专题03 概率初步（考点清单+知识导图+ 8个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（沪教版2020）

清单03 概率初步 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】样本点和样本空间 (1)定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间． (2)表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间． 【清单02】古典概型 2.1古典概型的定义 试验具有如下共同特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 2.2古典概型的判断 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型． 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点个数有限，但非等可能．②样本点个数无限，但等可能．③样本点个数无限，也不等可能． 【清单03】古典概型的概率计算公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 【清单04】频率与概率 4.1随机事件的频率 在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现,称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率. 4.2频率的特点 随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频 率有以下特点. ①在某次随机试验中，事件发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又 具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势. ②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可 能性会减小. ③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数 之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映. 4.3频率的稳定性(用频率估计概率) 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性.一般地，随着 试验次数的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生 的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率. 【清单05】相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutually independent)，简称为独立． 性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立 性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立 则：，， 【清单06】互斥事件与对立事件 6.1互斥事件 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：. 图示： 6.2对立事件 一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么 称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且. 图示： 【清单07】互斥事件与相互独立事件的区别与联系 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 两个事件不可能同时发生， 即 概率公式 事件与相互独立等价于 事件与互斥， 则 【考点题型一】基本事件 【例1】（24-25高二·上海·课堂例题）连续抛掷3枚硬币，观察朝上的面． (1)写出这一随机试验的样本空间； (2)写出“恰有两枚正面向上”这一事件相应的样本空间的子集． 【变式1-1】（23-24高二·上海·课堂例题）两个男生、两个女生随机站一排， (1)写出样本空间； (2)写出每个人的相邻之人总是异性这个事件所对应的子集； (3)写出每个人的相邻之人至少有一个异性这个事件所对应的子集． 【变式1-2】（2024高三下·全国·专题练习）甲、乙、丙三人坐在一排的三个位置上，讨论甲、乙两人的位置情况． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验的样本点总数； (3)写出事件“甲、乙相邻”和事件“甲在乙的左边（不一定相邻）”所包含的样本点． 【考点题型二】古典概型 【例2-1】（24-25高二·上海·课堂例题）某校从3名男生和2名女生中随机选出3人参加植树活动．求下列事件的概率： (1)恰有1名女生； (2)至少1名女生； (3)选出的学生中男生比女生人数多． 【例2-2】（23-24高二上·上海·期末）在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求： (1)取得两个红球的概率； (2)取得两个同颜色的球的概率； (3)至少取得一个红球的概率． 【变式2-1】（23-24高三下·上海杨浦·阶段练习）从编号分别为1、2、3、4、5、6的6个大小与质地相同的小球中随机取出3个，则恰有2个小球编号相邻的概率为 ． 【变式2-2】（23-24高二·上海·课堂例题）已知关于的一元二次方程，其中是掷一颗骰子得到的点数．求下列事件的概率： (1)方程有两个不相等的实根； (2)是方程的根； (3)方程存在正根． 【变式2-3】（24-25高二·上海·课堂例题）抛掷三枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率； (1)恰有1枚正面朝上； (2)至少2枚正面朝上； (3)至多2枚正面朝上. 【考点题型三】频率与概率 【例3】（24-25高二·上海·课堂例题）某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表： 射击次数（n） 10 20 50 100 200 500 击中10环次数（m） 8 19 44 93 178 453 击中10环频率 (1)将表格填写完整； (2)这名运动员射击一次，击中10环的经验概率约为多少？（精确到0.1） 【变式3-1】（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）从存放号码分别为的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为 . 【变式3-2】（24-25高二上·上海·单元测试）某种彩票中奖的概率为，有以下理解： ①买10000张彩票一定能中奖； ②买10000张彩票只能中奖1次； ③若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖； ④买一张彩票中奖的可能性是． 其中正确理解的序号为 ． 【变式3-3】（23-24高二·上海·课堂例题）对某工厂生产的产品质量进行抽查，数据如下表所示． 抽查件数 50 100 200 300 500 合格件数 47 95 192 285 478 根据上表所提供的数据，问：合格品的概率约为多少？（结果保留两位小数） 【变式3-4】（24-25高二·上海·课堂例题）今年第一季度在某妇幼医院出生的男、女婴人数统计表（单位：人）如下表： 月份性别 一 二 三 总计 男婴 22 19 23 64 女婴 18 20 21 59 求今年第一季度该医院男婴的出生频率． 【考点题型四】独立事件的判断 【例4】（23-24高二上·上海黄浦·期末）掷质地均匀的一黑、一白两颗骰子，观察朝上的点数，A表示事件“两颗骰子的点数和为7”，B表示事件“白色骰子的点数是1”，C表示事件“两颗骰子中至少有一颗的点数是1”，分别验证事件A与事件B、事件A与事件C是否独立，请说明理由． 【变式4-1】（24-25高二·上海·课堂例题）已知下列各组事件： ①抛掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M：出现的点数为奇数，事件N：出现的点数为偶数； ②袋中有除颜色外完全相同的5个白球5个黄球，依次不放回地摸两次，事件M：第1次摸到白球，事件N：第2次摸到白球； ③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：第1枚为正面朝上，事件N：两枚朝上的结果相同； ④一枚硬币抛掷两次，事件M：第一次为正面朝上，事件N：第二次为反面朝上． 其中M、N是独立事件的序号为 ． 【变式4-2】（24-25高二上·上海·假期作业）掷黑、白两颗骰子. (1)验证事件“两颗骰子的点数和为7”与事件“白色骰子的点数是1”是独立的； (2)验证事件“两颗骰子的点数和为7”与事件“两颗骰子中至少有一颗的点数是1”不是独立的. 【变式4-3】（23-24高二上·上海·期末）某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示： (1)求该公司员工年龄的平均数和第百分位数； (2)从该公司员工中随机抽取一位，记所抽取员工年龄在区间内为事件，所抽取员工年龄在区间内为事件，判断事件与是否互相独立，并说明理由. 【考点题型五】互斥事件与对立事件与独立事件 【例5】（24-25高三上·上海·期中）对于一个古典概型的样本空间和事件、、、，其中，，，，，，，，则（    ）（注：表示集合的元素个数） A．与不互斥 B．与互斥但不对立 C．与互斥 D．与相互独立 【变式5-1】（23-24高二上·四川遂宁·开学考试）抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件 “第一枚出现偶数点”， “第二枚出现奇数点”，则下列说法正确的是（  ） A．A与B互斥 B．A与B互为对立 C．A与B相等 D．A与B相互独立 【变式5-2】（23-24高二下·上海·期末）现有4个礼品盒，前三个礼品盒中分别装了一支钢笔，一本书以及一个笔袋，第4个礼品盒中三样均有.现随机抽取一个礼盒，事件A为抽中的盒子里面有钢笔，事件B为抽中的盒子里面有书，事件C为抽中的盒子里面有笔袋，则下面选项正确的是（    ） A．A与B互斥 B．A与B相互独立 C．A与互斥 D．A与相互独立 【变式5-3】（23-24高三上·辽宁丹东·期中）将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 【考点题型六】独立事件乘法公式 【例6】（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）如图，一条河流上的，是两个独立的水闸，设它们打开的概率分别为，则出口处通水的概率为 . 【变式6-1】（24-25高三上·上海·开学考试）事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二·上海·课堂例题）上数学课时，教师给班里学生出了两道选择题，教师预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60．假设这两道题是独立的，问：预估做对第二道题的概率是多少？ 【变式6-3】（23-24高二·上海·课堂例题）在一次知识竞赛中，假设A、B、C、D四人独立答题，且答对的概率分别为，，，，如果将A、B、C组成一组与D比赛，且A、B、C三人中有一人答对即算该组答对，那么哪一方答对的概率大？ 【考点题型七】立事件的实际应用 【例7】（23-24高一上·山东威海）某社区举行宪法宣传答题活动，该活动共设置三关，参加活动的选手从第一关开始依次闯关，若闯关失败或闯完三关，则闯关结束，规定每位选手只能参加一次活动．已知每位选手闯第一关成功的概率为，闯第二关成功的概率为，闯第三关成功的概率为．若闯关结束时，恰好通过两关可获得奖金300元，三关全部通过可获得奖金800元．假设选手是否通过每一关相互独立． (1)求参加活动的选手没有获得奖金的概率； (2)现有甲、乙两位选手参加本次活动，求两人最后所得奖金总和为1100元的概率． 【变式7-1】（24-25高二上·黑龙江大庆）女排世界杯比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛. (1)若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来的每局比赛甲队获胜的概率为，求甲队最后赢得整场比赛的概率； (2)若前四局比赛中甲､乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲､乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权.求两队打了个球后，甲队赢得整场比赛的概率. 【变式7-2】（2024·山东泰安·模拟预测）某百科知识竞答比赛的半决赛阶段，每两人一组进行PK，胜者晋级决赛，败者终止比赛.比赛最多有三局.第一局限时答题，第二局快问快答，第三局抢答.比赛双方首先各自进行一局限时答题，依据答对题目数量，答对多者获胜，比赛结束，答对数量相等视为平局，则需进入快问快答局；若快问快答平局，则需进入抢答局，两人进行抢答，抢答没有平局.已知甲､乙两位选手在半决赛相遇，且在与乙选手的比赛中，甲限时答题局获胜与平局的概率分别为，，快问快答局获胜与平局的概率分别为，抢答局获胜的概率为，且各局比赛相互独立. (1)求甲至多经过两局比赛晋级决赛的概率； (2)已知乙最后晋级决赛，但不知甲､乙两人经过几局比赛，求乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率. 【变式7-3】（24-25高二·全国·课后作业）甲、乙两人下棋，每局胜的可能性一样．某一天两人要进行一次五局三胜的比赛，最终胜者获得160元奖金，第一场比赛甲胜后，因为其他事而中止比赛，问如何分160元奖金才公平?帕斯卡和费尔马均认为应该依两人最终赢的可能性大小按比例来分．按照这种方式请你算一算甲乙两人各分得多少奖金? 【考点题型八】递推法求概率 【例8】（20234·全国·模拟预测）在2023年成都大运会的射击比赛中，中国队取得了优异的比赛成绩，激发了全国人民对射击运动的热情．某市举行了一场射击表演赛，规定如下：表演赛由甲、乙两位选手进行，每次只能有一位选手射击，用抽签的方式确定第一次射击的人选，甲、乙两人被抽到的概率相等；若中靶，则此人继续射击，若未中靶，则换另一人射击．已知甲每次中靶的概率为，乙每次中靶的概率为，每次射击结果相互独立． (1)若每次中靶得10分，未中靶不得分，求3次射击后甲得20分的概率； (2)求第n次射击的人是乙的概率． 【变式8-1】（多选）（23-24高二下·重庆沙坪坝·期中）设一个正三棱柱，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行n次，仍然在上底面的概率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二上·上海虹口）某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球.已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则的通项公式为 . 提升训练 一、填空题 1．（24-25高三上·上海·期中）三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为 . 2．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）甲､乙两气象站同时作天气预报，如果甲站､乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，且假定甲､乙两气象站预报是否准确相互之间没有影响，那么在一次预报中，甲站､乙站预报都错误的概率为 . 3．（24-25高二·上海·课堂例题）银行储蓄卡的密码由6个数字组成，每个数字可以是十个数字中的任意一个．假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是 ． 4．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）甲､乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛11分制，若比分打到时，需要一人比另一人多得两分，比赛才能结束.已知甲赢得每一分的概率为，在两人的第一局比赛中，两人达到了，此局比赛结束时，两人的得分总和为24的概率为 . 5．（24-25高三上·上海·期中）为了解某年级学生的课外学习情况，从该年级名学生中按分层抽样，从男生中抽取名，女生中抽取名，则男生甲被抽中且女生乙没有被抽中的概率为 （用数字作答） 6．（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）九官格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为奇数，则的概率为 . 9 7 4 5 7．（24-25高三上·上海青浦·阶段练习）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判，则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是 ． 8．（24-25高二·上海·课堂例题）已知函数，其中系数a、，任取一个函数有零点的概率是 . 9．（23-24高三上·天津河北）甲、乙两人参加玩游戏活动，每轮游戏活动由甲、乙各玩一盘，已知甲每盘获胜的概率为，乙每盘获胜的概率为.在每轮游戏活动中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的概率为 . 10．（23-24高一下·安徽芜湖）设样本空间含有等可能的样本点，且事件，事件，事件，使得，且满足两两不独立，则 . 二、单选题 11．（24-25高三上·上海·阶段练习）对于二元一次方程组，其系数，的值分别由掷一颗均匀骰子和一枚均匀硬币决定．令的值为骰子出现的点数；若硬币出现正面时的值为1，若硬币出现反面时的值为2．对于以下两个命题判断正确的是（    ）． ①此方程无解或有无穷多解的概率为； ②在硬币出现反面且此方程有解的条件下，的值为正的概率为． A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 12．（23-24高一下·江苏常州）设，为两个随机事件，以下命题正确的为（    ） A．若，是对立事件，则 B．若，是互斥事件，，则 C．若，且，则，是独立事件 D．若，是独立事件，，则 13．（23-24高一下·广东东莞·期末）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件“第一次朝上面的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的是（    ） A．第一次朝上面的数字是偶数 B．第一次朝上面的数字是1 C．两次朝上面的数字之和是8 D．两次朝上面的数字之和是7 14．（23-24高二上·上海·期末）设、分别是事件A、B的对立事件，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B．若A、B是互斥事件，则 C． D．若A、B是独立事件，则 15．（23-24高三上·湖南益阳·阶段练习）给定事件，且，则下列结论：①若，且互斥，则不可能相互独立；②若，则互为对立事件；③若，则两两独立；④若，则相互独立.其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 三、解答题 16．（24-25高二上·上海静安·期中）同时掷两颗骰子，求 (1)所得点数之和为7的概率； (2)所得点数都是奇数的概率. 17．（24-25高三上·上海·期中）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数（人） x 30 25 y 10 结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)若将这100位顾客分成两类，第一类是购物量不超过8件的人群，第二类为购物量超过8件的人群，现采用分层抽样的方法抽取20位顾客，进行问卷调查，求第二类人群中应抽取的人数； (3)若将频率视为概率，求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率. 18．（24-25高二上·上海·课后作业）写出下列事件相应的样本空间的子集． (1)投掷次骰子，得到的“数字之和大于”； (2)抛掷枚硬币，恰有两枚正面朝上． 19．（23-24高二下·贵州毕节·阶段练习）某社区举办“闹元宵，猜灯谜”活动.甲、乙、丙三个家庭同时参加此活动．某一灯谜，已知甲家庭猜对的概率是，甲、丙两个家庭都猜错的概率是，乙、丙两个家庭都猜对的概率是．若各家庭是否猜对互不影响． (1)求乙、丙两个家庭各自猜对此灯谜的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭猜对此灯谜的概率． 20．（23-24高二上·山东聊城·期末）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为. (1)求和的值； (2)试求两人共答对3道题的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 概率初步 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】样本点和样本空间 (1)定义：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间． (2)表示：一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间． 【清单02】古典概型 2.1古典概型的定义 试验具有如下共同特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 2.2古典概型的判断 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型． 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点个数有限，但非等可能．②样本点个数无限，但等可能．③样本点个数无限，也不等可能． 【清单03】古典概型的概率计算公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 【清单04】频率与概率 4.1随机事件的频率 在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现,称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率. 4.2频率的特点 随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频 率有以下特点. ①在某次随机试验中，事件发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又 具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势. ②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可 能性会减小. ③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数 之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映. 4.3频率的稳定性(用频率估计概率) 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性.一般地，随着 试验次数的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生 的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率. 【清单05】相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutually independent)，简称为独立． 性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立 性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立 则：，， 【清单06】互斥事件与对立事件 6.1互斥事件 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：. 图示： 6.2对立事件 一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么 称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且. 图示： 【清单07】互斥事件与相互独立事件的区别与联系 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 两个事件不可能同时发生， 即 概率公式 事件与相互独立等价于 事件与互斥， 则 【考点题型一】基本事件 【例1】（24-25高二·上海·课堂例题）连续抛掷3枚硬币，观察朝上的面． (1)写出这一随机试验的样本空间； (2)写出“恰有两枚正面向上”这一事件相应的样本空间的子集． 【答案】(1){（正，正，正），（正，反，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）} (2){（正，反，正），（正，正，反），（反，正，正）} 【知识点】写出基本事件 【分析】（1）用表示结果，其中分别表示第1枚，第2枚，第3枚硬币出现的结果，然后利用列举法求解即可； （2）利用（1）直接求解. 【详解】（1）用表示结果，其中分别表示第1枚，第2枚，第3枚硬币出现的结果， 则试验的样本空间为：{（正，正，正），（正，反，正），（正，正，反），（正，反，反）， （反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）}； （2）由（1）可知“恰有两枚正面向上”这一事件相应的样本空间的子集为 {（正，反，正），（正，正，反），（反，正，正）}. 【变式1-1】（23-24高二·上海·课堂例题）两个男生、两个女生随机站一排， (1)写出样本空间； (2)写出每个人的相邻之人总是异性这个事件所对应的子集； (3)写出每个人的相邻之人至少有一个异性这个事件所对应的子集． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析. 【知识点】写出基本事件 【分析】（1）对给定的男生、女生编号，再写出样本空间. （2）（3）由（1）的信息写出相应的子集. 【详解】（1）记两个男生为，两个女生为， 样本空间， . （2）每个人的相邻之人总是异性这个事件所对应的子集为：. （3）每个人的相邻之人至少有一个异性这个事件所对应的子集为： . 【变式1-2】（2024高三下·全国·专题练习）甲、乙、丙三人坐在一排的三个位置上，讨论甲、乙两人的位置情况． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验的样本点总数； (3)写出事件“甲、乙相邻”和事件“甲在乙的左边（不一定相邻）”所包含的样本点． 【答案】(1) (2)6 (3)事件“甲、乙相邻”包含4个样本点：，，，．事件“甲在乙的左边（不一定相邻）”包含3个样本点：，， 【知识点】写出基本事件 【分析】先标记，结合题意列出所有可能的样本点，进而即可得到符合题意的样本点. 【详解】（1）从左到右记这三个位置分别为1，2，3，则这个试验的样本空间为 ， 其中第1个数表示甲坐的位置号，第2个数表示乙坐的位置号． （2）由（1）知这个试验的样本点总数是6． （3）由（1）知， 事件“甲、乙相邻”包含4个样本点：，，，． 事件“甲在乙的左边（不一定相邻）”包含3个样本点：，，． 【考点题型二】古典概型 【例2-1】（24-25高二·上海·课堂例题）某校从3名男生和2名女生中随机选出3人参加植树活动．求下列事件的概率： (1)恰有1名女生； (2)至少1名女生； (3)选出的学生中男生比女生人数多． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】写出基本事件、计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型，先算出样本空间中的样本点个数和各个事件中包含的样本点个数，再进行计算即可. 【详解】（1）三名男生用表示，两名女生用表示，随机选出3人， 则有，共10种可能. 记事件为选出3人为1女2男，则有，共6种可能， 根据古典概型，； （2）记事件为至少1名女生，则有，共有9种可能. 根据古典概型，； （3）记事件为选出的学生中男生比女生人数多， 则有共有7种可能. 根据古典概型，. 【例2-2】（23-24高二上·上海·期末）在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求： (1)取得两个红球的概率； (2)取得两个同颜色的球的概率； (3)至少取得一个红球的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据古典概率模型，先求出所有基本事件的总数，再求出满足事件条件的基本事件数，从而确定事件的概率； （2）根据题意取得两个同颜色的球分为取得两个红球和取得两个绿球两种情况，根据互斥事件概率计算公式，计算即可； （3）求出至少取得一个红球事件的对立事件即事件的概率，根据，为对立事件，有. 【详解】（1）设取得两个红球为事件，取得两个绿球为事件，至少取得一个红球为事件， 易知，为互斥事件，，为对立事件；7个红玻璃球，3个绿玻璃球， 从中无放回地任意抽取两次所有基本事件有（个）， 其中事件发生所包含的的基本事件有（个）， 事件发生所包含的的基本事件有（个）， 所以， 所以取得两个红球的概率为：. （2）取得两个同颜色的球的概率为：. （3）至少取得一个红球的概率为：. 【变式2-1】（23-24高三下·上海杨浦·阶段练习）从编号分别为1、2、3、4、5、6的6个大小与质地相同的小球中随机取出3个，则恰有2个小球编号相邻的概率为 ． 【答案】/ 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】利用列举法写出所有可能的基本事件，并列出恰有两个小球编号相邻包含的可能情况，利用古典概型即可求解. 【详解】依题意，取出的3个小球编号可能为 ，共20种， 恰有两个小球编号相邻的情况为，共12种， 故恰有2个小球编号相邻的概率为. 故答案为： 【变式2-2】（23-24高二·上海·课堂例题）已知关于的一元二次方程，其中是掷一颗骰子得到的点数．求下列事件的概率： (1)方程有两个不相等的实根； (2)是方程的根； (3)方程存在正根． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据方程有两个不相等实数根求出的取值范围，再由古典概型的概率公式计算可得； （2）代入求出的值，即可求出所对应的概率； （3）求出符合题意的的值，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】（1）若关于的一元二次方程有两个不相等的实根， 则，解得或， 又是掷一颗骰子得到的点数，所以可能为、、、、、共种情况， 则只有、、三种情况满足题意， 所以方程有两个不相等的实根的概率； （2）若是方程的根，则，解得， 所以是方程的根的概率； （3）由，解得或，由（1）可得，，， 当、、时，设方程存在两根，，则，， 所以方程必存在两个不相同的正根， 所以、、三种情况满足题意， 所以方程存在正根的概率． 【变式2-3】（24-25高二·上海·课堂例题）抛掷三枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率； (1)恰有1枚正面朝上； (2)至少2枚正面朝上； (3)至多2枚正面朝上. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）找出符合要求的情况，再利用古典概型公式求解即可. （2）按要求找出符合要求的情况，再利用古典概型公式求解即可. （3）先求出对立事件的概率，按要求找出符合要求的情况，再利用古典概型公式求解即可. 【详解】（1）总情况为种，且设三个硬币分别为， 硬币为正记为，硬币为反记为， 符合条件的情况包含，共3种， 且设概率为，所以. （2）总情况为种，且设三个硬币分别为， 硬币为正记为，硬币为反记为， 符合条件的情况包含，共4种， 且设概率为，所以. （3）总情况为种，且设三个硬币分别为， 硬币为正记为，硬币为反记为， 至多2枚正面朝上的对立事件为有超过2枚正面朝上， 符合条件的情况包含，共1种， 且设概率为，所以. 【考点题型三】频率与概率 【例3】（24-25高二·上海·课堂例题）某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表： 射击次数（n） 10 20 50 100 200 500 击中10环次数（m） 8 19 44 93 178 453 击中10环频率 (1)将表格填写完整； (2)这名运动员射击一次，击中10环的经验概率约为多少？（精确到0.1） 【答案】(1)答案见解析 (2)0.9 【知识点】计算频率、用频率估计概率 【分析】（1）根据题意频率计算公式运算求解； （2）根据概率和频率的关系分析求解. 【详解】（1）根据频率计算公式，表格数据如下： 射击次数（n） 10 20 50 100 200 500 击中10环次数（m） 8 19 44 93 178 453 击中10环频率 0.8 0.95 0.88 0.93 0.89 0.906 （2）由（1）中所求，随着射击次数的增大，频率的稳定值为0.9． 故这名运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9. 【变式3-1】（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）从存放号码分别为的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为 . 【答案】 【知识点】计算频率 【分析】根据数表求出取到奇数号码的次数即可计算作答. 【详解】由数表知，取到奇数号码的次数是：， 所以取到号码为奇数的频率为. 故答案为：0.56 【变式3-2】（24-25高二上·上海·单元测试）某种彩票中奖的概率为，有以下理解： ①买10000张彩票一定能中奖； ②买10000张彩票只能中奖1次； ③若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖； ④买一张彩票中奖的可能性是． 其中正确理解的序号为 ． 【答案】④ 【知识点】辨析概率与频率的关系 【分析】根据概率的定义即可得解. 【详解】由某种彩票中奖的概率为， 得买一张彩票中奖的可能性是，故④正确； 买10000张彩票可能一张都没有中奖，故①②错误； 若买9999张彩票未中奖，则第10000张也有可能不中奖，故③错误. 故答案为：④. 【变式3-3】（23-24高二·上海·课堂例题）对某工厂生产的产品质量进行抽查，数据如下表所示． 抽查件数 50 100 200 300 500 合格件数 47 95 192 285 478 根据上表所提供的数据，问：合格品的概率约为多少？（结果保留两位小数） 【答案】 【知识点】用频率估计概率 【分析】求出每组抽查的频率可得答案. 【详解】应用频率估计概率，可得合格品的概率约为， 所以合格品的概率约为. 【变式3-4】（24-25高二·上海·课堂例题）今年第一季度在某妇幼医院出生的男、女婴人数统计表（单位：人）如下表： 月份性别 一 二 三 总计 男婴 22 19 23 64 女婴 18 20 21 59 求今年第一季度该医院男婴的出生频率． 【答案】 【知识点】计算频率 【分析】求出第一季度出生的男婴数和婴儿总数，计算其比值即可得解. 【详解】由题意第一季度出生的男婴数为64，出生的婴儿总数为， 所以今年第一季度该医院男婴的出生频率为. 【考点题型四】独立事件的判断 【例4】（23-24高二上·上海黄浦·期末）掷质地均匀的一黑、一白两颗骰子，观察朝上的点数，A表示事件“两颗骰子的点数和为7”，B表示事件“白色骰子的点数是1”，C表示事件“两颗骰子中至少有一颗的点数是1”，分别验证事件A与事件B、事件A与事件C是否独立，请说明理由． 【答案】事件A与事件B相互独立，事件A与事件C不相互独立 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 【分析】 （1）（2）掷黑、白两颗骰子，可得基本事件的总数为36．分别求解事件A,B,C,AB，AC包含的基本事件个数，利用古典概率计算公式可得,，验证,是否成立，即可得出结论． 【详解】 掷黑、白两颗骰子，可得基本事件的总数为． 设为事件“两颗骰子的点数和为7”， 为事件“白色骰子的点数是1”，则表示“白色骰子的点数是1且两颗骰子的点数和为7”， 事件A包含的基本事件有（16）,（25）,（34）,（43）,（52）,（61）共有6个， 事件B包含的基本事件有（61）,（51）,（41）,（31）,（21）,（11）共有6个， 事件AB包含的基本事件有（61）共有1个， 则， ，， 故， 即事件A与事件B是独立的． （2）设为事件“两颗骰子的点数和为7”， C为事件“两颗骰子中至少有一颗的点数是1”，则AC表示“两颗骰子中至少有一颗的点数是1且两颗骰子的点数和为7”， 事件C包含的基本事件有（61）,（51）,（41）,（31）,（21）,（11）,（16）,（15）,（14）,（13）,（12）共有11个， 事件AC包含的基本事件有（16），（61）共有2个， 则， ，， 而， 故事件A与事件C是不是独立的． 【变式4-1】（24-25高二·上海·课堂例题）已知下列各组事件： ①抛掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M：出现的点数为奇数，事件N：出现的点数为偶数； ②袋中有除颜色外完全相同的5个白球5个黄球，依次不放回地摸两次，事件M：第1次摸到白球，事件N：第2次摸到白球； ③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：第1枚为正面朝上，事件N：两枚朝上的结果相同； ④一枚硬币抛掷两次，事件M：第一次为正面朝上，事件N：第二次为反面朝上． 其中M、N是独立事件的序号为 ． 【答案】③④ 【知识点】独立事件的判断 【分析】根据独立事件的概念与性质逐一分析即可. 【详解】①：， ，故事件不是独立事件； ②：事件的发生对事件有影响，故事件不是独立事件； ③：， ，故事件是独立事件； ④：第一次的结果对第二次的结果不影响，故事件是独立事件. 故答案为：③④. 【变式4-2】（24-25高二上·上海·假期作业）掷黑、白两颗骰子. (1)验证事件“两颗骰子的点数和为7”与事件“白色骰子的点数是1”是独立的； (2)验证事件“两颗骰子的点数和为7”与事件“两颗骰子中至少有一颗的点数是1”不是独立的. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）（2）根据题意，利用古典概率的概率计算公式，以及相互独立事件的概率判断公式，即可得证. 【详解】（1）证明：抛掷两颗骰子，可得基本事件的总数为种情况， 设事件两个枚骰子点数和为7，事件白色骰子的点数为1， 则事件表示白色骰子的点数为1且两枚骰子的点数之和为7， 则， 所以，即事件和相互独立， 即“两个枚骰子点数和为7”和“白色骰子的点数为1”相互独立. （2）证明：设事件两个枚骰子点数和为7，事件两颗骰子中至少有一颗的点数为1， 则事件表示两颗骰子中至少有一颗的点数是1且两颗骰子的点数之和为7， 白色骰子的点数为1且两枚骰子的点数之和为7， 则， 所以，即事件和不是独立的， 即“两个枚骰子点数和为7”和“两颗骰子中至少有一颗的点数为1”不独立. 【变式4-3】（23-24高二上·上海·期末）某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示： (1)求该公司员工年龄的平均数和第百分位数； (2)从该公司员工中随机抽取一位，记所抽取员工年龄在区间内为事件，所抽取员工年龄在区间内为事件，判断事件与是否互相独立，并说明理由. 【答案】(1)年龄的平均数为，第百分位数为； (2)事件、相互独立，理由见解析 【知识点】独立事件的判断、总体百分位数的估计 【分析】（1）根据平均数公式以及百分位数的定义可求得结果； （2）求出、、的值，利用独立事件的定义判断可得出结论. 【详解】（1）该公司员工年龄（单位：岁）由小到大依次为：、、、、、、、、、、、， 年龄的平均数为； 该公司共有名员工，因为， 故该公司员工年龄的第百分位数为. （2）解：由茎叶图可知，，， 事件为“抽取员工的年龄为岁”，则， 所以，，所以，事件、相互独立. 【考点题型五】互斥事件与对立事件与独立事件 【例5】（24-25高三上·上海·期中）对于一个古典概型的样本空间和事件、、、，其中，，，，，，，，则（    ）（注：表示集合的元素个数） A．与不互斥 B．与互斥但不对立 C．与互斥 D．与相互独立 【答案】D 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系、独立事件的判断 【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据的关系判断事件是否独立. 【详解】对于A，因为，，， 则，故A、B互斥，A错误； 对于B，因为，所以A、D互斥且对立，B错误； 对于C，因为，，A、D对立， 则，C与D不互斥，C错误； 对于D，由，，， 所以，即A与C相互独立，D正确. 故选：D. 【变式5-1】（23-24高二上·四川遂宁·开学考试）抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件 “第一枚出现偶数点”， “第二枚出现奇数点”，则下列说法正确的是（  ） A．A与B互斥 B．A与B互为对立 C．A与B相等 D．A与B相互独立 【答案】D 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系、独立事件的判断 【分析】根据互斥、对立、独立事件的定义判断即可. 【详解】事件与能同时发生，如第一枚的点数2，第二枚的点数为1， 故事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误； ，，，， 因为，所以与独立，故选项D正确； 事件与不相等，故选项C错误. 故选：D. 【变式5-2】（23-24高二下·上海·期末）现有4个礼品盒，前三个礼品盒中分别装了一支钢笔，一本书以及一个笔袋，第4个礼品盒中三样均有.现随机抽取一个礼盒，事件A为抽中的盒子里面有钢笔，事件B为抽中的盒子里面有书，事件C为抽中的盒子里面有笔袋，则下面选项正确的是（    ） A．A与B互斥 B．A与B相互独立 C．A与互斥 D．A与相互独立 【答案】B 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】根据互斥事件判断AC，结合独立事件的概率乘法公式判断BD. 【详解】由题意可知：事件A为取到第1或4个礼品盒，事件B为取到第2或4个礼品盒，事件C为取到第3或4个礼品盒， 对于选项A：因为事件为取到第4个礼品盒，所以A与B不互斥，故A错误； 对于选项B：因为， 可知，所以A与B相互独立，故B正确； 对于选项C：因为事件为取到第2或3或4个礼品盒， 则事件为取到第4个礼品盒，所以A与不互斥，故C错误； 对于选项D：因为事件为取到第4个礼品盒，则， 且事件为取到第4个礼品盒，则， 可知，所以A与不相互独立，故D错误； 故选：B. 【变式5-3】（23-24高三上·辽宁丹东·期中）将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 【答案】B 【知识点】独立事件的判断 【分析】根据相互独立事件概率公式，即可判断选项. 【详解】由题意知，，，， 由于，所以甲与丁相互独立． 故选：B 【考点题型六】独立事件乘法公式 【例6】（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）如图，一条河流上的，是两个独立的水闸，设它们打开的概率分别为，则出口处通水的概率为 . 【答案】/0.8 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据给定条件，利用独立事件和对立事件的概率公式计算即可求解. 【详解】依题意，令水闸打开的事件分别为事件，则，且相互独立， 所以出口处通水的概率. 故答案为： 【变式6-1】（24-25高三上·上海·开学考试）事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】概率的基本性质、独立事件的乘法公式 【分析】利用独立事件的乘法公式和概率的性质逐项判断即可. 【详解】事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件， 故，故AB错误； ，故C正确； ,故D错误. 故选：C 【变式6-2】（23-24高二·上海·课堂例题）上数学课时，教师给班里学生出了两道选择题，教师预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60．假设这两道题是独立的，问：预估做对第二道题的概率是多少？ 【答案】 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】先记事件“预估做对第一道题”，事件“预估做对第二道题”，再依据已知条件结合独立事件的概率乘法公式即可求解. 【详解】记事件“预估做对第一道题”，事件“预估做对第二道题”， 则由题， 因为这两道题是独立的，所以， 所以， 所以预估做对第二道题的概率是. 【变式6-3】（23-24高二·上海·课堂例题）在一次知识竞赛中，假设A、B、C、D四人独立答题，且答对的概率分别为，，，，如果将A、B、C组成一组与D比赛，且A、B、C三人中有一人答对即算该组答对，那么哪一方答对的概率大？ 【答案】D方答对的概率大 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】利用对立事件的概率公式和独立事件的概率乘法公式计算再比较即得. 【详解】对于A、B、C组成的这一组，因A、B、C三人中有一人答对即算该组答对， 故考虑其对立事件即“三人都没答对”的概率为, 则这一方答对的概率为，因，故D方答对的概率大. 【考点题型七】立事件的实际应用 【例7】（23-24高一上·山东威海）某社区举行宪法宣传答题活动，该活动共设置三关，参加活动的选手从第一关开始依次闯关，若闯关失败或闯完三关，则闯关结束，规定每位选手只能参加一次活动．已知每位选手闯第一关成功的概率为，闯第二关成功的概率为，闯第三关成功的概率为．若闯关结束时，恰好通过两关可获得奖金300元，三关全部通过可获得奖金800元．假设选手是否通过每一关相互独立． (1)求参加活动的选手没有获得奖金的概率； (2)现有甲、乙两位选手参加本次活动，求两人最后所得奖金总和为1100元的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的实际应用 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，分第一关没有通过和第一关通过第二关没有通过两种情况求解即可； （2）甲、乙两位选手有一人获得一等奖，一人获得二等奖，进而根据独立事件概率的乘法公式求解即可. 【详解】（1）解：设选手闯第一关成功为事件，闯第二关成功为事件，闯第三关成功为事件， 所以，， 设参加活动的选手没有获得奖金为事件， 所以. （2）解：设选手闯关获得奖金300元为事件，选手闯关获得奖金800元为事件， 所以，，， 设两人最后所得奖金总和为1100元为事件， 所以，甲、乙两位选手有一人获得一等奖，一人获得二等奖， 所以 【变式7-1】（24-25高二上·黑龙江大庆）女排世界杯比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛. (1)若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来的每局比赛甲队获胜的概率为，求甲队最后赢得整场比赛的概率； (2)若前四局比赛中甲､乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲､乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权.求两队打了个球后，甲队赢得整场比赛的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、独立事件的实际应用 【分析】（1）由题意可得甲队将以或的比分赢得比赛，从而可求出甲队最后赢得整场比赛的概率； （2）由题意可知甲接下来可以以或赢得比赛，此时的取值为2或4，然后分别求出各自对应的概率，从而可求出甲队赢得整场比赛的概率. 【详解】（1）依题意，甲队将以或的比分赢得比赛. 若甲队以的比分赢得比赛，则第4局甲赢， 若甲队以的比分赢得比赛，则第4局乙赢，第5局甲赢. 故甲队最后赢得整场比赛的概率为. （2）依题意，甲每次发球，甲队得分的概率为，接发球方得分的概率为. 甲接下来可以以或赢得比赛，此时的取值为2或4. 当时，其赢球顺序为“甲甲”，对应发球顺序为“甲甲”， ； 当时，其赢球顺序为“甲乙甲甲”或“乙甲甲甲”，对应发球顺序为“甲甲乙甲”和“甲乙甲甲”， . 两队打了个球后，甲队赢得整场比赛的概率为： . 【变式7-2】（2024·山东泰安·模拟预测）某百科知识竞答比赛的半决赛阶段，每两人一组进行PK，胜者晋级决赛，败者终止比赛.比赛最多有三局.第一局限时答题，第二局快问快答，第三局抢答.比赛双方首先各自进行一局限时答题，依据答对题目数量，答对多者获胜，比赛结束，答对数量相等视为平局，则需进入快问快答局；若快问快答平局，则需进入抢答局，两人进行抢答，抢答没有平局.已知甲､乙两位选手在半决赛相遇，且在与乙选手的比赛中，甲限时答题局获胜与平局的概率分别为，，快问快答局获胜与平局的概率分别为，抢答局获胜的概率为，且各局比赛相互独立. (1)求甲至多经过两局比赛晋级决赛的概率； (2)已知乙最后晋级决赛，但不知甲､乙两人经过几局比赛，求乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】独立事件的实际应用、条件概率性质的应用、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）分别求出甲第一局获胜、第一局平局第二局获胜的概率可得答案； （2）分别求出乙恰好经过一局､两局､三局比赛晋级决赛的概率，由三局比赛晋级决赛的概率除以经过一局､两局､三局比赛晋级决赛的概率和可得答案. 【详解】（1）设甲至多经过两局比赛晋级决赛为事件A，则甲第一局获胜或第一局平局第二局获胜， 则. （2）记乙恰好经过一局、两局、三局比赛晋级决赛分别为事件B、C、D， 则， ， ， 故在乙最后晋级决赛的前提下， 乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率为. 【变式7-3】（24-25高二·全国·课后作业）甲、乙两人下棋，每局胜的可能性一样．某一天两人要进行一次五局三胜的比赛，最终胜者获得160元奖金，第一场比赛甲胜后，因为其他事而中止比赛，问如何分160元奖金才公平?帕斯卡和费尔马均认为应该依两人最终赢的可能性大小按比例来分．按照这种方式请你算一算甲乙两人各分得多少奖金? 【答案】甲110元，乙50元 【知识点】独立事件的实际应用 【分析】讨论比赛三局、四局、五局的情况，由独立事件的乘法公式得出甲，乙最终赢的概率，进而得出甲和乙的奖金. 【详解】当比赛三局分出胜负时，甲一定获胜，其概率为 当比赛四局分出胜负时，甲获胜的概率为 当比赛五局分出胜负时，甲获胜的概率为 即甲最终赢的概率为，乙最终赢的概率为 故甲的奖金为元，乙的奖金为元 【考点题型八】递推法求概率 【例8】（20234·全国·模拟预测）在2023年成都大运会的射击比赛中，中国队取得了优异的比赛成绩，激发了全国人民对射击运动的热情．某市举行了一场射击表演赛，规定如下：表演赛由甲、乙两位选手进行，每次只能有一位选手射击，用抽签的方式确定第一次射击的人选，甲、乙两人被抽到的概率相等；若中靶，则此人继续射击，若未中靶，则换另一人射击．已知甲每次中靶的概率为，乙每次中靶的概率为，每次射击结果相互独立． (1)若每次中靶得10分，未中靶不得分，求3次射击后甲得20分的概率； (2)求第n次射击的人是乙的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】独立事件的乘法公式、递推法求概率 【分析】（1）根据题意，把3次射击后甲得20分的情况，第1次、第2次都是甲射击且中靶，第3次甲射击且未中靶和第1次乙射击且未中靶，第2次、第3次甲射击且均中靶，结合相互独立的概率乘法公式，即可求解； （2）设“第n次射击的人是乙”为事件，得到，得到为等比数列，得到数列的通项公式，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，3次射击后甲得20分的情况有以下两种： 第1次、第2次都是甲射击且中靶，第3次甲射击且未中靶，其概率； 第1次乙射击且未中靶，第2次、第3次甲射击且均中靶， 其概率． 所以3次射击后甲得20分的概率． （2）解：设“第n次射击的人是乙”为事件， 则， 所以，又由，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，则， 故第n次射击的人是乙的概率为． 【变式8-1】（多选）（23-24高二下·重庆沙坪坝·期中）设一个正三棱柱，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行n次，仍然在上底面的概率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】求等比数列前n项和、独立事件的乘法公式、递推法求概率、构造法求数列通项 【分析】根据题意假设蚂蚁爬次仍在上底面的概率为，那么它前一步只有两种情况：也许本来就在上底面，再走一步要想不在下底面，只有两条路，其概率是；也许是上一步在下底面，则第步不在上底面的概率是，如果爬上来，其概率应是．两件事情是互斥的，因此，，整理得，；构造等比数列，即求出，从而计算可得． 【详解】解：显然，. 蚂蚁爬次仍在上底面的概率为，那么它前一步只有两种情况： ：如果本来就在上底面，再走一步要想不在下底面，只有两条路，其概率是； ：如果是上一步在下底面，则第步不在上底面的概率是，如果爬上来，其概率应是. ，事件互斥，因此，，整理得， 即， 所以为等比数列，公比为，首项为， 所以，∴. 所以. 故选：AD. 【变式8-2】（23-24高二上·上海虹口）某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球.已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第次按下按钮后出现红球的概率为，则的通项公式为 . 【答案】， 【知识点】递推法求概率、条件概率性质的应用、由递推关系式求通项公式 【分析】根据条件概率分别求出第次出现红球、绿球情况下第n次出现红球的概率，利用全概率公式计算数列的递推公式，再根据递推公式求通项公式. 【详解】设“第次出现红球”，“第次出现绿球”，D＝“第n次出现红球”， 则，，，， 由全概率公式得 ()． 即，， 所以，, 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即，， 故答案为：， 提升训练 一、填空题 1．（24-25高三上·上海·期中）三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为 . 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意列出参加晚会的所有情形，利用古典概型计算即可. 【详解】不妨记三人为甲，乙，丙， 则所有参加晚会的情形有：①只去一人，甲，乙，丙；②去两人，甲乙，甲丙，乙丙； ③去三人，甲乙丙；共计7种情形， 所以恰有1人去的概率为. 故答案为： 2．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）甲､乙两气象站同时作天气预报，如果甲站､乙站各自预报的准确率分别为0.8和0.7，且假定甲､乙两气象站预报是否准确相互之间没有影响，那么在一次预报中，甲站､乙站预报都错误的概率为 . 【答案】/0.06 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解. 【详解】解：记“甲预报准确”，“乙预报准确”， 则 所以甲､乙都预报错误的概率为 故答案为：0.06 3．（24-25高二·上海·课堂例题）银行储蓄卡的密码由6个数字组成，每个数字可以是十个数字中的任意一个．假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是 ． 【答案】/ 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】利用古典概型求解即可. 【详解】我们知道密码是从一直到，共有个数， 而正确的密码只有1个且设概率为，故概率为. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）甲､乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛11分制，若比分打到时，需要一人比另一人多得两分，比赛才能结束.已知甲赢得每一分的概率为，在两人的第一局比赛中，两人达到了，此局比赛结束时，两人的得分总和为24的概率为 . 【答案】 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】由条件确定最后四局的胜负情况结合独立事件概率公式计算即可. 【详解】因为比赛结束时，两人的得分总和为24，其中且两人的得分的差的绝对值为2， 若甲赢得比赛，则最后两局比赛甲胜，第21球和第22球甲乙一胜一负， 所以事件甲赢得比赛的概率为， 同理乙赢得比赛的概率为， 所以. 故答案为： 5．（24-25高三上·上海·期中）为了解某年级学生的课外学习情况，从该年级名学生中按分层抽样，从男生中抽取名，女生中抽取名，则男生甲被抽中且女生乙没有被抽中的概率为 （用数字作答） 【答案】/ 【知识点】独立事件的乘法公式、计算古典概型问题的概率、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】求出男生甲被抽中的概率、女生乙没有被抽中的概率，即可得答案. 【详解】解：因为在样本中，男生占， 所以该年级男生总人数为：(人)， 所以男生甲被抽中的概率为， 同理可得该年级女生总人数为：(人)， 所以女生乙被抽中的概率为，没有被抽中的概率为， 所以男生甲被抽中且女生乙没有被抽中的概率为. 故答案为： 6．（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）九官格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为奇数，则的概率为 . 9 7 4 5 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意列出这个试验的等可能结果，然后求解概率即可； 【详解】这个试验的等可能结果用下表表示： a b c d e 2 1 6 3 8 2 1 8 3 6 6 1 2 3 8 6 1 8 3 2 8 1 2 3 6 8 1 6 3 2 2 3 6 1 8 2 3 8 1 6 6 3 2 1 8 6 3 8 1 2 8 3 2 1 6 8 3 6 1 2 共有12种等可能的结果，其中的结果有10种， 所以的概率为. 故答案为：. 7．（24-25高三上·上海青浦·阶段练习）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判，则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是 ． 【答案】/ 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式,即可得出. 【详解】前局中，因第局甲当裁判，则乙恰好当1次裁判的事件A，设乙第二局当裁判的事件A1、乙第三局当裁判的事件A2，乙第二局当裁判的事件A3，它们互斥， 乙第二局当裁判的事件是乙在第一局输，第三局胜，则, 乙第三局当裁判的事件是乙在第一局胜，第二局输，则， 乙第四局当裁判的事件是乙在第一局胜，第二局胜，第三局输，则， 所以 故答案为：. 8．（24-25高二·上海·课堂例题）已知函数，其中系数a、，任取一个函数有零点的概率是 . 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、求函数零点或方程根的个数 【分析】求出函数解析式一共有多少种不同的情况，再用列举法求出函数有零点的情况，由古典概型概率公式可得答案. 【详解】由已知，函数解析式一共有种不同的情况， 若函数有零点， 则相应的一元二次方程的， 即，所以有；；； ；；共6种情况， 由古典概型概率公式可得. 故答案为：. 9．（23-24高三上·天津河北）甲、乙两人参加玩游戏活动，每轮游戏活动由甲、乙各玩一盘，已知甲每盘获胜的概率为，乙每盘获胜的概率为.在每轮游戏活动中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的概率为 . 【答案】 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】分别求出甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、3盘的概率，再根据相互独立事件以及互斥事件的概率公式，即可求得答案. 【详解】设分别表示甲在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、2盘的事件， 设分别表示乙在两轮玩游戏活动中共获胜1盘、2盘的事件， 根据相互独立事件的概率公式可得， ， 则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的事件为， 且互斥，故 ， 故答案为： 10．（23-24高一下·安徽芜湖）设样本空间含有等可能的样本点，且事件，事件，事件，使得，且满足两两不独立，则 . 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】根据古典概型概率计算及相互独立性推测即可. 【详解】由题意，，所以， 所以是共同的唯一的样本点，又两两不独立，即，，， 可见不可以为或，所以为或，即. 故答案为： 二、单选题 11．（24-25高三上·上海·阶段练习）对于二元一次方程组，其系数，的值分别由掷一颗均匀骰子和一枚均匀硬币决定．令的值为骰子出现的点数；若硬币出现正面时的值为1，若硬币出现反面时的值为2．对于以下两个命题判断正确的是（    ）． ①此方程无解或有无穷多解的概率为； ②在硬币出现反面且此方程有解的条件下，的值为正的概率为． A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 【答案】B 【知识点】古典概型的特征、计算古典概型问题的概率 【分析】由题意可知，从而可得原方程组共有12种情况，求出方程无解或有无穷多解的概率，判断①；求出硬币出现反面且此方程有解的条件下，的值为正的概率，判断②，即可得答案. 【详解】解：由题意可得， 所以方程组一共有种情况； 当此方程组无解时，则有， 此时只能是，，共1种情况， 所以方程组无解的概率； 当此方程组有无数组解时，则有， 此时只有这一种情况， 所以方程组有无数组解的概率； 所以方程无解或有无穷多解的概率为，故①正确； 当硬币出现反面时，， 此时方程组为，要使方程组有解， 则必有，即， 所以 消去，得， 要使的值为正，则， 所以此时的值为正的概率为，故②错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断出二元一次方程组无解、有无数组解及有正数解时，系数满足的关系. 12．（23-24高一下·江苏常州）设，为两个随机事件，以下命题正确的为（    ） A．若，是对立事件，则 B．若，是互斥事件，，则 C．若，且，则，是独立事件 D．若，是独立事件，，则 【答案】C 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】根据对立事件的概念判断A，根据互斥事件的概率加法公式判断B，根据独立事件的定义及概率公式判断C、D. 【详解】对于A，若是对立事件，则，A错误； 对于B，若是互斥事件，，则，B错误； 对于C，，则，， 又，则是独立事件，C正确； 对于D，若是独立事件，则是独立事件，而， 则，D错误. 故选：C 13．（23-24高一下·广东东莞·期末）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件“第一次朝上面的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的是（    ） A．第一次朝上面的数字是偶数 B．第一次朝上面的数字是1 C．两次朝上面的数字之和是8 D．两次朝上面的数字之和是7 【答案】D 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】根据题意，由相互独立事件的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】抛掷骰子两次，共有个基本事件数， 则， 共18个基本事件，则， 设事件为第一次朝上面的数字是偶数，则事件与事件是对立事件，故A错误； 设事件为第一次朝上面的数字是1，则，故B错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是8， 则共5个基本事件，则， 且，则， ，所以C错误； 设事件两次朝上面的数字之和是7，则， 则，且，则， 因为，所以事件与事件相互独立. 故选：D 14．（23-24高二上·上海·期末）设、分别是事件A、B的对立事件，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B．若A、B是互斥事件，则 C． D．若A、B是独立事件，则 【答案】B 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】利用对立概率公式判断选项AC；依据互斥事件概率公式判断选项B；依据独立事件概率公式判断选项D. 【详解】选项A：是事件A的对立事件，则.判断正确； 选项B：若A、B是互斥事件，则， 又，则.判断错误； 选项C：因为与A对立，.判断正确； 选项D：若A、B是独立事件，则.判断正确. 故选：B 15．（23-24高三上·湖南益阳·阶段练习）给定事件，且，则下列结论：①若，且互斥，则不可能相互独立；②若，则互为对立事件；③若，则两两独立；④若，则相互独立.其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】相互独立事件与互斥事件、独立事件的判断 【分析】根据独立事件概率公式可判断①正确；通过反例可说明②③错误；由，结合独立事件概率公式可知④正确. 【详解】对于①，若互斥，则，又， ，不相互独立，①正确； 对于②，，； 扔一枚骰子，记事件为“点数大于两点”；事件为“点数大于五点”；事件为“点数大于一点”， 则，，， 满足，但不是对立事件，②错误； 对于③，扔一枚骰子，记事件为“点数大于两点”；事件为“点数大于五点”；事件为“点数大于六点”， 则，，，，， 满足，此时， 事件不相互独立，③错误； 对于④，，事件与互斥，， 又，， 即，事件相互独立，④正确. 故选：B. 【点睛】思路点睛：本题考查对立事件、独立事件的判断，解题基本思路是能够结合和事件和积事件的定义，利用独立事件概率公式依次验证选项中的事件是否为独立事件. 三、解答题 16．（24-25高二上·上海静安·期中）同时掷两颗骰子，求 (1)所得点数之和为7的概率； (2)所得点数都是奇数的概率. 【答案】(1)； (2). 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】（1）（2）利用列举法写出样本空间，再求出所求概率的事件含有的样本点即可得解. 【详解】（1）同时掷2颗骰子的样本空间 ，共36个样本点， 所得点数和为7的事件含有的样本点为，共6个， 所以所得点数和为7的概率. （2）由（1）知，所得点数都是奇数的事件含有的样本点为： ，共9个， 所以所得点数都是奇数的概率. 17．（24-25高三上·上海·期中）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数（人） x 30 25 y 10 结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)若将这100位顾客分成两类，第一类是购物量不超过8件的人群，第二类为购物量超过8件的人群，现采用分层抽样的方法抽取20位顾客，进行问卷调查，求第二类人群中应抽取的人数； (3)若将频率视为概率，求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率. 【答案】(1)，，1.9分钟 (2)11 (3). 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】（1），，解方程组；运用加权平均数公式计算平均值； （2）运用分层抽样比计算即可； （3）运用古典概型计算概率即可. 【详解】（1）由题知，可得，，，， 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为：（分钟）. （2）设第一类和第二类人群中抽取的人数分别为m，n，则， 所以，，即第二类人群中应抽取的人数为11. （3）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”， ，，分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”. 将频率视为概率，得，，. 因为，且，，是互斥事件， 所以. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为. 18．（24-25高二上·上海·课后作业）写出下列事件相应的样本空间的子集． (1)投掷次骰子，得到的“数字之和大于”； (2)抛掷枚硬币，恰有两枚正面朝上． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】确定性事件与随机事件的概率 【分析】（1）写出满足条件的样本点即可； （2）写出满足条件的样本点即可； 【详解】（1）记投掷两次骰子所得结果为，其中表示第一次投掷的结果，表示第二次投掷的结果，事件：“数字之和大于8”所包含的样本点为： ，共个， 用集合表示为； （2）抛掷枚硬币，若正面朝上，则记为，反之，则记为，所得结果表示为，事件：“抛掷枚硬币，恰有两枚正面朝上”所包含的样本点为： ，共个， 用集合表示为. 19．（23-24高二下·贵州毕节·阶段练习）某社区举办“闹元宵，猜灯谜”活动.甲、乙、丙三个家庭同时参加此活动．某一灯谜，已知甲家庭猜对的概率是，甲、丙两个家庭都猜错的概率是，乙、丙两个家庭都猜对的概率是．若各家庭是否猜对互不影响． (1)求乙、丙两个家庭各自猜对此灯谜的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭猜对此灯谜的概率． 【答案】(1)甲家庭猜对的概率为，乙家庭猜对的概率为 (2) 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）记甲家庭猜对此灯谜为事件，乙家庭猜对此灯谜为事件，丙家庭猜对此灯谜为事件，根据相互独立事件的概率公式得到方程组，解得即可； （2）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）记甲家庭猜对此灯谜为事件，乙家庭猜对此灯谜为事件，丙家庭猜对此灯谜为事件， 则，，， 又、、两两相互独立，所以， 解得，即甲家庭猜对的概率为，乙家庭猜对的概率为. （2）记甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭猜对此灯谜为事件， 则 . 20．（23-24高二上·山东聊城·期末）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为. (1)求和的值； (2)试求两人共答对3道题的概率. 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程组可解得； （2）分别求出两人答对1道题的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一人答对2道题另一人答对1道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论． 【详解】（1）设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则，. 设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}， 则，. 由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥，所以， . 由题意可得 即解得或 由于，所以，. （2）设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，1，2. 由题意得，，， ，. 设{甲乙二人共答对3道题}，则. 由于和相互独立，与相互互斥， 所以. 所以，甲乙二人共答对3道题的概率为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$