专题04 统计（考点清单+知识导图+ 8个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（沪教版2020）

清单04 统计 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】总体平均数与样本平均数 （1）总体平均数 一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为，，…， 则称为总体均值，又称总体平均数. （2）加权平均数 如果总体的个变量值中,不同的值共有()个,不妨记为,,…,,其中出现的频数(),则总体均值还可以写成加权平均数的形式：. （3）样本平均数 如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为，，…， 则称为样本均值，又称样本平均数. 【清单02】分层随机抽样的概念及特点 （1）分层随机抽样的概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分为若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个字总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. (2分层随机抽样的步骤 ①根据己经掌握的信息，将总体分成互不相交的层； ②根据总体中的个体数和样本量计算抽样比； ③确定第层应该抽取的个体数目（为第层所包含的个体数），使得各之和为； ④在各个层中，按步骤③中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为的样本. 【清单03】分层随机抽样的平均数 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为和，抽取的样本量分别为和.我们用表示第1层各个个体的变量值，用表示第1层样本的各个个体的变量值；用表示第2层各个个体的变量值，用表示第2层样本的各个个体的变量值，则第1层的总体平均数和样本平均数分别为 . 第2层的总体平均数和样本平均数分别为 . 总体平均数和样本平均数分别为 . 由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用. 【清单04】频率分布表与频率分布直方图 （1）频数与频率 将一批数据按要求分为若干个组，各组内数据的个数叫做该组的频数.每组数据的频数除以全体数据的个数的商叫做该组数据的频率.频率反映各个小组数据在样本量中所占比例的大小. （2）样本的频率分布及频率分布表 根据随机抽取的样本量的大小，分别计算某一事件出现的频率，这些频率的分布规律（取值状况）就 叫做样本的频率分布. 为了能直观地显示样本的频率分布情况，通常将样本量、样本中出现该事件的频数以及计算所得的相应频率列在一张表中，这张表叫做频率分布表.分组、频数、频率是频率分布表中最基本也是必要的三列，在实际操作中，每组的频数是通过类似统计选票时的“唱票”的方式进行统计的，所以通常频率分布表中 还会有“频数累计”一列. （3）用样本的频率分布估计总体的分布 在实际应用中，总体分布可以为合理决策提供依据（总体分布描述的是总体在各个范围内个体的百分比).总体分布一般不好直接获得，往往通过样本的频率分布估计总体分布.用样本估计总体，是研究统计问 题的一个基本思想方法误区. （4）样本的频率分布直方图 为了将频率分布表中的结果直观形象地表现出来，常画出频率分布直方图.画图时，应以横轴表示分组、纵轴表示各组频率与组距的比值，以各个组距为底，以各频率除以组距的商为高，画成小长方形，这样得到的直方图就是频率分布直方图. 【清单05】第百分位数 （1）第百分位数的概念 一般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值. （2）计算第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算. 第3步，若不是整数，而大于的比邻整数为,则第百分位数为第项数据； 若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数. （3）四分位数 在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等.另外，像第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数和第99百分位数在统计中也经常被使用. 【清单06】总体集中趋势的估计 （1）平均数 ①定义：一组数据的和与这组数据的个数的商.数据，，的平均数为. ②特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平，任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质.所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大，使平均数在估计总体时的可靠性降低. （2）众数 ①定义：一组数据中出现次数最多的数据（即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数。 ②特征：一组数据的众数可能不止一个，也可能没有，反映了该组数据的集中趋势. （3）中位数 ①定义：一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排成一列，处于最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数. ②特征：一组数据的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等. 【清单07】在频率分布直方图中平均数，中位数，众数的估计值 (1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等. (3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据. 【考点题型一】总体与样本 【例1】（23-24高二上·上海长宁·期末）从总体容量为的一批电子元件中抽取一个容量为30的样本，若每个电子元件被抽到的可能性为，则总体容量 ． 【变式1-1】（23-24高二下·上海崇明·期末）某校高二年级有300人，为调查年级学生每天上网时间，现抽取的同学做调查问卷，该统计的样本量为 ． 【变式1-2】（24-25高二·上海·课堂例题）为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，则样本容量是 ． 【变式1-3】（24-25高一·全国·课后作业）某集团为了解员工的通勤时间长度，通过简单随机抽样获取了157名员工上下班的通勤时长，在该问题中，样本量为 ；样本为 ． 【考点题型二】普查与抽查 【例2】（24-25高二上·上海·课后作业）在以下调查中，适合用普查的是（    ） A．调查一个县各村的粮食播种面积 B．调查一批玉米种子的发芽率 C．调查一批炮弹的杀伤半径 D．调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例 【变式2-1】（24-25高二·上海·课堂例题）下列要研究的数据中一般通过试验获取的是（    ） A．某品牌电视机的市场占有率； B．某电视连续剧在全国的收视率； C．某校七年级一班的男女同学的比例； D．某型号炮弹的射程． 【变式2-2】（24-25高一·全国·单元测试）某市场监管局对所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品，对其质量进行了抽检，则（ ） A．该市场监管局的调查方法是普查 B．样本的个体是每种冷冻饮品的质量 C．样本的总体是超市在售的40种冷冻饮品 D．样本容量是该超市的20种冷冻饮品数 【变式2-3】（24-25高一·全国·课后作业）下列调查方式合适的是（    ） A．为了了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查的方式 B．为了了解一批玉米种子的发芽率，采用普查的方式 C．为了了解一条河流的水质，采用抽样调查的方式 D．为了了解一个寝室的学生（共6个人）每周体育锻炼的时间，采用抽样调查的方式 【考点题型三】分层抽样 【例3】（23-24高三上·上海静安·期末）某果园种植了222棵苹果树，现从中随机抽取了20棵苹果树，算得这20棵苹果树平均每棵产量为28 kg，则预估该果园的苹果产量为 kg． 【变式3-1】（24-25高三上·上海·单元测试）某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中抽取81人进行问卷调查，若高二被抽取的人数为30，则 ． 【变式3-2】（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）某校学生总人数为1000人，其中高三人数为300人，现采用分层抽样方式从全校学生中抽取20人参加一项活动，则高一高二的参加活动的总人数为 . 【考点题型四】分层抽样中的平均数和方差 【例4-1】（23-24高一下·山东枣庄·期末）已知总体划分为2层，通过按比例分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，，总的样本平均数为，则总的样本方差用上述已知量表示为 . 【变式4-1】（2024·辽宁葫芦岛·二模）某地为了了解学生的睡眠时间，根据初中和高中学生的人数比例采用分层抽样，抽取了40名初中生和20名高中生，调查发现初中生每天的平均睡眠时间为8小时，方差为2，高中生每天的平均睡眠时间为7小时，方差为1.根据调查数据，估计该地区中学生睡眠时间的总体方差约为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（多选）（2024·江西宜春·模拟预测）某学校高三年级共有900人，其中男生500人，现采用按性别比例分配的分层抽样抽取了容量为90的样本.  经计算得男生的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差为19，则下列说法中正确的是（    ） A．女生的样本容量为40 B．女生甲被抽到的概率为 C．估计该校高三年级学生身高的均值为166 D．估计该校高三年级学生身高的方差大于19 【考点题型五】频率分布直方图 【例5-1】（23-24高二·上海·课堂例题）某校30名高一女生的扔手球记录如下（单位：m）： 16.3 13.2 17.7 14.3 16.4 19.8 13.5 14.5 11.7 14.1 14.8 17.2 13.8 15.4 16.3 15.7 18.5 16.8 17.9 15.9 17.6 15.4 16.8 21.4 16.5 18.1 16.0 20.3 16.6 19.5 (1)选择适当的组距，制作一张频率分布表； (2)在（1）的基础上，绘制一幅频率分布直方图. 【例5-2】（24-25高二·上海·课堂例题）从高一学生中抽取50名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下（单位：分）：，2；，3；，10；，15；，12；，8． (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)估计成绩在分的学生所占总体的百分比． 【变式5-1】（23-24高二下·上海虹口·期末）为了解体育锻炼情况，随机统计了名学生在某个时间段内的体育锻炼时间，所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示. 若在区间中的频数为30，则的值是 . 【变式5-2】（23-24高二下·上海杨浦·期末）学校开展国防知识竞赛，对100名学生的竞赛成绩进行统计，发现这100名同学的成绩都在[50，100]的范围内，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，图中x的值是 ． 【变式5-3】（24-25高二上·上海奉贤·期中）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者． (1)若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (2)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差. 【考点题型六】茎叶图 【例6】（23-24高二上·上海·期末）某同学将观察学校柚子树生长习性作为自主研究课题，他观察了校园内6株柚子树成熟结果个数（两位数）并用茎叶图（如图所示）做了记录，则这6株柚子树成熟结果个数的中位数为（    ） A．21 B．21.5 C．22 D．22.5 【变式6-1】（多选）（23-24高二下·上海·期中）从某个品种的小麦中随机选取14株，测量麦穗长度（单位：），所得的样本数据用茎叶图表示如图，据此可估计该品种小麦麦穗长度情况，那么下列说法错误的是（    ） A．小麦麦穗长度的极差是3.9 B．小麦麦穗长度的中位数等于众数 C．小麦麦穗长度的中位数小于平均数 D．小麦麦穗长度的第75百分位数是10.6 【变式6-2】（24-25高二·上海·课堂例题）某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示（单位：分），学校规定：成绩不低于130分的人到A班培训，低于130分的人到B班培训，如果用分层抽样的方法从到A班的人和到B班的人中共选取5人，则5人中到A班的有 人. 【变式6-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）某教育行政部门为了解某校男、女党员教师的“学习强国”的得分情况，随机调查了该校的18位党员教师，其中男党员教师有9人，女党员教师有9人，这18位党员教师10月份的日均得分（单位：分）如表： 男党员教师日均得分 10 12 16 29 23 25 38 38 41 女党员教师日均得分 11 17 17 28 34 36 37 40 41 根据以上数据完成下面的茎叶图，利用茎叶图判断男党员教师的“学习强国”的积极性是否比女党员教师高，并说明理由. 【考点题型七】频率分布直方图中的平均数，众数，中位数 【例7】（24-25高二·上海·课堂例题）某新华书店为了了解销售单价（单位：元）在内的图书销售情况，从2020年已经销售的图书中随机抽取100本，用分层抽样的方法获得的所有样本数据按照、、、、、分成6组，制成如图所示的频率分布直方图，已知样本中销售单价在内的图书数是销售单价在[内的图书数的2倍． (1)求出x与y； (2)根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． 【变式7-1】（23-24高一下·全国·课后作业）在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下.某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数； (2)求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数. 【变式7-2】（2024高三·全国·专题练习）某校学生参与一项社会实践活动，受生产厂家委托采取随机抽样方法，调查我市市民对某新开发品牌洗发水的满意度，同学们模仿电视问政的打分制，由被调查者在0分到100分的整数分中给出自己的认可分数，现将收集到的100位市民的认可分数分为6组：，，，，，，绘制出如图所示的频率分布直方图．    (1)求这100位市民认可分数的中位数（精确到0.1），平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)生产厂家根据同学们收集到的数据，拟随机在认可分数为80及其以上的市民中选出2位市民当产品宣传员，求这2位宣传员都来自认可分数为[90,100]的概率． 【变式7-3】（23-24高一下·甘肃武威·开学考试）2023年寒假期间，哈尔滨成为了新的旅游打卡城市，某校学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对来哈尔滨旅游的100名游客进行了有关哈尔滨旅游知识的调查．为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如图所示的频率分布直方图．    (1)求x的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名游客调查问卷中得分的平均数及中位数（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）． 【考点题型八】总体百分位数估计 【例8】（23-24高二下·上海松江·期中）本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成，得到如图所示频率分布直方图. (1)估计该校高二学生数学成绩的平均数和分位数； (2)为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在的概率. 【变式8-1】（23-24高三上·河南·阶段练习）商场为改进服务质量，提升顾客购物体验，从2023年第三季度消费过的顾客中随机抽取部分人进行满意度问卷调查．并将这部分人满意度的得分分成以下6组：，统计结果如图所示．那么该商场顾客满意度得分的第60百分位数为 ．      【变式8-2】（24-25高二上·上海·随堂练习）下表是高三年级学生考试成绩的主要百分位数（单位：分）．小明今年高三，这次考试他英语考了96分，他所在的学校高三年级一共有240人． P1 P5 P10 P25 P50 P75 P90 P95 P99 数学 65 70 75 88 96 112 115 122 130 英语 67 75 80 86 95 111 119 125 132 语文 68 79 83 89 96 101 109 115 123 (1)试问小明的英语成绩至少高于他所在年级中的多少人？ (2)若小明的语文成绩为100分，数学成绩为102分，是否可以得出小明的三门总成绩至少高于年级中50%的学生？ 【变式8-3】（23-24高三上·上海黄浦·期中）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得如下图所示的频率分布直方图 (1)求频率分布直方图中的值； (2)若在抽取的100份样本中有20份样本的数据如下： 44，46，50，52，60，63，66，68，68，72，75，76，79，79，81，82，82，83，90，92 求该组数据（指这20分样本构成的数据）的第75百分位数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求这两组成绩的总平均数和总方差. 提升训练 一、填空题 1．（24-25高三上·上海·期中）数据1，4，4，6 7，8的第60百分位数是 . 2．（24-25高三上·上海奉贤·期中）某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的分位数为 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）要考查某种品牌的颗种子的发芽率，从中抽取颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将颗种子按、、、进行编号，如果从随机数表第行第列的数开始并向右读，则抽到的第颗种子的编号是 .（下面抽取了随机数表第行至第行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 4．（24-25高三上·上海·期中）已知某校高三年级共480名同学，其中男生一共288人，现在为了了解该年级学生对于该校95周年校庆活动安排的想法，按照性别进行分层随机抽样，需要抽取一个容量为40的样本进行调查，则抽取的男生人数为 ． 5．（24-25高三上·上海·期中）设．对于样本数据，6，9，6，12，若该样本的第60百分位数是一个整数，则符合题意的的个数为 ． 6．（24-25高三上·上海·阶段练习）某校高三年级共有学生525名，其中男生294名，女生231名.为了解该校高三年级学生的体育锻炼情况，从中抽取50名学生进行问卷调查.若采用分层随机抽样的方法，则要抽取男生的人数为 . 7．（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）某校学生志愿者协会共有200名成员，其中高一学生100名，高二学生60名，高三学生40名.为了解志愿者的服务意愿，需要用分层抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则高三学生应抽取 名. 8．（22-23高三下·上海杨浦·阶段练习）已知18个整数的中位数为5，第75百分位数也为5，那么这18个数中，5的个数的最小可能值为 . 9．（24-25高三上·上海浦东新·阶段练习）在一次射击训练中，某运动员5次射击的环数依次是，则该组数据的方差 . 10．（24-25高二·上海·课堂例题）已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数为 ． 二、单选题 11．（2019·福建泉州·二模）已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高三上·上海松江·期中）某社区通过公益讲座宣传交通法规.为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分.他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（   ）. A．讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分 B．讲座前的答卷得分分布较讲座后分散 C．讲座前答卷得分的中位数是70 D．讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差 13．（24-25高三上·上海·期中）某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示： 党史学习时间 (小时) 7 8 9 10 11 党员人数 6 10 9 8 7 则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40 百分位数分别是（    ） A．8， 8.5 B．8， 8 C．9， 8 D．8， 9 14．（25-26高二上·上海·单元测试）某学校艺术节，七位评委为水彩画打出的分数分别为：84、87、79、84、93、86、84，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（    ） A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，1.6 D．85，4 15．（23-24高二·上海·课堂例题）某高校研究人员希望调查该校大学生平均每天的自习时间．他调查了100名大学生，发现他们每天的平均自习时间是3.5h.这里的总体是（    ） A．该校的所有大学生 B．该校所有大学生的平均每天自习时间 C．所调查的100名大学生 D．所调查的100名大学生的平均每天自习时间 三、解答题 16．（24-25高三上·上海松江·期中）某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)估计这100名游客对景区满意度评分的70%分位数； (3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 17．（24-25高三上·上海·期中）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： (1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分位数； (2)独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； (3)为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将100个体重数据分为6组：第一组，第二组，，第六组，得到如图所示的频率分布直方图.其中第一组有2人，第二组有13人.求与的值. 18．（23-24高二·上海·课堂例题）某学生第二天要参加100m短跑比赛，他记录了比赛前一日集训中20次100m短跑的成绩（单位：s）： 13.4 13.6 14.3 15.3 12.8 13.1 14.5 13.8 14.2 15.0 13.4 13.7 13.5 12.5 12.9 14.9 12.9 14.6 14.3 15.5 (1)制作频率分布表； (2)试估计该学生在100m短跑比赛中用时低于14s的可能性. 19．（23-24高二·上海·课堂例题）测得某地区近20年来年降水量（单位：mm）情况如下表所示. 年降水量分组区间 频数 组中值 1 2 3 5 4 3 2 (1)补全表格中的数据； (2)估计该地区的年平均降水量. 20．（23-24高二·上海·课堂例题）某研究机构随机抽取了某市40个小区，得到每个小区居民平均每天运动1h以上的比例（%）如下： 18.7 16.2 24.9 24.2 22.8 18.5 23.0 26.1 18.1 23.2 21.7 23.5 26.3 17.8 22.1 16.3 21.5 21.9 21.5 26.8 21.2 22.6 24.0 22.1 20.6 24.5 21.8 26.8 29.4 24.1 20.1 22.8 24.3 25.7 19.9 25.8 26.3 18.8 26.4 21.5 (1)适当地分组，制作频率分布表； (2)绘制频率分布直方图和频率分布折线图，并估计该市有多少比例的小区其居民每天运动1h的比例超过25%． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 统计 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】总体平均数与样本平均数 （1）总体平均数 一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为，，…， 则称为总体均值，又称总体平均数. （2）加权平均数 如果总体的个变量值中,不同的值共有()个,不妨记为,,…,,其中出现的频数(),则总体均值还可以写成加权平均数的形式：. （3）样本平均数 如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为，，…， 则称为样本均值，又称样本平均数. 【清单02】分层随机抽样的概念及特点 （1）分层随机抽样的概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分为若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个字总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配. (2分层随机抽样的步骤 ①根据己经掌握的信息，将总体分成互不相交的层； ②根据总体中的个体数和样本量计算抽样比； ③确定第层应该抽取的个体数目（为第层所包含的个体数），使得各之和为； ④在各个层中，按步骤③中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为的样本. 【清单03】分层随机抽样的平均数 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为和，抽取的样本量分别为和.我们用表示第1层各个个体的变量值，用表示第1层样本的各个个体的变量值；用表示第2层各个个体的变量值，用表示第2层样本的各个个体的变量值，则第1层的总体平均数和样本平均数分别为 . 第2层的总体平均数和样本平均数分别为 . 总体平均数和样本平均数分别为 . 由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用. 【清单04】频率分布表与频率分布直方图 （1）频数与频率 将一批数据按要求分为若干个组，各组内数据的个数叫做该组的频数.每组数据的频数除以全体数据的个数的商叫做该组数据的频率.频率反映各个小组数据在样本量中所占比例的大小. （2）样本的频率分布及频率分布表 根据随机抽取的样本量的大小，分别计算某一事件出现的频率，这些频率的分布规律（取值状况）就 叫做样本的频率分布. 为了能直观地显示样本的频率分布情况，通常将样本量、样本中出现该事件的频数以及计算所得的相应频率列在一张表中，这张表叫做频率分布表.分组、频数、频率是频率分布表中最基本也是必要的三列，在实际操作中，每组的频数是通过类似统计选票时的“唱票”的方式进行统计的，所以通常频率分布表中 还会有“频数累计”一列. （3）用样本的频率分布估计总体的分布 在实际应用中，总体分布可以为合理决策提供依据（总体分布描述的是总体在各个范围内个体的百分比).总体分布一般不好直接获得，往往通过样本的频率分布估计总体分布.用样本估计总体，是研究统计问 题的一个基本思想方法误区. （4）样本的频率分布直方图 为了将频率分布表中的结果直观形象地表现出来，常画出频率分布直方图.画图时，应以横轴表示分组、纵轴表示各组频率与组距的比值，以各个组距为底，以各频率除以组距的商为高，画成小长方形，这样得到的直方图就是频率分布直方图. 【清单05】第百分位数 （1）第百分位数的概念 一般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值. （2）计算第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算. 第3步，若不是整数，而大于的比邻整数为,则第百分位数为第项数据； 若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数. （3）四分位数 在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等.另外，像第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数和第99百分位数在统计中也经常被使用. 【清单06】总体集中趋势的估计 （1）平均数 ①定义：一组数据的和与这组数据的个数的商.数据，，的平均数为. ②特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平，任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质.所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大，使平均数在估计总体时的可靠性降低. （2）众数 ①定义：一组数据中出现次数最多的数据（即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数。 ②特征：一组数据的众数可能不止一个，也可能没有，反映了该组数据的集中趋势. （3）中位数 ①定义：一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排成一列，处于最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数. ②特征：一组数据的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等. 【清单07】在频率分布直方图中平均数，中位数，众数的估计值 (1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等. (3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据. 【考点题型一】总体与样本 【例1】（23-24高二上·上海长宁·期末）从总体容量为的一批电子元件中抽取一个容量为30的样本，若每个电子元件被抽到的可能性为，则总体容量 ． 【答案】 【知识点】总体与样本 【分析】根据条件列出总体容量和样本容量的关系式，由此可求结果. 【详解】由条件可知：， 所以， 故答案为：. 【变式1-1】（23-24高二下·上海崇明·期末）某校高二年级有300人，为调查年级学生每天上网时间，现抽取的同学做调查问卷，该统计的样本量为 ． 【答案】120 【知识点】总体与样本 【分析】根据样本量的定义求解即可. 【详解】由已知总体中的元素的个数为300，抽取变量为，故样本量为， 故答案为：120. 【变式1-2】（24-25高二·上海·课堂例题）为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，则样本容量是 ． 【答案】100 【知识点】总体与样本 【分析】根据样本容量的定义即可得结果. 【详解】样本容量是指在研究或调查中所使用样本的数量， 所以样本容量是100. 故答案为：100. 【变式1-3】（24-25高一·全国·课后作业）某集团为了解员工的通勤时间长度，通过简单随机抽样获取了157名员工上下班的通勤时长，在该问题中，样本量为 ；样本为 ． 【答案】 157 被抽取的157名员工上下班的通勤时长 【知识点】总体与样本 【分析】由题意材料，可直接写出样本量以及样本. 【详解】由题意材料可知，为了解员工的通勤时间长度，抽取了157名员工上下班的通勤时长，所以样本量为157；样本为被抽取的157名员工上下班的通勤时长. 故答案为：157；被抽取的157名员工上下班的通勤时长. 【考点题型二】普查与抽查 【例2】（24-25高二上·上海·课后作业）在以下调查中，适合用普查的是（    ） A．调查一个县各村的粮食播种面积 B．调查一批玉米种子的发芽率 C．调查一批炮弹的杀伤半径 D．调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例 【答案】A 【知识点】普查与抽样的合理选择 【分析】利用全面调查的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】普查，是一种全面调查，是对调查对象的所有单位一一进行调查的调查方式，普查的优点是可以直接获得总体的情况，普查的缺点是当总体数目较多时，其工作量较大，有时会受到客观条件限制，无法对所有个体进行调查，有时调查的对象具有破坏性，不允许进行普查. 对于A，调查一个县各村的粮食播种面积，调查数目适中，适合用普查； 对于B，调查一批玉米种子的发芽率，调查数目较多，且具有破坏性，不适合用普查； 对于C，调查一批炮弹的杀伤半径，调查数目较多，且具有破坏性，不适合用普查； 对于D，调查一个水库所有鱼中草鱼所占比例，调查数目较多，且受客观条件限制，不适合用普查； 故选：A. 【变式2-1】（24-25高二·上海·课堂例题）下列要研究的数据中一般通过试验获取的是（    ） A．某品牌电视机的市场占有率； B．某电视连续剧在全国的收视率； C．某校七年级一班的男女同学的比例； D．某型号炮弹的射程． 【答案】D 【知识点】普查与抽样的合理选择 【分析】根据获取数据的基本途径逐一分析即可. 【详解】调查某品牌电视机的市场占有率，调查范围广，适合抽样调查，故通过抽样调查获取数据，故不符合题意； 调查某电视连续剧在全国的收视率，调查范围广，适合抽样调查，故通过抽样调查获取数据，故不符合题意； 调查某校七年级一班的男女同学的比例，适合普查，故不符合题意； 调查某型号炮弹的射程，一般通过试验获取数据，故符合题意. 故选：. 【变式2-2】（24-25高一·全国·单元测试）某市场监管局对所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品，对其质量进行了抽检，则（ ） A．该市场监管局的调查方法是普查 B．样本的个体是每种冷冻饮品的质量 C．样本的总体是超市在售的40种冷冻饮品 D．样本容量是该超市的20种冷冻饮品数 【答案】B 【知识点】普查与抽样的合理选择、普查与抽样的定义辨析、总体与样本 【分析】根据抽样方法、样本、总体、个体的概念可得答案. 【详解】该市场监管局的调查方法是随机抽样，A错误； 样本的个体是每种冷冻饮品的质量，B正确； 样本的总体是超市在售的40种冷冻饮品的质量，C错误； 样本容量是20，D错误， 故选：B 【变式2-3】（24-25高一·全国·课后作业）下列调查方式合适的是（    ） A．为了了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查的方式 B．为了了解一批玉米种子的发芽率，采用普查的方式 C．为了了解一条河流的水质，采用抽样调查的方式 D．为了了解一个寝室的学生（共6个人）每周体育锻炼的时间，采用抽样调查的方式 【答案】C 【知识点】普查与抽样的合理选择 【分析】根据普查和抽样调查的特征，即可求解. 【详解】个体数少且易于完成的可以采用普查的方式；个体数量多，工作量大，或破坏性大，不易完成的可以采用抽样调查的方式. 故选：C. 【考点题型三】分层抽样 【例3】（23-24高三上·上海静安·期末）某果园种植了222棵苹果树，现从中随机抽取了20棵苹果树，算得这20棵苹果树平均每棵产量为28 kg，则预估该果园的苹果产量为 kg． 【答案】6216 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】由分层抽样相关知识可得答案. 【详解】设该果园的苹果产量预估值为，则. 故答案为：6216 【变式3-1】（24-25高三上·上海·单元测试）某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中抽取81人进行问卷调查，若高二被抽取的人数为30，则 ． 【答案】1040 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】由分层抽样的性质列出方程，能求出结果． 【详解】由已知条件知抽样比为，从而，解得． 故答案为：1040． 【变式3-2】（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）某校学生总人数为1000人，其中高三人数为300人，现采用分层抽样方式从全校学生中抽取20人参加一项活动，则高一高二的参加活动的总人数为 . 【答案】14 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层抽样的知识求得正确答案. 【详解】高一高二有人， 所以高一高二的参加活动的总人数人. 故答案为： 【考点题型四】分层抽样中的平均数和方差 【例4-1】（23-24高一下·山东枣庄·期末）已知总体划分为2层，通过按比例分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，，总的样本平均数为，则总的样本方差用上述已知量表示为 . 【答案】 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】结合按比例分配的分层抽样，根据方差的定义，写出总样本方差，又，，进而进行化简即可得证. 【详解】根据方差的定义，总样本方差为 ， 因为， 同理， 因此， . 故答案为：. 【变式4-1】（2024·辽宁葫芦岛·二模）某地为了了解学生的睡眠时间，根据初中和高中学生的人数比例采用分层抽样，抽取了40名初中生和20名高中生，调查发现初中生每天的平均睡眠时间为8小时，方差为2，高中生每天的平均睡眠时间为7小时，方差为1.根据调查数据，估计该地区中学生睡眠时间的总体方差约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】估计总体的方差、标准差、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据给定条件，求出该地区中学生每天睡眠时间的平均数，再利用分层抽样方差的计算方法求得结果. 【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：（小时）， 该地区中学生每天睡眠时间的方差为：. 故选：D. 【变式4-2】（多选）（2024·江西宜春·模拟预测）某学校高三年级共有900人，其中男生500人，现采用按性别比例分配的分层抽样抽取了容量为90的样本.  经计算得男生的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差为19，则下列说法中正确的是（    ） A．女生的样本容量为40 B．女生甲被抽到的概率为 C．估计该校高三年级学生身高的均值为166 D．估计该校高三年级学生身高的方差大于19 【答案】ACD 【知识点】估计总体的方差、标准差、分层抽样的概率、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】由题意先得抽样比例，进而得男生和女生的样本容量即可判断A、B，再根据分层随机抽样总样本均值公式和方差公式即可求解. 【详解】由题抽样比例为，故男生被抽到人数为人；女生被抽到人数为人，故A对； 所以女生甲被抽到的概率为，故B错； 由上以及题意得总样本均值为：； 总样本方差为：，故C、D对. 故选：ACD. 【考点题型五】频率分布直方图 【例5-1】（23-24高二·上海·课堂例题）某校30名高一女生的扔手球记录如下（单位：m）： 16.3 13.2 17.7 14.3 16.4 19.8 13.5 14.5 11.7 14.1 14.8 17.2 13.8 15.4 16.3 15.7 18.5 16.8 17.9 15.9 17.6 15.4 16.8 21.4 16.5 18.1 16.0 20.3 16.6 19.5 (1)选择适当的组距，制作一张频率分布表； (2)在（1）的基础上，绘制一幅频率分布直方图. 【答案】(1)频率分布表见解析 (2)频率分布直方图见解析 【知识点】绘制频率分布表、绘制频率分布直方图 【分析】（1）根据所给数据求出极差，分组，求出各区间的频数及频率即可求出频率分布表； （2）根据（1）作出频率分布直方图即可 【详解】（1）由题目数据可知极差为，组距为，所以分5组较好， ， 频率分布表如下： 分组 频数 频率 3 7 11 6 3 合计 30 1.00 （2）根据（1）的频率分布表可以画出频率分布直方图如图所示： 【例5-2】（24-25高二·上海·课堂例题）从高一学生中抽取50名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下（单位：分）：，2；，3；，10；，15；，12；，8． (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)估计成绩在分的学生所占总体的百分比． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【知识点】绘制频率分布直方图、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、绘制频率分布表 【分析】（1）根据题中所给数据 即可得出频率分布表； （2）根据频率分布表画出频率分布直方图即可； （3）根据频率分布直方图即可得解. 【详解】（1）频率分布表如下： 成绩分组 频数 频率 2 0.04 3 0.06 10 0.20 15 0.30 12 0.24 8 0.16 合计 50 1.00 （2）由题意知组距为10，取小矩形的高根据表格画出如下的频率分布直方图： （3）由频率分布直方图，可估计成绩在分的学生所占总体的百分比是. 【变式5-1】（23-24高二下·上海虹口·期末）为了解体育锻炼情况，随机统计了名学生在某个时间段内的体育锻炼时间，所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示. 若在区间中的频数为30，则的值是 . 【答案】 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】首先由频率分布直方图求出中的频率，再由频率等于频数除以样本总数即可求出． 【详解】由频率分布直方图可知在之间的频率为， 又因为，所以. 故答案为： 【变式5-2】（23-24高二下·上海杨浦·期末）学校开展国防知识竞赛，对100名学生的竞赛成绩进行统计，发现这100名同学的成绩都在[50，100]的范围内，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，图中x的值是 ． 【答案】0.030 【知识点】补全频率分布直方图 【分析】利用面积之和等于1即能解. 【详解】因为每个小矩形的面积就是频率，所以面积之和等于1，即，解出. 故答案为：0.030. 【变式5-3】（24-25高二上·上海奉贤·期中）2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者． (1)若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (2)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差. 【答案】(1) (2) 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、计算频率分布直方图中的方差、标准差 【分析】(1)根据古典型概念公式可得； (2)根据分层抽样平均数和方差公式可得. 【详解】（1）由题意得，第四组应抽取人，记为（甲），，，， 第五组抽取人，记为（乙），，对应的样本空间的样本点为： ， ，设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”， 则， 所以； （2）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为， 则， ，因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10. 据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差为10. 【考点题型六】茎叶图 【例6】（23-24高二上·上海·期末）某同学将观察学校柚子树生长习性作为自主研究课题，他观察了校园内6株柚子树成熟结果个数（两位数）并用茎叶图（如图所示）做了记录，则这6株柚子树成熟结果个数的中位数为（    ） A．21 B．21.5 C．22 D．22.5 【答案】B 【知识点】由茎叶图计算中位数 【分析】利用中位数的定义，结合茎叶图列式计算即得. 【详解】由茎叶图知，这6株柚子树成熟结果个数的中位数为. 故选：B 【变式6-1】（多选）（23-24高二下·上海·期中）从某个品种的小麦中随机选取14株，测量麦穗长度（单位：），所得的样本数据用茎叶图表示如图，据此可估计该品种小麦麦穗长度情况，那么下列说法错误的是（    ） A．小麦麦穗长度的极差是3.9 B．小麦麦穗长度的中位数等于众数 C．小麦麦穗长度的中位数小于平均数 D．小麦麦穗长度的第75百分位数是10.6 【答案】ACD 【知识点】观察茎叶图比较数据的特征、由茎叶图计算众数、由茎叶图计算中位数、由茎叶图计算平均数 【分析】根据茎叶图可得这14组数据，然后求极差，中位数，众数，平均数，百分位数即可求解. 【详解】由题可知最大的数是11.7，最小的数是7.8，故极差为3.9，A正确； 中位数为：；众数为：9.7； 平均数为：     ， ，故第75百分位数为：10.6， 由以上数据可知：ACD正确， 故选：ACD. 【变式6-2】（24-25高二·上海·课堂例题）某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示（单位：分），学校规定：成绩不低于130分的人到A班培训，低于130分的人到B班培训，如果用分层抽样的方法从到A班的人和到B班的人中共选取5人，则5人中到A班的有 人. 【答案】2 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、茎叶图的优缺点与适用对象 【分析】先根据茎叶图求求得到A班的人数和到B班的人数，再利用分层抽样的定义求解即可. 【详解】由题意结合茎叶图的数据可知，这20名学生有8人到A班培训，12人到B班培训， 根据分层抽样的定义知：5人中到A班的有人. 故答案为：2 【变式6-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）某教育行政部门为了解某校男、女党员教师的“学习强国”的得分情况，随机调查了该校的18位党员教师，其中男党员教师有9人，女党员教师有9人，这18位党员教师10月份的日均得分（单位：分）如表： 男党员教师日均得分 10 12 16 29 23 25 38 38 41 女党员教师日均得分 11 17 17 28 34 36 37 40 41 根据以上数据完成下面的茎叶图，利用茎叶图判断男党员教师的“学习强国”的积极性是否比女党员教师高，并说明理由. 【答案】茎叶图见解析，由茎叶图可以看出，男党员教师的“学习强国”的积极性不比女党员教师高.理由见解析 【知识点】绘制茎叶图、补全茎叶图中的数据、简单随机抽样的特征及适用条件、观察茎叶图比较数据的特征 【分析】根据已知画出茎叶图，对比茎叶图数据即可得出结论. 【详解】如图所示： 男党员教师日均得分 女党员教师日均得分 6 2 0 1 1 7 7 9 5 3 2 8 8 8 3 4 6 7 1 4 0 1 由茎叶图可以看出，男党员教师的“学习强国”的积极性不比女党员教师高. 理由如下： 男党员教师的“学习强国”的日均得分集中在茎1，2上，而女党员教师日均得分集中在茎1，3上，由此可以判断女党员教师学习“学习强国”的积极性更高. 【考点题型七】频率分布直方图中的平均数，众数，中位数 【例7】（24-25高二·上海·课堂例题）某新华书店为了了解销售单价（单位：元）在内的图书销售情况，从2020年已经销售的图书中随机抽取100本，用分层抽样的方法获得的所有样本数据按照、、、、、分成6组，制成如图所示的频率分布直方图，已知样本中销售单价在内的图书数是销售单价在[内的图书数的2倍． (1)求出x与y； (2)根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． 【答案】(1)， (2)平均数为14.9，中位数为15 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、频率分布直方图的实际应用、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，可解出这两个未知数的值； （2）在频率分布直方图中，将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全加可得出样本的平均数，利用中位数左边矩形的面积和为可求得样本的中位数； 【详解】（1）样本中图书的销售单价在内的图书数是， 样本中图书的销售单价在内的图书数是， 依据题意，有，即，① 根据频率分布直方图可知，② 由①②得，； （2）根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数为 （元）， ∵，故可判断中位数在之间. 设中位数为x，则，解得，故中位数为15. 【变式7-1】（23-24高一下·全国·课后作业）在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下.某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数； (2)求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数. 【答案】(1)4 (2)；平均数为71；中位数为 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、频率分布直方图的实际应用、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（1）先分别求出的频率，进而由10乘以抽样比可求答案； （2）根据频率的性质，利用各小长方形的面积和等于1可求；利用各组中值与频率可估计平均数；先确定中位数所在的小长方形，再设中位数为，进而利用面积等于0.5即可求解. 【详解】（1）从图中可知组距为，则的频率分别为， 从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人时， 成绩不高于50分的人数为（人）. （2）由图可知，解得. 使用组中值与频率可估计平均数为 . 因为且， 所以中位数在内， 设估计的中位数为，则，得. 【变式7-2】（2024高三·全国·专题练习）某校学生参与一项社会实践活动，受生产厂家委托采取随机抽样方法，调查我市市民对某新开发品牌洗发水的满意度，同学们模仿电视问政的打分制，由被调查者在0分到100分的整数分中给出自己的认可分数，现将收集到的100位市民的认可分数分为6组：，，，，，，绘制出如图所示的频率分布直方图．    (1)求这100位市民认可分数的中位数（精确到0.1），平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)生产厂家根据同学们收集到的数据，拟随机在认可分数为80及其以上的市民中选出2位市民当产品宣传员，求这2位宣传员都来自认可分数为[90,100]的概率． 【答案】(1)66.7，67 (2) 【知识点】由频率分布直方图估计中位数、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据中位数、平均数的计算公式即可求解， （2）利用古典概型的概率公式即可求解. 【详解】（1）由于的频率分别为0.1，0.2，0.3． 故中位数位于中，其值为． 平均数为． （2）认可分数位于的人数为10，认可分数位于的人数为5， 从认可分数位于的5人中随机选择2人的基本事件数为， 从认可分数位于和的15人中随机选择2人的基本事件数为： ． 故这2位宣传员都来自认可分数为的概率为． 【变式7-3】（23-24高一下·甘肃武威·开学考试）2023年寒假期间，哈尔滨成为了新的旅游打卡城市，某校学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对来哈尔滨旅游的100名游客进行了有关哈尔滨旅游知识的调查．为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如图所示的频率分布直方图．    (1)求x的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名游客调查问卷中得分的平均数及中位数（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）． 【答案】(1) (2)平均数为10.64，中位数是10.75 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解， （2）根据中位数的计算公式即可求解. 【详解】（1），所以． （2）设这100名游客调查问卷中得分的平均数为， 则． 因为，， 所以中位数在8和12之间， 设中位数是t，所以，可得． 【考点题型八】总体百分位数估计 【例8】（23-24高二下·上海松江·期中）本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成，得到如图所示频率分布直方图. (1)估计该校高二学生数学成绩的平均数和分位数； (2)为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在的概率. 【答案】(1)平均数为75.5，分位数为88； (2). 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计 【分析】（1）由频率分布直方图的面积和为1求出后，再由平均数，百分数的算法求出即可； （2）利用分层抽样和古典概率的算法求出即可； 【详解】（1）由，解得. 该校高三学生期初数学成绩的平均数为. 前3组的频率和为，所以分位数为. （2）分层抽样抽取的6人中，的有人，记为 的有人，记为， 从6人中任取2人，基本事件有，共15种， 其中2人分数都在的有共6种， 所以从6人中任取2人，分数都在的概率为. 【变式8-1】（23-24高三上·河南·阶段练习）商场为改进服务质量，提升顾客购物体验，从2023年第三季度消费过的顾客中随机抽取部分人进行满意度问卷调查．并将这部分人满意度的得分分成以下6组：，统计结果如图所示．那么该商场顾客满意度得分的第60百分位数为 ．      【答案】75 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、总体百分位数的估计 【分析】利用频率分布直方图每个小矩形面积代表频率表示第60百分位数求解即可. 【详解】由图可知，第1个小矩形面积为0.1，第2个小矩形面积为0.15，第,3个小矩形面积为0.2，第4个小矩形面积为0.3， 则第60百分位数位于内，设60百分位数为，则有， 则，所以商场顾客满意度得分的第60百分位数为75. 故答案为：75 【变式8-2】（24-25高二上·上海·随堂练习）下表是高三年级学生考试成绩的主要百分位数（单位：分）．小明今年高三，这次考试他英语考了96分，他所在的学校高三年级一共有240人． P1 P5 P10 P25 P50 P75 P90 P95 P99 数学 65 70 75 88 96 112 115 122 130 英语 67 75 80 86 95 111 119 125 132 语文 68 79 83 89 96 101 109 115 123 (1)试问小明的英语成绩至少高于他所在年级中的多少人？ (2)若小明的语文成绩为100分，数学成绩为102分，是否可以得出小明的三门总成绩至少高于年级中50%的学生？ 【答案】(1)120人 (2)不能 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】（1）由百分位的概念求解； （2）要考虑极端值的存在． 【详解】（1）解：从表中可以看出小明的英语成绩位于P50和P75之间，说明至少有50%的人英语成绩低于他，而他所在学校高三年级人数有240人，（人），所以可以估计小明的英语成绩至少高于他所在年级中的120人． （2）不能，可能存在语文成绩位于P25和P50之间，英语成绩位于P25和P50之间，但数学成绩在P99以上且总成绩高于小明的学生． 【变式8-3】（23-24高三上·上海黄浦·期中）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得如下图所示的频率分布直方图 (1)求频率分布直方图中的值； (2)若在抽取的100份样本中有20份样本的数据如下： 44，46，50，52，60，63，66，68，68，72，75，76，79，79，81，82，82，83，90，92 求该组数据（指这20分样本构成的数据）的第75百分位数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求这两组成绩的总平均数和总方差. 【答案】(1) (2)第75百分位数为81.5 (3)总平均数为62，总方差为37 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、计算几个数的平均数、估计总体的方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】（1）由频率分布直方图的性质即可求解； （2）由百分位数的定义求解； （3）求出成绩在及的人数，利用总平均数和总方差的公式求解. 【详解】（1）∵每组小矩形的面积之和为1， ∴， 解得：. （2）∵， ∴该组数据的第75百分位数为第15项与第16项数据的平均数，即为. （3）由图可知，成绩在的人数为， 成绩在的人数为， 故这两组成绩的总平均数， 这两组成绩的总方差. 所以这两组成绩的总平均数是62，总方差是37. 提升训练 一、填空题 1．（24-25高三上·上海·期中）数据1，4，4，6 7，8的第60百分位数是 . 【答案】6 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】根据百分位数的计算公式即可. 【详解】将数据从小到大排列得1，4，4，8，6 7， ，则其第60百分位数是. 故答案为：6. 2．（24-25高三上·上海奉贤·期中）某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的分位数为 【答案】120 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】先将6个数据从小到大进行排列，再根据百分位数的定义和求解步骤即可求解. 【详解】6位老年人的收缩压数据从小到大排列为：96，112，120，136，146，153， 因为，所以这组数据的分位数为120. 故答案为：120. 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）要考查某种品牌的颗种子的发芽率，从中抽取颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将颗种子按、、、进行编号，如果从随机数表第行第列的数开始并向右读，则抽到的第颗种子的编号是 .（下面抽取了随机数表第行至第行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 【答案】 【知识点】随机数表法 【分析】根据随机数表法可得结果. 【详解】由随机数表法可知，抽取的前颗种子的编号依次为：、、、， 故抽到的第颗种子的编号是. 故答案为：. 4．（24-25高三上·上海·期中）已知某校高三年级共480名同学，其中男生一共288人，现在为了了解该年级学生对于该校95周年校庆活动安排的想法，按照性别进行分层随机抽样，需要抽取一个容量为40的样本进行调查，则抽取的男生人数为 ． 【答案】24 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层抽样的特点即可得到答案. 【详解】根据分层抽样的特点知抽取的男生人数为. 故答案为：. 5．（24-25高三上·上海·期中）设．对于样本数据，6，9，6，12，若该样本的第60百分位数是一个整数，则符合题意的的个数为 ． 【答案】 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】该样本共有五个数据，第60百分位数为第三四两个数的平均数，将数据从小到大排序，讨论的不同情况，计算符合条件的百分位数求出结果. 【详解】解：当时，该样本为，此时第60百分位数为，不合题意； 当时，该样本为，此时第60百分位数为，若为整数，则或； 当时，该样本为，此时第60百分位数为，若为整数，则； 当时，，此时第60百分位数为，不合题意； 所以符合题意的的个数为. 故答案为： 6．（24-25高三上·上海·阶段练习）某校高三年级共有学生525名，其中男生294名，女生231名.为了解该校高三年级学生的体育锻炼情况，从中抽取50名学生进行问卷调查.若采用分层随机抽样的方法，则要抽取男生的人数为 . 【答案】28 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】由分层抽样的性质结合题意计算即可； 【详解】由题意可得，要抽取的男生人数为人. 故答案为：28. 7．（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）某校学生志愿者协会共有200名成员，其中高一学生100名，高二学生60名，高三学生40名.为了解志愿者的服务意愿，需要用分层抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则高三学生应抽取 名. 【答案】10 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层抽样定义及性质计算即可. 【详解】根据分层抽样定义及性质,设高三学生应抽取名 ，. 故答案为：10. 8．（22-23高三下·上海杨浦·阶段练习）已知18个整数的中位数为5，第75百分位数也为5，那么这18个数中，5的个数的最小可能值为 . 【答案】6 【知识点】计算几个数的中位数、总体百分位数的估计 【分析】根据中位数和百分位数的定义直接计算. 【详解】由题意，将18个整数由小到大排列，中位数为第9位和第10位数的平均数， 又，则第75百分位数为第14位数，故第14位数是5， 故第9位和第10位数也是5，所以5的个数的最小可能值为6个. 故答案为：6 9．（24-25高三上·上海浦东新·阶段练习）在一次射击训练中，某运动员5次射击的环数依次是，则该组数据的方差 . 【答案】/ 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据平均数公式和方差公式计算可得. 【详解】因为平均数， 所以方差. 故答案为： 10．（24-25高二·上海·课堂例题）已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数为 ． 【答案】92 【知识点】由茎叶图计算中位数 【分析】从小到大排列，利用中位数的定义进行求解. 【详解】共17个数据，从小到大进行排列为 ， 则从小到大排列，选择第9个数据作为中位数，即92. 故答案为：92 二、单选题 11．（2019·福建泉州·二模）已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】由平均数，方差计算公式可判断各选项正误. 【详解】设其他48个数据依次为， 则，因为， 因此平均数不变，即；又由方差计算公式可知：， ， 注意到，则. 故选：C. 12．（24-25高三上·上海松江·期中）某社区通过公益讲座宣传交通法规.为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分.他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（   ）. A．讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分 B．讲座前的答卷得分分布较讲座后分散 C．讲座前答卷得分的中位数是70 D．讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差 【答案】C 【知识点】观察茎叶图比较数据的特征、计算几个数的中位数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】利用茎叶图分析判断AB；求出中位数判断C；求出极差判断D. 【详解】对于A，由茎叶图知讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分，A正确； 对于B，讲座前的答卷得分分布在之间，而讲座后得分分布在之间， 因此讲座前的答卷得分分布较讲座后分散，B正确； 对于C，讲座前答卷得分依次为，其中位数为，C错误； 对于D，讲座前答卷得分的极差为，讲座后得分的极差为， 因此讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差，D正确. 故选：C 13．（24-25高三上·上海·期中）某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示： 党史学习时间 (小时) 7 8 9 10 11 党员人数 6 10 9 8 7 则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40 百分位数分别是（    ） A．8， 8.5 B．8， 8 C．9， 8 D．8， 9 【答案】A 【知识点】总体百分位数的估计、计算几个数的众数 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数值，根据众数的概念可得结果.把样本数据从小到大排序，根据取第16个数和第17个数的平均数即是第40百分位数. 【详解】党员人数一共有， 学习党史时间为8小时的人数最多，故学习党史时间的众数为8， 因为，所以第40百分位数是第16和17个数的平均数， 把学习党史时间从小到大进行排序，根据所给数据可知第16，17个数分别为8，9，所以第40百分位数是 故选：A. 14．（25-26高二上·上海·单元测试）某学校艺术节，七位评委为水彩画打出的分数分别为：84、87、79、84、93、86、84，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（    ） A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，1.6 D．85，4 【答案】C 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数 【分析】根据平均数和方差的定义直接求解即可. 【详解】去掉一个最高分和一个最低分后的分数为：84，87，84，86，84， 则平均数为， 所以方差为. 故选：C 15．（23-24高二·上海·课堂例题）某高校研究人员希望调查该校大学生平均每天的自习时间．他调查了100名大学生，发现他们每天的平均自习时间是3.5h.这里的总体是（    ） A．该校的所有大学生 B．该校所有大学生的平均每天自习时间 C．所调查的100名大学生 D．所调查的100名大学生的平均每天自习时间 【答案】B 【知识点】总体与样本 【分析】由总体的概念可得答案. 【详解】某高校研究人员希望调查该校大学生平均每天的自习时间. 他调查了100名大学生，发现他们每天的平均自习时间是3.5h， 这里的总体是该校所有大学生的平均每天自习时间. 故选：B. 三、解答题 16．（24-25高三上·上海松江·期中）某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)估计这100名游客对景区满意度评分的70%分位数； (3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 【答案】(1)； (2)92.5； (3). 【知识点】补全频率分布直方图、计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计 【分析】（1）根据给定的直方图，利用各小矩形面积和为1列式计算即得. （2）利用70%分位数的定义，结合直方图列式求解. （3）利用分层抽样及频率求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【详解】（1）由频率分布直方图知：，解得， 所以的值为. （2）， 因此分位数在区间内，则，解得， 所以满意度评分的分位数为92.5. （3）评分在的频率分别为， 则在中抽取人，记为， 在中抽取人，记为， 从这6人中随机抽取2人，则有样本空间为 ，共有15个样本点， 设选取的2人评分分别在和内各1人为事件， 则，共有8个样本点， 所以选取的2人评分分别在和内各1人的概率为. 17．（24-25高三上·上海·期中）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： (1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分位数； (2)独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； (3)为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75公斤之间，现将100个体重数据分为6组：第一组，第二组，，第六组，得到如图所示的频率分布直方图.其中第一组有2人，第二组有13人.求与的值. 【答案】(1) (2) (3)； 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、观察茎叶图比较数据的特征、计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计 【分析】（1）按照求百分数的计算步骤计算即可； （2）分别算出第一种与第二种生产方式中优秀的概率相乘即可； （3）据直方图面积为1的性质及第一组第二组的人数建立方程组，解出，进而得解. 【详解】（1）40名工人完成生产任务所需时间按从小到大排列为： ，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，， 因为， 所以第75百分数为； （2）由题意可知，第一种生产方式中优秀的概率为， 第二种生产方式中优秀的概率为， 所以选出的两个人均为优秀的概率为. （3）依题意，则， 又因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，. 18．（23-24高二·上海·课堂例题）某学生第二天要参加100m短跑比赛，他记录了比赛前一日集训中20次100m短跑的成绩（单位：s）： 13.4 13.6 14.3 15.3 12.8 13.1 14.5 13.8 14.2 15.0 13.4 13.7 13.5 12.5 12.9 14.9 12.9 14.6 14.3 15.5 (1)制作频率分布表； (2)试估计该学生在100m短跑比赛中用时低于14s的可能性. 【答案】(1)频率分布表见解析 (2)0.55 【知识点】根据频率分布表解决实际问题、绘制频率分布表 【分析】（1）分析数据，利用频率分布表的制作方法即可得解； （2）根据（1）中频率分布表分析该生的运动水平，从而得解. 【详解】（1）制作频率分布表如下： 分组 频数 频率 4 0.20 3 0.15 4 0.20 3 0.15 3 0.15 3 0.15 （2）从频率分布表中可以看出该生在20次100m短跑的成绩低于14s的频率为， 假定该生在第二天的比赛中发挥出平常水平， 则可估计该生在比赛中用时低于14s的可能性为0.55. 19．（23-24高二·上海·课堂例题）测得某地区近20年来年降水量（单位：mm）情况如下表所示. 年降水量分组区间 频数 组中值 1 2 3 5 4 3 2 (1)补全表格中的数据； (2)估计该地区的年平均降水量. 【答案】(1)表格见解析 (2)240.5mm 【知识点】用平均数的代表意义解决实际问题、计算几个数的平均数、补全频率分布表 【分析】（1）根据表中信息补全表格即可； （2）利用频数分布表中平均数的计算方法即可得解. 【详解】（1）根据题意，补全表格如下： 年降水量分组区间 频数 组中值 1 75.5 75.5 2 125.5 251.0 3 175.5 526.5 5 225.5 1127.5 4 275.5 1102 3 325.5 976.5 2 375.5 751 （2）估计该地区的年平均降水量为 mm. 20．（23-24高二·上海·课堂例题）某研究机构随机抽取了某市40个小区，得到每个小区居民平均每天运动1h以上的比例（%）如下： 18.7 16.2 24.9 24.2 22.8 18.5 23.0 26.1 18.1 23.2 21.7 23.5 26.3 17.8 22.1 16.3 21.5 21.9 21.5 26.8 21.2 22.6 24.0 22.1 20.6 24.5 21.8 26.8 29.4 24.1 20.1 22.8 24.3 25.7 19.9 25.8 26.3 18.8 26.4 21.5 (1)适当地分组，制作频率分布表； (2)绘制频率分布直方图和频率分布折线图，并估计该市有多少比例的小区其居民每天运动1h的比例超过25%． 【答案】(1)答案见解析； (2)频率分布直方图和频率分布折线图见解析，. 【知识点】绘制频率分布表、绘制频率分布直方图、绘制频率分布折线图 【详解】（1）数据样本有40个，且极差，所以分成7组，组距为2较好， 频率分布表如下： 分组 频数 频率 频率/组距 3 0.075 0.0375 5 0.125 0.0625 9 0.225 0.1125 8 0.200 0.1000 8 0.200 0.1000 6 0.150 0.0750 1 0.025 0.0125 总计 40 1.000 0.5000 （2）频率分布直方图和频率分布折线图如图所示： 由图估计该市小区其居民每天运动的比例超过的比例为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$