专题02 圆的方程（6大提升题型+3大提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教B版2019，北京专用）

专题02 圆的方程 1、 基础题型 1、 求圆的方程 2、 圆与圆的位置关系 3、 直线与圆的位置关系求参和范围问题 4、 弦长问题 5、 切线方程问题 6、 综合应用 2、 重难点题型 1、 求直线和圆的方程综合 2、 切线方程和弦长综合 3、 轨迹方程问题 求圆的方程 1．（23-24高二上·北京平谷·期末）圆心为，且与直线相切的圆的半径为（    ） A． B．2 C．8 D． 2．（23-24高二上·北京·期末）圆心在直线上且与y轴相切于点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·北京·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 4．（20-21高二上·北京丰台·期末）已知圆与轴相切，则 . 5．（23-24高二上·北京东城·期末）已知圆，则圆心坐标为 ；半径为 . 6．（23-24高二上·北京石景山·期末）方程表示的曲线是 ，其标准方程是 . 圆与圆的位置关系 1．（23-24高二上·北京大兴·期末）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．内切 D．外切 2．（23-24高二上·北京顺义·期末）圆：与圆：的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 3．（23-24高二上·北京·期末）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 直线与圆的位置关系求参和范围问题 1．（23-24高二上·北京·期末）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京·期末）已知圆：，过点作直线与圆交于，两点，若是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 3．（24-25高二上·北京朝阳·期末）是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·北京西城·期末）已知直线，为圆上一动点，则点到直线的距离的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知圆上一点和圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·北京·期末）已知直线l与圆交于A，B两点，点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·北京西城·期末）在直角坐标系内，圆，若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 弦长问题 1．（23-24高二上·北京大兴·期末）过点且被圆截得的弦长最大的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京海淀·期末）设动直线l与交于两点．若弦长既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l的方程可以是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（    ） A． B． C． D． 切线方程问题 1．（23-24高二上·北京石景山·期末）已知圆的半径为3，则的值为 . 2．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知圆，求经过点的圆的切线方程 ． 3．（23-24高二上·北京昌平·期末）已知圆，则圆的半径为 ；与圆和圆都相切的直线的方程为 .（只需写出一条直线的方程） 综合应用 1．（20-21高二上·北京丰台·期末）已知直线与圆交于，两点，则 . 2．（22-23高二上·北京西城·期末）已知圆，若直线与圆C相交得到的弦长为，则 ． 3．（23-24高二上·北京顺义·期末）已知圆C：，若直线与圆C有两个不同的交点，写出符合题意的一个实数k的值 . 4．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知圆内有一点，经过点的直线与圆交于两点，当弦恰被点平分时，直线的方程为 . 5．（23-24高二上·北京房山·期末）已知圆．则圆的圆心坐标为 ；若圆与圆内切，则 ． 6．（23-24高二上·北京房山·期末）已知曲线，给出下列四个命题： ①曲线关于轴、轴和原点对称； ②当时，曲线共有四个交点； ②当时， ③当时，曲线围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是； ④当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积． 其中所有真命题的序号是 ． 7．（21-22高三上·北京丰台·期末）已知点和圆上两个不同的点，，满足，是弦的中点， 给出下列四个结论： ①的最小值是4； ②点的轨迹是一个圆； ③若点，点，则存在点，使得； ④△面积的最大值是． 其中所有正确结论的序号是 ． 求直线和圆的方程综合 1．（21-22高二上·河北唐山·期末）已知圆的圆心在轴上，且经过和两点. (1)求圆的方程； (2)过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 2．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆的圆心在直线上，且过点 (1)求圆的方程； (2)已知直线经过，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程． 3．（21-22高二上·北京昌平·期末）已知过点的直线l被圆所截得的弦长为． (1)写出圆C的标准方程及圆心坐标、半径； (2)求直线l的方程． 4．（23-24高二上·北京·期末）已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上. (1)求圆C的方程； (2)已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程. 5．（23-24高二上·北京昌平·期末）已知圆的圆心为，且过坐标原点. (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程. 切线方程和弦长综合 1．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知圆与y轴相切． (1)直接写出圆心C的坐标及r的值； (2)直线与圆C交于两点，求． 2．（22-23高二上·北京丰台·期末）已知的三个顶点分别是，，． (1)求的外接圆C的方程； (2)求直线被圆C截得的弦的长． 3．（22-23高二上·北京怀柔·期末）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点. (1)求圆的方程； (2)若定点，点在圆上，求的最小值. 轨迹方程问题 1．（23-24高二上·北京西城·期末）已知经过点和，且圆心在直线上. (1)求的方程； (2)设动直线与相切于点，点.若点在直线上，且，求动点的轨迹方程. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 圆的方程 1、 基础题型 1、 求圆的方程 2、 圆与圆的位置关系 3、 直线与圆的位置关系求参和范围问题 4、 弦长问题 5、 切线方程问题 6、 综合应用 2、 重难点题型 1、 求直线和圆的方程综合 2、 切线方程和弦长综合 3、 轨迹方程问题 求圆的方程 1．（23-24高二上·北京平谷·期末）圆心为，且与直线相切的圆的半径为（    ） A． B．2 C．8 D． 【答案】A 【详解】由题意知，圆心为，且与直线相切， 则圆的半径为. 故选：A. 2．（23-24高二上·北京·期末）圆心在直线上且与y轴相切于点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A. 圆心为，满足，即圆心在直线， 代入，即成立，正确； B. 圆心，满足，即圆心在直线， 代入，错误； C. 圆心，满足，即圆心在直线， 代入，错误； D. 圆心，满足，即圆心在直线， 代入，错误. 故选：A. 3．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 由题意可知，所以， 又因为， 所以， 化简可得， 所以的轨迹方程为， 故选：A. 4．（20-21高二上·北京丰台·期末）已知圆与轴相切，则 . 【答案】 【详解】解：由题可知圆心坐标为：， 要使圆与轴相切，则需要使半径等于圆心到轴的距离， 即时，圆与轴相切， 故答案为：1. 5．（23-24高二上·北京东城·期末）已知圆，则圆心坐标为 ；半径为 . 【答案】 1 【详解】将圆的一般方程，化简为圆的标准方程为 ， 即圆的圆心为，半径为1. 故答案为：； 6．（23-24高二上·北京石景山·期末）方程表示的曲线是 ，其标准方程是 . 【答案】 椭圆 【详解】方程， 表示点到两点的距离之和等于，而， 所以方程表示的曲线是椭圆， 且长轴长，焦距，所以， 所以半短轴长， 所以其标准方程为. 故答案为：椭圆；. 圆与圆的位置关系 1．（23-24高二上·北京大兴·期末）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．内切 D．外切 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 显然，所以圆与外切. 故选：D 2．（23-24高二上·北京顺义·期末）圆：与圆：的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】A 【详解】圆：的圆心为，半径为1， 圆：的圆心为，半径为3， 圆心距，故两圆外离. 故选：A 3．（23-24高二上·北京·期末）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【详解】圆，其半径为3， 又， 因为即圆心距为两个圆的半径之和，故两圆外切， 故选：D. 直线与圆的位置关系求参和范围问题 1．（23-24高二上·北京·期末）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意画出图形，如图所示:      由题意可得，曲线的图象为以为圆心，2为半径的半圆，直线恒过， 由图当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，解得； 当直线过点时，直线的斜率， 则直线与半圆有两个不同的交点时，实数的取值范围为. 故选:C. 2．（23-24高二上·北京·期末）已知圆：，过点作直线与圆交于，两点，若是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】设中点为，如下图所示： 因为为中点，所以，所以， 因为， 所以，所以， 所以的轨迹方程为， 又因为，所以， 因为在上，在圆上， 所以即为圆心到直线的距离再减去圆的半径， 所以， 所以的最小值为， 故选：C. 3．（24-25高二上·北京朝阳·期末）是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆，圆心，， 由是弦的中点，且，则由圆的几何性质，， 所以， 故点在以为圆心， 以为半径的圆上. 又在圆上存在点满足题设， 且其圆心，半径， 则由两圆有公共点，得，即， 解得，或. 故选：C. 4．（23-24高二上·北京西城·期末）已知直线，为圆上一动点，则点到直线的距离的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】由，即， 即圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 故圆心到直线的距离的最大值为， 则点到直线的距离的最大值为. 故选：D. 5．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知圆上一点和圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知圆的圆心为原点，半径， 由圆，故其圆心为，半径， 两圆圆心距为，所以两圆相交， 则，如图所示. 故选：A 6．（23-24高二上·北京·期末）已知直线l与圆交于A，B两点，点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，中点，则，， 又，， 则， 所以， 又，则，而，， 所以，即， 综上，， 整理得，即为M的轨迹方程， 所以在圆心为，半径为的圆上， 又，所以点在圆外， 则， 所以 故选：C. 7．（23-24高二上·北京西城·期末）在直角坐标系内，圆，若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，设（即以轴正方向为始边，为终边的角）， 由题意对于直线上任意一点，存在，使得， 则直线绕原点顺时针旋转后，点对应点为，即， 因为在直线上，所以满足 设，所以， 即所在直线方程为， 而圆的圆心，半径分别为， 若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点， 所以圆心到直线的距离，解得. 故选：A. 弦长问题 1．（23-24高二上·北京大兴·期末）过点且被圆截得的弦长最大的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知：圆的圆心为， 显然圆的最大弦长为直径，所求直线即为过圆心的直线， 可得直线方程为，即. 故选：B. 2.（23-24高二上·北京海淀·期末）设动直线l与交于两点．若弦长既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，圆心，半径， 选项A，由直线斜率为，可得动直线为为平行直线系， 圆心到直线的距离， 当或时，，直线与圆不相交，不满足题意，故A错误； 选项B，由直线可化为， 则直线恒过，因为，点在圆外， 故直线不一定与圆相交，故B错误； 选项C，由直线恒过，点在圆上， 当时，直线方程可化为， 此时圆心到直线的距离， 圆与直线相切，不满足题意，故C错误； 选项D，由直线方程可化为， 则直线恒过，且点在圆内，故直线恒与圆相交， 当直线过圆心时，弦长最长，由在直线上， 可得，取到最大值； 如图，取中点，则，圆心到直线的距离 ，当取最大值时，弦长最短， 即当直线与垂直时，弦长最短，由的斜率为 此时直线斜率为，即当时，取到最小值.故D正确. 故选：D.    3．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆的圆心坐标为， 因为圆的半径为，且过点，可得， 即，即圆心的轨迹表示以为圆心，半径为1的圆， 可得，则圆上的点到点的最大距离为， 又由切线长公式，可得切线长的最大值为. 故选：A. 切线方程问题 1．（23-24高二上·北京石景山·期末）已知圆的半径为3，则的值为 . 【答案】 【详解】圆的一般方程写成标准方程为， 由圆的半径为可知，，得. 故答案为： 2．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知圆，求经过点的圆的切线方程 ． 【答案】 【详解】由题可知切线的斜率存在，设切线方程为，即， ，解得，所以切线方程为. 故答案为：. 3．（23-24高二上·北京昌平·期末）已知圆，则圆的半径为 ；与圆和圆都相切的直线的方程为 .（只需写出一条直线的方程） 【答案】 （答案不唯一，或亦可） 【详解】由，即， 故圆的半径为，圆心坐标为， 设直线与圆和圆都相切， 若直线斜率不存在，设直线为， 需有，解得，故符合要求； 若直线斜率存在，设直线为，即， 需有，两式相除得， 故或， 化简得或， 由可得， 故有或， 化简得或， 即或， 则或， 故该直线为或， 即或， 综上所述，与圆和圆都相切的直线的方程有： 、、. 故答案为：；（答案不唯一，或亦可） 综合应用 1．（20-21高二上·北京丰台·期末）已知直线与圆交于，两点，则 . 【答案】 【详解】圆心到直线的距离为，故， 故答案为：2. 2．（22-23高二上·北京西城·期末）已知圆，若直线与圆C相交得到的弦长为，则 ． 【答案】/-0.75 【详解】由圆，得圆心，半径， 则圆心到直线即的距离为 ，所以， 有，解得. 故答案为：. 3．（23-24高二上·北京顺义·期末）已知圆C：，若直线与圆C有两个不同的交点，写出符合题意的一个实数k的值 . 【答案】(答案不唯一) 【详解】已知直线与圆C有两个不同的交点，且设圆心到直线的距离为，化简圆方程得，故有，解得. 故答案为：(答案不唯一) 4．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知圆内有一点，经过点的直线与圆交于两点，当弦恰被点平分时，直线的方程为 . 【答案】 【详解】易知可表示为， 可知圆的圆心坐标为，半径为，如下图所示： 根据题意由圆的性质可知，易知，所以； 由直线的点斜式方程可得直线的方程为，即. 故答案为： 5．（23-24高二上·北京房山·期末）已知圆．则圆的圆心坐标为 ；若圆与圆内切，则 ． 【答案】 【详解】圆心为，半径； 圆心为，半径； 设两圆的圆心距为，则 由几何关系知两圆内切. 故答案为：；. 6．（23-24高二上·北京房山·期末）已知曲线，给出下列四个命题： ①曲线关于轴、轴和原点对称； ②当时，曲线共有四个交点； ②当时， ③当时，曲线围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是； ④当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积． 其中所有真命题的序号是 ． 【答案】①②③ 【详解】 ①设点在上， 对于点，代入方程，也在上； 对于点，代入方程，也在上； 对于点，代入方程，也在上； 所以曲线关于x轴、y轴和原点对称，正确； ②联立可得，即或， 当时，都有，即存在交点； 当时，都有，即存在交点； 综上，共有四个交点，正确； ③当时，则， 故，可得， 曲线上任意一点到原点距离 ， 当时， 结合对称性知：曲线对围成的平面区域内（含边界）两点之间的距离 的最大值是3，正确. ④当时，对于曲线是圆心为原点，半径为的圆， 设曲线围成的区域为，曲线围成的区域为， 设，则，故， 故，故，故在的内部， 故的面积不大于的面积，故④错误. 故答案为：①②③ 7．（21-22高三上·北京丰台·期末）已知点和圆上两个不同的点，，满足，是弦的中点， 给出下列四个结论： ①的最小值是4； ②点的轨迹是一个圆； ③若点，点，则存在点，使得； ④△面积的最大值是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【详解】点在圆上，设，则，当时，取得最小值，最小值为4，①正确； 设点，则由题意得：，则，整理得：，所以点的轨迹是一个圆，②正确； 为以为直径的圆，圆心为，半径为1，方程为：，下面判断此圆与点的轨迹方程是否有交点，由于，两圆相离，故不存在点，使得，③错误； 当斜率分别为1和-1时，且点P，M在y轴左侧，此时△为等腰直角三角形，面积最大，此时，，④正确. 故答案为：①②④ 求直线和圆的方程综合 1．（21-22高二上·河北唐山·期末）已知圆的圆心在轴上，且经过和两点. (1)求圆的方程； (2)过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 【详解】（1）设圆的方程为， 则解得 所以圆的方程为，即. （2）因为直线被圆截得的弦长为6， 所以圆心到直线的距离. 当的斜率不存在时，直线方程为，符合题意. 当的斜率存在时，设直线方程为，即 则.解得. 此时直线方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 2．（23-24高二上·北京·期末）已知圆的圆心在直线上，且过点 (1)求圆的方程； (2)已知直线经过，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程． 【详解】（1）设圆心坐标为，因圆过点,故有,即：， 解得：，则,圆的半径为，故圆的方程为：. （2） 如图，直线经过的点恰好在圆上，因直线被圆截得的弦长为2，故其斜率一定存在，设直线为， 即，过点作,垂足为，则,又,故得：, 即点到直线的距离为，解得：或，即直线的方程为：或. 3．（21-22高二上·北京昌平·期末）已知过点的直线l被圆所截得的弦长为． (1)写出圆C的标准方程及圆心坐标、半径； (2)求直线l的方程． 【详解】（1）由题意整理圆的方程得，标准方程为，故圆心坐标为，半径为. （2）由（1），又直线被圆截得的弦长为， 故弦心距为， 当直线斜率存在时，设直线的斜率为,则过的直线，可设为，即， 直线与圆的圆心相距为， ，解得， 此时直线的方程为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，也符合题意. 故所求直线的方程为或. 4．（16-17高三上·河北沧州·阶段练习）已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上. (1)求圆C的方程； (2)已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程. 【详解】（1）因为圆心C在直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）. 则点C到直线x+y＝2的距离d. 据题意，d＝|AC|，则， 解得a＝1. 所以圆心为C（1，﹣1），半径r＝d， 则所求圆的方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2. （2）k不存在时，x＝0符合题意； k存在时，设直线方程为kx﹣y+1＝0，圆心到直线的距离1，∴k， ∴直线方程为3x+4y﹣4＝0. 综上所述，直线方程为x＝0或3x+4y﹣4＝0. 5．（23-24高二上·北京昌平·期末）已知圆的圆心为，且过坐标原点. (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程. 【详解】（1）设圆的方程为, 依题意，，   所以圆的方程为. （2） 设圆心到直线的距离为， 由， ，解得. 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，满足条件； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即. 可得，解得 ， 此时，直线的方程为. 所以直线的方程为或. 切线方程和弦长综合 1．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知圆与y轴相切． (1)直接写出圆心C的坐标及r的值； (2)直线与圆C交于两点，求． 【详解】（1）圆， 则圆心，因为圆与y轴相切，则半径. （2）由（1）知，圆的方程为，圆心，半径为. 法一：设， 联立，得， ， 则， 所以； 法二：圆心到直线的距离， 则. 故.    2．（22-23高二上·北京丰台·期末）已知的三个顶点分别是，，． (1)求的外接圆C的方程； (2)求直线被圆C截得的弦的长． 【详解】（1）设圆的方程为， 则由圆经过三点, 可得，求得，可得圆的方程为． （2）将圆化成标准式得，所以圆心为半径为， 圆心到直线的距离为， 故直线被圆C截得的弦的长 3．（22-23高二上·北京怀柔·期末）在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点. (1)求圆的方程； (2)若定点，点在圆上，求的最小值. 【详解】（1）设圆为，则，半径为， 因为圆心在直线上，所以， 因为直线与圆相切于点，所以直线与直线垂直， 所以，即，则，解得，则， 所以， 故圆为. （2）因为，所以点在圆外， 因为， 所以，即的最小值为. 轨迹方程问题 1．（23-24高二上·北京西城·期末）已知经过点和，且圆心在直线上. (1)求的方程； (2)设动直线与相切于点，点.若点在直线上，且，求动点的轨迹方程. 【详解】（1）由题意，设的圆心，半径为， 则 解得： 所以的方程为. （2）由平面几何，知为直角三角形，且， 所以. 由，得. 设，则. 即，经检验符合题意. 所以动点的轨迹方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$