解析式为， ∵抛物线M经过和点和， ∴，解得 ∴抛物线M的解析式为， ∴抛物线M的开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， ∵， 由抛物线M的增减性可得，当时，随x的增大而增大， ∴随x的增大而增大，即不存在最大值， ∴抛物线M上不存在最值点． （2）解：∵直线交抛物线M于，两点， ∴由图象可得，直线不低于抛物线时，x的取值范围为． （3）解：对于直线，有 ， ∴当时，有最大值， 此时， ∴直线的最值点为． 【点睛】本题考查新定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质，直线与抛物线的交点问题等，正确理解函数的“最值点”是解题的关键． 18．（24-25九年级上·上海嘉定·名校模考）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）． (1)①四条边成比例的两个凸四边形相似（_____命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似，（_____命题） ③两个大小不同的正方形相似．（_____命题） (2)如图，在凸四边形和凸四边形中，，，求证：四边形和四边形相似 【答案】(1)假，假，真 (2)见解析 【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定和性质等知识． （1）根据相似多边形的定义即可判断； （2）根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可． 【详解】（1）解：根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，可得： ①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等； ②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例； ③两个大小不同的正方形四个角分别相等，四条边对应成比例，所以两个大小不同的正方形相似，是真命题； 故答案为：假，假，真； （2）证明：∵，， ∴， ∴，，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，，，，， ∴四边形和四边形相似． 19．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）定义：对于抛物线（、、是常数，），若，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系，抛物线是黄金抛物线，与轴交于点，顶点为． (1)求此黄金抛物线的表达式及点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求的正弦值． ②在射线上是否存在点，使以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为1．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①，②存在， 【分析】（1）根据黄金抛物线的定义，列出方程求出值，进而求出顶点的坐标即可； （2）①将点代入解析式，求出的值，求出对称轴，得到的值，进而求出的长，勾股定理逆定理，得到，利用正弦的定义，求解即可； ②分和，两种情况进行讨论求解即可． 本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质．利用数形结合，分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）解： 抛物线是黄金抛物线， ， 所求抛物线的表达式为， 配方得：， 点的坐标为； （2）①由（1）得：抛物线的对称轴是直线， 点的坐标为， 点在这个黄金抛物线上， ， ， 点的坐标为， ， ， ， ， ， ． ②存在 过点作，垂足为 抛物线与轴交于点， 点的坐标为，   点的坐标为， ，   ， 点的坐标为，   ， ，   ，   ， 要使以点、、所组成的三角形与相似，有两种情况 第一种：， 又，， ∴与全等，相似比为1，不合题意，舍去； 第二种：， ∵， ， ， ， ，， ， 点在射线上， 点的坐标为． 20．（2022·上海闵行·名校模考）我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题（第（1）（2）不必写出过程） (1)的值为（     ）． A． B．1 C． D．2 (2)对于，的正对值的取值范围是 ． (3)如果，，其中为锐角，试求的值． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，勾股定理以及三角形的三边关系等知识． （1）先判断为等边三角形，得到，最后根据新定义求解即可； （2）先根据三角形的三边关系和等腰三角形的性质得到，最后根据新定义求解即可； （3）过点作于点，则，设，，然后用勾股定理求出、，最后根据新定义求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， 为等边三角形， ， ， 故选：B； （2）在中，根据三角形的三边关系得：， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）如图，过点作于点，则， ， 设，， 在中，， 是等腰三角形， ， ， 在中，， ． 21．（23-24九年级上·上海·名校模考）在初三阶段，我们要研究一个新函数：二次函数，在此前，我们研究过一次函数和反比例函数，那么如何研究一个新函数呢？现在做如下探究： 探究课题：探究函数的图象与性质． 方法1：运用已学关于根式，分式的知识． （1）函数的自变量x的取值范围是 ； 方法2：列表法借助图像性质． （2）下表是y与x的几组对应值． 其中_____________ x 1 2 3 4 … y 0 m … 如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； 方法3：分析图像的增减性： ． 【答案】（1）且；（2），图象见解析；方法3：当时，函数y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而减小； 【分析】（1）根据分式有意义分母不为0和二次根式有意义的条件被开方数非负，建立关于x的一元一次不等式组，解之即可求出自变量x的取值范围； （2）将代入解析式求m的值即可，再根据图中描出各点，连点成线画出图象即可； 方法3 ：观察（2）中函数图象，根据函数图象即可得到函数的增减性； 【详解】（1）解：由题意可得 ， 解得且； 故答案为：且． （2）解：当时，， 即， 故答案为：． 该函数的图象如下图所示： 方法3：观察（2）中函数图象可知，当时，函数y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而减小； 故答案为：当时，函数y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而减小． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围、求函数值，画函数图象、以及观察函数图象得出函数图象增减性，连点成曲线画出函数图象是解题的关键． 22．（2024·上海普陀·一模）综合实践 九年级第一学期教材第2页 结合教材图形给出新定义 对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形，得到四边形；放大四边形，得到四边形．   图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形和四边形都与四边形形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形． 如图，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心． (1)填空：在上图中位似中心是点________；________多边形是特殊的________多边形．（填“位似”或“相似”） (2)在平面直角坐标系中（如下图），二次函数的图像与x轴交于点A，点B是此函数图像上一点（点A、B均不与点O重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，得到它的位似．    ①画出，并求经过O、、三点的抛物线的表达式； ②直线与二次函数的图像交于点M，与①中的抛物线交于点N，请判断和是否为位似三角形，并根据新定义说明理由． 【答案】(1)P；位似；相似 (2)①图形见解析；；②和为位似三角形，理由见解析 【分析】（1）根据位似图形的定义，即可求解； （2）①根据位似图形的定义，画出图形，再求出、的坐标，即可求解；②过点M作轴于点D，过点N作轴于点C，联立求出点M，N的坐标，可得，从而得到，进而得到，再由点的坐标为，点A的坐标为，可得，然后根据新定义，即可求解． 【详解】（1）解：在上图中位似中心是点P；位似多边形是特殊的相似多边形． 故答案为：P；位似；相似 （2）解：①如图，即为所求；    令，则， 解得：或0， ∴点A的坐标为， 设点B的坐标为， ∴，解得：或0， ∴点B的坐标为， ∵以点O为位似中心，相似比为，将缩小，得到它的位似， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设经过O、、三点的抛物线的表达式为， 把点，，代入得： ，解得：， ∴经过O、、三点的抛物线的表达式为， ②和为位似三角形，理由如下： 如图，过点M作轴于点D，过点N作轴于点C，    联立得： ，解得：或， ∴点M的坐标为， ∴，，， 同理点N的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点的坐标为，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴和为位似三角形． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的综合应用，理解新定义，利用数形结合思想解答是解题的关键． 23．（24-25九年级上·上海浦东新·名校模考）新定义：关于x轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”． (1)求：抛物线的“同轴对称抛物线”． (2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、， ①当四边形为正方形时，求：a的值． ②在①的条件下，抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数相交于点M和点N（其中M在N的左边），将抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线与一次函数相交于点P和点Q（其中P在Q的左边），满足，试在抛物线上有且仅有三个点，，，使得，，的面积均为定值S，请直接写出：，，的坐标． 【答案】(1) (2)①；②，， 【分析】（1）求出函数的顶点，由“同轴对称抛物线”的定义，求出它的顶点为，即可求解析式； （2）①由题意可求点，，，的坐标，再由正方形的性质可得或，求出即可； ②根据有且仅有三个点，，使得，，的面积均为定值，求得切点的坐标，根据一次函数的平移求得另外两个点的坐标． 【详解】（1）解：， “同轴对称抛物线”的顶点坐标为， ； （2）解：①由题可知，， ， 抛物线的对称轴为， ，， ， 或， 或， （舍去）或； ②由题意得，的“同轴对称抛物线”的表达式为：， 设抛物线向上平移了个单位符合题设条件，则， 联立和得：， 解得：或， 即， 联立和得：， 则，， 则， ， ， 直线和轴的夹角为， 则，， 而， 则， 即， 解得：， 则①； 设直线交轴于点（即点，在轴上方取点， 过点作直线使和抛物线只有一个交点，取，故点作， 则此时，在抛物线上有且仅有三个点，，使得，，的面积均为定值， 设直线的表达式为：②， 联立①②并整理得：， 则， 解得：， 则直线的表达式为：， 则点， 当时，即， 解得：， 则点； 则， 则点， 则直线的表达式为：， 联立和得：， 解得：， 则点的坐标为：或． 综上，点（即，，的坐标为：或或． 【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象及性质、正方形的性质、不等式等知识点，解题的关键是根批题意画出图形，利用数形结合的思想解题，考查计算能力，属于难题． 24．（24-25九年级上·上海浦东新·名校模考）新定义：对于抛物线，若，则称该抛物线是黄金抛物线，若抛物线是黄金抛物线，与y轴交于点A，顶点为D． (1)求：此黄金抛物线的表达式及D点坐标； (2)点在这个黄金抛物线上． ①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求：的正切值． ②在射线上找一点P，使以点P、A、D所组成的三角形与相似，求：P点坐标． 【答案】(1)， (2)①；②或． 【分析】（1）根据黄金抛物线的定义，列出方程求出值，进而求出顶点的坐标即可； （2）①将点代入解析式，求出的值，求出对称轴，得到的值，进而求出的长，勾股定理逆定理，得到，利用正切的定义，求解即可；②分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解： 抛物线是黄金抛物线， ， 抛物线的表达式为， 配方得：， 点的坐标为； （2）解：①由（1）得：抛物线的对称轴是直线， 点的坐标为， 点在这个黄金抛物线上， ， ， 点的坐标为， 点在这个黄金抛物线的对称轴上， ， ， ， ， ， ， ． ②存在， 过点作，垂足为 抛物线与轴交于点， 点的坐标为， 点的坐标为， ， ， 点的坐标为， ， ， ， ， 要使以点、、所组成的三角形与相似，有两种情况 第一种：， ∵， ， ， ， ，， ， 点在射线上， 点的坐标为； 第二种：，则， 又，， ∴与全等，相似比为1， ∴， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质．利用数形结合，分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 25．（23-24九年级上·上海静安·名校模考）在平面直角坐标系中，把一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫做线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长比值为“旋似比”：如图，平面直角坐标系中有一点，把线段绕点做“旋似”运动，点的对应点是点，若“旋似角”为，    (1)当“旋似比”为时，求点的坐标； (2)过做轴，点为垂足，连接，若轴，求此时的“旋似比”； (3)当“旋似比”为时，设线段与轴交于点，点是轴上一点，且满足，求点的坐标． 【答案】(1)点 (2)“旋似比”为 (3)或 【分析】（）先证明，再利用“旋似比”为即可求解； （）证明，再根据相似三角形的性质即可求解； （）由“旋似比”为，求出点，再求出解析式，则有，从而得出，分两种情况：当点F在O点上方时，当点F在O点下方时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，过作轴于点，过作轴于点， ∴ ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴点； （2）解：如图， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴此时的“旋似比”为； （3）解：如图，过作轴于点，过作轴于点，延长交于点， ∴ ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴点， ∴，， 设解析式为， ∴， 解得：， ∴解析式为， 把代入得， 把代入得，解得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当点F在O点上方时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时点F的坐标为； 在O点的下方取，使，如图所示： ∴， ∴， ∴当点F在点时，符合题意， 设点的坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴点的坐标为， ∴点的坐标或． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质与判定，待定系数法求解析式，坐标与图形，解题的关键是根据题意转化为相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质与判定． 26．（2023·上海杨浦·一模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在的网格图形中，的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题： (1)___________；___________； (2)请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P，使．（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论） 【答案】(1)4， (2)作图见解析 【分析】（1）由正方形面积减去三个小三角形面积即可求出；过点A作于点D．根据勾股定理可求出．再根据三角形面积公式可求出，最后由正弦的定义求解即可； （2）如图，取格点M和N，连接交于点P，连接，则，即可证，得出．再根据和同高，即得出，进而得出，即说明点P即为所作． 【详解】（1） ； 如图，过点A作于点D． 由图可知． ∵， ∴ ∴， ∴． 故答案为：4，； （2）如图，点P即为所作． 【点睛】本题考查利用网格求三角形的面积，求角的正弦值，三角形相似的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 27．（23-24九年级上·上海长宁·名校模考）在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点、和点，与轴交于点．      (1)求该抛物线的表达式及点的坐标； (2)将抛物线平移，点平移到点． ①定义：如果有一个点既在平移前的抛物线上又在平移后的抛物线上，那么称这个点为“平衡点”． 如果平移所得新抛物线经过原点，且点是“平衡点”，求的长； ②如果平移所得新抛物线的顶点在轴正半轴上，与轴交于点，且与相似，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)①； 【分析】（1）待定系数法求得解析式，然后将代入，即可得出的坐标； （2）①根据（1）的表达式可得抛物线顶点坐标为，设平移后的解析式为，根据点是“平衡点”代入得出得出抛物线的平移方式是向上平移个单位，向右平移个单位，根据勾股定理，即可求解； ②根据的坐标，可得，分或，求得点的坐标；设点，且，则平移后的抛物线解析式为，则即，进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，抛物线（）经过点、 ∴， 解得：， ∴抛物线表达式为， ∵点在抛物线上 ∴ ∴； （2）解：①依题意，，顶点坐标为， ∵平移不改变开口方向，平移后的抛物线经过原点， ∴设平移后的解析式为 ∵点是“平衡点” ∴ 解得： ∴平移后的抛物线解析式为，顶点坐标为， ∴抛物线的平移方式是向上平移个单位，向右平移个单位； 即点 ∴ ②∵与轴交于点 当时， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵、 ∴ ∵， ∴的解析式为：，， ∴ ∴ ∵与相似 ∴有或    设点，且，则平移后的抛物线解析式为， 当时， 即 当时， ∴， 解得：； ∴，解得：（负值舍去） 当时， ∴ 解得：； ∴，解得：（负值舍去） 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 28．（24-25九年级上·上海徐汇·名校模考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A，B，C的坐标分别为，，． (1)求过点A，B，C的抛物线及其对称轴； (2)新定义：如果点的坐标满足，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点”P到x轴的距离与C点到x轴的距离相同，求P点的坐标； (3)我们称横坐标和纵坐标为整数的点为格点，求的面积，并直接写出该值与其内部格点数量a和边上格点数量b的等式． 【答案】(1)，对称轴为 (2)或 (3) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，新定义的计算，整点的计算和利用割补法求三角形的面积，掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求二次函数解析式，并根据公式计算对称轴即可； （2）先求出点到轴的距离，然后得到点的纵坐标，代入新定义的式子计算即可； （3）先根据割补法求出三角形的面积，然后利用待定系数法求出直线的解析式，求出整点的个数a和b，然后得到公式即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把，，代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为：， 即抛物线的对称轴为：； （2）解：∵C点到x轴的距离为， ∴点的纵坐标， 当时，则，解得， 当时，则，解得， ∴点的坐标为或； （3）解：， 设直线的解析式为，把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为，的解析式为， 当时，，所以边上的格点为； 当时，，，所以三角形内部格点为； 当时，，，所以三角形内部格点为，； 当时，，，所以三角形内部格点为，，，边上的格点为； 当时，，，所以三角形内部格点为，； 当时，，所以三角形边上的格点为； ∴，， 即． 29．（2024·上海浦东新·一模）新定义1：将宽与长的比等于黄金分割比的矩形称为黄金矩形   新定义2：将顶角为的等腰三角形称为黄金三角形 ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平 ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平 ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处 ④展平纸片，按照所得到的点D折出 (1)根据以上折纸法，求证：矩形为黄金矩形 (2)如图5，已知为黄金三角形，，求：的长 (3)在（2）的条件下，截取交AC于D，截取交线段于E，过E作任意直线与边交于P，Q两点，试判断：是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据折叠的性质得出，，结合，即可判定四边形是正方形，可得，再求出，则由勾股定理可得，再证明即可； （2）作的角平分线交于D，先求出，再证明，得到，进一步证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为F，G，过点Q作于H，根据，得到；再证明，进而得到，解直角三角形得到，则，再解直角三角形得到，则；证明，得到，则，可得；如图所示，连接，由勾股定理得到，根据，得到，据此代值计算即可． 【详解】（1）证明：由折叠可知：， 又∵， 四边形是矩形， 又由折叠可知：， 四边形是正方形， ∴， 由题意得， ∴； 由折叠得， ∴， ∴，， ∴矩形是黄金矩形； （2）解：如图所示，作的角平分线交于D， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解． （3）解：如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为F，G，过点Q作于H， ∵， ∴； 由（2）可知，当平分时有， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 如图所示，连接， 在中，， ∵， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，矩形与折叠问题，等腰三角形的性质与判定等等，正确理解题意作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 30．（23-24九年级上·上海静安·名校模考）在平面直角坐标系中，对于直线l及点P给出如下定义：过点P作y轴的垂线交直线l于点Q，若，则称点P为直线l的关联点，当时，称点P为直线l的最佳关联点，当点P与点Q重合时，记．例如，点是直线的最佳关联点．根据阅读材料，解决下列问题．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线：，：．    (1)已知点，，上述各点是直线的关联点是_______； (2)若点是直线的最佳关联点，求m的值； (3)点E在x轴的正半轴上，点，以、为边作正方形，若直线与正方形相交，且交点中至少有一个是直线的关联点，求b的取值范围． 【答案】(1)A； (2)3或5； (3)或． 【分析】（1）根据定义分别判断即可； （2）由题意可知，求出m的值即可； （3）画出图象，当直线经过时，，当直线经过时，，则时，交点中至少有一个是直线的关联点；当直线经过时，，当直线经过时，，当时，可得交点中至少有一个是直线l1的关联点． 【详解】（1）解：如图，      当时，，则， ∴， ∴A点是直线的关联点； 当时，则，解得：， ∴， ∴B点不是直线的关联点； 故答案为：A； （2）解：设过点D的垂直于y轴的直线交于点Q，      当时，，解得：， ∴， ∵点是直线的最佳关联点， ∴， ∴或， 故答案为：3或5； （3）解：∵四边形是正方形，， ∴，E点在x轴正半轴， ∴， 如图，当直线在和之间，在和之间时，符合条件；      当时，对于，，此时A是直线的最佳关联点，当直线经过时，； 当时，对于，，此时是直线的最佳关联点，当直线经过时，， ∴时，交点中至少有一个是直线的关联点； 当时，对于，，，此时是直线的最佳关联点，当直线经过时，， 当时，对于，，，此时E是直线的最佳关联点，当直线经过时，， ∴当时，交点中至少有一个是直线的关联点； 综上所述：或时，交点中至少有一个是直线的关联点． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与坐标轴的交点，一次函数与几何综合等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解定义，数形结合讨论是解题的关键． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$