专题01 空间直线与平面（考点清单+知识导图+14 个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（沪教版2020）

清单01 空间直线与平面 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法） （1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或） （2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段. （3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半. （4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图. 方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有. 【清单02】异面直线所成角的概念 已知两条异面直线，，经过空间任一点分别作直线，，我们把直线与所成的 角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角） 【清单03】异面直线所成的角的求解步骤 ①构造：根据异面直线的定义，用平移法（常利用三角形中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角. ②证明：证明作出的角就是要求的角 ③计算：求角度（常利用三角形的有关知识） ④结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就 是所求异面直线所成的角. 【清单04】直线与平面平行 (1)直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号表述： 图形语言 【清单05】直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 符号表述：，， 【清单06】直线与平面垂直 （1）定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足. （2）符号语言：对于任意，都有. （3）图形语言： 【清单07】直线与平面垂直的判定定理 （1）直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 简记：线线垂直线面垂直 （2）符号语言：，，，， （3）图形语言：如图 【清单08】直线与平面垂直的性质定理 （1）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （2）符合语言：， （3）图形语言： 【清单09】直线与平面所成角的定义 如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 【清单10】直线与平面所成角的求解步骤 ①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键； ②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义； ③算：一般借助三角形的相关知识计算. 【清单11】平面与平面平行的判定定理 （1）两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.（定理简述：线面平行，则面面平行。） （2）符号语言 （3）图形语言 【清单12】平面与平面平行的性质定理 （1）平面与平面平行的性质定理 两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. （2）符号语言 （3）图形语言 【清单13】平面与平面垂直的判定定理 （1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直) （2）符号（图形）语言:， 【清单14】平面与平面垂直的性质定理 （1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)符号（图形）语言：，， . 【清单15】二面角的平面角 （1）定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 【清单16】二面角的平面角求法 （1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角. （2）三垂线定理及其逆定理 ①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角. (3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角. 【考点题型一】平面直观图 【例1】（24-25高二上·上海崇明·期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 . 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期中）用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图如图所示，已知，则的面积为 . 【变式1-2】（24-25高二上·上海杨浦·期中）如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，，则原图形周长是 ． 【考点题型二】异面直线的判定 【例2】（23-24高二上·上海闵行·期末）如图所示，正方体中，是线段上的动点（包含端点），则下列哪条棱所在直线与直线始终异面（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，在正方体的所有棱所在直线中，与直线异面的共有 条． 【变式2-2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图是一个正方体的平面展开图，将它还原为正方体后，直线MN与AB的位置关系是 ；直线MN与AC的位置关系是 ． 【考点题型三】异面直线所成角 【例3】（24-25高二上·上海·期中）在长方体中，，则直线与直线所成角的余弦值为 . 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）是空间四边形，且和成角，、分别是和的中点，则和所成的角是（    ） A． B． C．或 D． 【变式3-2】（24-25高二上·上海静安·期中）如图，正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，的中点为. (1)求证：直线与直线是异面直线； (2)求直线与所成角的大小. 【变式3-3】（24-25高二上·上海·期中）如图，在圆柱中，是底面圆的直径，为半圆弧上一点，是圆柱的母线．已知，，圆柱的体积为．求异面直线与所成角的大小． 【考点题型四】根据异面直线所成角求其他量 【例4】1．（24-25高二·上海·假期作业）如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为，则MN＝（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-1】（24-25高二上·上海·期中）在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为 . 【变式4-2】（23-24高二下·上海宝山）、、、分别是空间四边形边、、、的中点，异面直线与所成角大小为，则 . 【考点题型五】直线与平面平行 【例5】（2024·上海嘉定·二模）如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【变式5-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，棱长为2的正方体中，分别是的中点． (1)证明：平面． (2)求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角表示） 【变式5-2】（23-24高二上·上海·期末）如图，在直三棱柱中，已知为的中点. (1)求直三棱柱的表面积； (2)求异面直线与所成角的大小（用反三角函数表示）； (3)求证：平面. 【考点题型六】直线与平面垂直 【例6】（24-25高二上·上海宝山·期中）正方体中，求证： (1)平面； (2)与的夹角的余弦值． 【变式6-1】.（24-25高二上·上海·期中）如图，已知平面，垂直，则图中共有 个直角三角形． 【变式6-2】（24-25高二上·北京海淀·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若，平面，求证：平面. 【考点题型七】求直线与平面所成角 【例7】（24-25高二上·上海·期中）如图，正方体的棱长为1，，求：    (1)与所成角的大小； (2)与平面所成角的正切值． 【变式7-1】.（24-25高二上·上海·期中）正方体的边长为1，直线与平面所成角的余弦值为 . 【变式7-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为中点. (1)若为的中点，判断直线与的位置关系，并说明理由; (2)若，求直线与平面所成角的大小. 【考点题型八】根据直线与平面所成角求其他量 【例8】（2022高一·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，侧面，是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形． (1)求证：； (2)在棱上是否存在一点，使与面所成角为？若存在，求的长；若不存在，说明理由． 【变式8-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，则该正四棱锥的高是    【变式8-2】（23-24高二下·上海·阶段练习）在正四棱柱 中， 已知底面的边长为2， 点P是的中点，直线与平面成角. 则正四棱柱的高为 . 【考点题型九】平面与平面平行 【例9】（2024高二下·天津南开·学业考试）如图，在正方体中，    (1)求证：平面平面； (2)求直线和平面所成角． 【变式9-1】（24-25高二上·上海·单元测试）两个全等的正方形和所在平面相交于，，且，过点M作于点H．求证：平面平面． 【变式9-2】（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，在三棱柱中，若、D分别为、BC的中点，求证：平面平面． 【考点题型十】平面与平面垂直 【例10】（24-25高二上·上海松江·期中）已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值. 【变式10-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，底面，垂足为，，． (1)求证：侧面侧面； (2)为的中点，，垂足为，求与侧面所成角的大小． 【变式10-2】（24-25高三上·上海·期中）如图，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，，是的中点，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面平面. 【考点题型十一】求二面角 【例11】（24-25高二上·上海·期中）在长方体中，，，，则二面角的大小的正切值为 ． 【变式11-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，在正方体中，二面角的大小是 . 【变式11-2】（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）在正方体中，二面角的平面角大小为 . 【变式11-3】（24-25高二上·上海·随堂练习）棱长为a的正方体中，二面角的正切值为 ． 【考点题型十二】根据二面角角求其他量 【例12】（24-25高二上·上海·期中）菱形ABCD的对角线，沿BD把平面ABD折起与平面BCD成的二面角后，点A到平面BCD的距离为 ． 【变式12-1】（23-24高一下·辽宁·期末）如图，已知在矩形ABCD和矩形ABEF中，，，且二面角为，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为 ．    【变式12-2】（23-24高二上·辽宁）如图，将正三角形绕旋转到三角形的位置，当二面角的大小在时，直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 ． 【考点题型十三】平行，垂直关系综合（小题） 【例13】（24-25高三上·上海·期中）已知是直二面角，直线在平面上，直线在平面上.若、均与既不平行，也不垂直，则与的位置关系是（    ） A．可能垂直，也可能平行 B．可能垂直，但不可能平行 C．不可能垂直，但可能平行 D．既不可能垂直，也不可能平行 【变式13-1】.（24-25高二上·上海·期中）木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面上过点画直线，则与直线的位置关系是（   ）. A．平行 B．相交 C．异面 D．重合 【变式13-2】（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在正方体中，、为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则平面平面 C．若，，则平面 D．若，，则 【变式13-3】（2024·甘肃天水）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则. 【考点题型十四】平行垂直关系综合（解答题） 【例14】（24-25高二上·上海·期中）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的投影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的大小（结果用反三角表示）； (3)若点是线段上的动点，请找出点所在的位置，使得直线与平面所成的角最大. 【变式14-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，棱柱的所有棱长都等于，，平面平面，.    (1)证明：； (2)求锐二面角的余弦值； (3)在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【变式14-2】（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）如图，平行六面体的底面是菱形，且，求： (1)若，，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值； (2)当的值为多少时，能使平面？ 提升训练 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·期中）若二面角内一点到的距离分别等于，则该二面角的大小为 . 2．（24-25高二上·上海宝山·期中）有下列四个说法： ①不在同一直线上的三点确定一个平面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③三条直线两两相交则确定一个平面； ④两个相交平面把空间分成四个区域． 其中错误说法的序号是 ． 3．（24-25高二上·上海松江·期中）已知所在平面外一点，且二面角、、大小相等，则点在平面内的射影应为的 心. 4．（24-25高二上·上海·期中）已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为 . 5．（24-25高二上·上海·期中）已知平行四边形的四个顶点均在平面的同一侧，若，，三点到平面的距离分别为2、3、4，则点到平面的距离为 . 6．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知长方体的棱长，则点到棱的距离是 7．（24-25高二上·上海·阶段练习）在长方体中，若，则直线到平面的距离是 . 8．（24-25高二上·上海松江·期中）用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图如图，若在直观图中，则 .    9．（24-25高二上·上海·期中）如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是矩形，其中，，则原图形周长是 ．    10．（24-25高二上·上海·期中）如图，是边长为的等边三角形，为直角三角形，D为直角顶点，，连接AD．当二面角从变化到的过程中，线段AD在平面上的投影扫过的平面区域的面积为 ． 二、单选题 11．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知直线及平面，其中，且和之间的距离为2，那么在平面内到直线和距离之和为3的点的集合不可能是（    ） A．一个点 B．一条直线 C．两条直线 D．空集 12．（24-25高三上·上海·期中）如图，将正方形沿对角线折成直二面角，则对于翻折后的几何图形，下列结论不正确的是（  ） A． B．与平面所成角为60° C．为等边三角形 D．二面角的平面角的正切值是 13．（24-25高二上·上海·期中）正四面体棱长为1，平面，垂足为，设为线段上一点，且，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·上海崇明·期中）正方体中，与的交点称为正方体的中心，若平面经过该正方体的中心，且顶点，到平面的距离相等，则符合条件的平面的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．12个 D．无数个 15．（24-25高二上·上海·期中）空间中有两个不同的平面、和两条不同的直线m、n，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 三、解答题 16．（24-25高二上·上海·期中）四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，是的中点. (1)求二面角的余弦值； (2)求异面直线和之间的距离. 17．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在四面体中，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小. 18．（24-25高二上·上海·期中）已知正四棱锥的高为8，各个顶点均在表面积为的球的表面上，相交于，点为线段上一点，使得直线平面. (1)确定点的位置，并证明你的结论； (2)求异面直线与所成角的大小. 19．（24-25高三上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，，分别为，，的中点，，，. (1)求证：. (2)求异面直线与所成角. 20．（24-25高二上·上海·期中）正四棱柱的底面边长，．求： (1)直线与平面所成角大小； (2)异面直线与所成角大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 空间直线与平面 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法） （1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或） （2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段. （3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半. （4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图. 方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有. 【清单02】异面直线所成角的概念 已知两条异面直线，，经过空间任一点分别作直线，，我们把直线与所成的 角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角） 【清单03】异面直线所成的角的求解步骤 ①构造：根据异面直线的定义，用平移法（常利用三角形中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角. ②证明：证明作出的角就是要求的角 ③计算：求角度（常利用三角形的有关知识） ④结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就 是所求异面直线所成的角. 【清单04】直线与平面平行 (1)直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号表述： 图形语言 【清单05】直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 符号表述：，， 【清单06】直线与平面垂直 （1）定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足. （2）符号语言：对于任意，都有. （3）图形语言： 【清单07】直线与平面垂直的判定定理 （1）直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 简记：线线垂直线面垂直 （2）符号语言：，，，， （3）图形语言：如图 【清单08】直线与平面垂直的性质定理 （1）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （2）符合语言：， （3）图形语言： 【清单09】直线与平面所成角的定义 如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 【清单10】直线与平面所成角的求解步骤 ①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键； ②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义； ③算：一般借助三角形的相关知识计算. 【清单11】平面与平面平行的判定定理 （1）两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.（定理简述：线面平行，则面面平行。） （2）符号语言 （3）图形语言 【清单12】平面与平面平行的性质定理 （1）平面与平面平行的性质定理 两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. （2）符号语言 （3）图形语言 【清单13】平面与平面垂直的判定定理 （1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直) （2）符号（图形）语言:， 【清单14】平面与平面垂直的性质定理 （1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)符号（图形）语言：，， . 【清单15】二面角的平面角 （1）定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 【清单16】二面角的平面角求法 （1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角. （2）三垂线定理及其逆定理 ①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角. (3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角. 【考点题型一】平面直观图 【例1】（24-25高二上·上海崇明·期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，其中，，，，则平面图形的面积为 . 【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据平面图形为直角梯形可求其面积. 【详解】由直角梯形可得，，， ， 而，故， 故直角梯形的面积为， 故答案为： 【变式1-1】（24-25高二上·上海·期中）用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图如图所示，已知，则的面积为 . 【答案】 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】先推导出原三角形的面积与其直观图面积之间的关系，并求出的面积，由此可得出的面积. 【详解】不妨设的底边，点到边的距离为，则，如下图所示： 在斜二测直观图中，如下图所示： 点到直线的距离为， 所以，，则， 本题中，在直观图中，， 则为等边三角形，则， ， 所以，， 所以，， 则. 故答案为：. 【变式1-2】（24-25高二上·上海杨浦·期中）如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，，则原图形周长是 ． 【答案】12 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】由直观图还原为原图，分别求得边长从而得到周长. 【详解】如图所示， 在直观图中，设与交于点，则，，， 在原图形中，，，，， 所以原图形的周长是． 故答案为： 【考点题型二】异面直线的判定 【例2】（23-24高二上·上海闵行·期末）如图所示，正方体中，是线段上的动点（包含端点），则下列哪条棱所在直线与直线始终异面（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】异面直线的判定 【分析】根据点运动到线段端点、中点位置可判断ABD，根据异面直线的判定可判断C. 【详解】当运动到点时，与直线相交，故A错误； 当运动到点时，与直线相交，故B错误； 因为与在同一平面上，,平面， 所以由异面直线判定定理知，直线与直线始终异面，故C正确； 当运动到点中点时，，此时与直线共面，故D错误； 故选：C 【变式2-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，在正方体的所有棱所在直线中，与直线异面的共有 条． 【答案】 【知识点】异面直线的判定 【分析】直接找出与直线异面的棱即可. 【详解】与直线有公共点的棱均与直线不异面，有、、、、、共条， 与直线异面的棱有、、、、、共条. 故答案为： 【变式2-2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图是一个正方体的平面展开图，将它还原为正方体后，直线MN与AB的位置关系是 ；直线MN与AC的位置关系是 ． 【答案】 平行 异面 【知识点】异面直线的判定 【分析】把正方体的平面展开图还原，根据正方体的性质进行判断即可. 【详解】把正方体的平面展开图还原如下图所示： 因此可以判断直线MN与AB的位置关系是平行， 直线MN与AC的位置关系是异面， 故答案为：平行；异面 【考点题型三】异面直线所成角 【例3】（24-25高二上·上海·期中）在长方体中，，则直线与直线所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【知识点】求异面直线所成的角、余弦定理解三角形 【分析】根据异面直线所成角的定义可得或其补角即为所求的角，再由余弦定理计算可得结果. 【详解】如图所示： 不妨设，则由长方体性质可得， 易知直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即为或其补角； 在中，可得， 由余弦定理可知. 故答案为： 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）是空间四边形，且和成角，、分别是和的中点，则和所成的角是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】取中点，连结，推导出是异面直线与所成的角（或所成角的补角），或，由，得是异面直线和所成的角，由此能求出异面直线和所成的角． 【详解】 取中点，连结， ∵在空间四边形中，，且异面直线与所成的角为， 分别为边和的中点， 且 且， 是异面直线AB与CD所成的角（或所成角的补角）， ∵异面直线与所成的角为， ∴或， ∵，得是异面直线和所成的角， 当时， ， 当时，， ∴异面直线和所成的角为或. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高二上·上海静安·期中）如图，正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，的中点为. (1)求证：直线与直线是异面直线； (2)求直线与所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】异面直线的判定、求异面直线所成的角 【分析】（1）根据异面直线判定定理进行证明. （2）找出异面直线所成的角，解三角形求角的大小. 【详解】（1）如图： 因为平面，平面，平面，所以直线与直线是异面直线. （2）因为，所以即为异面直线与所成的角. 在中，，，, 所以，所以. 【变式3-3】（24-25高二上·上海·期中）如图，在圆柱中，是底面圆的直径，为半圆弧上一点，是圆柱的母线．已知，，圆柱的体积为．求异面直线与所成角的大小． 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】由题意知，则异面直线与所成角即为，再利用余弦定理计算夹角即可求解． 【详解】由题意知，则异面直线与所成角即为， 又， 在中，又， ， ． 则异面直线与所成角的大小为． 【考点题型四】根据异面直线所成角求其他量 【例4】1．（24-25高二·上海·假期作业）如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为，则MN＝（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】平移法找出异面直线所成的角，后用直角三角形知识解决． 【详解】 取AD的中点P，连接PM，PN，则 ∴或其补角即异面直线AC与BD所成的角， ∴，，， ∴. 故选：C. 【变式4-1】（24-25高二上·上海·期中）在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为 . 【答案】 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】根据中位线可证得四边形为平行四边形，求可得四边形边长和内角的大小，进而可得四边形的面积． 【详解】设的中点分别为，连接,,,， 由题意可得，，且， 所以四边形为平行四边形， 因为异面直线与所成的角为， 所以直线与所成的角等于， 所以． 故答案为：． 【变式4-2】（23-24高二下·上海宝山）、、、分别是空间四边形边、、、的中点，异面直线与所成角大小为，则 . 【答案】或 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】连接、，利用异面直线所成角的定义可得出的大小. 【详解】连接、， 因为、分别为、的中点，则，同理可知，， 所以，直线与所成角为或其补角， 又因为与所成角为，若为锐角，则；若为钝角，则. 综上所述，或. 故答案为：或. 【考点题型五】直线与平面平行 【例5】（2024·上海嘉定·二模）如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、求异面直线所成的角 【分析】（1）连接交于点，连接，由中位线得到，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用几何关系求出再找到异面直线所成的角，最后求出正弦值即可求出角的大小. 【详解】（1） 证明：连接交于点，连接， 为的中位线，故， 平面，不在平面内， 所以平面. （2）因为，， 所以，为直角三角形，而是的中点， 所以， 因为平面，平面，所以， 即， 所以，， 在中， 直线与所成的角即为， ， 所以直线与的所成角的大小为. 【变式5-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，棱长为2的正方体中，分别是的中点． (1)证明：平面． (2)求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角表示） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】反三角函数、证明线面平行、求异面直线所成的角 【分析】（1）构造线线平行，根据线面平行的判定定理证明线面平行. （2）根据线线平行，找出异面直线所成的角，在三角形中，利用余弦定理求角的余弦. 【详解】（1）如图：连接，. 因为为正方体，所以. 又，、分别是、的中点，所以， 所以，平面，平面，所以平面. （2）如图：连接、 因为，所以即为异面直线与所成的角，设为. 在中，，，. 所以. 所以异面直线与所成的角为：. 【变式5-2】（23-24高二上·上海·期末）如图，在直三棱柱中，已知为的中点. (1)求直三棱柱的表面积； (2)求异面直线与所成角的大小（用反三角函数表示）； (3)求证：平面. 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【知识点】证明线面平行、求异面直线所成的角、棱柱表面积的有关计算 【分析】（1）计算出侧面积及上下底面积相加即可； （2）取的中点,连接，所以(或其补角）是异面直线与所成角，利用余弦定理求解即可； （3）连接,交于点,连接，，利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）直三棱柱中， 因为， 所以, 则其表面积为 . （2）取的中点,连接,    由是平行四边形知, 所以(或其补角）是异面直线与所成角， 在中， , , , 则, 所以异面直线与所成角所成角的大小为. （3）连接,交于点, 连接，因为四边形为矩形，    所以为的中点， 又因为为的中点，所以, 又因为平面, 平面, 所以平面. 【考点题型六】直线与平面垂直 【例6】（24-25高二上·上海宝山·期中）正方体中，求证： (1)平面； (2)与的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面垂直 【分析】（1）根据条件证明和，由此可证明平面； （2）通过平移直线法将平移至，根据条件可知与的夹角为或其补角，结合线段长度完成计算. 【详解】（1）因为几何体为正方体，所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形时正方形，所以， 又因为平面， 所以平面. （2）连接，如图所示， 因为， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以与的夹角为或其补角， 又因为， 所以是等边三角形，所以， 所以， 所以与的夹角的余弦值为. 【变式6-1】.（24-25高二上·上海·期中）如图，已知平面，垂直，则图中共有 个直角三角形． 【答案】 【知识点】线面垂直证明线线垂直 【分析】利用线面垂直的性质可得出结论. 【详解】因为平面，、、平面， 所以，，，， 因为，，、平面，则平面， 因为平面，所以，， 所以，、、、都是直角三角形， 因为，图中共有个直角三角形. 故答案为：. 【变式6-2】（24-25高二上·北京海淀·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若，平面，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）连接，进而根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由平面，可得，进而结合可得面，再结合即可求证. 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形是平行四边形，且是的中点， ∴是的中点， ∵E为PC的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）证明：∵平面，平面， ∴， ∵，，平面， ∴面， ∵， ∴平面. 【考点题型七】求直线与平面所成角 【例7】（24-25高二上·上海·期中）如图，正方体的棱长为1，，求：    (1)与所成角的大小； (2)与平面所成角的正切值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求异面直线所成的角、求线面角、线面角的概念及辨析、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据得到异面直线所成的角，进而解出即可； （2）取BC中点E，然后证明平面，进而得到线面角，解出即可； 【详解】（1）∵，∴与所成的角就是（或其补角）. ∵平面，平面，∴， ∵四边形是正方形，∴，而， ∴平面，又平面，∴. 在中，，，， ∴.即与所成角为. （2）如图，取BC中点E，连接，易知O为的中点， ∴且， ∴平面，∴为与平面所成的角. 在中，，， ∴. 即与平面所成角的正切值为.    【变式7-1】.（24-25高二上·上海·期中）正方体的边长为1，直线与平面所成角的余弦值为 . 【答案】 【知识点】求线面角 【分析】根据给定条件，利用线面角的定义直接求解. 【详解】在正方体中，平面， 则是直线与平面所成的角，而， 在中，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 故答案为：    【变式7-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为中点. (1)若为的中点，判断直线与的位置关系，并说明理由; (2)若，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)相交，理由见解析 (2) 【知识点】求线面角、空间中的点（线）共面问题 【分析】（1）根据中位线性质即可判断； （2）连接，取中点，连接、，根据线面垂直的判定定理，证出平面，可得是直线与平面的所成角，然后在中利用锐角三角函数的定义算出答案． 【详解】（1） 因为为的中点，为中点， 所以且， 又， 所以且， 所以直线与相交. （2）连接，取中点，连接、， 菱形中，，，是等边三角形， 是中点，， 平面，平面，， 、平面，，平面． 是直线与平面的所成角， 是中点，，． 平面，平面，， 为中点，，中，， 等边中，高， 中，， 可得，即直线与平面的所成角等于． 【考点题型八】根据直线与平面所成角求其他量 【例8】（2022高一·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，侧面，是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形． (1)求证：； (2)在棱上是否存在一点，使与面所成角为？若存在，求的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，. 【知识点】线面垂直证明线线垂直、由线面角的大小求长度 【分析】（1）取中点，得到和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得. （2）作于点，由（1）证得平面，设，列出方程求得，即，过作交于，得到，令，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】（1）证明：如图1所示，取中点，连接， 因为，所以， 又因为，所以 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）解：存在． 如图1所示，作于点，由（1）知， 因为，且平面，所以平面， 设，则，， 因为无解，即点在延长线上，如图2所示， 所以，解得，即， 所以，所以垂足与构成一个正方形， 过作交于，连接, 因此平面，所以平面，所以， 记，则，， 所以，解得，即存在满足条件． 【变式8-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，则该正四棱锥的高是    【答案】 【知识点】由线面角的大小求长度 【分析】作出辅助线，得到⊥平面，故，先得到，求出，得到答案. 【详解】连接，相交于点，连接， 则⊥平面，故， 因为，所以，， 故，故， 正四棱锥的高为.    故答案为： 【变式8-2】（23-24高二下·上海·阶段练习）在正四棱柱 中， 已知底面的边长为2， 点P是的中点，直线与平面成角. 则正四棱柱的高为 . 【答案】 【知识点】由线面角的大小求长度 【分析】根据线面角的定义得即为直线与平面所成的角，在中由可得结果. 【详解】连接，因为在正四棱柱 中，所以平面， 所以为直线在平面内的射影， 所以即为直线与平面所成的角，即 设正四棱柱的高为h，又，在中，， 解得， 故答案为：. 【考点题型九】平面与平面平行 【例9】（2024高二下·天津南开·学业考试）如图，在正方体中，    (1)求证：平面平面； (2)求直线和平面所成角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明面面平行、求线面角、证明线面垂直 【分析】（1）在正方体中，可得，则得平面，同理平面，所以得平面平面； （2）在正方体中，可得AC⊥平面，则得为直线和平面所成角，则在中，，即可的. 【详解】（1）在正方体中， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 同理，平面， 又， 所以平面平面. （2）    设，连接， 因为平面ABCD，所以， 又因为AC⊥BD，，平面， 所以AC⊥平面， 所以为在平面的射影， 则为直线和平面所成角， 设正方体的棱长为a， 则在中，， 所以. 【变式9-1】（24-25高二上·上海·单元测试）两个全等的正方形和所在平面相交于，，且，过点M作于点H．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明面面平行 【分析】先证明线线平行，得到线面平行，最后得到面面平行即可. 【详解】证明：因为正方形ABCD中，，，所以． 平面，平面，则平面． 因为，，所以． 因为，所以，所以， 所以．因为平面，平面，则平面. ，平面． 所以平面平面． 【变式9-2】（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，在三棱柱中，若、D分别为、BC的中点，求证：平面平面． 【答案】证明见解析. 【知识点】证明面面平行 【分析】利用面面平行的判定定理证明即可. 【详解】证明：如图所示，连接交于点M， ∵四边形是平行四边形，∴M是的中点．连接MD． ∵D为BC的中点，∴． ∵平面，平面，∴平面． 又由三棱柱的性质知，，∴四边形为平行四边形，∴． 又平面，平面，∴平面． 又∵，平面，平面， ∴平面平面． 【考点题型十】平面与平面垂直 【例10】（24-25高二上·上海松江·期中）已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【知识点】求线面角、证明面面垂直、证明线面平行、证明线面垂直 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得证． （2）通过证明，，从而得到，，即可证明平面，进而证明平面平面． （3）在平面内，过作于，由平面平面，得平面，故为和平面所成的角，解求出的正弦值． 【详解】（1）取的中点，连接、，又为的中点，则且， 而平面，平面，则，，又，则， 因此四边形为平行四边形，则，而平面，平面， 所以平面. （2）在等边中，为的中点，则， 由平面，平面，得， 而，于是，，又，平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面. （3）在平面内，过作于，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，则为和平面所成的角， 由，，得，，， 在中，， 所以直线和平面所成角的正弦值为. 【变式10-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，底面，垂足为，，． (1)求证：侧面侧面； (2)为的中点，，垂足为，求与侧面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求线面角、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据线面垂直的性质证明，再根据线面垂直的判定定理证明侧面，再根据面面 垂直的判定定理即可得证； （2）先证明侧面，则即为与侧面所成角的平面角，再解即可. 【详解】（1）因为面，面， 所以， 又侧面， 所以侧面， 又因为侧面， 所以侧面侧面； （2）因为，为的中点， 所以，， 因为侧面，侧面， 所以， 又因为侧面， 所以侧面， 所以即为与侧面所成角的平面角， 在中，， 在中，，所以， 在中，，所以， 即与侧面所成角的大小为． 【变式10-2】（24-25高三上·上海·期中）如图，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，，是的中点，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【知识点】平行公理、证明面面垂直 【分析】（1）由中位线得到线线平行，同时垂直于同一平面的两直线平行，两条线同时垂直与同一直线得到线线平行； （2）由线面垂直得到线线垂直，正三角形三线合一得到线线垂直，得到线面垂直，由平行四边形得到线线平行，从而得到平面内一条线垂直于平面，然后得到面面垂直. 【详解】（1）∵点分别为中点， ∴， 由∵、都垂直于平面， ∴， ∴； （2）如图，连接CG， ∵平面，且平面， ∴ 在正中，点为中点， ∴，且，平面，平面， ∴平面， ∵点分别为中点， ∴，所以四边形是平行四边形， ∴， ∴平面， 又因为平面， ∴平面平面. 【考点题型十一】求二面角 【例11】（24-25高二上·上海·期中）在长方体中，，，，则二面角的大小的正切值为 ． 【答案】 【知识点】求二面角、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据给定条件，作出二面角的平面角，再在直角三角形中求出锐角的正切即可. 【详解】在长方体中，平面，平面， 则，过作于，连接，平面， 则平面，又平面，于是，是二面角的平面角， 由，，得， 在中，. 故答案为： 【变式11-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，在正方体中，二面角的大小是 . 【答案】 【知识点】求二面角 【分析】直接由定义法求二面角即可. 【详解】 取中点，连接，设正方体棱长为1， 则， 由三线合一可知，平面，平面， 平面平面，所以二面角的平面角为， 而在直角三角形中，， 所以. 故答案为：. 【变式11-2】（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）在正方体中，二面角的平面角大小为 . 【答案】 【知识点】求二面角 【分析】通过分析图形找到二面角的平面角，求角的余弦值，确定角的大小. 【详解】 如图，取中点，连接， 由题意得，、、为等边三角形， ∴，， ∴为二面角的平面角. 设等边三角形边长为2，则， ∴， ∴. 故答案为：. 【变式11-3】（24-25高二上·上海·随堂练习）棱长为a的正方体中，二面角的正切值为 ． 【答案】 【知识点】求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】取中点O，连接，证明即为所求二面角的平面角，在中求解即得. 【详解】 如图，取中点O，连接． ∵正方形ABCD，∴． 又易知，为的中点，所以，∴即为所求二面角的平面角． 因为平面，平面，∴，∴， 在中，． 故答案为：. 【考点题型十二】根据二面角角求其他量 【例12】（24-25高二上·上海·期中）菱形ABCD的对角线，沿BD把平面ABD折起与平面BCD成的二面角后，点A到平面BCD的距离为 ． 【答案】/0.75 【知识点】求点面距离、由二面角大小求线段长度或距离、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】做辅助线，可得，即，可证平面，进而可得点到面的距离. 【详解】为了区别，设折起后的点A为， 设，连接，可知为的中点，， 则，可知，即， 过点作，垂足为， 则，，平面， 可知平面，由平面，可知， 且，，平面， 可得平面， 所以点到平面BCD的距离为即为. 故答案为：. 【变式12-1】（23-24高一下·辽宁·期末）如图，已知在矩形ABCD和矩形ABEF中，，，且二面角为，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为 ．    【答案】/0.7 【知识点】求异面直线所成的角、由二面角大小求异面直线所成角、余弦定理解三角形 【分析】取中点，根据二面角平面角定义可知，得到为等边三角形；根据三角形中位线性质和异面直线所成角定义可知或其补角即为所求角，结合长度关系，利用余弦定理可求得，进而得到结果. 【详解】连接，，取中点，连接，     四边形为矩形，，， 平面平面，平面，平面， 即为二面角的平面角，， 又，，，为等边三角形，； 分别为中点，，， 或其补角即为异面直线与所成角， ，， ， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 【变式12-2】（23-24高二上·辽宁）如图，将正三角形绕旋转到三角形的位置，当二面角的大小在时，直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由二面角大小求异面直线所成角 【分析】抓住分别用和表示，从而建立与之间的关系，进而求解可得． 【详解】解：取中点E，连接，EC，， 则为二面角的平面角， 面， 过点B作，过点C作，，连接， 则面，四边形为菱形， 如下图 直线与直线所成角即为与所成角，设为， 设正三角形边长为2， 则， 在中， ， 在中， ， 在中，由余弦定理得 ， ， 即， 整理得， ， ， ， 又， ∴直线与直线所成角的余弦值为． 故答案为：． 【点睛】本题的易错点为忽视直线与直线为异面直线，求得余弦要加绝对值．本题也可用向量法求解：选、、为基底把与表示出来，用数量积可求得． 【考点题型十三】平行，垂直关系综合（小题） 【例13】（24-25高三上·上海·期中）已知是直二面角，直线在平面上，直线在平面上.若、均与既不平行，也不垂直，则与的位置关系是（    ） A．可能垂直，也可能平行 B．可能垂直，但不可能平行 C．不可能垂直，但可能平行 D．既不可能垂直，也不可能平行 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断 【分析】假设，然后利用已知条件推理，得到，这与与既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立；假设，利用线面平行的性质定理进行推导，得到，这与和与既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立，从而得到答案． 【详解】①假设，因为与既不垂直，也不平行，所以，过在内作直线，如图所示： 因为，所以，又因为，所以， 又因为，，所以，， 所以这与与既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立， 所以与不垂直，同理与也不垂直； ②假设，则，，，所以， 这与和与既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立，所以与不平行． 综上所述，与的位置关系是既不可能垂直，也不可能平行． 故选：D． 【变式13-1】.（24-25高二上·上海·期中）木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面上过点画直线，则与直线的位置关系是（   ）. A．平行 B．相交 C．异面 D．重合 【答案】B 【知识点】平面的基本性质及辨析、棱台的结构特征和分类 【分析】延长、交于点，则、的延长线也过点，则直线即为所求作的直线，由此可得出结论. 【详解】在四棱台中，侧棱、、、的延长线交于一点，令此点为，    由，平面，得平面，同理平面， 而平面，平面，则平面平面， 即直线为所求作的直线，所以直线与直线相交， 故选：B. 【变式13-2】（24-25高二上·上海宝山·期中）如图，在正方体中，、为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则平面平面 C．若，，则平面 D．若，，则 【答案】D 【知识点】面面平行证明线面平行、证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据正方体的特征及线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定判断AB；利用正方体的特征及面面平行的判定与性质判断CD. 【详解】    对于A，，底面，底面，则， 又平面，则平面，平面，所以，A正确； 对于B，，则平面，又平面，则平面平面， 而平面与平面重合，平面平面，B正确；    对于C，在正方体中，， 而平面，平面，则平面，同理平面， 又平面，因此平面平面， 由平面，得平面，C正确； 对于D，由于分别为上的动点，则与不一定相等，与不一定平行，D错误. 故选：D 【变式13-3】（2024·甘肃天水）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则. 【答案】C 【知识点】判断线面是否垂直、线面关系有关命题的判断 【分析】由线面的位置关系考虑所有可能情况判断ABD，由直线垂直平面的性质定理及判定推理判断C. 【详解】对于ABD选项，满足条件的直线均可能与平面平行、垂直、斜交或在平面内， 故ABD错误； 对于C选项，由，可得，又，则，故C正确. 故选：C 【考点题型十四】平行垂直关系综合（解答题） 【例14】（24-25高二上·上海·期中）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的投影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的大小（结果用反三角表示）； (3)若点是线段上的动点，请找出点所在的位置，使得直线与平面所成的角最大. 【答案】(1) (2) (3)当点在线段上靠近点的处时，直线与平面所成的角最大，最大角为 【知识点】求线面角、求二面角、求点面距离 【分析】（1）由等体积法可得，代入计算，即可得到结果； （2）过作于，连接，由题意可得为二面角的平面角，进而求解即可； （3）由题意可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，设直线与平面所成的角为，可得，要使最大，则需使最小，可求解. 【详解】（1）由题意可得都是边长为2的等边三角形， 所以，则， 所以，因为， 所以， 设点到平面的距离为， 则，可得， 即，解得， 则点到平面的距离为. （2） 过作于，连接，因为平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 由题意知，是边长为2的等边三角形， 所以，由， 知， 在中，，即， 所以二面角的大小为． （3）因为，且平面平面，所以平面， 所以到平面的距离即为到平面的距离，因为， 所以，即， 所以， 即到平面的距离为， 设直线与平面所成的角为，则， 要使最大，则需使最小，此时，由对称性知，， 所以， 即， 故当点在线段上靠近点的处时， 直线与平面所成的角最大，最大角为． 【变式14-1】（24-25高二上·上海·期中）如图，棱柱的所有棱长都等于，，平面平面，.    (1)证明：； (2)求锐二面角的余弦值； (3)在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在，. 【知识点】证明线面平行、求二面角、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）连接交于点，由面面垂直的性质定理可证平面，进而得证； （2）过点作，连接，可得即是二面角的平面角，运算得解； （3）在的延长线上取点，使得，可证，得解. 【详解】（1）连接交于点，连接， 则，又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以. （2）由（1），平面，过点作，连接， 则，是平面内两条相交直线，所以平面， 平面，则， 所以即是二面角的平面角， ，， 在中，可得， 又，， ， 所以锐二面角的余弦值为.    （3）存在这样的点，连接， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以， 在的延长线上取点，使得，连接， ，， ，，所以四边形为平行四边形， 所以，又， 所以，平面，平面， 所以平面， 所以在直线的延长线上存在点，使得平面，此时满足. 【变式14-2】（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）如图，平行六面体的底面是菱形，且，求： (1)若，，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值； (2)当的值为多少时，能使平面？ 【答案】(1) (2) 【知识点】证明线面垂直、求二面角 【分析】（1）结合题意作出二面角的平面角，放到直角三角形中，利用锐角三角函数的定义求解即可. （2）先找到面的中心，并判断出三棱锥是正三棱锥，再利用正三棱锥的性质证明即可. 【详解】（1）如图，连结，并使交于， 因为四边形是菱形，所以，， 因为平行六面体，， 所以，， 因为， 所以，所以， 因为，所以， 所以是二面角的平面角， 在中，， 所以由余弦定理得 因为，所以， 由勾股定理得，， 所以，且作， 由三线合一性质得点是的中点， 所以，所以， （2）当 时，能使平面， 因为，平行六面体，所以， 故得，因为， 所以是等边三角形，故， 同理可证，， 故成立，所以三棱锥是正三棱锥， 设与相交于，因为，所以， 因为，所以， 因为是正三角形的边上的高和中线， 所以点是正三角形的中心， 我们把视为顶点，面视为底面， 因为在正三棱锥内过顶点作直线， 且直线与底面交点是底面中心，所以该直线垂直于底面， 所以CG⊥平面，即面. 提升训练 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·期中）若二面角内一点到的距离分别等于，则该二面角的大小为 . 【答案】 【知识点】证明线面垂直、求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，说明即为二面角的平面角，再分别在和求出，进而可得出答案. 【详解】如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 则， 因为，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 同理，故四点共面， 则即为二面角的平面角， 在中，，则， 在中，，则， 所以，所以， 即二面角的大小为. 故答案为：. 2．（24-25高二上·上海宝山·期中）有下列四个说法： ①不在同一直线上的三点确定一个平面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③三条直线两两相交则确定一个平面； ④两个相交平面把空间分成四个区域． 其中错误说法的序号是 ． 【答案】②③ 【知识点】平面分空间的区域数量、平面的基本性质及辨析、点（线）确定的平面数量问题 【分析】根据平面的基本性质和推论分析各个说法即可. 【详解】①：由基本事实可知说法正确； ②：四边形可能是空间四边形，所以说法错误； ③：三条直线两两相交可能确定一个平面也可能确定三个平面， 若三条直线在同一平面内两两相交，则确定一个平面； 若三条直线不在同一平面内，例如在三棱锥中，可确定出平面，平面，平面， 所以说法错误； ④：平面可以无限延展，如图所示，两个相交平面可将空间分为四个区域，所以说法正确； 故答案为：②③. 3．（24-25高二上·上海松江·期中）已知所在平面外一点，且二面角、、大小相等，则点在平面内的射影应为的 心. 【答案】内 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】若面，且，连接，利用线面垂直的判定、性质定理证、，结合题设二面角相等，即可判断. 【详解】如下图，若面，且，连接， 由面，则， 又均在面内，则面，面，即， 同理可证，结合二面角、大小相等， 结合下图示，、对应二面角分别为， 在中，， 所以，则， 综上，到距离相等，同理到距离与到距离也一样， 所以点在平面内的射影是的内心. 故答案为：内 4．（24-25高二上·上海·期中）已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为 . 【答案】或 【知识点】面面平行证明线线平行 【分析】由可知，根据两平面在点的同侧和异侧分别讨论，结合相似可得解. 【详解】 由已知，平面，平面， 所以， 当平面，在点同侧时，由可知点在靠近平面一侧， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 当平面，在点异侧时， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 综上所述或， 故答案为：或. 5．（24-25高二上·上海·期中）已知平行四边形的四个顶点均在平面的同一侧，若，，三点到平面的距离分别为2、3、4，则点到平面的距离为 . 【答案】3 【知识点】求点面距离 【分析】根据空间位置关系求得点到平面的距离. 【详解】如图，连接，相交于点，则点为和的中点， 分别作平面，平面，平面，垂足分别为，，， 则四边形为直角梯形，为梯形的中位线，因为，两点到平面的距离分别为2、4，则， 点B到平面的距离也为3，直线在平面的同侧， 所以上有两个点到平面的距离都为3，则直线平面， 故点D到平面的距离为3. 故答案为：3. 6．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知长方体的棱长，则点到棱的距离是 【答案】5 【知识点】求点面距离 【分析】根据长方体的性质，结合线面垂直性质以及点线距离定义，可得答案. 【详解】连结，如图： 在长方体中，由平面，平面， 所以，则点到棱的距离是， 在矩形中，. 故答案为：5 7．（24-25高二上·上海·阶段练习）在长方体中，若，则直线到平面的距离是 . 【答案】/ 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求点面距离、求直线与平面的距离 【分析】根据条件，易得面，从而将线面距转化成点面距，过作于，根据条件可得面，再根据条件，利用几可关系，即可求解. 【详解】易知，又面，面，所以面， 则直线到平面的距离，与点到平面的距离相等， 过作于， 因为面，面，所以， 又，面，所以面， 又，则， 在中，，得到， 所以直线到平面的距离为， 故答案为：. 8．（24-25高二上·上海松江·期中）用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图如图，若在直观图中，则 .    【答案】2 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据给定条件，利用斜二测画法规则求出结论. 【详解】如图，在直观图中，则. 故答案为：2 9．（24-25高二上·上海·期中）如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是矩形，其中，，则原图形周长是 ．    【答案】 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法的几何特点，还原图形，即可求解. 【详解】    在直观图中，设与交于点， 根据题意，为矩形，， 则，所以， 在平面直角坐标系下还原图形，如图：   ， 所以原图形的周长为：. 故答案为： 10．（24-25高二上·上海·期中）如图，是边长为的等边三角形，为直角三角形，D为直角顶点，，连接AD．当二面角从变化到的过程中，线段AD在平面上的投影扫过的平面区域的面积为 ． 【答案】 【知识点】证明线面垂直、二面角的概念及辨析、空间垂直的转化 【分析】延长至点，使，连接，为等边三角形，可找到顶点在底面内的射影轨迹，确定线段AD在平面上的投影扫过的平面区域，从而求出面积. 【详解】解：在中，，，所以，， 延长至点，使，连接，，且， 则为等边三角形，且为二面角为时在平面上的投影. 取边的中点，连接，，则，， 又，所以平面， 过点作平面，则，即点在平面内的摄影在线段上， 则二面角从变化到的过程中，点在平面内的摄影从到， 线段AD在平面上的投影扫过的平面区域为. ，，所以为等边三角形， 则有， 又，， 所以. 故答案为： 二、单选题 11．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知直线及平面，其中，且和之间的距离为2，那么在平面内到直线和距离之和为3的点的集合不可能是（    ） A．一个点 B．一条直线 C．两条直线 D．空集 【答案】A 【知识点】平面的基本性质的有关计算、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】考虑且和到平面之间的距离相等和不等，得到BCD可能，当与相交（垂直或斜交），由对称性分析，A不可能，得到答案. 【详解】如图1，假如且和到平面之间的距离等于， 和在平面上的投影分别为， 在平面内取一点，过点作⊥，则⊥，， 设，则， 过点作⊥平面，交于点，同理过点作⊥平面，交于点， 则，分别为点到和的距离， 由勾股定理得，， 所以， ，两边平方得， 故①， 当，即时，①只有1个根， 即此时在平面内存在一条直线到直线和距离之和为3， 当，即时，①有2个根， 此时在平面内存在2条直线到直线和距离之和为3， ，即时，①无根， 即此时在平面内到直线和距离之和为3的点的集合为空集， BCD均可能，A不可能； 假如且和到平面之间的距离分别等于， 可同理分析，要么存在一条直线，要么存在两条直线，要么为空集； 假如与相交（垂直或斜交），如图2， 假设在平面内存在一个点到直线和距离之和为3， 由对称性可知，则存在另一个点到直线和距离之和为3， 所以至少存在两个点，到直线和距离之和为3， 综上，BCD可能，A不可能, 故选：A 12．（24-25高三上·上海·期中）如图，将正方形沿对角线折成直二面角，则对于翻折后的几何图形，下列结论不正确的是（  ） A． B．与平面所成角为60° C．为等边三角形 D．二面角的平面角的正切值是 【答案】B 【知识点】证明线面垂直、求线面角、求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】连接,交点为,证明平面，由线面垂直的性质即可判断A，证明平面，即得与平面所成角即，即可判断B，通过边长计算可判断C，取的中点，连接，证明为二面角的平面角，计算即可判断D. 【详解】 如图，在左图中，连接,交点为,则易得. 对于A，翻折后图中，, 因平面，故得平面， 又平面,故得，即A正确； 对于B，因二面角是直二面角，平面平面, , 则平面,则与平面所成角即, 因,则，故B错误； 对于C，设正方形的边长为2，则,则, 即为等边三角形，故C正确； 对于D，如图，取的中点，连接，由B项，已得平面， 因平面，则，又，,则， 因平面，故平面, 因平面,则,即为二面角的平面角. 设正方形的边长为2，则, ， 故二面角的平面角的正切值是，即D正确. 故选：B. 13．（24-25高二上·上海·期中）正四面体棱长为1，平面，垂足为，设为线段上一点，且，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】证明线面垂直、求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】连接延长交于，则是中点，得是二面角的平面角．求出可得结论． 【详解】依题意，是中心， 连接延长交于，则是中点，连接，则，， 而平面，则平面， cc以平面，则，因此是二面角的平面角． 由，，得，， 又，由平面，平面，得， 所以二面角的余弦值. 故选：B 14．（24-25高二上·上海崇明·期中）正方体中，与的交点称为正方体的中心，若平面经过该正方体的中心，且顶点，到平面的距离相等，则符合条件的平面的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．12个 D．无数个 【答案】D 【知识点】判断线面平行 【分析】根据题意只需作出过点并且和平行的平面即可得出平面的个数. 【详解】分别在上取点，使得，连接，如下图所示： 易知平面即为平面，此时，到平面的距离相等， 显然这样的平面可以作出无数个. 故选：D 15．（24-25高二上·上海·期中）空间中有两个不同的平面、和两条不同的直线m、n，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】根据面面垂直的性质结合线线以及线面的位置关系可判断B；根据面面平行的性质结合线线以及线面的位置关系可判断ACD. 【详解】对于选项A：若，，，则可能异面，故A错误； 对于选项B：若，，则与不一定垂直， 且，所以与不一定垂直，故B错误； 对于选项C：若，，可知， 且，所以，故C正确； 对于选项D：若，，，则可能有，故D错误； 故选：C. 三、解答题 16．（24-25高二上·上海·期中）四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，是的中点. (1)求二面角的余弦值； (2)求异面直线和之间的距离. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求异面直线的距离、证明线面平行、求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）取中点，连接，作，垂足为，再过点A作，连接，通过构造线面垂直，确定二面角的一个平面角，由等面积法及勾股定理计算即可； （2）利用线面平行的判定，确定异面直线的距离为线面距离结合（1）的结论计算即可. 【详解】（1） 取中点，连接，作，垂足为， 再过点A作，连接， 根据题意可知为正三角形， 则，， 又平面，则平面， 因为平面，则， 又平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，， 在中，， 在中，， 所以二面角的余弦值为. （2）根据底面是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 故平面， 所以线段的长度即为直线与平面间的距离， 也即异面直线和之间的距离. 由上可知，所以异面直线和之间的距离为. 17．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在四面体中，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】证明线面垂直、求二面角 【分析】（1）利用等腰三角形性质及线面垂直的判定推理即得. （2）由（1）可得二面角的平面角，并利用几何法求出角的大小. 【详解】（1）在四面体中，由，是的中点， 得，而平面， 所以平面. （2）由（1）知，是二面角的平面角， 在等腰中，，，则， 同理，而，因此是正三角形，， 所以二面角的大小为. 18．（24-25高二上·上海·期中）已知正四棱锥的高为8，各个顶点均在表面积为的球的表面上，相交于，点为线段上一点，使得直线平面. (1)确定点的位置，并证明你的结论； (2)求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)为线段的中点，证明见解析 (2) 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】（1）根据线面平行的性质可得，结合是的中点即可判断点位置, （2）根据正四棱锥的几何性质，结合球的表面积公式，可得四棱锥的底面边长，即可根据平行得是异面直线与成的角或其补角，利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）为线段的中点，证明如下： 由于相交于，四边形为正方形，故是的中点， 由于平面，平面，且平面, 故, 由于是的中点，故为线段的中点. （2）由球的表面积公式，得球的半径， 设球心为，在正四棱锥中，高为，则必在上， 连，则,，故, 则在，有， 即，可得正方形的边长为， 侧棱． 由（1）知，故是异面直线与成的角或其补角， 由于为等腰三角形，且, 故， 异面直线与所成的角为； 19．（24-25高三上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，，，分别为，，的中点，，，. (1)求证：. (2)求异面直线与所成角. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据题意有直棱柱的棱长均为2，由等边三角形性质、线面垂直性质有、，再由线面垂直的性质证结论； （2）证，转化为求与所成角，利用余弦定理、反三角函数求角的大小. 【详解】（1）由题意，易知直棱柱的棱长均为2，即为等边三角形，是中点， 所以，又面，面，则， 所以都在面内，故面，而， 所以面，面，可得. （2）由分别是，的中点，则，又， 所以为平行四边形，则， 所以异面直线与所成角，即为与所成角， 由题意，有， 所以，在中. 所以与所成角为，故异面直线与所成角为. 20．（24-25高二上·上海·期中）正四棱柱的底面边长，．求： (1)直线与平面所成角大小； (2)异面直线与所成角大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】求异面直线所成的角、求线面角 【分析】（1）根据平面，可得即为直线与平面所成角的平面角，再解即可； （2）证明，则即为异面直线与所成角的平面角，再解即可. 【详解】（1）因为平面， 所以即为直线与平面所成角的平面角， 在中，，则， 所以， 即直线与平面所成角大小为； （2）连接， 因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 则即为异面直线与所成角的平面角， 在中，， 则， 所以， 即异面直线与所成角大小为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$