专题07 一元一次方程（期末预测，压轴题25题）-【好题汇编】备战2024-2025学年六年级数学上学期期末真题分类汇编（上海专用）

专题07 一元一次方程（期末预测，压轴题25题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的伴随角．如图1，若，则是的伴随角． (1)如图1，已知，，是的伴随角，则__________； (2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度（）至，当旋转的角度为何值时，是的伴随角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以4度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成伴随伴随角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 2．如图，在射线上有三点，满足．点从点出发，沿方向以的速度运动；点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（在线段上）时，点运动到的位置恰好是线段的中点，则点的运动速度为____________．（直接写出答案即可） (2)若点的运动速度为，经过多长时间两点相距？ (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点则____________．（直接写出答案即可） 3．定义：在数轴上，若点到点的距离恰好是，则称点为点的“幸福点”； 若点到点、的距离之和为，则称点为点、的“幸福中心”． 【初步应用】 （1）若点表示的数是，则点的“幸福点”点表示的数是 ； （2）已知点表示的数是，点表示的数是，且若点为点、的“幸福中心”，则点表示的数可以是 (填一个满足要求的数即可) ； 【深入理解】 （3）若点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，一个电子蚂蚁从点出发，以单位秒的速度沿数轴向左运动，求经过多少时间电子蚂蚁是点、的“幸福中心”？ 【综合应用】 （4）在（3） 的条件下，在数轴上是否存在点 点与点不重合，使得电子蚂蚁既是、的“幸福中心”又是、的“幸福中心”？ 若存在，请直接写出点表示的数，若不存在，请说明理由． 4．【问题背景】 数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： 【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数 对应的点重合； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，这样折叠后，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为 ，点对应的数为 ； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒． ①动点从点向右出发，为何值时，、两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点从点向左出发时，、两点之间的距离为8个单位长度的t值． 5．希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； (1)每件服装标价多少元？ (2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． (3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 6．北京某景区，门票价格规定如下表： 购票张数 1～50张（包含50张） 50～100张（不包含50张） 100张以上 每张票的价格 60元 50元 40元 某校七年级（1）、（2）两个班共102人去该景区游玩，其中（1）班人数多于（2）班人数，且（1）班人数不足100人，如果两个班分别以班为单位单独购买门票，一共应付5500元． (1)去该景区游玩的七年级（1）班和（2）班各有多少学生？ (2)如果七年级（1）班有12名学生因需参加学校竞赛不能外出游玩，（2）班学生可以全员参加游玩，作为组织者，你有几种购票方案？通过比较，你该如何购票才能最省钱？ 7．请阅读下列材料，并解答相应的问题： 将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等（这个和叫幻和），则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”中国古代称“幻方”为“河图”、“洛书”等，例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的3×3方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等． (1)请你将下列九个数：，分别填入图1方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等； (2)在图2的三阶幻方中，x的值为______； (3)在图3的三阶幻方中，该幻方的幻和可用e表示为______；进而可得该幻方中9个数的和可用e表示为______；a，h，f之间的数量关系为______； (4)图4的三阶幻方中，y的值为______． 8．学校为了让学生积极参加体育锻炼强健体魄，做好大课间活动，计划购买体育用品，价格如下表： 备选体育用品 篮球 排球 羽毛球拍 价格 元/个 元/个 元/支 (1)若用元全部用来购买篮球、排球和羽毛球拍，篮球和排球的数量比，排球与羽毛球拍数量的比为，求篮球、排球和羽毛球拍的购买数量各为多少？ (2)初一学年计划购买篮球，初二学年计划购买排球，某商场的优惠促销活动如下： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过元 不优惠 超过元且不超过元 售价打九折 超过元 售价打八折 按上述优惠条件，若初一年级一次性付款元，初二年级一次性付款元，那么这两个年级购买两种体育用品的数量一共是多少？ 9．小美喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，她给出一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“小美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，，所以为一元一次方程的“小美方程”． (1)已知关于的方程：是一元一次方程的“小美方程”吗？________（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，请求出的值； (3)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，求出的值． 10．小明、小丽分别在400米环形跑道上练习跑步与竞走，小明每分钟跑200米，小丽每分钟走80米，两人由同一起点同向出发，小丽先走了3分钟后，小明才出发． (1)小明出发几分钟后与小丽第一次相遇？ (2)若小明与小丽第二次相遇时小明和小丽同时结束跑步与竞走，那么小明出发几分钟后与小丽相距100米？（直接写出结果） 11．已知，A，在数轴上对应的数分别用，表示，且，是数轴上的一个动点． (1)在数轴上标出A、的位置，并求出A、之间的距离； (2)已知数轴上有一点且、两点的距离为10，当数轴上、两点之间有点满足点到点的距离等于点到点的距离的4倍时，求点对应的数； (3)动点从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，点能移动到满足点到点A的距离等于点到点的距离的4倍的位置吗？若不能，请直接回答．若能，请直接指出，共移动多少个单位长度与此位置重合？ 12．如图1，有甲、乙两人借助运动器械在A、B两地之间各自做不间断往返匀速运动（即只要两人到达A或B地后则立即转身以同样的速度向另一端运动，转身后运动方向，速度均不改变），  已知甲的速度为30米/秒，乙的速度为20米/秒；    (1)已知A、B两地之间距离为1000米，若乙离开A地50米后，甲从A地出发，甲出发后经过____________秒与乙第一次相遇； (2)已知A、B两地之间距离为2000米，若甲、乙同时从A地出发，经过__________秒后，甲、乙第一次相遇； (3)如图2，若甲、乙同时从A地出发，甲与乙第一次相遇于C地，第二次相遇于D地，且C、D之间的距离为300米，问A、B两地之间距离为多少米？ 13．篝火晚会，学年统一为各班准备了发光手环，每名同学一个，1班有人，2班有人，考虑到发光手环易坏，学年又额外给1班、2班共个手环． (1)要使1班、2班的手环数一样多，请问应额外给1班多少个手环？ (2)为营造氛围，各班还需要集体购买发光头饰．姜经理看到商机，准备寻找进货途径．他在甲、乙两个批发商处，发现了同款高端发光头饰，均标价元甲说：“如果你在我这里买，一律九折”，乙说：“如果你在我这里买，超出个，则超出部分一律八折”（每次只能在一个批发商处进货）． ①请问购进多少个发光头饰，去两个批发商处的进货价一样多？ ②姜经理第一次购进个发光头饰，正好全部售出．第二次购进的数量比第一次的3倍还多个．两次均以最优惠的方式购进．如果第一次的总售价为元，且两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的，则第二次每个发光头饰的售价为多少元？ 14．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元. (1)表中的值为________； (2)求老李家9月份的用电量； (3)若8月份老李家用电的平均电价为元/度，求老李家8月份的用电量. 15．11月商场推出饼干和糖果两种礼盒套装，1盒糖果的售价比1盒饼干的售价贵50元，购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多320元． (1)11月1盆饼干售价为多少元？ (2)12月，商场从厂家进购了500盒饼干和600盒糖果，每盒饼干的进价比每盒糖果的进价便宜50元，但商场保管不当导致的糖果变质无法销售，12月每盒饼干售价比11月上涨40元，每盒糖果售价在11月基础上降低了，将这一批饼干和糖果售完后，总利润率为，求每盒糖果的进价为多少元？ (3)1月厂家在12月商场进价的基础上进行优惠促销活动．规定商场一次性进购饼干、糖果的优惠方案分别如表1、表2．同时工厂为提高销售人员的积极性，规定：每位销售人员的工资总额基本工资奖励工资．当该销售人员本月成交总销售额在20万元以内，只有基本工资3000元；当该销售人员本月成交总销售额超过20万元时，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表3所示． 1月商场通过工厂销售员甲分两次购进饼干和糖果，第一次全部购进饼干，第二次全部购进糖果，两次共购进2000盒（购进饼干的数量大于购进糖果的数量）．已知工厂销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为12580元．若1月商场两种礼盒售价保持与12月相同，商场将这两种礼盒全部售出，求商场可获利多少元？（销售员甲的销售总额商场从厂家的进货总成本） 一次性进购饼干的数量（盒） 优惠方案 未超过500 不享受优惠方案 超过500但未超过1000的部分 按九折优惠 超过1000的部分 按八折优惠 表1 一次性进购糖果的数量（盒） 优惠方案 未超过500 所购礼盒全部按九折优惠 超过500 所购礼盒全部按八折优惠 表2 月成交销售额 不超过20万元的部分 超过20万元但不超过25万元的部分 超过25万元但不超过30万元的部分 30万元以上的部分 奖励工资比例 表3 16．数学活动课上同学们对所学知识深入思考，如图1，点C在线段上，图1中共有三条线段，，，若其中有两条线段长度比为，则命名点C为线段的“幸福点”；此模型下，如图2射线在的内部，图2中共有三个角，，，若其中有两个角的度数比为，则命名射线为的“幸福线”． (1)线段的中点是否为这条线段的“幸福点”，说明理由； (2)若，点C为线段的“幸福点”，求线段的长度； (3)如图3，已知，射线从出发，以的速度顺时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与射线重合时，运动停止，设旋转运动的时间为，当t为何值时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”，并说明理由． 17．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，下表是调控后的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超过6吨的部分 2元/吨 超出6吨不超出10吨的部分 4元/吨 超出10吨的部分 8元/吨 注：水费按月结算． (1)若该户居民8月份用水8吨，则该用户8月应交水费________元；若该户居民9月份应交水费26元，则该用户9月份用水量为________吨； (2)若该户居民10月份应交水费30元，求该用户10月份用水量； (3)若该户居民11月份、12月份共用水18吨，共交水费52元，且11月份用水不超过8吨，求11月份、12月份各应交水费多少元？ 18．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，还可按如下方案获得相应金额的奖券： 消费金额a（元） 获得奖券的金额（元） 30 50 110 150 按上述促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：（元）． 注：购买商品获得的优惠额购买商品得到的优惠率商品的标价． 试问： (1)购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠额是多少？ (2)对于标价在500元900元之间（含500元和900元）的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可以得到的优惠率？ 19．W商场10月份用72000元同时购进A、B两款服装共350件，其中A款服装每件进价180元，B款服装每件进价240元． (1)求商场10月份分别购进A，B两款服装各多少件； (2)商场决定将A、B两款服装按的价格售出，销售一段时间后A款服装售出了，B款服装售出了，剩下的A，B两款服装恰好数量相等，为尽快售完，商场将B款服装的售价提高50%，同时推出买一送一活动，即买一件B款服装送一件A款服装，直至两款服装全部售完，经结算10月份售出A，B两款服装共获利40%．那么B款服装的原售价是多少元？ (3)由于“双十一购物狂欢节”，京东，天猫等电商平台推出了预售，满减，送券，领红包等优惠活动，11月份该商场所有商品销量均减少．为吸引顾客，11月份商场对全场打折促销．店长根据市场调查推出两种促销方案如下（两种方案不能叠加享受）： 方案一：顾客所购商品的原价总和每满300元送60元的现金券，无论用券与否原总价打九折；若有券，折后可用券抵扣． 例如：某人购物总和为620元，则他实际付款为（元）． 方案二： 原价总和 优惠标准 不超过300元的部分 九折优惠 超过300元但不超过600元的部分 七折优惠 超过600元但不超过900元的部分 六折优惠 超过900元的部分 五折优惠 例如：某人购物原价总和1000元，则他实际付款： （元）． 已知小依选择方案一购物，小钟选择方案二购物，他们所购物品原价总和为1500元，且小钟所购物品的原总价高于小依．店员建议他们两人组合，一次性购买所有物品，并且选择最优惠的购买方案，这样比两人各自购物实际付款总额少84元．那么小依与小钟各自所购物品的原总价分别是多少元？ 20．已知关于x的方程是一元一次方程，如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c，且a，c满足． (1)直接写出a，b，c的值； (2)若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段的中点M到点的中点N距离为3？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段，线段（点E在P的左边，点F在Q的左边），当点P运动到点C时，线段立即以相同的速度返回，当点P再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 21．如图1，A，O，B三点在一条直线上，且，射线分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点O逆时针旋转，射线分别平分和，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为t秒． (1)如图1，运动开始前， °； (2)若在上方，当t为何值时，射线平分？ (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 22．哈尔滨某食品加工厂，加工一种食品，销往大庆市和齐齐哈尔市，有新旧两种加工工艺． (1)如用旧工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量还多：如用新工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量少．新、旧工艺的废水排量之比为，两种工艺的一天废水排量各是多少？ (2)若用新工艺，每天加工的食品总量比旧工艺每天加工的食品总量多，已知旧工艺每天加工的食品总量是新工艺每天加工的食品总量的；求：若用新工艺加工一个月的食品总量是多少吨？（每个月按天计） (3)在（1）（2）的条件下，已知厂家将（2）中新工艺加工一个月的食品以每吨元的价格销往大庆市和齐齐哈尔市，已知这些加工食品的原材料费共为万元，选择铁路运输，在送货的过程中，列车先到大庆卸完一部分货后，再前往齐齐哈尔送货，送货列车的到达时间表如下所示：卸货的时间忽略不计；已知：哈尔滨与齐齐哈尔的距离为，哈尔滨到大庆的平均时速比大庆到齐齐哈尔的平均时速快，已知铁路运输的收费标准是：每吨每千米收费元；已知每吨污水的处理费是3元，这批食品全部售完后，仍可获利万，则销往大庆多少吨食品？ 地点 哈尔滨 大庆 齐齐哈尔 时间 23．阅读理解，并完成下列各题： 对于数轴上任意一点P，把与点P相距a个单位长度（a是正数）的两点所表示的数分别记作x和y（其中），并把x、y这两个数叫做“点P关于a的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于1的对称数组是． (1)如果点P表示数1，那么点P关于2的对称数组是 ； (2)如果，那么点P表示的数是 ，a的值是 ； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，，，两点同时从原点出发反向运动，当时，求点P、Q之间的距离． 24．如图，把五个数按顺序填入到五个“○”内，（每个“○”内一个数），相邻两数经过第一次运算后得到“△”，相邻“△”经过第二次运算后得到“□”，相邻“□”经过第三次运算后得到“”，相邻“”经过第三次运算后得到“”． (1)若把五个数2024，，1，0，依次按顺序填入“○”中，第一、二、三次运算均为“求乘积”，第四次运算为“求平均数”，则运算结果“”中数为______ (2)若把5个数“2”、“”，“”，“”，“2”依次按顺序填入“○”中，但第三个数不小心被污染，第一、二、三、四次运算均为“求平均数”，且运算结果“”中的数为1，求第三个数“”． (3)若把“1”，“”，“”，“4”，“”打乱顺序填入到五个“○”内，第一次运算为“求乘积”，第二、三、四次运算为“求平均数”，为使运算结果“”中的数最大，写出按顺序填入的数：______、______、______、______、______，“”中最大的结果是______． 25．将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒． (1)当___________秒时，平分； (2)①如图2，旋转三角板，使得、同时在直线的异侧，则与数量关系为___________； ②如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由． (3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．请直接写出在旋转过程中，与的数量关系． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一元一次方程（期末预测，压轴题25题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的伴随角．如图1，若，则是的伴随角． (1)如图1，已知，，是的伴随角，则__________； (2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度（）至，当旋转的角度为何值时，是的伴随角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以4度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成伴随伴随角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能构成伴随角；或或或 【分析】本题主要考查了角的计算，一元一次方程，解题的关键是理解伴随角的定义． （1）根据伴随角的定义可求得，进一步解答即可； （2）首先求得，然后根据伴随角的定义进一步解答即可； （3）根据伴随角的定义列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：是的伴随角，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， 是的伴随角， ， ， 旋转的角度为时，是的伴随角； （3）解：在旋转一周的过程中，射线，，，能构成伴随角； 理由：设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为， 如图1， 是的伴随角，， ， ， 解得：， ； 如图2， 是的伴随角，， ， ， ， ； 如图3， 是的伴随角，， ， ， ， ， 如图4， 是的伴随角，， ， ， 解得：， ； 综上所述，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成伴随角． 2．如图，在射线上有三点，满足．点从点出发，沿方向以的速度运动；点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（在线段上）时，点运动到的位置恰好是线段的中点，则点的运动速度为____________．（直接写出答案即可） (2)若点的运动速度为，经过多长时间两点相距？ (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点则____________．（直接写出答案即可） 【答案】(1) (2)经过2秒，秒，P、Q两点相距； (3) 【分析】（1）根据，求得，得到，求得，根据线段中点的定义得到，求得，由此即得到结论； （2）分点P、Q相遇前和点P、Q相遇后两种情况，设运动时间为t秒，然后分别根据线段的和差、速度公式列出等式求解即可得； （3）先画出图形，再根据线段的和差、线段的中点定义求出和的长，从而即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点P在线段上时，，， ∴，而， ∴， ∴， ∵点Q是线段的中点 ∴，而， ∴， ∴点Q的运动速度为； （2）解：设运动时间为t秒 则， ∵点Q运动到O点时停止运动 ∴点Q最多运动时间为 依题意，分以下两种情况： ①当点P、Q相遇前， ，即， 解得 ②当点P、Q相遇后， ， ， 解得：，经检验不符合题意，舍去； 当时，与重合，停止运动， 此时， 当再运动时，相距， 此时， 综上，经过2秒，秒，P、Q两点相距； （3）解：如图，设， 点P在线段上，则，即， 点E、F分别为和的中点， ， 则． 【点睛】本题考查了线段的和差、线段的中点定义，一元一次方程的应用等知识点，较难的是题（2），依题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 3．定义：在数轴上，若点到点的距离恰好是，则称点为点的“幸福点”； 若点到点、的距离之和为，则称点为点、的“幸福中心”． 【初步应用】 （1）若点表示的数是，则点的“幸福点”点表示的数是 ； （2）已知点表示的数是，点表示的数是，且若点为点、的“幸福中心”，则点表示的数可以是 (填一个满足要求的数即可) ； 【深入理解】 （3）若点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，一个电子蚂蚁从点出发，以单位秒的速度沿数轴向左运动，求经过多少时间电子蚂蚁是点、的“幸福中心”？ 【综合应用】 （4）在（3） 的条件下，在数轴上是否存在点 点与点不重合，使得电子蚂蚁既是、的“幸福中心”又是、的“幸福中心”？ 若存在，请直接写出点表示的数，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或；（2）(答案不唯一)；（3）秒或秒；（4）存在，点表示的数为或 【分析】本题主要考查数轴及一元一次方程的应用，数轴上两点距离； （1）根据题中所给定义可直接进行求解； （2）先求得，再根据“幸福中心”的定义可直接进行求解； （3）由题意可分两种情况列式：①点在点和点之间，②点在点的左侧讨论；进而分类求解即可； （4）根据题意，结合数轴，在（3）的条件下，根据新定义得，分类太累，即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：点的“幸福点”表示的数为或， 故答案为或； （2）∵点表示的数是，点表示的数是，且 ∴， ∴点表示的数是，点表示的数是， ∴点、的距离为， ∵点为点，的“幸福中心”， ∴点C在点M、N之间， 即点表示的数可以是与之间的数 ∴点C表示的数可以是 故答案为：(答案不唯一)； （3）由题意可得、之间的距离为，故有两种可能： 设经过秒点是、的“幸福中心”，则点表示的数为 ①点在点和点之间，则有： ， 解得：； ②点在点的左侧， ， 解得：， 综上所述：当经过或秒时，点是、的“幸福中心”； （4）由（3）可得，当时，点表示的数为， 之间的距离为， 点是、的“幸福中心”， ， 点与点不重合 点在点的右侧 点表示的数是； 当，点表示的数为， 之间的距离为， 点是、的“幸福中心”， ， 点与点不重合，则点在点的左侧 ∴点表示的数是； 综上所述，点C表示的数为或 4．【问题背景】 数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： 【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数 对应的点重合； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，这样折叠后，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为 ，点对应的数为 ； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒． ①动点从点向右出发，为何值时，、两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点从点向左出发时，、两点之间的距离为8个单位长度的t值． 【答案】（1）3 （2） （3）；4.5； （4）1.5或9.5 【分析】（1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （3）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，列方程求解； （4）①根据题意， ，点 对应的数为 ，用代数式表示 ，列方程求解即可； ②根据动点从点向左出发，点对应的数为，由、两点之间的距离为8个单位长度，分两种情况：当点在点的右侧时，，当点在点的左侧时，，分别列方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，得对称中心是原点，则数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3； （2）数2对应的点与数对应的点重合， 对称中心是数对应的点， ， 此时数0对应的点与数对应的点重合； 故答案为：； （3）由（2）可知，对称中心是数对应的点， 数轴上、两点之间的距离为11（点在点的右侧）， 设点对应的数为，点对应的数为， ， 解得：， 则， 点对应的数为，点对应的数为4.5， 故答案为：，4.5； （4）①根据题意，，点对应的数为， ， 解得：， 答：为2时，、两点之间的距离为15个单位长度； ②动点从点向左出发，点对应的数为， ∵、两点之间的距离为8个单位长度， ∴当点在点的右侧， 解得：； 当点在点的左侧， ， 解得：， 答：t值为1.5或9.5时，、两点之间的距离为8个单位长度． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示有理数，一元一次方程的应用，折叠问题，难度较大，属于压轴题，熟练掌握数轴上两点之间的距离的表示方法是解题的关键． 5．希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； (1)每件服装标价多少元？ (2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． (3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 【答案】(1)每件服装标价为100元 (2)该服装店在乙服装厂购进服装利润最高 (3)需要在购进件服装 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用． （1）设每件服装标价x元，根据打95折比打8折多盈利15元钱，列出方程求解即可； （2）根据题意先求出每个厂在优惠条件下30000元能购进的服装数量，再求出利润比较即可； （3）设需在购进y件服装，根据利润为14949元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每件服装标价x元，根据题意得： 解得：， 答：每件服装标价为100元； （2）解：， 根据题意： 甲厂： （件）， 购进服装数量为正整数， 在甲厂可购进500件服装， 在甲厂可购进500件服装的费用为： （元）； 乙厂： （件） 在乙厂可购进500件服装， 在甲厂可购进500件服装的费用为（元）， 则服装店在乙服装厂购进服装利润为：（元）； ， 该服装店在乙服装厂购进服装利润最高； （3）解：设需在购进y件服装，根据题意： 由（2）知，进价为：（元）， 现标价为：（元）， 按进价的基础上每件服装加价销售的服装有：（件）， 按5折出售的服装有：（件）， 售价为：（元）， 则， ，即， 解得：， 答：需要在购进件服装． 6．北京某景区，门票价格规定如下表： 购票张数 1～50张（包含50张） 50～100张（不包含50张） 100张以上 每张票的价格 60元 50元 40元 某校七年级（1）、（2）两个班共102人去该景区游玩，其中（1）班人数多于（2）班人数，且（1）班人数不足100人，如果两个班分别以班为单位单独购买门票，一共应付5500元． (1)去该景区游玩的七年级（1）班和（2）班各有多少学生？ (2)如果七年级（1）班有12名学生因需参加学校竞赛不能外出游玩，（2）班学生可以全员参加游玩，作为组织者，你有几种购票方案？通过比较，你该如何购票才能最省钱？ 【答案】(1)七年级（1）班有62人，（2）班有40人 (2)七年级（1）班和（2）班应该联合起来一次购买101张门票最省钱 【分析】（1）设七年级（1）班有学生x人，则七年级（2）班有学生102－x人，因为其中（1）班人数多于（2）班人数，所以51<x<100，则0<102−x<51， 利用单独购买门票，一共应付5500元列方程，解方程即可； （2）按照团体票的单价计算总费用，即可得到答案； 【详解】（1）解：设去该景区游玩的七年级（1）班有x人，（2）班有人．根据题意，得 解得． 则（2）班人数为：（人）． 答：七年级（1）班有62人，（2）班有40人． （2）解：方案一：各自购买门票需（元）； 方案二：联合购买门票需（元）； 方案三：联合购买101张门票需（元）； 综上所述：因为． 答：七年级（1）班和（2）班应该联合起来一次购买101张门票最省钱． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用：方案选择问题，解题的关键是读懂题意，利用隐含条件找出等量关系列方程． 7．请阅读下列材料，并解答相应的问题： 将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等（这个和叫幻和），则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”中国古代称“幻方”为“河图”、“洛书”等，例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的3×3方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等． (1)请你将下列九个数：，分别填入图1方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等； (2)在图2的三阶幻方中，x的值为______； (3)在图3的三阶幻方中，该幻方的幻和可用e表示为______；进而可得该幻方中9个数的和可用e表示为______；a，h，f之间的数量关系为______； (4)图4的三阶幻方中，y的值为______． 【答案】(1)图见解析 (2)1 (3) (4) 【分析】（1）根据给出的幻方，可知最中央数字为9个数的和的平均数，再利用9个数的和÷3得到每行，每列，每条对角线上的三个数之和，在这组数中先确定两组和为的数，然后再分别推出其他位置的数字，填图即可； （2）根据给出的幻方，可以推出最中央位置的数字为每行，每列，每条对角线其它两个数字的平均数，列式求解即可； （3）根据最中央位置的数字为每行，每列，每条对角线其它两个数字的平均数，即可用表示幻和，幻和×3即可得到9个数的和；利用幻和为，分别用幻和和表示出和，再利用等于幻和，列式求解即可； （4）根据每行，每列，每条对角线上的三个数的和相等，和最中央位置的数字为每行，每列，每条对角线其它两个数字的平均数，进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知： 最中央的数字为：， 每一行，每一列，每条对角线上的三个数字和为：， 填表如下： （2）解：由题可知：最中央位置的数字为每行，每列，每条对角线其它两个数字的平均数，设第一行的最后一个数字为：， 则：，解得：， 设第一列的中间数字为：， 则：， 解得：； 故答案为：1； （3）解：由题意得：该幻方的幻和可用e表示为：； 该幻方中9个数的和可用e表示为：； ∵ ∴， ∵， ∴，即：； 故答案为：； （4）解：由题意得： 设第一列的最后一个数字为：， 则：， ∴， ∴最中央的数字为：， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据题意推出幻和等于最中央数字的3倍，最中央的数字是每一行，每一列，每一条对角线上其它两个数字的平均数，是解题的关键． 8．学校为了让学生积极参加体育锻炼强健体魄，做好大课间活动，计划购买体育用品，价格如下表： 备选体育用品 篮球 排球 羽毛球拍 价格 元/个 元/个 元/支 (1)若用元全部用来购买篮球、排球和羽毛球拍，篮球和排球的数量比，排球与羽毛球拍数量的比为，求篮球、排球和羽毛球拍的购买数量各为多少？ (2)初一学年计划购买篮球，初二学年计划购买排球，某商场的优惠促销活动如下： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过元 不优惠 超过元且不超过元 售价打九折 超过元 售价打八折 按上述优惠条件，若初一年级一次性付款元，初二年级一次性付款元，那么这两个年级购买两种体育用品的数量一共是多少？ 【答案】(1)篮球有个，排球有个，羽毛球有支； (2)这两个年级购买两种体育用品的数量一共为个或者是个． 【分析】（1）设篮球有个，则排球有个，羽毛球有支，根据三种商品的钱一共为元列方程求解即可； （2）分类讨论分别求出初一年级学生购买的篮球数和初二年级学生购买的排球数即可得解． 【详解】（1）解：篮球和排球的数量比，排球与羽毛球拍数量的比为，设篮球有个，则排球有个，羽毛球有支，由题意可得， 解得： 因此，篮球个数为：（个）， 排球个数为：（个）， 羽毛球支数为：（支）， 答：篮球有个，排球有个，羽毛球有支． （2）解：初一年级购买篮球一次性付款元， 当按原价付款时，购买个数为：（个）， 当八折付款时，购买个数为：（个），不符合实际情况， 当按九折付款时，购买个数为：（个），不符合实际情况， 因此，初一年级购买篮球7个； 初二年级购买排球一次性付款元， 当按原价付款时，购买个数为：（个），不符合实际情况， 当按八折付款时，购买个数为：（个）， 当按九折付款时，购买个数为：（个）， 因此，初二年级购买排球个或者是个； （个），（个）， 答：这两个年级购买两种体育用品的数量一共为个或者是个． 【点睛】本题考查了简易方程和分类讨论思想；利用分类讨论思想求解篮球数和排球数是解题的关键． 9．小美喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，她给出一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“小美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，，所以为一元一次方程的“小美方程”． (1)已知关于的方程：是一元一次方程的“小美方程”吗？________（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，请求出的值； (3)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，求出的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）先化简绝对值得到，再解求出，最后计算作答即可； （2）先分别解方程求出，，再根据“小美方程”的定义计算即可； （3）先根据题意得到，再由得到，解得，将代入整理得到，最后计算即可． 【详解】（1）由得，； 解得：， 而， 所以是一元一次方程的“小美方程”， 故答案为：是； （2）解：∵ 解得：； 对于，解得； 由题意，当时，，解得：； （3）解：由题意，，即 由得：， 所以， 则， 把上式代入中，整理得：， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，一元一次方程的解法，正确理解“小美方程”是解题的关键． 10．小明、小丽分别在400米环形跑道上练习跑步与竞走，小明每分钟跑200米，小丽每分钟走80米，两人由同一起点同向出发，小丽先走了3分钟后，小明才出发． (1)小明出发几分钟后与小丽第一次相遇？ (2)若小明与小丽第二次相遇时小明和小丽同时结束跑步与竞走，那么小明出发几分钟后与小丽相距100米？（直接写出结果） 【答案】(1)小明出发2分钟后与小丽第一次相遇 (2)小明出发分钟或分钟或分钟后与小丽相距100米 【分析】（1）设小明出发分钟后与小丽第一次相遇，根据相遇时，两人的路程相等，列出方程进行求解即可； （2）分小明第一次追上小丽前，小明追上小丽之后，以及小明第二次与小丽相遇之前，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设小明出发分钟后与小丽第一次相遇，由题意，得： ， 解得：， 答：小明出发2分钟后与小丽第一次相遇； （2）设小明出发分钟后与小丽相距100米； ①小明追上小丽之前：，解得：； ②小明追上小丽之后：，解得：； ③小明第二次与小丽相遇之前：，解得：； ∴小明出发分钟或分钟或分钟后与小丽相距100米． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 11．已知，A，在数轴上对应的数分别用，表示，且，是数轴上的一个动点． (1)在数轴上标出A、的位置，并求出A、之间的距离； (2)已知数轴上有一点且、两点的距离为10，当数轴上、两点之间有点满足点到点的距离等于点到点的距离的4倍时，求点对应的数； (3)动点从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，点能移动到满足点到点A的距离等于点到点的距离的4倍的位置吗？若不能，请直接回答．若能，请直接指出，共移动多少个单位长度与此位置重合？ 【答案】(1)数轴见详解；A、B之间的距离为30 (2)点P表示的数为或 (3)不存在一点P，使得点P到点A的距离是点P到点B距离的4倍 【分析】（1）根据绝对值及偶次幂的非负性可得，然后问题可求解； （2）由题意易得点表示的数为0或，设点P表示的数为x，然后分点点C表示的数是0时和表示的数是时进行分类求解即可； （3）由题意易得点P表示的数为，然后可得分当点P在线段之间运动时，当点P在点B的左侧时和当点P在点A的右侧时，进而分类求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴A、B之间的距离为， 数轴上标出、得： （2）解：由数轴上有一点且、两点的距离为10，可知：点表示的数为0或，设点P表示的数为x， 当点C表示的数是0时，则，根据题意得：， 解得：，即此时点P表示的数为； 当点C表示的数是时，则，根据题意得：， 解得：，即此时点P表示的数为； （3）解：第一次点表示，第二次点表示2，依次，4，， 则第次为，因为点表示20，所以第20次点与点重合； 因为点表示，所以当时，点在点的左侧，则有： 当点P在线段之间运动时，则，由题意得： ， 若n为奇数，则，解得：（不符合题意，舍去）； 若n为偶数，则，解得：（不符合题意，舍去）； 当点P在点B的左侧时，此时n为大于或等于11的奇数，则，由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 当点P在点A的右侧时，此时，所以该情况不存在点P到点A的距离是点P到点B距离的4倍； 综上所述：不存在一点P，使得点P到点A的距离是点P到点B距离的4倍． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用、数轴上的动点问题及绝对值、偶次幂的非负性，熟练掌握一元一次方程的应用、数轴上的动点问题及绝对值、偶次幂的非负性是解题的关键． 12．如图1，有甲、乙两人借助运动器械在A、B两地之间各自做不间断往返匀速运动（即只要两人到达A或B地后则立即转身以同样的速度向另一端运动，转身后运动方向，速度均不改变），  已知甲的速度为30米/秒，乙的速度为20米/秒；    (1)已知A、B两地之间距离为1000米，若乙离开A地50米后，甲从A地出发，甲出发后经过____________秒与乙第一次相遇； (2)已知A、B两地之间距离为2000米，若甲、乙同时从A地出发，经过__________秒后，甲、乙第一次相遇； (3)如图2，若甲、乙同时从A地出发，甲与乙第一次相遇于C地，第二次相遇于D地，且C、D之间的距离为300米，问A、B两地之间距离为多少米？ 【答案】(1)5 (2)80 (3)A、B两地之间的距离为750米 【分析】（1）设甲出发后经过秒与乙第一次相遇，根据追及问题的特点列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设经过秒后，甲、乙第一次相遇，乙还在向B地运动，而甲在返回向A地运动，即两人运动的距离之和为A、B两地之间距离的2倍，据此列出一元一次方程，解方程即可求解； （3）根据甲的速度为30米/秒，乙的速度为20米/秒，可得相同时间内，甲乙行走的距离之比等于其速度之比，第一次相遇时，甲总计走的距离为：，乙总计走的距离为：，即有，可得，，第二次相遇时，甲总计走的距离为：，乙总计走的距离为：，同理有，可得，结合，可得，再根据C、D之间的距离为300米，可得，问题得解． 【详解】（1）设甲出发后经过秒与乙第一次相遇， 根据题意有：， 解得：， 即甲出发后经过5秒与乙第一次相遇， 故答案为：5； （2）设经过秒后，甲、乙第一次相遇， 第一次相遇时，乙还在向B地运动，而甲在返回向A地运动， 即两人运动的距离之和为A、B两地之间距离的2倍， 即根据题意有：， 解得：， 即甲出发后经过秒与乙第一次相遇， 故答案为：； （3）∵甲的速度为30米/秒，乙的速度为20米/秒， ∴相同时间内，甲乙行走的距离之比等于其速度之比， 第一次相遇时，甲总计走的距离为：，乙总计走的距离为：， ∴， ∵， ∴，， 第二次相遇时，甲总计走的距离为：，乙总计走的距离为：， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵C、D之间的距离为300米， ∴， ∴， 答、A、B两地之间的距离为米． 【点睛】本题主要考查了行程问题以及一元一次方程的应用，明确题意，列出方程，是解答本题的关键． 13．篝火晚会，学年统一为各班准备了发光手环，每名同学一个，1班有人，2班有人，考虑到发光手环易坏，学年又额外给1班、2班共个手环． (1)要使1班、2班的手环数一样多，请问应额外给1班多少个手环？ (2)为营造氛围，各班还需要集体购买发光头饰．姜经理看到商机，准备寻找进货途径．他在甲、乙两个批发商处，发现了同款高端发光头饰，均标价元甲说：“如果你在我这里买，一律九折”，乙说：“如果你在我这里买，超出个，则超出部分一律八折”（每次只能在一个批发商处进货）． ①请问购进多少个发光头饰，去两个批发商处的进货价一样多？ ②姜经理第一次购进个发光头饰，正好全部售出．第二次购进的数量比第一次的3倍还多个．两次均以最优惠的方式购进．如果第一次的总售价为元，且两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的，则第二次每个发光头饰的售价为多少元？ 【答案】(1)8 (2)①，② 【分析】（1）先设出应额外给1班个手环，然后根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）①设未知数，根据题意列出一元一次方程进行求解即可；②由①可得当进购数量少于时，选择甲进货商，当进购数量多于时，选择乙进货商，再根据两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的列出一元一次方程即可． 【详解】（1）解：设应额外给1班个手环，则额外给2班个手环， ∵要使1班、2班的手环数一样多， ∴， 解得：， 所以应额外给1班8个手环； （2）解：①设购进个发光头饰，去两个批发商处的进货价一样多， 对于甲批发商处进货价为：元， 对于乙批发商处进货价为：元， ∵去两个批发商处的进货价一样多， ∴， 解得：， 所以购进个发光头饰时，去两个批发商处的进货价一样多； ②设第二次每个发光头饰的售价为元时两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的， 由①可得当进购数量少于时，选择甲进货商，当进购数量多于时，选择乙进货商， 第一次进购个，所以第一次进价为：元， ∵第二次购进的数量比第一次的3倍还多20个， ∴第二次进购了个， 第二次进价为：元， ∵两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的， ∴， 解得：， 所以第二次每个发光头饰的售价为元时两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的． 【点睛】本题考查了实际问题与一元一次方程，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 14．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元. (1)表中的值为________； (2)求老李家9月份的用电量； (3)若8月份老李家用电的平均电价为元/度，求老李家8月份的用电量. 【答案】(1) (2)300 (3)800 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解分档用电量的计算是解题的关键． （1）利用电费=电价×月用电量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值． （2）设老李家9月份的用电量为x度，先求出月用电量为240度时的电费，由该值小于183，可得出，再利用电费超过240度的部分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． （3）设老李家8月份的用电量为y度，根据8月份老李家用电的平均电价为元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）依题意得：， 解得：． 故答案为：． （2）设老李家9月份的用电量为x度， ∵（元），， ∴． 依题意得：， 解得：． 答：老李家9月份的用电量为300度． （3）．∵三个档次的平均价格为（元），8月份老李家用电的平均电价为元/度， ∴老李家8月份用电量一定超过400度， 设老李家8月份的用电量为y度， 依题意得：， 解得：． 答：老李家8月份的用电量为800度． 15．11月商场推出饼干和糖果两种礼盒套装，1盒糖果的售价比1盒饼干的售价贵50元，购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多320元． (1)11月1盆饼干售价为多少元？ (2)12月，商场从厂家进购了500盒饼干和600盒糖果，每盒饼干的进价比每盒糖果的进价便宜50元，但商场保管不当导致的糖果变质无法销售，12月每盒饼干售价比11月上涨40元，每盒糖果售价在11月基础上降低了，将这一批饼干和糖果售完后，总利润率为，求每盒糖果的进价为多少元？ (3)1月厂家在12月商场进价的基础上进行优惠促销活动．规定商场一次性进购饼干、糖果的优惠方案分别如表1、表2．同时工厂为提高销售人员的积极性，规定：每位销售人员的工资总额基本工资奖励工资．当该销售人员本月成交总销售额在20万元以内，只有基本工资3000元；当该销售人员本月成交总销售额超过20万元时，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖励工资发放比例如表3所示． 1月商场通过工厂销售员甲分两次购进饼干和糖果，第一次全部购进饼干，第二次全部购进糖果，两次共购进2000盒（购进饼干的数量大于购进糖果的数量）．已知工厂销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为12580元．若1月商场两种礼盒售价保持与12月相同，商场将这两种礼盒全部售出，求商场可获利多少元？（销售员甲的销售总额商场从厂家的进货总成本） 一次性进购饼干的数量（盒） 优惠方案 未超过500 不享受优惠方案 超过500但未超过1000的部分 按九折优惠 超过1000的部分 按八折优惠 表1 一次性进购糖果的数量（盒） 优惠方案 未超过500 所购礼盒全部按九折优惠 超过500 所购礼盒全部按八折优惠 表2 月成交销售额 不超过20万元的部分 超过20万元但不超过25万元的部分 超过25万元但不超过30万元的部分 30万元以上的部分 奖励工资比例 表3 【答案】(1)1盆饼干售价为370元 (2)每盒糖果的进价为元 (3)当购进饼干的数量为1600盒，则购进糖果的数量为400盒时，商场可获利440000元，当购进饼干的数量为1350盒，则购进糖果的数量为650盒时，商场可获利437500元 【分析】本题考查一元一次方程的应用． （1）设1盆饼干售价为x元，则1盒糖果的售价为元，根据购买2盒饼干的费用，比购买1盒糖果的费用多320元，建立一元一次方程，求解即可； （2）根据题意得12月份1盆饼干售价为元，1盒糖果的售价为元，饼干销售量为500盒，糖果的销售量为盒，根据总销售额等于总成本，建立一元一次方程，求解即可； （3）由销售员甲1月只与该商场完成这两次交易并且领到的工资总额为12580元，可计算出月成交销售额为元，设购进饼干的数量为m盒，则购进糖果的数量为盒，根据成交销售额为元，建立一元一次方程，求解出m的值，即可计算商场可获利多少元． 【详解】（1）解：设1盆饼干售价为x元，则1盒糖果的售价为元，由题意得： 解得：， 答：1盆饼干售价为370元； （2）解：12月份1盆饼干售价为（元）， 1盒糖果的售价为（元）， 饼干销售量为500盒，糖果的销售量为（盒）， 设每盒饼干的进价为y元，则每盒糖果的进价为元，由题意得： ， 解得：， 则每盒糖果的进价为（元）， 答：每盒糖果的进价为元； （3）解：由题意得： （元）， 则总销售额为：（元）， 设购进饼干的数量为盒，则购进糖果的数量为盒， ①当饼干的数量大于1500盒，糖果的数量小于500盒时， 此时饼干的总进价为：， 糖果的总进价为：， ， 解得：， （盒）； ②当饼干的数量大于1000盒小于1500盒，糖果的数量大于500盒小于1000盒时， 此时饼干的总进价为：， 糖果的总进价为：， ， 解得：， （盒）； 综上，购进饼干的数量为1600盒，则购进糖果的数量为400盒；或购进饼干的数量为1350盒，则购进糖果的数量为650盒； 当购进饼干的数量为1600盒，则购进糖果的数量为400盒时，商场可获利：（元）； 当购进饼干的数量为1350盒，则购进糖果的数量为650盒时，商场可获利：（元）， 答：当购进饼干的数量为1600盒，购进糖果的数量为400盒时，商场可获利440000元，当购进饼干的数量为1350盒，购进糖果的数量为650盒时，商场可获利437500元． 16．数学活动课上同学们对所学知识深入思考，如图1，点C在线段上，图1中共有三条线段，，，若其中有两条线段长度比为，则命名点C为线段的“幸福点”；此模型下，如图2射线在的内部，图2中共有三个角，，，若其中有两个角的度数比为，则命名射线为的“幸福线”． (1)线段的中点是否为这条线段的“幸福点”，说明理由； (2)若，点C为线段的“幸福点”，求线段的长度； (3)如图3，已知，射线从出发，以的速度顺时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与射线重合时，运动停止，设旋转运动的时间为，当t为何值时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”，并说明理由． 【答案】(1)是，理由见详解 (2)9或6或12 (3)或或，理由见详解 【分析】本题主要考查再新定义下线段的数量关系和角度之间的关系，以及一元一次方程的应用， 根据线段中的关系和“幸福点”的定义即可求得； 分情况讨论点C的位置，结合“幸福点”定义找到对应关系计算即可； 计算射线和射线移动过程中所形成的角，分情况讨论构成角的“幸福线”所在位置，找到对应关系计算即可； 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵点C为线段的中点， ∴， ∴， 则线段的中点是这条线段的“幸福点”； （2）∵点C为线段的“幸福点”，， ∴，或，或； 当，则； 当，则，解得； 当，则，解得，那么； 综上所述，线段的长度9或6或12； （3）根据题意得，，则，， 当重合时，，解得， ∴射线与射线运动时间为， ∵射线是以射线、为边构成角的“幸福线”， ∴，或，或， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，t为或或时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”． 17．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，下表是调控后的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超过6吨的部分 2元/吨 超出6吨不超出10吨的部分 4元/吨 超出10吨的部分 8元/吨 注：水费按月结算． (1)若该户居民8月份用水8吨，则该用户8月应交水费________元；若该户居民9月份应交水费26元，则该用户9月份用水量为________吨； (2)若该户居民10月份应交水费30元，求该用户10月份用水量； (3)若该户居民11月份、12月份共用水18吨，共交水费52元，且11月份用水不超过8吨，求11月份、12月份各应交水费多少元？ 【答案】(1)20； (2)吨 (3)11月份应交水费16元，12月份应交水费36元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键． （1）该户居民8月份用水8吨，应交水费应是不超过6吨的部分和超出6吨不超出10吨的部分的费用之和，计算即得答案；若该户居民9月份应交水费26元，判断应交水费应是不超过6吨的部分和超出6吨不超出10吨的部分的费用之和，设未知数列方程并求解，即得答案； （2）先判断该用户10月份用水量超过10吨，再设未知数列方程并求解，即得答案； （3）设该用户11月份用水量为a吨，则12月份用水量为吨，分和两种情况，分别列方程并求解验证，即得答案． 【详解】（1）， 所以该用户8月应交水费20元； 设该用户9月用水量为x吨， ，， ， ， 根据题意得， 解得， 所以该用户9月用水量为吨； 故答案为：20；． （2）设该用户10月用水量为y吨， ， ， 根据题意得， 解得， 所以该用户10月用水量为吨； （3）设该用户11月份用水量为a吨，则12月份用水量为吨， 当时，， 由题意得， 解得，不合题意，舍去； 当时，， 由题意得， 解得， ， （元）， （元）， 答：11月份应交水费16元，12月份应交水费36元． 18．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，还可按如下方案获得相应金额的奖券： 消费金额a（元） 获得奖券的金额（元） 30 50 110 150 按上述促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：（元）． 注：购买商品获得的优惠额购买商品得到的优惠率商品的标价． 试问： (1)购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠额是多少？ (2)对于标价在500元900元之间（含500元和900元）的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可以得到的优惠率？ 【答案】(1)310 (2)825 【分析】本题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法， （1）先计算出顾客的消费金额，以确定顾客得到的奖券金额，再计算出顾客得到的“优惠率”即可； （2）设顾客购买的商品的标价为x元，先计算出商品的标价在的范围内顾客的消费金额的范围是，则顾客得到的奖券金额是50元或110元，列方程求出相应的x的值并进行检验，得出符合题意的结果即可． 弄清商品的标价与顾客的消费金额之间的关系是解题的关键． 【详解】（1）∵（元），且， ∴顾客得到110元奖券， ∴（元）， 答：顾客得到的优惠率额是310元． （2）设顾客购买的商品的标价为x元， （元），（元）， ∴顾客的消费金额， ∴或， 由解得，不符合题意，舍去； 由解得， ∵，且， ∴符合题意， 答：顾客购买标价为825元的商品，可以得到的“优惠率”． 19．W商场10月份用72000元同时购进A、B两款服装共350件，其中A款服装每件进价180元，B款服装每件进价240元． (1)求商场10月份分别购进A，B两款服装各多少件； (2)商场决定将A、B两款服装按的价格售出，销售一段时间后A款服装售出了，B款服装售出了，剩下的A，B两款服装恰好数量相等，为尽快售完，商场将B款服装的售价提高50%，同时推出买一送一活动，即买一件B款服装送一件A款服装，直至两款服装全部售完，经结算10月份售出A，B两款服装共获利40%．那么B款服装的原售价是多少元？ (3)由于“双十一购物狂欢节”，京东，天猫等电商平台推出了预售，满减，送券，领红包等优惠活动，11月份该商场所有商品销量均减少．为吸引顾客，11月份商场对全场打折促销．店长根据市场调查推出两种促销方案如下（两种方案不能叠加享受）： 方案一：顾客所购商品的原价总和每满300元送60元的现金券，无论用券与否原总价打九折；若有券，折后可用券抵扣． 例如：某人购物总和为620元，则他实际付款为（元）． 方案二： 原价总和 优惠标准 不超过300元的部分 九折优惠 超过300元但不超过600元的部分 七折优惠 超过600元但不超过900元的部分 六折优惠 超过900元的部分 五折优惠 例如：某人购物原价总和1000元，则他实际付款： （元）． 已知小依选择方案一购物，小钟选择方案二购物，他们所购物品原价总和为1500元，且小钟所购物品的原总价高于小依．店员建议他们两人组合，一次性购买所有物品，并且选择最优惠的购买方案，这样比两人各自购物实际付款总额少84元．那么小依与小钟各自所购物品的原总价分别是多少元？ 【答案】(1)购进A，B两款服装分别为200件、150件 (2)B款服装的原售价是378元 (3)小依与小钟各自所购物品的原总价分别是360元、1140元或210元、1290元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键． （1）设购进A款服装x件，则购进B款服装件，根据用72000元同时购进A、B两款服装共350件，列出方程进行求解即可； （2）设A、B两款服装的原售价分别为元，元，根据10月份售出A，B两款服装共获利40%，列出方程进行求解即可； （3）设小依所购物品的原总价是m元，则小钟所购物品的原总价是元，分，，三种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：设购进A款服装x件，则购进B款服装件， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：购进A，B两款服装分别为200件，150件； （2）解：设A、B两款服装的原售价分别为元，元， 由题意得：， 解得：， ∴（元），（元）， 答：B款服装的原售价是378元． （3）解：设小依所购物品的原总价是m元，则小钟所购物品的原总价是元， 两人组合，一次性购买所有物品， 按照方案二实际付款为：（元）． ∵， ∴两人各自购物实际付款总额为：（元）， ∵小钟所购物品的原总价高于小依， ∴， ∴， ①当时，， 解得：，与矛盾； ②当时，， 解得：（元），符合题意； 此时，（元）； ③当时，， 解得：（元），符合题意； 此时，（元）； 答：小依与小钟各自所购物品的原总价分别是360元、1140元或210元，1290元． 20．已知关于x的方程是一元一次方程，如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c，且a，c满足． (1)直接写出a，b，c的值； (2)若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段的中点M到点的中点N距离为3？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段，线段（点E在P的左边，点F在Q的左边），当点P运动到点C时，线段立即以相同的速度返回，当点P再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；或 (3)存在； 【分析】本题考查数轴上的动点问题，两点之间的距离，一次方程的应用，利用平方根解方程等知识，解题的关键是用含的代数式表示点运动后所表示的数． （1）根据一元一次方程的定义可得，即可求出b，根据绝对值、平方的非负性即可求解a、c，问题得解； （2）根据运动特点可得，再根据为的中点，为中点，可得，依据，可得方程，解方程即可求解； （3）分类讨论：与第一次重合中，由到的时间为7段，即时，表示出点，．①点表示的数比点表示的数大1，即，②点表示的数比点表示的数大1，即与第二次重合中，到返回时，即，同理表示出，③点表示的数比表示的数大1时，即，④点表示的数比表示的数大1时，即，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵是一元一次方程， ∴， 解得：， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：， 根据运动特点可得， 为的中点，为中点， ， ， ， ， ， 或， 或； （3）解：存在．或者或者或者8．理由如下： ， ， 与第一次重合中，由到的时间为7段，即时， 点， ①点表示的数比点表示的数大1， 即， 解得：． ②点表示的数比点表示的数大1， 即， 解得：． 与第二次重合中，到返回时，即， ③点表示的数比表示的数大1时， 即， 解得：． ④点表示的数比表示的数大1时， 即， 解得：． 故：． 21．如图1，A，O，B三点在一条直线上，且，射线分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点O逆时针旋转，射线分别平分和，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为t秒． (1)如图1，运动开始前， °； (2)若在上方，当t为何值时，射线平分？ (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)90 (2) (3)存在，11或32 【分析】本题主要考查一元一次方程的知识，角平分线的定义，根据角的关系列方程求解是解题的关键． （1）根据角平分线的定义直接计算即可； （2）根据列方程求解即可； （3）分情况根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵射线分别平分和， ， ， ， 故答案为：90． （2）解：∵射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点O逆时针旋转， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故当时，射线平分． （3）解：存在某一时刻使得，理由如下： ①当在上方，此时有：， 即：， 解得：； ②当在下方，此时有：， 即：， 解得：； ③当停止运动，继续旋转时，此时有旋转，， ． 综上所述：当或32时，． 22．哈尔滨某食品加工厂，加工一种食品，销往大庆市和齐齐哈尔市，有新旧两种加工工艺． (1)如用旧工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量还多：如用新工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量少．新、旧工艺的废水排量之比为，两种工艺的一天废水排量各是多少？ (2)若用新工艺，每天加工的食品总量比旧工艺每天加工的食品总量多，已知旧工艺每天加工的食品总量是新工艺每天加工的食品总量的；求：若用新工艺加工一个月的食品总量是多少吨？（每个月按天计） (3)在（1）（2）的条件下，已知厂家将（2）中新工艺加工一个月的食品以每吨元的价格销往大庆市和齐齐哈尔市，已知这些加工食品的原材料费共为万元，选择铁路运输，在送货的过程中，列车先到大庆卸完一部分货后，再前往齐齐哈尔送货，送货列车的到达时间表如下所示：卸货的时间忽略不计；已知：哈尔滨与齐齐哈尔的距离为，哈尔滨到大庆的平均时速比大庆到齐齐哈尔的平均时速快，已知铁路运输的收费标准是：每吨每千米收费元；已知每吨污水的处理费是3元，这批食品全部售完后，仍可获利万，则销往大庆多少吨食品？ 地点 哈尔滨 大庆 齐齐哈尔 时间 【答案】(1)新工艺一天的废水排量为，旧工艺一天的废水排量为 (2)用新工艺加工一个月的食品总量是 (3)销往大庆 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． （1）设新工艺的废水排量为，则旧工艺的废水排量为，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设新工艺加工一天的食品量为，则旧工艺加工一天的食品量为，依题意得，，可求，根据用新工艺加工一个月的食品总量是，计算求解即可； （3）设哈尔滨到齐齐哈尔的平均时速为，则哈尔滨到大庆的平均时速为，依题意得，，可求，进而可求哈尔滨到齐齐哈尔的路程为，哈尔滨到大庆的路程为，设销往大庆吨食品，则销往齐齐哈尔吨食品，根据获利总价材料费污水处理费运费（销往大庆和销往齐齐哈尔），列方程，计算求解即可． 【详解】（1）解：设新工艺的废水排量为，则旧工艺的废水排量为， 依题意得，， 解得，， ∴新工艺一天的废水排量为，旧工艺一天的废水排量为； （2）解：设新工艺加工一天的食品量为，则旧工艺加工一天的食品量为， 依题意得，， 解得，， ∵， ∴用新工艺加工一个月的食品总量是； （3）解：设大庆到齐齐哈尔的平均时速为，则哈尔滨到大庆的平均时速为， 依题意得，， 解得，， ∴大庆到齐齐哈尔的路程为，哈尔滨到大庆的路程为， 设销往大庆吨食品，则销往齐齐哈尔吨食品， 依题意得，， 解得，， ∴销往大庆吨食品． 23．阅读理解，并完成下列各题： 对于数轴上任意一点P，把与点P相距a个单位长度（a是正数）的两点所表示的数分别记作x和y（其中），并把x、y这两个数叫做“点P关于a的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于1的对称数组是． (1)如果点P表示数1，那么点P关于2的对称数组是 ； (2)如果，那么点P表示的数是 ，a的值是 ； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，，，两点同时从原点出发反向运动，当时，求点P、Q之间的距离． 【答案】(1) (2)2025，2023 (3)或10 【分析】（1）根据题意可知：点P关于2的对称数组也就是说与点P相距2个单位长度的两点．又知道点P表示数1,所以与点P相距2个单位长度的两点是,3．所以点P关于2的对称数组是． （2）表示与点p相距a个单位长度的两个点分别是2和4048,那么点P是这两个数表示点构成线段的中点,于是；,解答a表示的数是2023即可． （3）设点P表示的数为p,点Q表示的数为q,根据定义，,，于是,,根据得,解绝对值方程即可． 本题考查了新定义,解绝对值方程,熟练掌握定义,解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：如果点P表示数1,那么点P关于2的对称数组是, 故答案为：． （2）解：∵表示与点P相距a个单位长度的两个点分别是2和4048,那么点P是这两个数表示点构成线段的中点, ∴点P表示的数是：；, 解得, 故答案为：2025；2023． （3）设点P表示的数为p,点Q表示的数为q, ∵,,P、Q两点同时从原点出发反向运动, ∴，, ∵, ∴,即 ①当时, 故, 解得可得：； ②当时, 故, 解得：． 综上所述：点P、Q之间的距离是或10． 24．如图，把五个数按顺序填入到五个“○”内，（每个“○”内一个数），相邻两数经过第一次运算后得到“△”，相邻“△”经过第二次运算后得到“□”，相邻“□”经过第三次运算后得到“”，相邻“”经过第三次运算后得到“”． (1)若把五个数2024，，1，0，依次按顺序填入“○”中，第一、二、三次运算均为“求乘积”，第四次运算为“求平均数”，则运算结果“”中数为______ (2)若把5个数“2”、“”，“”，“”，“2”依次按顺序填入“○”中，但第三个数不小心被污染，第一、二、三、四次运算均为“求平均数”，且运算结果“”中的数为1，求第三个数“”． (3)若把“1”，“”，“”，“4”，“”打乱顺序填入到五个“○”内，第一次运算为“求乘积”，第二、三、四次运算为“求平均数”，为使运算结果“”中的数最大，写出按顺序填入的数：______、______、______、______、______，“”中最大的结果是______． 【答案】(1)0 (2)2 (3)或； 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，代数式求值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意计算即可； （2）设第三个数为，根据题意一步步计算，最后得到，解得； （3）假设第一步运算后的四个数为，则根据定义计算结果用代数式表示为，要使得代数式结果最大，则尽可能大，且尽可能大，则，再分类讨论求解． 【详解】（1）解：根据题意得： 第一次运算：，，， ∴第一次运算后四个数为，，0，0； 第二次运算：，，， ∴第二次运算后三个数为，0，0； 第三次运算：，， ∴第三次运算后两个数为0，0； 第四次运算： 则运算结果“”中数为0， 故答案为：0； （2）解：设第三个数为，根据题意得 第一次运算：， 则第一次运算的结果：， 第二次运算：， 第二次运算的结果：，，， 第三次运算：， 第三次运算结果：，， ∴ 解得： ∴第三个数“”为2； （3）解：假设第一步运算后的四个数为，则有： 要使得代数式结果最大，则尽可能大，且尽可能大， 则， 则有①；②；③；④；⑤；⑥ 当①时，求得分别为，则代入得； 当②时，求得分别为，则代入得； 当③时，求得分别为，则代入得； 当④时，求得分别为，则代入得； 而⑤⑥中求得，则肯定不是最大， 经比较得当时，最后结果最大且为， 当然倒叙排列结果是一样的，即， 故答案为：或；． 25．将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒． (1)当___________秒时，平分； (2)①如图2，旋转三角板，使得、同时在直线的异侧，则与数量关系为___________； ②如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由． (3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．请直接写出在旋转过程中，与的数量关系． 【答案】(1) (2)①，②，理由见详解 (3) 【分析】（1）根据，平分，可得，结合运动特点可得：，解方程即可求解； （2）①分别表示出，，即有，问题得解；②分别表示出，，即有，问题得解； （3）分类讨论，第一种情况：、同时在直线的异侧，根据运动的特点：，，根据，，可得，即有；第二种情况：、同时在直线的右侧，同理可求出，问题得解． 【详解】（1）∵，平分， ∴， ∵根据运动特点可知：， ∴， 解得：（秒）， 故答案为：； （2）①，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴； ②，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 分类讨论， 第一种情况：、同时在直线的异侧，如图， 根据运动的特点：，， ∴，， ∴， ∴； 第二种情况：、同时在直线的右侧，如图， 根据运动的特点：，， ∴，， ∴， ∴； 综上：． 【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$