专题02 第十一章 简单几何体（考点串讲）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（沪教版2020）

沪教版（2020）数学高二上期末考点大串讲 串讲02 第十一章 简单几何体 01 02 03 目 录 题型剖析 考点透视 押题预测 【清单01】棱柱 【清单02】圆柱 【清单03】棱锥 【清单04】圆锥 【清单05】柱体体积 【清单06】椎体体积 【清单07】球的表面积和体积 考点一：棱柱与圆柱结构特征 A 考点二：棱柱与圆柱中最短距离问题 考点三：柱体体积 考点四：棱柱圆柱表面积 考点四：棱柱圆柱表面积 考点五：棱锥与圆锥结构特征 D 考点六：圆锥中最短距离问题 考点六：圆锥中最短距离问题 B 考点七：椎体体积 C 考点七：椎体体积 考点八：椎体表面积 18 考点八：椎体表面积 考点九：多面体与旋转体中的有关计算 考点九：多面体与旋转体中的有关计算 考点十：球中的截面问题 A 考点十：球中的截面问题 考点十一：球的表面积与体积的有关计算 B 考点十一：球的表面积与体积的有关计算 C A 19 （1）棱柱的定义 定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 （2）棱柱的图形 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）棱柱的分类及表示 ①按棱柱底面边数分类: ②按棱柱侧棱与底面位置关系分类: ③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱 表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）圆柱的定义 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 圆柱的轴：旋转轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 （2）圆柱的图形 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）圆柱的表示 圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）棱锥的定义 定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 （2）棱锥的图形 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）棱锥的分类及表示 按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为： 三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥 表示法：棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如图棱锥 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）圆锥的定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 锥体：棱锥和圆锥统称为锥体 （2）圆锥的图形 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）圆锥的表示 用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）球的表面积： （2）球的体积: 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1】（24-25高二上·上海·期中）设有四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体； ③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】①是假命题，底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体，不是长方体. ②是假命题，若底面是菱形，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体. ③是假命题，侧棱垂直于底面两条平行的边，则不能得到侧棱和底面垂直，不是直平行六面体. ④是真命题，对角线相等的平行四边形为矩形，故平行六面体中过相对侧棱的两个对角面都是矩形，从而侧棱垂直于底面的两条对角线，故垂直于底面，是直平行六面体. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例2】（23-24高二下·上海·阶段练习）如图，已知正三棱柱的底面边长与侧棱长相等．蚂蚁甲从A点沿表面经过棱、爬到点，蚂蚁乙从B点沿表面经过棱爬到点．设，，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】如图所示， 将三棱柱沿着侧棱展开，又因为正三棱柱的底面边长与侧棱长相等，则同理 所以， 又因为，所以 所以.故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3】（24-25高一上·上海·期中）我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：“阳马”是指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图所示，在堑堵中，若，. (1)求证：四棱锥为阳马； (2)若直线与平面所成的角为时，求该堑堵的体积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由题意在堑堵中，底面， 由底面，底面， 所以，， 在三棱柱中，四边形为平行四边形， 所以平行四边形为矩形，又， 又，平面，所以平面， 所以四棱锥为阳马. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）知平面，所以斜线在平面的射影为， 所以直线与平面所成的角为， 在中，，所以， 在中，，所以， 又，所以在中，， 所以堑堵的体积为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4】（24-25高二上·上海·期中）若圆柱的底面半径为，高为，若，则圆柱侧面积的最大值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意可知：圆柱的母线长度为， 侧面积， 当且仅当，即时取等号， 所以侧面积的最大值为， 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式4-1】.（24-25高二上·上海·期中）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，其中一条侧棱与底面两边，所在直线夹角为45°，则该斜三棱柱的侧面积为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】过点作，连， 因为，，， 所以，则，即， 由是平面内两条相交直线， 所以平面，又， 所以平面，又平面， 所以， 所以该斜三棱柱的侧面积为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例5】（23-24高一下·广东梅州·期中）下列结论正确的是（    ） A．底面是正方形的棱锥是正四棱锥 B．绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C．有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台 D．棱台的所有侧棱所在直线必交于一点 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】对于A，底面是正方形的棱锥且顶点在底面的射影为底面中心才是正四棱锥，故A错误； 对于B，以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴时，所形成的几何体是两个同底的圆锥，故B错误； 对于C，如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台， C错误； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于D，由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点，D正确. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6】（24-25高二上·上海·期中）如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】如图，圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧长， 则， 则. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式6-1】（24-25高二上·上海浦东新）如图，圆锥O的轴截面是一个面积为1的等腰直角三角形，C为弧上的一点，，E为线段上的动点，则的最小值为（    ） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 A． B． C．2 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 将翻折到平面内，得到如图所示平面四边形， 因为所以, 所以,所以, 又因为，所以翻折后的图形中, 根据两点之间线段最短可知，的最小值为, 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例7】（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为．则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为， ，解得：，， 圆锥体积.故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式7-1】（24-25高二上·上海宝山·期中）已知某一个圆锥的侧面积为，底面积为，则这个圆锥的体积为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得：， 则圆锥底面周长为，设圆锥的母线长为， 则，解得：， 由勾股定理得：， 故圆锥的体积为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例8】（24-25高二上·上海·阶段练习）一个正三棱锥高为，底面是边长为的正三角形，则此三棱锥的侧面积为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】如图，正三棱锥中，， 过点作⊥平面，垂足为，则，为等边的中心， 为的一条中线，则，， 故，由勾股定理得， 故，同理可知， 则此三棱锥的侧面积为.    故答案为：18 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式8-1】（24-25高三上·上海闵行·期中）已知一个圆锥的高是2，侧面展开图是半圆，则它的侧面积是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 则，解得， 又由，可得，， 所以圆锥的侧面积是. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例9】（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在长方体中，，，. (1)求证：； (2)若该长方体沿着截面去掉三棱锥，求剩下的多面体的体积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由题设面，面，则， 在长方体中，即，则为正方形，故， 由且都在面内，故面，面， 所以；    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由题设，剩下的多面体的体积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式9-1】（24-25高三上·上海松江·开学考试）正方体的棱长为2，为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意知，为等腰三角形，且， 所以以为轴旋转一周，得到的旋转体是以为中心轴， 和分别为母线且同底的两个圆锥构成的几何体， 可得圆锥的底面半径为，所以旋转体的表面积． 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例10】（24-25高二上·上海·期中）已知正三棱锥的所有顶点均在球的球面上，，侧棱，点在线段上，且．过点作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】如图：设的中心为，球的半径为，连接，则点在上， 连接. 因为三棱锥为正三棱锥，且，， 所以，， 在中，，即， 解得， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为，所以， 在中，由余弦定理可得， ， 过点作球的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小， 此时截面的半径为，则截面面积为， 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为. 故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式10-1】（24-25高二上·上海宝山·期中）若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设所截圆面的半径为， 由题意可知，，解得， 所以截面圆的面积为， 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例11】（24-25高三上·浙江·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为底面，底面，即， 根据题意可知为等边三角形，为直角三角形， 而， 则， 取的中点，连接，所以， 易知，则， 所以三棱锥的外接球的球心为F， ， ∴该外接球的体积为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式11-1】（24-25高二上·上海·期中）已知矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，则三棱锥的外接球的体积为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设为为中点，连接，由于，，故, 则由为直角可得， 故外接球半径为1， 故三棱锥的外接球的体积为， 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（24-25高二上·上海崇明·期中）如图，正方体的棱长为1，、分别是棱、的中点，经过直线的平面分别与棱、交于点、，设，，给出下列三个结论： ①四边形一定是菱形； ②若四边形的面积为，，则有最大值与最小值； ③若四棱锥的体积为，，则为常值函数. 以上结论中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】对于①，如图，连接． 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理可得． 所以四边形为平行四边形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，， 所以平面， 又平面，所以， 因为分别是的中点，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以，所以四边形为菱形，故①正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于②，∵由题意得，，， ∴在矩形中，可得， ∴四边形的面积， ∵，∴当时，有最小值1；没有最大值．故②错误； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于③，如图，连接， ∴四棱锥被分割为三棱锥与三棱锥， ∵平面，平面，∴． 又，平面，， 所以平面， 所以，点到平面的距离等于， 即点到平面的距离等于， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ∵，平面，平面， ∴平面． 又，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，为， 同理，点到平面的距离也为， 而， ∴四棱锥的体积 ， 则为常值函数．故③正确． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（24-25高三上·上海黄浦·期中）已知三棱锥的顶点都在半径为的球面上，，，，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 如图，设球心为， 由，，， 则为直角三角形， 取斜边的中点为球小圆的圆心，连接，， 则平面， 由，，可得， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 由的面积为：，要使三棱锥的体积最大，即高最大， 因此当三点共线，即平面时， 三棱锥的高最大即为， 故三棱锥的最大体积为：. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（24-25高二上·上海·期中）防蝇罩是我国南方城市家庭中普遍使用的餐桌用品，可以使饭菜不受苍蝇的污染，某家庭预计购买一个防蝇罩，要求防蝇罩可以将摆放在桌面上四只等大的、直径为的碗完全罩住（防蝇罩与碗皆可视为半球且厚度忽略不计，且碗正放在桌上），则防蝇罩与桌面接触处半径至少为 .（结果取整数） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】依题意可知，防蝇罩的半径至少为cm. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 4．（24-25高二上·上海·期中）如图，有一底面半径为1，高为2的圆柱.光源点A沿着上底面圆周作匀速运动，射出的光线始终经过圆柱轴截面的中心.当光源点A沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由已知得射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积是以为顶点，以圆柱的底面为底面的圆锥的半个侧面积，共两个， 故所求的面积为以为顶点，以圆柱的底面为底面的圆锥的整个侧面积为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 5．（24-25高三上·上海闵行·期中）如图，在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为3，它的对角线和相交于点 (1)求证；平面，并求四棱锥的体积； (2)求二面角的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由题意可知底面，， 因为底面，则， 又平面， 所以平面， 因为该四棱锥底面边长为2，侧棱长为3， 则，底面正方形的面积为， 所以四棱锥的体积为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）如图所示，作，垂足为E，连接， 结合正四棱锥的特征，易知，即， 所以为二面角的一个平面角， 在等腰中，由等面积法可知：， 即，所以， 在中，由余弦定理， 所以， 即二面角的大小为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$