精品解析：吉林省通化市辉南县第六中学2024-2025学年高二上学期第四次考试数学试卷

辉南县第六中学2024-2025学年度上学期高二第四次考试数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题）共58分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个命题，其中真命题是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 若，，则点到直线的距离为 D. 向量，则向量在向量上投影向量的坐标是 3. 以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（ ） A B. C. D. 4. 已知数列满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 2024 5. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A. ] B. C. D. 6. 如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知在数列中，，，，数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，若，，，则（ ） A. 4是数列中的项 B. 当最大时，的值只能取5 C. 数列是等差数列 D. 10. 已知棱长为3的正四面体，则下列选项正确的是（ ） A 当时， B. 当时， C. 当时，的最大值为 D. 当时，则的最大值为 11. 已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ） A. 若的纵坐标为2，则 B. 若直线过点，则的最小值为4 C. 若，则直线恒过定点 D. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，且，则__________． 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为________． 14. 已知正项数列满足，且，则______. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求点B到平面的距离． 16. 已知数列的前n项和为，. （1）求证：数列为等差数列； （2）在数列中，，若的前n项和为，求证：. 17. 已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点． （1）若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； （2）过点直线截圆所得弦长为，求直线的方程； （3）若为圆上异于的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值． 18. 如图，在四面体中，平面，M，P分别是线段，的中点，点Q在线段上，且. （1）求证：平面； （2）当，时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）在（2）条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点G的位置. 19. 已知以下事实：反比例函数（）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线． （1）求双曲线：的离心率； （2）将（1）中的曲线绕原点顺时针转，得到曲线，求曲线的方程; （3）已知点是（2）中曲线的左顶点．圆：（）与直线：交于、两点，直线、分别与双曲线交于、两点．试问：点A到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辉南县第六中学2024-2025学年度上学期高二第四次考试数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题）共58分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两圆方程作差即可. 【详解】由圆，圆， 两式作差得，，即， 所以两圆公共弦所在直线方程是. 故选：B. 2. 下列四个命题，其中真命题是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 若，，则点到直线的距离为 D. 向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据面对称点性质可判断，对于B，利用空间向量判断线面关系即可；对于C，根据向量投影坐标公式，勾股定理求解判断即可；对于D，根据向量投影坐标公式即可判断. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A错误； 对于B，，所以，则或，故B错误； 对于C，，所以， 则点到直线的距离为，故C正确； 对于D，根据向量投影坐标公式，故D错误. 故选：C 3. 以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆方程写出长轴端点和焦点坐标，从而得双曲线的实半轴长和半焦距，再代入双曲线标准方程即可. 【详解】椭圆长轴的两个端点为，，焦点为，， 所以双曲线的焦点坐标为，，顶点为，， 则双曲线的焦点在轴上，且，，所以， 所以双曲线的方程为. 故选：C. 4. 已知数列满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项. 【详解】由，可得， 同理可得，所以数列是周期为3的数列， 则. 故选：B. 5. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A. ] B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出图形，求出直线过定点，数形结合再由圆心到直线的距离等于半径和斜率的定义求解即可； 【详解】曲线即为半圆：， 其图象如图所示， 曲线与轴的交点为，而直线为过的动直线， 当直线与半圆相切时，有，解得， 当直线过时，有， 因为直线与半圆有两个不同的交点，故， 故选：A. 6. 如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离，进而利用向量法求异面直线与的距离，从而可得面积的最小值. 【详解】因为，点到直线的距离最小时面积取得最小值, 而点在线段上，直线与互为异面直线， 因此点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离. 下面用向量法求异面直线与的距离： 以D原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，,, ，，, 设异面直线与公垂线的方向向量为，则， 即，得， 令，则，即， 于是异面直线与的距离为， 又， 所以面积的最小值为. 故选：B 7. 已知在数列中，，，，数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据取倒数法可得，由等差数列的定义和通项公式可得，进而，结合裂项相消法求和即可. 【详解】由，得，即， 又，所以， 则是以为首项，以为公差的等差数列， 得，故，得， 所以， 所以 . 故选：A 8. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，结合椭圆和双曲线的定义得到的关系式，根据取值范围分析函数单调性得到结果. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为，不妨设点在第一象限. ∵在的中垂线上， ∴， 由椭圆、双曲线的定义得：， ∴，整理得， ∴，即， ∴， ∴， 令，由定义法可证在为增函数，且， ∵， ∴. 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，若，，，则（ ） A. 4是数列中的项 B. 当最大时，的值只能取5 C. 数列是等差数列 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由等差数列的基本量法求出通项，令可得A正确；由可得B错误；求出，再表达出、，作差可得C正确；求出可得D正确； 【详解】因为，， 所以数列是公差为，首项是20的等差数列， 即， 对于A，，所以4是数列中的项，故A正确； 对于B，令，即，前五项大于零， 所以当最大时，的值可以取5或6，故B错误； 对于C，， 所以，， ， 所以数列是等差数列，故C正确； 对于D，，， 所以，故D错误； 故选：AC. 10. 已知棱长为3的正四面体，则下列选项正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，的最大值为 D. 当时，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选为空间内的基底向量，可计算得，可判断A；当，，可判断B；由已知可得，计算可判断C；，结合，可求的最大值，可判断D. 【详解】由正四面体，可知， 选为空间内的基底向量， 当，， ，所以 ，故A正确； 因， 当，，故B错误； ， 又，所以， 整理得，当且仅当时取等号， 化简得，解得，故C正确； ， 所以 ， 由，所以， 因为，所以， 所以，所以，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：考查空间向量的数量积的计算，运算量大，关键是用基底表示， 再利用模的计算公式运算求得最值. 11. 已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ） A. 若的纵坐标为2，则 B. 若直线过点，则的最小值为4 C. 若，则直线恒过定点 D. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 【答案】BC 【解析】 【分析】由点纵坐标可得点坐标，即可判断选项A错误；设直线方程，与抛物线方程联立，利用表示，即可得到选项B正确；设直线方程，与抛物线方程联立，计算，利用可得选项C正确；利用条件计算点坐标，求出线段长计算周长可得选项D错误. 【详解】由题意得，，，准线方程. A. 由的纵坐标为2得，，故，选项A错误. B. 如图，设直线方程为：，， 由得，， ∴， ∴，当时，，选项B正确. C. 如图，设直线方程为：，， 由得，， ∴， ∴，解得， ∴直线方程为：，恒过定点，选项C正确. D.如图，设点在第四象限. 由题意得，，则. 由准线方程为得，，故，， ∴， ∴四边形的周长为，选项D错误. 故选：BC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，且，则__________． 【答案】2或4 【解析】 【分析】根据圆的切线性质可求出相关线段的长，利用，即可求出答案. 【详解】如图，记圆的圆心为与交于点，圆的半径为r， 由题意可得， ，所以， 即，解得或16，即或4， 经检验，都满足题意． 故答案为：2或4 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，将转化为，结合图形，得最小值. 【详解】在椭圆中，，，则，即点、， 如图，为椭圆上任意一点，则， 又因为为圆上任意一点， . 当且仅当、、、共线且、在、之间时等号成立． 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知正项数列满足，且，则______. 【答案】6069 【解析】 【分析】首先由递推关系式得出是以为首项，3为公差的等差数列，再代入，结合即可求出，最后利用等差数列的通项公式即可求得答案. 【详解】因为为正项数列且，① 所以，② 得，即， 所以是以为首项，3为公差的等差数列， 令可得，又，， 所以，解得， . 故答案为：6069. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求点B到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的大小； （2）利用向量法求得点B到平面的距离． 【小问1详解】 依题意可知两两相互垂直， 以为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， ， ， 设异面直线与所成角为， 则， 由于，所以. 【小问2详解】 ，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 所以点B到平面的距离为. 16. 已知数列的前n项和为，. （1）求证：数列为等差数列； （2）在数列中，，若的前n项和为，求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用与的关系式，结合等差数列的定义即可得证； （2）利用（1）中结论求得，进而利用累乘法求得，再利用裂项相消法求得，从而得证. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 【小问2详解】 由（1）知：， 则， 又，所以， 所以 ， 所以. 17. 已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点． （1）若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； （2）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； （3）若为圆上异于的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值． 【答案】（1） （2）或． （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，，由向量的坐标运算可得的坐标，代入计算，表示出点的坐标，然后代入圆的方程，计算化简，即可得到轨迹方程； （2）根据题意，分直线的斜率存在于不存在讨论，然后结合圆的弦长公式代入计算，即可得到结果； （3）分别由直线的方程得到点的坐标，代入计算，即可证明. 【小问1详解】 根据题意，，． 设，，则，， 由于，所以， 得 将其代入，得， 故点的轨迹方程为． 【小问2详解】 根据垂径定理可得． ①当斜率不存在时，直线的方程为：， 直线截点轨迹所得弦长弦长为，符合题意； ②当斜率存在时，设直线， 圆心到直线的距离为，解得． 直线的方程为或． 【小问3详解】 设，则， 直线方程是，令，得， 直线方程是，令得， 所以 ． 即为定值． 18. 如图，在四面体中，平面，M，P分别是线段，的中点，点Q在线段上，且. （1）求证：平面； （2）当，时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点G的位置. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处 【解析】 【分析】（1）利用中位线定与与平行线的传递性，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）利用勾股定理与线面垂直性质定理建立空间直角坐标系，再分别求得平面与平面的法向量，利用空间向量法求面面角的方法即可得解； （3）先利用线面平行的性质定理分析得在上，假设，再利用线面角的空间向量法分析得与平面所成的角时的值，从而得解. 【小问1详解】 取BD中点，连接PO， 是BM的中点，，且， 在线段CD上取点，使，连接OF，QF， ，，且， ，四边形POFQ为平行四边形，， 又平面平面，平面. 【小问2详解】 ，则，， 取BD中点，则，又平面，平面BCD， 以为原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，故， 则，，， ，所以， 故， 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知为BD中点，为AD中点，连接OM， ， 点为内动点且平面QGM， 又平面ABD，平面平面， ，故点在OM上， 设，又，，， 则， ， 易知平面的一个法向量为， 设QG与平面所成角，则最大时，最大， ， 所以当时，最大，此时最大， 即当点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处时，QG与平面所成角最大. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 19. 已知以下事实：反比例函数（）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线． （1）求双曲线：的离心率； （2）将（1）中的曲线绕原点顺时针转，得到曲线，求曲线的方程; （3）已知点是（2）中曲线的左顶点．圆：（）与直线：交于、两点，直线、分别与双曲线交于、两点．试问：点A到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点A到直线距离的最大值为2， 【解析】 【分析】（1）由题意可知，双曲线：为等轴双曲线，进而求解离心率即可； （2）由题意结合双曲线的性质，即可求解； （3）设，，设：，联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，进而求出两点的纵坐标，结合，即可求得参数之间的关系，代入，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意可知，两条坐标轴是双曲线：的两条渐近线， 则双曲线：为等轴双曲线，即， 所以双曲线：的离心率为. 【小问2详解】 联立，解得或， 即双曲线的两顶点为， 两顶点的距离为， 将曲线绕原点顺时针转，得到曲线， 此时曲线的两顶点为，曲线为等轴双曲线， 所以曲线的方程为. 【小问3详解】 由（2）知，，设，， 显然直线的斜率存在，设：， 联立，得， 所以，，， 因为：，令，则，同理，， 依题意得，即，即， 整理得，， 即， 整理得，， 所以，即或， 若，则：过点A，不合题意； 若，则：．所以，恒过， 所以点A到直线的距离，当且仅当，即时取得， 此时方程为，联立，解得， 则，， 综上所述，点A到直线距离的最大值为2，此时圆的半径为 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线方程的求解以及直线和双曲线位置关系的应用，其中的关键点是求解最值问题，解答时要注意利用直线方程和双曲线方程的联立，利用根与系数的关系式进行化简，关键就在于化简的过程十分复杂，计算量大，并且基本上都是有关字母参数的运算，需要有较强的计算能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$