3.3垂径定理教案2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 春季 课题 垂径定理 教学目标 1.通过分析圆和线段的对称轴的特点，猜想出“圆+弦”组合图形的对称轴应该满足的三个条件，体会分类讨论、转化等数学思想，发展抽象能力。 2.经历垂径定理及其推论的猜想、探索与证明，能用文字语言和符号语言描述定理及其推论的内容，进一步体会从猜想到演绎推理一个定理的过程，发展抽象能力，推理能力，几何直观。 3.经历运用垂径定理求线段的长度，体会方程思想在几何中的应用，发展推理能力，应用意识。 教学重难点 教学重点： 利用圆的对称性研究垂径定理及其推论 教学难点： 1. 垂径定理及其推论的证明 2. 定理应用时如何添加辅助线 教学过程 课程导入 我们之前从演绎证明、运动变化、量化分析去研究的平面几何图形点、线、面、角、三角形、多边形的性质以及相互之间的关系。那么研究圆，也是从这三方面去研究它的基本性质和相互关系。 圆，是我们传统文化中重要的精神元素，它有团圆，圆满之意，“但愿人长久千里共婵娟”我国古代大文豪苏轼就借着月亮表达人们对团圆的美好向往。那么圆作为最美的平面几何图形，用数学的眼光观察，它的完美不仅仅是因为表面的美观，更在于它无与伦比的优美的性质。生活中很多圆形的物体在自传的时候，我们不容易发现，就是因为上节课学习的圆的旋转不变性，那么，我们如何能发现圆在转动呢？我们可以在圆上找一点，或者线段，角、弧。也就是说我们要研究圆的性质，离不开圆上的点、线段、角、弧等，这样我们也可把圆的性质有效地利用。这节课我们继续探索圆中的性质定理——垂径定理。 设计意图： 由圆的旋转不变性导入研究圆的方法可以借助圆上的点、线段、弧，为后续的猜想作铺垫 运动变化 1. 圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？有多少条？. 圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的直线，有无数条 2. 线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 线段是轴对称图形，对称轴是它的垂直平分线 3. 如右图，是轴对称图形吗？对称轴又是什么？A B O B A 是，对称轴过圆心并且垂直平分线段AB的直线 4. 这样的直线满足几个条件？一定存在吗？如何证明 满足三个条件，（1）过圆心（2）垂直于弦AB（3）平分弦AB 猜想分类 为了证明这样的直线存在，我们可以由其中两个条件推出第三个，这样的组合有三种情况 设计意图：“问”是学的精髓,也是学习的动力,更是升华到智慧的路径 。怎样想到研究直径与弦垂直? 去掉垂直条件,换成直径平分于弦,会有什么结论? 结论与条件(部分)互换,能成立吗? 直径换成弦,如何? 引导学生亲历“垂径定理”这般的“问学”,不仅使他们了解定理的来龙去脉,强化定理及推论的记忆、理解与应用,而且对促进学生形成科学严谨的态度、养成数学思维的乐趣和习惯,及发展终身学习的能力具有十分重要的意义。 演绎推理1 1. A B O A B C D M 你还能想到其它的证明方法吗？ 括号里的理由是什么？ 2.我们证明出CD同时满足三个条件，也就是说CD是这个图形的对称轴，证明了我们的猜想。根据对称性，你还能得到关于弧的等量关系吗？你能证明出来吗？ 这就是我们这节课要学习的垂径定理，你能用文字语言表达出来吗？几何语言如何表述？ 垂径定理的文字语言： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 垂径定理的符号语言： 设计意图：用两种方法演绎证明猜想1，引导学生写出垂径定理的文字语言和符号语言。 应用定理 例：在下列图形中，是否适合用垂径定理呢？A B O A B C D E A B O A B C D E A B O A B C E A B O A B E 已知在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE为3，求⊙O的半径r. A B O A B E 变式： 如图所示，在圆O中，AB=16，OC⊥AB于点E，CE=4，求圆O的半径C A B O A B E 设计意图：例题通过四个图形的对比，让学生清晰地看到要运用垂径定理，两个条件缺一不可，另外垂径定理中的直径，可以是半径，也可以是过圆心的线段。紧接着利用第四个图，直接运用垂径定理和勾股定理求线段的长度，让学生初步感知垂径定理经常和勾股定理结合起来运用。接下来的变式练习让学生理解不能直接求出线段长度的时候，可以借助方程解决困难。 演绎推理2 A B O A B C D M 得出推论 文字语言： 垂径定理的推论：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 提出质疑 括号里填什么呢？ 符号语言：A B O C D A B O A B C D M 设计意图：探索并证明猜想2，只有经历过知识获得时爬坡的艰辛,才能拥有挑战下一次困难的经验和信心 .因此,在“圆 + 弦”图形的轴对称性探究的基础上,进一步引导学生主动变化 AB弦的位置(如,非水平放置,及特殊位置 - 直径)，再让学生自己概括(本节课不提前预习) 演绎推理3 垂径定理新猜想 由垂径定理得到直线的五个性质: ① 经过圆心 ② 垂直于弦（不是直径） ③ 平分弦 ④ 平分弦所对的劣弧 ⑤ 平分弦所对的优弧 前面我们提出了三个猜想并证明了，那么同学们大胆再猜想这些性质中的两个能不能再重新组合推出其它的呢？你能证明出这些结论吗？和你的同伴探讨一下吧 条件 结论 备注 ①② ③④⑤ 垂径定理 ①③ ②④⑤ 推论（教材） ①④ ②③⑤ ①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤ ... ... 设计意图：在课堂教学中创设高阶思维活动,让学生经历完整且有一定挑战的思维过程,以谋求他们思维品质和智力的有效发展。 小结 谈谈这节课的收获 1、知识上 2、数学方法上 3、数学思想上 我们这节课学习了圆与线段之间的关系，那么圆与角，直线，多边形又可以擦除什么样的火花呢？同学们可以自主探索一下。 没有大胆的猜测，就不可能有伟大的发现 备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$