一模备考专题04 填空小压轴18题（旋转类问题，25道）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（上海专用）

一模备考专题04 填空小压轴18题（旋转类问题，25道） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（2024·上海静安·名校模考）如图，矩形ABCD中，，将该矩形绕着点A旋转，得到四边形，使点D在直线上，那么线段的长度是 ． 2．（2024·上海黄浦·名校模考）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为 ． 3．（2024九年级上·上海·名校模考）如图，在中，，，，点、分别是边、上一点，，，把绕着点旋转得到△（点、分别与点，对应），如果点，，在同一直线上，那么的长为 ． 4．（24-25九年级上·上海浦东新·名校模考）如图，正方形的边长为3，点O为对角线、的交点，点E在边上，且，绕着点B旋转至，如果点D、E、在同一条直线上，那么的长为 ． 5．（24-25九年级上·上海宝山·名校模考）如图，中，．把绕点逆时针旋转（旋转角小于）点的对应点分别是，射线与交于点，若，则 ． 6．（24-25九年级上·上海·名校模考）在中，，，，点D、E分别是边、的中点，将绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点、，当直线经过点A时，线段的长为 ． 7．（21-22九年级上·上海普陀·名校模考）如图，已知在RtABC中，两条直角边AC6，BC8，将RtABC绕着点C顺时针旋转，其中AB的对应点分别记为和点，与边BC的交点E恰好是的中点时，则 的长为 ． 8．（22-23九年级上·上海徐汇·名校模考）如图，已知△ABC中，AC＝3、BC＝4、AB＝5，将△ABC绕点C旋转，使点A落在边AB上的点D处，此时点B落在点E，DE与BC相交于点F，则CF长为 ． 9．（22-23九年级上·上海黄浦·名校模考）定义：如果将一个三角形绕着它的一个角的顶点旋转后，使这个角的一边与另一边重叠，再将所旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边相互重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个三角形的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在中，，是以点为转似中心的顺时针的一个转似三角形，那么以点A为转似中心的逆时针的另一个转似三角形 （点分别与对应），其中边的长为 10．（21-22九年级上·上海青浦·名校模考）如图，平行四边形是由绕平行四边形ABCD点A逆时针旋转而得到的，其中点在BC边上，边与边CD交于点E，已知，，，线段 ． 11．（23-24九年级上·上海·名校模考）如图，直线，等边的三个顶点分别在直线、、上，如果直线、间的距离与直线、的距离之比为，那么与直线夹角的正切值是 ． 12．（23-24九年级上·上海·名校模考）如图，正方形的边长为8，点为对角线的交点，点为边的中点，绕着点旋转至，如果点在同一直线上，那么的长为 ． 13．（24-25九年级上·上海黄浦·名校模考）定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”如图，已知，与之间的距离为．“等高底”是钝角三角形，且，的“等底”在直线上，点在直线，有一边的长是的倍．将绕点按顺时针方向旋转得到，所在直线交于，则 ． 14．（2023·上海·模拟预测）如图，在中，，，将绕边上点旋转，点、、所对应的点分别是点、、．如果恰好是与的比例中项，那么 ． 15．（21-22九年级上·上海杨浦·期末）如图， 已知在 Rt 中， ， 将 绕点 逆时针旋转 后得 ， 点 落在点 处， 点 落在点 处， 联结 ， 作 的平分线 ， 交线段 于点 ， 交线 段 于点 ， 那么 的值为 ． 16．（21-22九年级上·上海宝山·名校模考）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sinA=，把△ABC绕着点C按顺时针方向旋转．将点A、B的对应点分别记为点A'、B'，如果△AA'B'为直角三角形，那么点A与点A'的距离为 17．（21-22九年级上·上海·名校模考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、B均在y轴上，点C在x轴上，将绕着顶点B旋转后，点C的对应点落在y轴上，点A的对应点落在反比例函数在第一象限的图像上，如果点B、C的坐标分别是、，且那么k的值是 . 18．（2023·上海杨浦·一模）如图，已知在矩形中，，，将矩形绕点C旋转，使点B恰好落在对角线上的点处，点A、D分别落在点、处，边、分别与边交于点M、N，那么线段的长为 ． 19．（2023·上海虹口·一模）我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知直线，与之间的距离是3，“等高底”的“等底”在直线上（点在点的左侧），点在直线上，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点，那么的长为 ． 20．（2023·上海嘉定·名校模考）如图，在Rt中，， ，，点、分别是边、的中点，连接．将绕点顺时针方向旋转，点、的对应点分别是点、．如果点落在线段上，那么线段 ． 21．（23-24九年级上·上海静安·名校模考）如图，正方形的边长为4，点为对角线的交点，点为边的中点，绕着点旋转至，点与点对应，点与点对应，如果点在同一条直线上，那么的长度为 ．    22．（23-24九年级上·上海普陀·名校模考）如图，在直角梯形中，，与的平分线恰好交于边上的点处，将绕点逆时针旋转至，点落在线段上的点处，点落在点处，、分别与交于、，，，那么的值为 ．    23．（2024·上海杨浦·一模）如图，已知在菱形中，，将菱形绕点旋转，点、、分别旋转至点、、，如果点恰好落在边上，设交边于点，那么的值是 ． 24．（24-25九年级上·上海闵行·名校模考）如图，已知在矩形中，连接，，将矩形绕点C旋转，使点B恰好落在对角线上的点处，点A、D分别落在点处，边分别与边交于点M、N，，那么线段的长为 ． 25．（2024·上海·模拟预测）已知在等腰中，，将绕点A旋转至，若，那么 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一模备考专题04 填空小压轴18题（旋转类问题，25道） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（2024·上海静安·名校模考）如图，矩形ABCD中，，将该矩形绕着点A旋转，得到四边形，使点D在直线上，那么线段的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了旋转的性质和解三角形，注意分类讨论，正确画出图形是解题关键． 根据旋转的性质可得，，再由解三角形求出，，进而在中求出线段的长度． 【详解】解：由旋转性质可知：，，当点D在线段上时，如图1， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， 当点D在线段延长线上时，如图2， 同理可得：， ∴， 故答案为：或． 2．（2024·上海黄浦·名校模考）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的重心的性质，相似三角形的性质与判定，根据题意得出，进而证明，根据向上三角形的性质得出，结合直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：如图所示， 为的中点，为的重心， ∵在中，， ∴ ∴ ∵旋转， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 设，则 ∴， ∴ 故答案为：． 3．（2024九年级上·上海·名校模考）如图，在中，，，，点、分别是边、上一点，，，把绕着点旋转得到△（点、分别与点，对应），如果点，，在同一直线上，那么的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查旋转变换，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．分两种情形分别求解：如图1中，当点在线段上时，解直角三角形求出，即可．如图2中，当在线段上时，同法可得． 【详解】解：如图1中，当点在线段上时， 在中，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图2中，当在线段上时，同法可得 综上所述，满足条件的的长为或． 故答案为或． 4．（24-25九年级上·上海浦东新·名校模考）如图，正方形的边长为3，点O为对角线、的交点，点E在边上，且，绕着点B旋转至，如果点D、E、在同一条直线上，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，根据正方形的性质得到，根据勾股定理得到，，过作于，连接，证明根据相似三角形的性质得到，求得，根据旋转的性质得到，，，根据相似三角形的性质即可得到结论，正确的作出图形是解题的关键． 【详解】解：正方形的边长为3， ， ， ， ， ， ， 如图，过作于，连接， ， ， ， ， ， ， 绕着点旋转至△， ，，， 即， ，， ， ， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·上海宝山·名校模考）如图，中，．把绕点逆时针旋转（旋转角小于）点的对应点分别是，射线与交于点，若，则 ． 【答案】2.8 【分析】利用勾股定理求得，利用旋转的性质得到，推出 ，结合平行线性质推出，得到，得到四边形是平行四边形，得到；推导，证明，得到，得到，根据，可得，即可求出． 【详解】∵中，， ∴． 由旋转知，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：2.8． 【点睛】本题主要考查了直角三角形旋转．熟练掌握用勾股定理求边长，旋转的性质，平行四边形判定和性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，是解题的关键． 6．（24-25九年级上·上海·名校模考）在中，，，，点D、E分别是边、的中点，将绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点、，当直线经过点A时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】利用三角形的相似，勾股定理，三角形中位线定理，分类思想解答即可． 【详解】解：如图1，当时， ∵，，，点D、E分别是边、的中点，将绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点、， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，，， ∵直线经过点A， ∴， ∴， 根据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图2，根据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 7．（21-22九年级上·上海普陀·名校模考）如图，已知在RtABC中，两条直角边AC6，BC8，将RtABC绕着点C顺时针旋转，其中AB的对应点分别记为和点，与边BC的交点E恰好是的中点时，则 的长为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意作图如下，过作与M点，作与N点，E为中点，即CE为斜边的中线，则有，根据，，可得，则在中，有，再证明四边形是矩形，即有，，进而有，则利用勾股定理即可求解． 【详解】根据题意作图如下，过作与M点，作与N点， 根据旋转的性质有：，，，，， 即， 在Rt△ABC中，， ∴， ∵E为中点， ∴CE为斜边的中线， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴在中，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半的知识．根据题意作出图形，并运用三角形的面积求出是解答本题的关键． 8．（22-23九年级上·上海徐汇·名校模考）如图，已知△ABC中，AC＝3、BC＝4、AB＝5，将△ABC绕点C旋转，使点A落在边AB上的点D处，此时点B落在点E，DE与BC相交于点F，则CF长为 ． 【答案】/ 【分析】过点C作于G，易证，得，即可求得，又由折旋转知：，则，，再证，得，即可求出长． 【详解】解：过点C作于G， ∴ ∵ ∴， ∴，即， ∴， 由旋转得，，，， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，相似三解开有的判定与性质，等腰三角形“三线合一”的性质，熟练掌握相似三解开有的判定与性质是解题的关键． 9．（22-23九年级上·上海黄浦·名校模考）定义：如果将一个三角形绕着它的一个角的顶点旋转后，使这个角的一边与另一边重叠，再将所旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边相互重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个三角形的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在中，，是以点为转似中心的顺时针的一个转似三角形，那么以点A为转似中心的逆时针的另一个转似三角形 （点分别与对应），其中边的长为 【答案】 【分析】根据条件可得，然后利用相似三角形的性质就可以求出结论． 【详解】解：如图所示， 由题意可得， ， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，相似三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形相似，理解新定义，运用相似三角形的对应边成比例求解是关键． 10．（21-22九年级上·上海青浦·名校模考）如图，平行四边形是由绕平行四边形ABCD点A逆时针旋转而得到的，其中点在BC边上，边与边CD交于点E，已知，，，线段 ． 【答案】 【分析】过点C作，交于点F，证明，由全等三角形的性质得出，由旋转可知，，得出 ，求出，证明，由相似三角形的性质得出，则可求出答案． 【详解】解：如图，过点C作，交于点F，则， ∵， ∴， 又∵， 由三角形外角可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，，， 则， ∴， ∴， ∴， 由旋转可知，，， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定等，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题关键． 11．（23-24九年级上·上海·名校模考）如图，直线，等边的三个顶点分别在直线、、上，如果直线、间的距离与直线、的距离之比为，那么与直线夹角的正切值是 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，过点C作于点D，然后把绕点C顺时针旋转得到，过点E作于点F，交于点G，过点B作于点H，设，得到，然后求出正切值即可． 【详解】解：过点C作于点D，然后把绕点C顺时针旋转得到，过点E作于点F，交于点G，过点B作于点H，设，则， 则，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴， 又∵等边， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·上海·名校模考）如图，正方形的边长为8，点为对角线的交点，点为边的中点，绕着点旋转至，如果点在同一直线上，那么的长为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得到，根据勾股定理得到，，过B作于F，连接，证明根据相似三角形的性质得到，求得，根据旋转的性质得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】∵正方形的边长为8， ， ， ∵点E为边的中点， ， ， ， 如图，过B作于F，连接， ， ， ， ， ， ， 绕着点B旋转至， ，， 即， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 13．（24-25九年级上·上海黄浦·名校模考）定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”如图，已知，与之间的距离为．“等高底”是钝角三角形，且，的“等底”在直线上，点在直线，有一边的长是的倍．将绕点按顺时针方向旋转得到，所在直线交于，则 ． 【答案】或 【分析】分别过点作于点，点作于点，由题意易得，然后可得，进而可分当时，当时，最后根据勾股定理可进行求解 【详解】解：分别过点作于点，点作于点，如图所示： 由题意可得：， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ①当时，则在中，由勾股定理得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②当时，则在中，由勾股定理得：， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述：或； 故答案为或； 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、二次根式的运算及勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、二次根式的运算及勾股定理是解题的关键． 14．（2023·上海·模拟预测）如图，在中，，，将绕边上点旋转，点、、所对应的点分别是点、、．如果恰好是与的比例中项，那么 ． 【答案】或 【分析】连接、过作于由旋转得，，，．故，，得，进而由恰好是与的比例中项得，，又证明得，从而证明，或，进而分两种情况讨论求解即可。 【详解】解∶连接、过作于 由旋转得，，，． ∴,, ∴，， ∴ 得∶即 ∵恰好是与的比例中项， ∴ ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴即， ∴， ∴， ∴，或， ∴当，、，重合， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∵面积， ∴， ∴ ∴， ∴． 当时， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为∶或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，因式分解及有理数的乘法法则，掌握相似三角形的判定及性质是解题关键． 15．（21-22九年级上·上海杨浦·期末）如图， 已知在 Rt 中， ， 将 绕点 逆时针旋转 后得 ， 点 落在点 处， 点 落在点 处， 联结 ， 作 的平分线 ， 交线段 于点 ， 交线 段 于点 ， 那么 的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意以C为原点建立平面直角坐标系，过点N作延长交BP于点P，交于点H，轴交于点G，过点D作轴交于点Q，由可设，，，由旋转可得，，，则，，写出点坐标，由角平分线的性质得，即可得出，即可得，故可推出，求出点P坐标，由得，推出，故得，由相似三角形的性质即可得解． 【详解】 如图，以C为原点建立平面直角坐标系，过点N作延长交BP于点P，交于点H，轴交于点G，过点D作轴交于点Q， ∵， ∴设，，， 由旋转可得：，，， ∴，， ∴，，， ∵AN是平分线， ∴， ∴，即可得， ∴， 设直线BE的解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、正切值、角平分线的性质以、用待定系数法求一次函数及相似三角形的判定与性质，根据题意建立出适当的坐标找线段长度是解题的关键． 16．（21-22九年级上·上海宝山·名校模考）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sinA=，把△ABC绕着点C按顺时针方向旋转．将点A、B的对应点分别记为点A'、B'，如果△AA'B'为直角三角形，那么点A与点A'的距离为 【答案】或 【分析】△AA'B'为直角三角形，分分别为直角三角形的顶点三种情形讨论，分别解直角三角形求解即可． 【详解】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sinBAC=， ， ， ， ,． 旋转， ． ①当时，如图，过点作， ， ， ． ， ． ②当时，如图，过点作， ， ，， ． ，． ， ， 在中，，， ． ． 在中，＝． 当时，过点作， ， ，， ． ， . ， 综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了性质的性质，解直角三角形，画出图形是解题的关键． 17．（21-22九年级上·上海·名校模考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、B均在y轴上，点C在x轴上，将绕着顶点B旋转后，点C的对应点落在y轴上，点A的对应点落在反比例函数在第一象限的图像上，如果点B、C的坐标分别是、，且那么k的值是 . 【答案】 【分析】根据旋转的性质可知，然后利用解直角三角形可求得点的坐标，将点的坐标代入反比例函数即可求得k的值 【详解】∵，且， ∴， ∵点B、C的坐标分别是、， ∴，，，， ∴在中，，， ∵，将绕着顶点B旋转后，点C的对应点落在y轴上， ∴，， 设（，）， ∴， ∴，， 将点代入反比例函数得： ， 故答案为： 【点睛】本题考查了反比例函数和三角形综合、解直角三角形及旋转的性质，掌握解直角三角形是解决问题的关键 18．（2023·上海杨浦·一模）如图，已知在矩形中，，，将矩形绕点C旋转，使点B恰好落在对角线上的点处，点A、D分别落在点、处，边、分别与边交于点M、N，那么线段的长为 ． 【答案】 【分析】过点作，利用勾股定理求出，根据旋转的性质得到相应结论，求出证明，求出，，证明，求出，，设，最后证明，得到，求出，从而可得． 【详解】解：如图，过点作， 在矩形中，，， ∴， 由旋转可知：，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是添加辅助线，充分运用相似三角形的性质求出相应线段的长． 19．（2023·上海虹口·一模）我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知直线，与之间的距离是3，“等高底”的“等底”在直线上（点在点的左侧），点在直线上，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点，那么的长为 ． 【答案】或 【分析】根据题意分情况画出相应图，然后根据旋转性质找到线段对应关系求解即可． 【详解】解：当如下图所示时， ，， 点到直线的距离为， ， 将绕点顺时针旋转得到， ； 当如下图所示时， ，， 点到直线的距离为， ，， 将绕点顺时针旋转得到，，， ， 在中，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转性质、勾股定理、二次根式的运算等知识，分情况讨论并画出相应图像是解题关键． 20．（2023·上海嘉定·名校模考）如图，在Rt中，， ，，点、分别是边、的中点，连接．将绕点顺时针方向旋转，点、的对应点分别是点、．如果点落在线段上，那么线段 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理求得，根据旋转的性质得出，，进而得出，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】在Rt中，， ，，点、分别是边、的中点， ∴,， 如图所示，点落在线段上， 设旋转角为， ∴， 旋转， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 21．（23-24九年级上·上海静安·名校模考）如图，正方形的边长为4，点为对角线的交点，点为边的中点，绕着点旋转至，点与点对应，点与点对应，如果点在同一条直线上，那么的长度为 ．    【答案】 【分析】根据正方形的性质得到，根据勾股定理得到，，过B作于F，根据相似三角形的性质得到，求得，根据旋转的性质得到，，，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴， ∴， ∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， 过B作于F，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴, ∴, ∵绕着点B旋转至， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 22．（23-24九年级上·上海普陀·名校模考）如图，在直角梯形中，，与的平分线恰好交于边上的点处，将绕点逆时针旋转至，点落在线段上的点处，点落在点处，、分别与交于、，，，那么的值为 ．    【答案】 【分析】如图所示，过点E作于H，先由角平分线的性质得到，则，利用勾股定理求出，再证明，进而证明，得到，求出，由旋转的性质可得，则，证明，求出，则，再证明，推出，则． 【详解】解：如图所示，过点E作于H， ∵与的平分线恰好交于边上的点处，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴由角平分线的定义可知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，平行线的性质与判定，勾股定理，旋转的性质等等，证明，然后通过证明三角形相似并利用相似三角形的性质求解是解题的关键． 23．（2024·上海杨浦·一模）如图，已知在菱形中，，将菱形绕点旋转，点、、分别旋转至点、、，如果点恰好落在边上，设交边于点，那么的值是 ． 【答案】 【分析】过点A作于点M，则，设则，根据旋转的性质，得，则，证明三点共线，再证明，延长二线交于点，接着即可． 【详解】过点A作于点M，菱形， 则， 设则，连接， 根据旋转的性质，菱形，得， ，，，， ∵， ∴， ∴，， 延长交于点， ∵菱形， ∴， ∴, ∵, ∴, ∴, ∵ ∴重合，G，D，F三点共线， 延长二线交于点， 则， ∵ ∴， ∴， 解得， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数，勾股定理，旋转性质，等腰三角形的三线合一行，三角形相似的判断和性质，熟练掌握菱形的性质，三角函数，三角形相似的判定是解题的关键． 24．（24-25九年级上·上海闵行·名校模考）如图，已知在矩形中，连接，，将矩形绕点C旋转，使点B恰好落在对角线上的点处，点A、D分别落在点处，边分别与边交于点M、N，，那么线段的长为 ． 【答案】15 【分析】连接，作于，设，，则，由旋转的性质可得：，，，证明，得出，由勾股定理得出，推出，证明，求出，，得到，证明，得出，求出，结合得到关于的方程，求出的值即可得解． 【详解】解：如图，连接，作于， 四边形为矩形， ，，， ， 设，， ，， ， 由旋转的性质可得：，，， ，， ， ∴ ， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ，， ， ，， ∴ ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 25．（2024·上海·模拟预测）已知在等腰中，，将绕点A旋转至，若，那么 【答案】或 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，分绕点A顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵等腰中，， ∴， 当绕点A逆时针旋转至时，如图， 则：， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 过点作，作，交于点， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； 当绕点A顺时针旋转至时，如图， 同理可知：为等边三角形， ∴， 过点作，作，则：，， ∴，， 设，同法可得：，， ∴， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：或． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$