专题03 空间距离+空间角（期末压轴专项训练20题）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（沪教版2020）

专题03 空间距离+空间角（期末压轴专项训练20题） 1．光线沿直线以的入射角（指入射光线与入射表面法线的夹角）照射到镜面上的点，反射光线为射线，在平面上的射影为，现将镜面以为轴旋转，反射光线变为射线，则的大小为 . 2．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 .    3．如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，．是底面的内接正三角形，P为DO上一点，，则二面角的余弦值是 ．    4．如图，已知菱形中，边长为，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为 . 5．已知正方体中，M，N分别为棱AB，的中点，过，M，N三点作该正方体的截面，若截面为一个多边形，则在顶点处的内角的余弦值为 ． 6．棱长为4的正方体的顶点在平面上，三条棱、、都在平面的同侧.若顶点，到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是 . 7．在棱长为1的正方体中，E、F分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为 . 8．空间中的距离有多种，包括两点间距离、点到直线距离、点到平面距离、直线到平面距离、两平行平面中的距离等，其中两条异面直线的距离指的是公垂线(与两条异面直线都垂直相交的直线)的两个垂足之间的线段长度． 如图，直线平面，垂足为，正四面体的所有棱长都为分别是直线和平面上的动点，且． （1）点到棱中点的距离的最大值为 ； （2）正四面体在平面上的射影面积的最大值为 ． 二、解答题 9．设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，.    (1)求与平面所成角的大小（用反三角函数表示）； (2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值. 10．如图，在四棱锥中，面，且，分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存任，说明理由； (3)在平面内是否存在点，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点的轨迹图形形状. 11．在边长为2的正方体中，已知点是棱上的动点（包含端点）. (1)若为的中点（图1），求点到平面的距离； (2)若点与点重合（图2），求证：与平面的交点为等边的中心； (3)是否存在点使得与平面的所成角是，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由. 12．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点.    (1)证明：； (2)若点是棱的中点，求二面角的平面角的正切值； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 13．如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，点为母线的中点，为上一点，且平面，． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 14．如图所示四棱锥，其中交于点.    (1)求证：平面； (2)若，点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 15．如图①所示，长方形ABCD中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥． (1)求点P到平面ABCM的最大距离； (2)若棱PB的中点为N，求CN的长； (3)设的角度大小为，若，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值． 16．如图，在  中，  D是AC中点， E、F分别是BA、BC边上的动点，且   将 沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥； (1)求证： 平面 (2)若 ， 二面角 是直二面角，求二面角的正切值： (3)当 时，求直线PE与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围． 17．在梯形中，，，，E为的中点，如图（1）．将沿折起至的位置，使平面平面，如图（2）． (1)求证：平面； (2)若F为线段PB上的点（不含端点），且，设二面角的平面角为，且，求的值． 18．如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上．    (1)若，，求证：，，，四点共面； (2)求； (3)若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 19．正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点. (1)求四面体的体积； (2)是否存在侧棱上一点，使面与面所成角的正切值为？若存在，请描述点的位置；若不存在，请说明理由. 20．如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，，. (1)证明：； (2)线段CP上是否存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，若存在，求出线段AM的长，若不存在，说明理由； (3)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$专题03 空间距离+空间角（期末压轴专项训练20题） 1．光线沿直线以的入射角（指入射光线与入射表面法线的夹角）照射到镜面上的点，反射光线为射线，在平面上的射影为，现将镜面以为轴旋转，反射光线变为射线，则的大小为 . 【答案】 【知识点】共面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求角. 【详解】如图： 在长方体中，表示入射线，平面为平面，在平面的射影为， 因为直线照射到平面的入射角为，所以. 不妨令，，将平面绕轴旋转得平面. 则，可取，则反射光线的方向向量为：. 因为点关于平面的对称点为，所以反射线的方向向量为：. 所以. 所以. 故答案为： 2．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 .    【答案】 【知识点】异面直线夹角的向量求法、证明线面垂直 【分析】取中点，连接，，易证平面，再由等边三角形可知四边形为等腰梯形，高为，建立空间直角坐标系，利用向量法可得异面直线夹角余弦值. 【详解】    如图所示，设， 取中点，连接，，则， 又， ， 四边形为矩形， ， 又为正三角形，为的中点， ， ，且，平面， 平面， 易知，则， 四边形为等腰梯形，高为， 在平面内，过点作的垂线， 以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 即，， ， 即异面直线与的夹角余弦值为， 故答案为：. 3．如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，．是底面的内接正三角形，P为DO上一点，，则二面角的余弦值是 ．    【答案】 【知识点】面面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面以及平面的法向量，根据向量的夹角公式即可求得答案. 【详解】由题意知O是圆锥底面的圆心，，则平面，为正三角形，则, 设，由题设可得, 是底面的内接正三角形,故， , 如图，以O为原点，在平面内过O点作的垂线作为x轴， 以为轴建立空间直角坐标系，    由前面证明的结论，不妨取，则，可得， , 则 ，， 设是平面的法向量，则,即， 令，则可取， ，， 设是平面的法向量，则,即， 令，则可取， 则， 由图知二面角的平面角为锐角, 故二面角的余弦值为. 故答案为：. 4．如图，已知菱形中，边长为，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为 . 【答案】 【知识点】面面角的向量求法 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，根据二面角余弦值的空间向量求解方法进行计算即可. 【详解】设菱形的边长为2，取的中点，连接，，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以. 如图，建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，． 设平面的一个法向量为，则， 令，则， 易知，平面的一个法向量为， 所以， 设二面角为，由图可知二面角为锐角，即， 所以，所以二面角的余弦值为． 故答案为： 5．已知正方体中，M，N分别为棱AB，的中点，过，M，N三点作该正方体的截面，若截面为一个多边形，则在顶点处的内角的余弦值为 ． 【答案】 【知识点】共面直线夹角的向量求法、空间向量平行的坐标表示 【分析】建立空间直角坐标系，根据，求出坐标，利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】设正方体棱长为2，多边形与棱相交于，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，设，， 则， 由正方体左右侧面平行，与截面多边形分别交于，所以， 同理，可得 故，， 所以，解得， 所以，， 则， 所以在顶点处的内角的余弦值为． 故答案为：. 6．棱长为4的正方体的顶点在平面上，三条棱、、都在平面的同侧.若顶点，到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是 . 【答案】 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，设平面的法向量，利用空间向量法求点到平面距离得到关于的表达式，从而得解. 【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则点到平面距离为，即， 点到平面距离为，即， 联立，解得， 所以到平面的距离为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是建立空间直角坐标系，利用求点面距离的向量法得到相关式子，从而得解. 7．在棱长为1的正方体中，E、F分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为 . 【答案】 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离． 【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，0，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则 令，则，，所以平面的一个法向量． 点到平面的距离为． 故答案为: . 8．空间中的距离有多种，包括两点间距离、点到直线距离、点到平面距离、直线到平面距离、两平行平面中的距离等，其中两条异面直线的距离指的是公垂线(与两条异面直线都垂直相交的直线)的两个垂足之间的线段长度． 如图，直线平面，垂足为，正四面体的所有棱长都为分别是直线和平面上的动点，且． （1）点到棱中点的距离的最大值为 ； （2）正四面体在平面上的射影面积的最大值为 ． 【答案】 /1 【知识点】平行投影及其有关计算、点到直线距离的向量求法 【分析】如图所示，是中点，连接，计算，，得到距离的最值，确定与重合时面积最大，计算得到答案. 【详解】如图所示：是中点，连接， 平面，平面，故，， ，故 ，故. ，当三点共线时等号成立. 点到棱中点的距离的最大值为. ，故正四面体在平面上的射影为和在平面的投影之和.即当的投影最长时面积最大，即与重合时面积最大，此时. 故答案为：； 二、解答题 9．设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，.    (1)求与平面所成角的大小（用反三角函数表示）； (2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值. 【答案】(1) (2)存在， (3) 【知识点】点到平面距离的向量求法、求线面角、证明线面垂直、证明线面平行 【分析】（1）连接，由平面，可得即为与平面所成角的平面角，进而可得出答案； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可； （3）延长到，使得，连接，取的中点，连接，证明平面，可得关于平面对称，则，进而可得出答案. 【详解】（1）（1）连接， 因为平面，所以即为与平面所成的角， ， 则， 所以与平面所成角的大小为； （2）存在一点G，使得点D到平面PAG的距离为，且， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则，设， 故， 设平面的法向量为， 则有，可取， 则点到平面的距离为， 解得（舍去）， 所以存在，且；    （3）如图，延长到，使得，连接，取的中点，连接， 因为点是的中点，所以且， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面， 所以关于平面对称， 则，当且仅当三点共线时取等号， 设，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 因为，，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以.    【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 10．如图，在四棱锥中，面，且，分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存任，说明理由； (3)在平面内是否存在点，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点的轨迹图形形状. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，理由见解析； (3)存在，理由见解析. 【知识点】点到平面距离的向量求法、面面平行证明线面平行、空间线段点的存在性问题、已知线面角求其他量 【分析】（1）过E作交于点G,连接,由线线平面证明面面平行，再由面面平行的性质即可得出线面平行的证明； （2）先求出面的法向量，设 , 利用向量法结合线面角得正弦值求解即可; （3）由 点在空间内轨迹为以中点为球心, 为半径的球,而 中点到平面的距离为 , 即可求解. 【详解】（1）如图，    过E作交于点G,连接, 面，面，则， 又面，面，且不共线，故， 因为为的中点，所以也为中点，又为的中点，所以， 而平面，平面，所以平面，同理平面， 又因为，平面， 所以平面平面，而平面, 所以平面； （2）    设如图, 以点A为原点建立空间直角坐标系, 则， 故， 则， 设平面的法向量 ,则有 ,取 , 整理得 , 解得 或(舍去)， 所以当时, 直线与平面所成角的正弦值是. （3）由（2）知，平面的一个法向量， 点中点，则, 则中点到平面的距离为， 由，即故在以中点为球心，半径为的球面上， 而，故在面上的轨迹是半径为的圆， 故存在符合题意的， 此时轨迹是半径为 的圆. 【点睛】关键点点睛：第三问，根据题设有则在以中点为球心，半径为的球面上，再求中点到面距离，结合直观想象及计算确定在面上的轨迹. 11．在边长为2的正方体中，已知点是棱上的动点（包含端点）. (1)若为的中点（图1），求点到平面的距离； (2)若点与点重合（图2），求证：与平面的交点为等边的中心； (3)是否存在点使得与平面的所成角是，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【知识点】已知线面角求其他量、点到平面距离的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后由空间向量知识可得答案； （2）由三垂线定理，可证平面，然后由可得结论； （3）设，由题及空间向量知识可得关于y的表达式，即可得答案. 【详解】（1）以为原点､方向作为轴､轴､轴正方向，建立空间直角坐标系. 则. 所以， 设为平面的法向量，则，即. 所以点到平面的距离为. （2）证明：当点与点重合时，为在平面上的投影， 由于，结合三垂线定理，所以，同理可得. 由于和是平面上相交于点的直线，所以平面. 所以平面，故， 由于，所以， 即，即为的外心. 又由于为等边，则为的中心. （3）若存在这样的点，设，所以 故， 解得，所以存在，此时 12．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点.    (1)证明：； (2)若点是棱的中点，求二面角的平面角的正切值； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】点到平面距离的向量求法、空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法、线面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法来证得. （2）利用向量法求得二面角的平面角的正切值. （3）根据直线与平面所成角的正弦值确定点的坐标，再利用点到面的距离公式求得点到平面的距离. 【详解】（1）依题意，底面是正方形，，由于平面， 平面，所以， 由此以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 所以， 设，， 所以，所以.    （2）若点是棱的中点，则，， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设二面角为，由图可知，为锐角， 所以，则， 则. （3），， 设平面的法向量为， 则，故可设， 由于直线与平面所成角的正弦值为， 所以， ，， 解得或（舍去）.则，，， 所以点到平面的距离为：. 13．如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，点为母线的中点，为上一点，且平面，． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【知识点】线面角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系，得到直线的方向向量与平面的法向量后借助空间向量夹角公式计算即可得； （2）设，求出平面与平面的法向量后，利用空间向量的数量积的运算可得结论. 【详解】（1）由题意可知，平面平面，则，为中点， 又，， ，则． 过作平行线， 如图以此平行线所在直线为轴，，为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面法向量为，则， 则， 取，则直线与平面所成角的正弦值为； （2）不存在 ，， 所以， 设平面法向量为， 则， 则，令，则， 取，平面法向量为． 因为二面角为直二面角，，解得， 又因为，不符题意． 所以在线段上不存在一点，使得二面角为直二面角. 14．如图所示四棱锥，其中交于点.    (1)求证：平面； (2)若，点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【知识点】证明线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理来证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为， 所以均在的垂直平分线上，所以， 图为， 所以， 图为，所以， 又圀为平面平面， 所以平面， （2）因为平面，所以平面平面. 由(1)可知， 以为原点，所在直线分别为轴， 过点垂直于底面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    因为， 所以，所以， 从而由等面积法，可知，由勾股定理，可知， 由(1)可知，所以， 由(1)可知， 而平面平面平面平面， 且二面角为，所以， 所以与轴所在直线的夹角为，所以， 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令，解得， 所以平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 15．如图①所示，长方形ABCD中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥． (1)求点P到平面ABCM的最大距离； (2)若棱PB的中点为N，求CN的长； (3)设的角度大小为，若，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求点面距离、面面角的向量求法 【分析】（1）作出辅助线，得到当平面平面时，点P到平面ABCM的距离最大，利用勾股定理求解即可； （2）作出辅助线，证明出四边形为平行四边形，从而得到； （3）作出辅助线，得到为的平面角，即，建立空间直角坐标系，用含的关系式表达出平面PAM和平面PBC的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到 ，结合的取值范围求出余弦值的最小值即可. 【详解】（1） 由题意可知，当平面平面时， 点P到平面ABCM的距离最大， 因为，，点是边的中点， 所以，取的中点为，连接， 则，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 所以P到平面ABCM的最大距离为. （2） 取中点，连接，， 则因为为中点，所以为的中位线， 所以且， 因为为的中点，四边形为矩形， 所以且， 所以且， 故四边形为平行四边形， 所以. （3）连接， 因为，所以， 所以为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 过作于点，由题意得平面， 设，所以，， 所以，所以， ， 设平面的法向量为， 则， ， 令，则， 设平面的法向量为， 因为， 则， 可得， 令，则， 设两平面的夹角为， 则 ， 令，，所以， 所以，所以当时，有最小值， 所以平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值为. 16．如图，在  中，  D是AC中点， E、F分别是BA、BC边上的动点，且   将 沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥； (1)求证： 平面 (2)若 ， 二面角 是直二面角，求二面角的正切值： (3)当 时，求直线PE与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【知识点】线面角的向量求法、面面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理即得. （2）根据直二面角建立空间直角坐标系求二面角余弦进而求出正弦值计算正切值即可. （3）先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用以及对勾函数单调性得出范围即可. 【详解】（1）在四棱锥中，，而平面，平面， 所以平面. （2）由，得，在四棱锥中，， 平面，平面平面，则， 由二面角是直二面角，得平面平面，平面平面 ， 平面，平面，以 分别为 轴建立空间直角坐标系， ， 设平面法向量为 ，则，令， 得 ， 而平面法向量为 ，显然二面角大小为锐角，设为， ，， 所以二面角的正切值. （3）以直线和分别为轴，过C作平面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， 设，，显然， ， ，得出，则，则， 点与其在直线上射影点及点围成以线段为斜边的直角三角形， 则，即，且，，即， 平面的法向量为，设直线PE与平面ABC所成角为， ， 则 ，令，函数在上递减， ，因此，则，解得， 所以直线PE与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围是. 【点睛】方法点睛：先建立空间直角坐标系，再设坐标结合垂直关系求参，最后结合线面角的正弦应用基本不等式得出范围即可. 17．在梯形中，，，，E为的中点，如图（1）．将沿折起至的位置，使平面平面，如图（2）． (1)求证：平面； (2)若F为线段PB上的点（不含端点），且，设二面角的平面角为，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面角的向量求法、证明线面垂直 【分析】 （1）利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）过P点作BE的垂线PO交BE于O， 因为平面PBE平面ABCE，又PO平面PBE， 所以PO平面ABCE，又BC平面PBE， 所以POBC， 折叠前：，，，， 且，所以是矩形，所以BCBE， 又PO平面PBE，BE平面PBE， 所以BC平面PBE，又PE平面PBE，所以BCPE， 折叠前：CDDE，折叠后：PCPE， 又BCPCC，BC平面PBC，PC平面PBC， 所以平面. （2）由（1）知，BC平面PBE，PB平面PBE，BE平面PBE， 所以BCPB，BC BE， 在中，， 在中，PE PB，PO BE，所以是等腰三角形， 所以PO是等腰三角形的高，故， 由（1）知，OP、BC、BE两两垂直，过O作交AB于G， 所以OG、OP、BE两两垂直， 以O为原点，以OG、OP、BE所在直线建立如图所示的坐标系， 则，，， 由得，， ，， 设平面BCF的法向量为，则，即， 令，，故 设平面ECF的法向量为，则， 即，令，，， 所以平面ECF的法向量为， ， 令，得，解得或， 即或，得或，又， 所以 【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明与建立空间直角坐标系求解线面角的问题，线面垂直方法有： （1）如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. （2）、如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. （3）、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面. 推论：三个两两垂直的平面的交线两两垂直. （4）、如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行. 推论：如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直. 18．如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上．    (1)若，，求证：，，，四点共面； (2)求； (3)若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】线面角的向量求法、判定空间向量共面、线面垂直证明线线垂直、锥体体积的有关计算 【分析】（1）利用共面向量定理可证明； （2）由线面平行则直线上的点到平面的距离都相等，可将所求三棱锥的体积转化为，又由题意可得点在平面的射影落在上，可求得点到平面的距离，进而得解； （3）建立空间直角坐标系，用向量法求线面角的正弦可得解. 【详解】（1），，， ，所以,,,四点共面. （2）平面， 上的所有的点到平面的距离都相等， 同理上所有的点到的距离也相等， ， ， 点在平面的射影落在上，过点作，过点作， 平面， ，又与是平面内两条相交直线， 平面,，在直角三角形中，， ，解得, 又在直角三角形中，，， 在直角三角形中，可得， ；    （3）    设与的交点为，以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由（2）可知，， ，，，， 由，可求得，， ，， 设为平面的法向量， ，取，，， ， ，， 设，， ， 设直线与平面所成角的为， ， ，， ． 19．正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点. (1)求四面体的体积； (2)是否存在侧棱上一点，使面与面所成角的正切值为？若存在，请描述点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在侧棱上一点，使面与面所成角的正切值为，此时或 【知识点】已知面面角求其他量、锥体体积的有关计算 【分析】（1）连接，交于点，过作于点，根据位置可得，以为底，为高可得四面体体积； （2）以为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用坐标法，结合二面角确定点位置. 【详解】（1） 如图所示，连接，交于点，过作于点， 由四棱锥为正四棱锥，且为底面中心， 得，，平面，， ， 又，，平面， 平面， 又，则， 因为为上靠近的三等分点， 则，且平面， 所以； （2） 设平面与平面所成角为，则，， 如图所示，以为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 因为为上靠近的三等分点， 则，且，，， 设，， 则，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则， 又由（1）得平面， 则平面的法向量为， 所以， 解得或， 所以存在侧棱上一点，使面与面所成角的正切值为，此时或. 20．如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，，. (1)证明：； (2)线段CP上是否存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，若存在，求出线段AM的长，若不存在，说明理由； (3)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长. 【答案】(1)证明见解析. (2)存在，线段AM的长为. (3) 【知识点】求空间中两点间的距离、证明线面垂直、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）通过定义法证明线面垂直，即可证出两线垂直. （2）通过建立空间直角坐标系，表达坐标点，进而根据线面垂直的性质，证明直线AM与和都垂直，求出点M的坐标，进而求出线段AM的长. （3）通过向量关系表达出，再表达出， 列出直线CQ与DP所成的角的表达式，求出最值和最值成立的条件，进而求出线段BQ的长. 【详解】（1）由题意， 在四棱锥中， ⊥面ABCD，,， ∴， 在直角梯形中，， ∵， ∴ ∵ ∴ （2）由题意及（1）得，存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD， 在四棱锥中，， 作出空间直角坐标系如下图所示： 由几何知识得，，，，，， ∴，，， 设，则, ∴ ∴， 若AM⊥面PCD 解得： ∴ （3）由题意及（1）（2）得， ，， 设 ∴， 设，， ∴ 当且仅当即时，最大，为， 在中，上是减函数， ∴最大时，直线CQ与DP所成的角最小， ∵， ∴， ∴当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$