专题05 一元一次方程的应用（五大题型，30题）-【好题汇编】备战2024-2025学年六年级数学上学期期末真题分类汇编（上海专用）

专题05 一元一次方程的应用（五大题型，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 行程问题 1．（23-24六年级下·上海青浦·期末）如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路的顶点D、B处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5 米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？（   ） A．30秒 B．60秒 C．90秒 D．120秒 2．（23-24六年级下·上海·期末）某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙两人都急于上楼办事，在乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了60级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍（单位时间内乙登楼级数是甲的2倍），他登了70级后到达楼上，那么，由楼下到楼上自动扶梯级数为 ． 3．（23-24六年级下·上海·期末）甲以每小时30千米的速度由A地行驶到B地，如果以比原速度多20%的速度行驶，则甲花了原来时间的多20分钟到达B地，求甲原来需要行驶的时间与A、B两地间的距离． 4．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）一列动车从甲站开往乙站，若动车以180千米/小时的速度行驶，能准时到达乙站，现在动车以160千米/小时的速度行驶了2小时后把速度提高到240千米/小时，也能准时到达乙站，求甲、乙两站之间的距离． 5．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）从夏令营营地到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度通过平路，共用了55分钟；回来时，通过平路的速度不变，但以每小时6千米的速度上山，共花去了1小时10分钟，问营地到学校有多少千米． 配套问题 6．（2023六年级下·上海·期末）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身个，或盒底个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有张白铁皮，假设用张制作盒身，用张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒．根据题意，可列出方程为（  ） A． B． C． D． 7．（23-24六年级下·上海闵行·期末）某车间有27名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天可生产甲零件16个或生产乙零件22个．某种仪器每套需甲种零件1个，乙种零件2个．若分配x名工人生产甲零件，其他工人生产乙零件，恰好使每天生产的零件配套．根据题意，可列出方程为 ． 8．（23-24六年级下·上海青浦·期末）一种正方体模具框架是由金属棒和卡扣组装而成（一条棱用一根金属棒，一个顶点用一个卡扣）．某车间18名工人负责加工材料，一个工人每天可加工金属棒300根或卡扣100个．请问如何分配工作，可使一天生产的金属棒和卡扣配套? 9．（23-24六年级下·上海松江·期末）新冠疫情造成洗手液紧缺，某工厂有210名工人生产免洗洗手液和一般洗手液，每人每天平均生产免洗洗手液80瓶，一般洗手液120瓶，工厂应分配多少工人生产免洗洗手液和一般洗手液，使得每天生产的免洗洗手液和一般洗手液可以按1：2配套出售． 10．（23-24六年级下·上海松江·期末）现用90立方米木料制作桌子和椅子，已知一张桌子配4张椅子，1立方米木料可做5张椅子或1张桌子，要使桌子和椅子刚好配套．请问需要用多少立方米的木料做桌子？ 销售盈亏 11．（23-24六年级下·上海松江·期末）一件商品，按标价八折销售盈利元，按标价六折销售亏损，求标价多少元？小明同学在解此题的时候，设标价为元，列出如下方程：．小明同学列此方程的依据是（　　） A．商品的利润不变 B．商品的成本不变 C．商品的售价不变 D．商品的销售量不变 12．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）某种商品的零售价为150元，因季节原因商家按零售价打8折销售，仍能获利．问这种商品的成本价是多少元？设这种商品的成本价为x元，可列出方程 ． 13．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）某商品标价800元，因“6.18”活动打九折出售，仍可获利20%，则该商品的进价是 ． 14．（23-24六年级下·上海崇明·期末）在元旦“迎新年”期间，商场开展促销优惠活动，小明喜欢的一件定价元的棒球服打8折出售，即使打折出售后，商家的盈利率为，那么这套棒球服的成本价是多少元？ 15．（23-24六年级下·上海长宁·期末）一台手机进价是2800元，按照标价3400元的九折出售；一块电子手表进价是600元，按照标价的八折出售，结果每台手机的利润比每块手表的利润多140元，问手表的标价是多少元？ 几何问题 16．（23-24六年级下·上海闵行·期末）如果一个角的补角等于这个角的3倍，那么这个角的度数是 （     ） A． B． C． D． 17．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）若线段厘米，反向延长到C，使，则 厘米． 18．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）如图是一个平角，，则图中所有小于平角的角的度数之和为 ． 19．（23-24六年级下·上海宝山·期末）如果一个角的余角与这个角的补角的和为，那么这个角的度数是 ． 20．（23-24六年级下·上海普陀·期末）如图，、、三点在一条直线上，如果，，那么的值等于 ．    21．（23-24六年级下·上海黄浦·期末）已知线段，点C是线段上一点，如果，，那么的长为 ． 22．（23-24六年级下·上海闵行·期末）对于四条具有公共顶点的射线，如果其中两条射线构成的角α位于另两条射线构成的角β内，且α等于β的一半，那么我们把角α称为角β的内半角，这四条射线称为成内半角射线组． (1)如图1，已知，，是的内半角，则 度． (2)下列各图中，已知，，，那么其中射线、、、为成内半角射线组的是 ． (3)如图2，已知，现将射线、同时绕顶点O以5度/秒的速度顺时针旋转，对应得到射线、．问：在旋转一周的过程中，射线、、、能否为成内半角射线组？如果能，请直接写出旋转的时间；如果不能，请说明理由． 23．（23-24六年级下·上海闵行·期末）如图，点在同一直线上，是的余角的倍，求的大小． 24．（23-24六年级下·上海长宁·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若，则是的内半角．    (1)如图1，，，是的内半角，则________； (2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得，当旋转角为何值时，是的内半角； (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以5度/秒的速度按顺时针旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线、、、能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 25．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）如图①，若同一平面内三条射线、、有公共端点O，且满足，或者，我们称是和的“和谐线”． (1)的角平分线________射线和的“和谐线”；（填“是”或“不是”） (2)若，射线是射线和的“和谐线”，直接写出的度数： ________． (3)如图②，一副三角板如图所示摆放在量角器上，，，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角板绕量角器中心点P以每秒的速度顺时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒，求t何值时，射线是射线和的“和谐线”？    (4)如图③，，射线从射线的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，射线旋转的时间为t（单位：秒），且，当射线为两条射线和的“和谐线”时，直接写出t的值：________．    和差倍分问题 26．（23-24六年级下·上海黄浦·期末）小明、小杰两人共有100本图书，如果小杰送给小明15本，两人的图书就一样多．如果设小明原来有本图书，根据题意，可以列出方程： ． 27．（23-24六年级下·上海长宁·期末）如图，厘米，是的中点，是上一点，且，则的长度为 厘米．    28．（23-24六年级下·上海闵行·期末）甲工程队原有400人，乙工程队原有150人，现要抽调一定人数组成第三工程队，如果甲乙两队抽调的人数比为，那么甲队剩下的人数是乙队剩下人数的4倍，问甲乙两队各抽调了多少人？ 29．（23-24六年级下·上海崇明·期末）班级小书柜里有两层书，第一层比全部书的多50本，第二层是全部书的．那么班级小书架上共有书多少本？ 30．（23-24六年级下·上海松江·期末）甲乙两个车间工作人员的人数之比是，乙车间突然遇上紧急事件，急需增加人员，即刻从甲车间调出12人到乙车间，这时甲车间人数是乙车间人数的，甲车间原有多少人？ 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元一次方程的应用（五大题型，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 行程问题 1．（23-24六年级下·上海青浦·期末）如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路的顶点D、B处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5 米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？（   ） A．30秒 B．60秒 C．90秒 D．120秒 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设经过了x秒，巧巧追上淘淘，根据他们的路程差为米列方程求解即可． 【详解】解：设经过了x秒，巧巧追上淘淘 根据题意得， 解得， 此时巧巧走了米，，则巧巧在D处； 淘淘走了米，，则淘淘也在D处， 故经过60秒淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处， 故选：B． 2．（23-24六年级下·上海·期末）某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙两人都急于上楼办事，在乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了60级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍（单位时间内乙登楼级数是甲的2倍），他登了70级后到达楼上，那么，由楼下到楼上自动扶梯级数为 ． 【答案】 【分析】题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 可以设自动扶梯在单位时间上升级，单位时间内甲登楼级数为阶，总扶梯阶数不变即可得方程，解方程可得，代入其中一个代数式即可得扶梯阶数． 【详解】解：设电梯上行在单位时间内上升阶，单位时间内甲登楼级数为阶，列方程得： ， 解得：， ∴楼下到楼上自动扶梯级数为阶， 故答案为：． 3．（23-24六年级下·上海·期末）甲以每小时30千米的速度由A地行驶到B地，如果以比原速度多20%的速度行驶，则甲花了原来时间的多20分钟到达B地，求甲原来需要行驶的时间与A、B两地间的距离． 【答案】甲原来需要行驶的时间是1小时，A、B两地间的距离30千米． 【分析】设甲原来需要行驶的时间为x小时，利用提速前后所行驶的路程不变列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：30×(1+20%)＝36(千米/时)，20÷60=(小时)， 设甲原来需要行驶的时间为x小时， 由题意得：30x=36(x+)， 解得：x=1， 30×1=30(千米)． 答：甲原来需要行驶的时间是1小时，A、B两地间的距离30千米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，利用提速前后所行驶的路程不变列出方程是解决问题的关键． 4．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）一列动车从甲站开往乙站，若动车以180千米/小时的速度行驶，能准时到达乙站，现在动车以160千米/小时的速度行驶了2小时后把速度提高到240千米/小时，也能准时到达乙站，求甲、乙两站之间的距离． 【答案】甲、乙两站之间的距离为480千米 【分析】设甲、乙两站之间的距离为x千米，根据行程问题中的时间不变列出方程解答即可 【详解】解：设甲、乙两站之间的距离为x千米， 根据题意可得：， 解得：， 答：甲、乙两站之间的距离为480千米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 5．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）从夏令营营地到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度通过平路，共用了55分钟；回来时，通过平路的速度不变，但以每小时6千米的速度上山，共花去了1小时10分钟，问营地到学校有多少千米． 【答案】9千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，准确找出等量关系列出方程是解题的关键； 根据题意，设山路x千米，从营地回学校共用了55分钟，从学校回营地用了1小时10分钟，根据平路的速度不变，所以时间也不变，多用掉的时间是因为上山的速度降低了，可得出方程，解出即可得到山路的路程．由此求出上山的时间，再求出平路的时间，根据速度乘时间等于路程求出平路的路程，最后求和即可． 【详解】55分钟=小时，1小时10分钟=小时， 设山路x千米，由题意得， 解得：  ， (小时)， (小时) ， (千米)， (千米)， 答：营地到学校有9千米． 配套问题 6．（2023六年级下·上海·期末）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身个，或盒底个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有张白铁皮，假设用张制作盒身，用张制作盒底，可以正好制成整套罐头盒．根据题意，可列出方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设用张白铁皮制盒身，则可用张制盒底，根据题意列方程，即可求解． 【详解】解：设用张白铁皮制盒身，则可用张制盒底， 根据题意列方程得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，解答本题的关键是读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 7．（23-24六年级下·上海闵行·期末）某车间有27名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天可生产甲零件16个或生产乙零件22个．某种仪器每套需甲种零件1个，乙种零件2个．若分配x名工人生产甲零件，其他工人生产乙零件，恰好使每天生产的零件配套．根据题意，可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意，找出等量关系是解题关键．根据题意可直接列出方程． 【详解】解：根据题意可知生产乙零件的工人有名， 根据题意有：． 故答案为：． 8．（23-24六年级下·上海青浦·期末）一种正方体模具框架是由金属棒和卡扣组装而成（一条棱用一根金属棒，一个顶点用一个卡扣）．某车间18名工人负责加工材料，一个工人每天可加工金属棒300根或卡扣100个．请问如何分配工作，可使一天生产的金属棒和卡扣配套? 【答案】分配6名工人加工金属棒，12名工人加工卡扣 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设分配名工人加工金属棒，则分配名工人加工卡扣，由每个正方体有12条棱及8个顶点，且生产的塑料棒和金属球正好配套，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出答案． 【详解】解：设分配名工人加工金属棒，则分配名工人加工卡扣， 由题意得： 解得： 答：应分配6名工人加工金属棒，12名工人加工卡扣． 9．（23-24六年级下·上海松江·期末）新冠疫情造成洗手液紧缺，某工厂有210名工人生产免洗洗手液和一般洗手液，每人每天平均生产免洗洗手液80瓶，一般洗手液120瓶，工厂应分配多少工人生产免洗洗手液和一般洗手液，使得每天生产的免洗洗手液和一般洗手液可以按1：2配套出售． 【答案】工厂应分配90名工人生产免洗洗手液，120名工人生产一般洗手液 【分析】根据题意，找出等量关系式免洗洗手液瓶数：一般洗手液瓶数=1：2，表示出方程，求解即可． 【详解】解：设工厂应分配x名工人生产免洗洗手液，名工人生产一般洗手液， 由题意得：， 解得：， 所以， 答：工厂应分配90名工人生产免洗洗手液，120名工人生产一般洗手液． 【点睛】本题考查一元一次方程中的配套问题，熟练地掌握配套比列等量关系式是解决问题的关键，注意需要将比例式转化为整式方程． 10．（23-24六年级下·上海松江·期末）现用90立方米木料制作桌子和椅子，已知一张桌子配4张椅子，1立方米木料可做5张椅子或1张桌子，要使桌子和椅子刚好配套．请问需要用多少立方米的木料做桌子？ 【答案】需要用50立方米的木料做桌子． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设需要用x立方米的木料做桌子，则用立方米的木料做椅子，根据制作的椅子总数是制作桌子总数的4倍，即可列出方程． 【详解】解：设需要用x立方米的木料做桌子，则用立方米的木料做椅子， 根据题意得：， 解得：． 答：需要用50立方米的木料做桌子． 销售盈亏 11．（23-24六年级下·上海松江·期末）一件商品，按标价八折销售盈利元，按标价六折销售亏损，求标价多少元？小明同学在解此题的时候，设标价为元，列出如下方程：．小明同学列此方程的依据是（　　） A．商品的利润不变 B．商品的成本不变 C．商品的售价不变 D．商品的销售量不变 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，含百分数的一元一次方程．标价为元，根据商品的成本不变列出方程解答即可． 【详解】解：设标价为元，则 成本价，成本价， 所以小明同学列方程：的依据是商品的成本不变． 故选：B． 12．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）某种商品的零售价为150元，因季节原因商家按零售价打8折销售，仍能获利．问这种商品的成本价是多少元？设这种商品的成本价为x元，可列出方程 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【详解】解：设这种商品的成本价为元，由题意得： ， 故答案为：． 13．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）某商品标价800元，因“6.18”活动打九折出售，仍可获利20%，则该商品的进价是 ． 【答案】600 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．本题的等量关系为：售价进价利润，依此列出方程即可． 【详解】 解：设进价为元， 则：， 解得：． 故答案为：600． 14．（23-24六年级下·上海崇明·期末）在元旦“迎新年”期间，商场开展促销优惠活动，小明喜欢的一件定价元的棒球服打8折出售，即使打折出售后，商家的盈利率为，那么这套棒球服的成本价是多少元？ 【答案】100 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意，设这套棒球服的成本价为元，然后列出关与x的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设这套棒球服的成本价为元， 由题意得：， 即：， 解得：， 答：这套棒球服的成本价为100元． 15．（23-24六年级下·上海长宁·期末）一台手机进价是2800元，按照标价3400元的九折出售；一块电子手表进价是600元，按照标价的八折出售，结果每台手机的利润比每块手表的利润多140元，问手表的标价是多少元？ 【答案】900元 【分析】设手表的标价是元，则手表的利润为元，然后根据手机和手表的利润差列方程求解即可； 【详解】解：设手表的标价是元，由题意列方程得： ， ， ， 答：手表的标价是900元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，找准等量关系列方程是解题关键． 几何问题 16．（23-24六年级下·上海闵行·期末）如果一个角的补角等于这个角的3倍，那么这个角的度数是 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设这个角的度数是度，根据互为补角的两个角的和等于表示出它的补角，然后列方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数是度， 由题意可得：， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了余角和补角，熟记概念并列出方程是解题的关键． 17．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）若线段厘米，反向延长到C，使，则 厘米． 【答案】2 【分析】本题主要考查线段的知识，先设出的长度，然后列出关于长度的方程，求出即可．理解反向延长的含义，线段的和与差的含义． 【详解】解：设的长为厘米，    则：， 解得， ∴的长度为2厘米， 故答案为：2． 18．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）如图是一个平角，，则图中所有小于平角的角的度数之和为 ． 【答案】/度 【分析】设，则，，，根据平角定义可求出x的值，然后写出所有小于平角的角的度数，最后求和即可． 【详解】解：设，则，，， 根据题意，得， 解得， ∴小于平角的角如下： ，，，，，，，，， ∴小于平角的角的和为， 故答案为：． 19．（23-24六年级下·上海宝山·期末）如果一个角的余角与这个角的补角的和为，那么这个角的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】设这个角的度数为，则它的余角为，补角为，根据题意列方程求出的值即可． 本题主要考查了余角和补角的定义：两个角的和为，则这两个角互余；两个角的和为，则这两个角互补．熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键． 【详解】设这个角的度数为，则它的余角为，补角为，根据题意得： ， 解得， 故答案为：． 20．（23-24六年级下·上海普陀·期末）如图，、、三点在一条直线上，如果，，那么的值等于 ．    【答案】45 【分析】根据平角的定义及补角的定义求解即可． 【详解】∵，，， ∴， 解得：， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了平角的定义和补角的定义，即和为180度的两个角互为补角，熟练掌握平角的定义，列出一元一次方程是解题的关键． 21．（23-24六年级下·上海黄浦·期末）已知线段，点C是线段上一点，如果，，那么的长为 ． 【答案】8 【分析】根据求出x的值，再将x的值代入计算即可． 【详解】解：∵点C是线段AB上一点，，， ∴即， 解得：， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了线段的和差和一元一次方程，求得x的值是解题的关键． 22．（23-24六年级下·上海闵行·期末）对于四条具有公共顶点的射线，如果其中两条射线构成的角α位于另两条射线构成的角β内，且α等于β的一半，那么我们把角α称为角β的内半角，这四条射线称为成内半角射线组． (1)如图1，已知，，是的内半角，则 度． (2)下列各图中，已知，，，那么其中射线、、、为成内半角射线组的是 ． (3)如图2，已知，现将射线、同时绕顶点O以5度/秒的速度顺时针旋转，对应得到射线、．问：在旋转一周的过程中，射线、、、能否为成内半角射线组？如果能，请直接写出旋转的时间；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)55 (2)D (3)在旋转一周的过程中，射线、、、能为成内半角射线组，旋转时间为2秒或18秒或54秒或70秒 【分析】本题属于新定义类问题，主要考查旋转中角度的表示，角度的和差运算，一元一次方程的应用．由旋转正确表达对应的角是本题解题关键． （1）根据“内半角”的定义，可求出，再根据求解即可； （2）根据“内半角”的定义，逐项判断即可； （3）分四种情况讨论，结合“内半角”的定义列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵是的内半角， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：A：∵， ∴， ∴射线、、、不能称为成内半角射线组； B：∵， ∴， ∴射线、、、不能称为成内半角射线组； C：∵， ∴， ∴射线、、、不能称为成内半角射线组； D：∵， ∴， ∴射线、、、能称为成内半角射线组． 故选D； （3）解：分类讨论：①当射线在内时，如图， ∴，． 如果射线、、、能为成内半角射线组，则， ∴， 解得：； ②当射线在外时，有以下两种情况： ⅰ如图， ∴，． 如果射线、、、能为成内半角射线组，则， ∴， 解得：； ⅱ如图， ∴，． 如果射线、、、能为成内半角射线组，则， ∴， 解得：； ③当射线在内时，如图， ∴，． 如果射线、、、能为成内半角射线组，则， ∴， 解得：． 综上可知在旋转一周的过程中，射线、、、能为成内半角射线组，旋转时间为2秒或18秒或54秒或70秒． 23．（23-24六年级下·上海闵行·期末）如图，点在同一直线上，是的余角的倍，求的大小． 【答案】 【分析】本题考查了余角的定义，一元一次方程的应用，设，则，由可得，解方程即可求解，理解余角的定义并根据题意正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴的度数为． 24．（23-24六年级下·上海长宁·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若，则是的内半角．    (1)如图1，，，是的内半角，则________； (2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得，当旋转角为何值时，是的内半角； (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以5度/秒的速度按顺时针旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线、、、能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)当旋转角度为时是的内半角 (3)能，分别为2秒，18秒，54秒，70秒 【分析】（1）根据“内半角”的定义，可求出的度数，再根据，可得出结论； （2）由旋转可分别求出和的度数，再根据“内半角”的定义，可列出等式，即可求出的值； （3）由旋转可知，分四种情况，分别进行讨论，根据“内半角”的定义，可求出对应的时间． 【详解】（1）解：如图1，，是的内半角，   ， ， ； 故答案为：． （2）解：如图2，由旋转可知，，   ，， 是的内半角， ，即， 解得，； （3）解：能，理由如下： 由旋转可知，；根据题意可分以下四种情况： ①当射线在内，如图4，    此时，，， 则是的内半角， ，即， 解得（秒； ②当射线在外部，有以下两种情况，如图5，图6， 如图5，此时，，，    则是的内半角， ，即， 解得（秒； 如图6，此时，，，    则是的内半角， ，即， 解得（秒； ③当射线在内，如图7，    此时，，， 则是的内半角， ，即， 解得（秒； 综上，在旋转一周的过程中，射线、、、构成内半角时，旋转的时间分别为：秒；18秒；54秒；70秒． 【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查旋转中角度的表示，及角度的和差运算；由旋转正确表达对应的角是本题解题关键． 25．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）如图①，若同一平面内三条射线、、有公共端点O，且满足，或者，我们称是和的“和谐线”． (1)的角平分线________射线和的“和谐线”；（填“是”或“不是”） (2)若，射线是射线和的“和谐线”，直接写出的度数： ________． (3)如图②，一副三角板如图所示摆放在量角器上，，，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角板绕量角器中心点P以每秒的速度顺时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒，求t何值时，射线是射线和的“和谐线”？    (4)如图③，，射线从射线的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，射线旋转的时间为t（单位：秒），且，当射线为两条射线和的“和谐线”时，直接写出t的值：________．    【答案】(1)不是 (2)或或； (3)当旋转时间为或或时，为射线和的“和谐线”. (4)或或或 【分析】（1）由新定义可直接得到答案； （2）根据新定义分两种情况画图讨论即可； （3）分两种情况讨论：如图，当在的外部时，当在的内部时，，再列式计算即可； （4）如图，分情况讨论：当未相遇之前，当相遇之后， 如图，当在外部，在内部时 当都在的外部时， 再根据新定义建立方程求解即可. 【详解】（1）解：根据新定义可得： 的角平分线不是射线和的“和谐线”； （2）如图，，当在的内部时，    当， ∴， 同理可得：当， ∴； 当在的外部时，如图，    当,而, ∴, 当,而, ∴, 综上：射线是射线和的“和谐线”时，为或或； （3）当在的外部时，如图，此时当为射线和的“和谐线”，且，而，    ∴, ∴此时旋转时间为, 如图，当在的内部时，当为射线和的“和谐线”，且， ∵, ∴, 此时旋转时间为：，    当为射线和的“和谐线”，且， ∵, ∴, 此时旋转时间为：； 综上：当旋转时间为3s或或时，为射线和的“和谐线”. （4）∵射线旋转的时间为t（单位：秒），且， ∴，， 如图，当未相遇之前，当, ∵, ∴，， ∴， 解得：，    当相遇之后，当射线为两条射线和的“和谐线”时，且,    ∵, ∴，， ∴， 解得：， 当射线为两条射线和的“和谐线”时，且, ∴， 解得：， 如图，当在外部，在内部时，则,    同理可得：，则，不符合题意舍去； 当都在的外部时，且,    则， ∴， 解得：； 综上：当射线为两条射线和的“和谐线”时，t的值为或或或 【点睛】本题考查的是角的和差倍分的新定义，一元一次方程的应用，角的动态定义，清晰的分类讨论是解本题的关键. 和差倍分问题 26．（23-24六年级下·上海黄浦·期末）小明、小杰两人共有100本图书，如果小杰送给小明15本，两人的图书就一样多．如果设小明原来有本图书，根据题意，可以列出方程： ． 【答案】 【分析】根据题意，设小明原来有本图书，由等量关系“小杰送给小明15本，两人的图书就一样多”列出方程即可得到答案． 【详解】解：设小明原来有本图书，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次方程解实际应用题，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键． 27．（23-24六年级下·上海长宁·期末）如图，厘米，是的中点，是上一点，且，则的长度为 厘米．    【答案】6 【分析】根据，设，得到，结合是的中点，得到，列出方程求解即可． 【详解】∵， 设， ∴，    ∵是的中点， ∴， ∵厘米， ∴， 解得， ∴（厘米）， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了线段的中点的意义，一元一次方程的应用，熟练掌握中点的意义，灵活解方程是解题的关键． 28．（23-24六年级下·上海闵行·期末）甲工程队原有400人，乙工程队原有150人，现要抽调一定人数组成第三工程队，如果甲乙两队抽调的人数比为，那么甲队剩下的人数是乙队剩下人数的4倍，问甲乙两队各抽调了多少人？ 【答案】甲队抽调了200人，乙队抽调了100人 【分析】设甲队抽调了人，乙队抽调了x人，根据甲队剩下的人数是乙队剩下人数的4倍列出方程，解之即可． 【详解】解: 设甲队抽调了人，乙队抽调了x人． 由题意得：， 解得：， 所以， 答：甲队抽调了200人，乙队抽调了100人． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据人数变化得出正确等量关系是解题关键． 29．（23-24六年级下·上海崇明·期末）班级小书柜里有两层书，第一层比全部书的多50本，第二层是全部书的．那么班级小书架上共有书多少本？ 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合计算，先根据题意列出等式，计算即可得到结果，正确计算是解题的关键． 【详解】解：设班级小书柜上共有书x本， 第一层的数量为：本， 第二层有：本， ∴， 解得：本， 答：班级小书柜上共有书本． 30．（23-24六年级下·上海松江·期末）甲乙两个车间工作人员的人数之比是，乙车间突然遇上紧急事件，急需增加人员，即刻从甲车间调出12人到乙车间，这时甲车间人数是乙车间人数的，甲车间原有多少人？ 【答案】甲车间原有54人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲车间原有人，则乙车间原有人，根据从甲车间调出12人到乙车间，这时甲车间人数是乙车间人数的列出方程求解即可． 【详解】解：设甲车间原有人，则乙车间原有人， 由题意得，， 解得， ∴， 答：甲车间原有54人． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$