篆14章 -整式的乘法与因式分解期末复习练习 2024—2025学年人教版数学八年级上册

整式的乘法与因式分解期末复习 （1）整式乘法、公式应用、因式分解 1．下列计算正确的是（　　） A．a3•a3＝a9 B．﹣m7÷（﹣m）2＝﹣m5 C．（a5）7＝a12 D．（3xy2）2＝6x2y4 2．下列运算中正确的是（　　） A．a2⋅a3＝a6 B．（a3b）2＝a6b2 C．2（a﹣1）＝2a﹣1 D．a6÷a2＝a3 3．计算（﹣2m3n2）2的结果是（　　） A．﹣2m6n4 B．4m6n4 C．4m5n4 D．﹣4m6n4 4．已知4m＝2，4n＝3，则43m+2m﹣1＝　 　． 5．已知2x+5y﹣3＝0，则4x•32y的值是 　 　． 6．已知3m＝16，9n＝2，则3m﹣2n＝　 　． 7．1）已知3×9x×81＝321，求x的值； （2）已知am＝2，an＝5，求a3m+2n的值 8．）下列式子中：①（﹣x﹣y）（﹣x+y）；②（﹣x+y）（x﹣y）；③（x+y+z）（x+y﹣z）；④（x2+y2）（y2﹣x2），能用平方差公式运算的是 　 　． 9．化简（a+b﹣3）（a﹣b+3）的结果为 　 　． 10．计算：﹣82005×（﹣0.125）2006＝　 　． 11.计算20242﹣2023×2025＝　　．． 12．若（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝100，则（x﹣2023）2＝　 　． 13．若a、b是正数，a﹣b＝1，ab＝2，则a+b＝（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．9 14．a，b是两个实数，若a+b＝﹣3，ab＝﹣10，则a2+b2的值为 　　． 15．若，则＝　　；＝　 　 16.应用完全平方公式解决下列问题： （1）已知x+y＝3，xy＝1，求x2+y2和（x﹣y）2的值； （2）已知2x2﹣5x+2＝0，求和的值． 17．如果x2+mx+9是完全平方式，则m＝　 　． 18．若4x2+kx+9是一个完全平方式，则k的值是 　 　． 19．若（x﹣1）2＝2，则代数式x2﹣2x+5的值为　 　． 20.已知m+n＝2，则m2﹣n2+4n的值是（　　） A．2 B．6 C．4 D．8 21．已知三角形的三条边长分别为a、b、c，则代数式a2+b2﹣c2﹣2ab的值（　　） A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．不能确定 22．已知x﹣y＝0.5，x+5y＝3.5，则代数式4x2+16xy+16y2的值为 　 　． 23．整数a、b、c是△ABC的三条边（a＜b＜c），若△ABC的周长为30，那么c2+18a+18b﹣446的最小值为 　 　． 24.不论a，b为何有理数，a2+b2﹣2a﹣4b+c的值总是非负数，则c的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．无法确定 25.下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（　　） （1）﹣x2+4y2 （2）9a2b2﹣3ab+1 （3）﹣x2﹣2xy﹣y2 （4）﹣x2﹣y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26.下列因式分解正确的是（　　） A．2x2﹣2＝2（x2﹣1） B．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y） C．x2+2xy﹣4y2＝（x+2y）2 D．﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）2 27．若（x﹣3）（x+2）＝ax2+px+q，则pq+a为（　　） A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣7 28．在把多项式m2﹣2mn﹣3n2因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：原式＝m2﹣2mn+n2﹣4n2＝（m﹣n）2﹣4n2＝（m+n）（m﹣3n），像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”．用这种方法把多项式a2﹣6ab+5b2因式分解的结果是（　　） A．（a+5b）（a+b） B．（a﹣5b）（a+b）C．（a+5b）（a﹣b） D．（a﹣5b）（a﹣b） 29．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（　　） A．2，8，5 B．3，8，6 C．3，7，5 D．2，6，7 30.（2024南宁37月考）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图所示，它给出了（a+b）n（n为非负整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如： 请利用以上规律求出（2x+1）6的展开式，则a5的值是 　 　． （2）整式应用 1．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn； （2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 2．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2+2ab+b2＝（a+b）2配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用． 例如：①我们可以将代数式a2+6a+10进行变形，其过程如下a2+6a+10＝（a2+6a）+10 ＝（a2+6a+9）+10﹣9＝（a+3）2+1． ∵（a+3）2≥0， ∴（a+3）+1≥1． 因此，该式有最小值1． ②已知：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝0将其变形，a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2＝0，a2+2a（b+c）+（b+c）2＝0，可得（a+b+c）2＝0． （1）按照上述方法，将代数式x2+8x+20变形为a（x+h）2+k的形式； （2）若p＝﹣x2+2x+5，求p的最大值； （3）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角形的形状并说明理由． 3.（2024南宁37月考）阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解的解题思路： 将“x2﹣2x”看成一个整体，设x2﹣2x＝m， 则：原式＝m（m+2）+1＝m2+2m+1＝（m+1）2， 再将“m”还原为“x2﹣2x”即可． 解题过程如下： 解：设x2﹣2x＝m， 则：原式＝m（m+2）+1＝m2+2m+1＝（m+1）2＝（x2﹣2x+1）2． 问题：（1）以上解答过程因式分解的结果是否彻底？如果没有彻底，请写出完整的解答过程； （2）请你模仿以上方法，将多项式（x2+6x）（x2+6x+18）+81进行因式分解． 4.（2024南宁沛鸿期中）【阅读材料】学习整式乘法时我们有这样的发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． （1）如图1，由边长分别为x，y的正方形和两个长为x，宽为y的长方形拼成的大正方形，可知大正方形的边长为（x+y），即可求得大正方形的面积．将图1大正方形看作由4个小图形拼成，则4个小图形面积之和等于大正方形的面积．即可得到一个乘法公式 　 　． （2）思考：爱动脑的小东通过图1的启示，发现拼图还能解决直角三角形三边的关系．如图2，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别为a，b，c，将它们拼成一个大的正方形ABCD，中间是一个小正方形EFGH． ①由图2中你能得到a，b，c之间的数量关系是什么？请写出你的推理过程； ②问题解决：如图3，直线BC为一水渠渠岸，经测量知渠岸上点B到引水点A的距离为12米，渠岸上点C到引水点A的距离为5米，且CA⊥BA．现需在渠岸BC上选一点D开沟，求水沟AD的最小值． 5.我们学习了完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，把它适当变形，可解决很多数学问题． 例如：若a+b＝4，ab＝2，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝4， ∴（a+b）2＝16， ∴a2+2ab+b2＝16， 又∵ab＝2， ∴a2+b2＝16﹣2ab＝16﹣4＝12． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x+y＝6，x2+y2＝26，求xy的值； （2）①若2m+n＝3，mn＝1，则2m﹣n＝　 　； ②若（4﹣m）（5﹣m）＝6，则（4﹣m）2+（5﹣m）2＝　 　； （3）如图点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向线段AB的两侧作正方形，已知AB＝5，两正方形的面积和S1+S2＝20，求图中阴影部分的面积． 6.“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．“如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形；先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值． 例如：分解因式：x2+2x﹣3， 解：原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1） 例如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值． 解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值为﹣8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：n2+6n﹣7＝ 　 　； （2）当a、b为何值时，多项式a2+b2﹣6a+10b+38有最小值，并求出这个最小值； （3）当a、b为何值时，多项式4a2﹣4ab+2b2﹣8a﹣4b+30有最小值，并求出这个最小值． 7．综合与实践 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者． （1）我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形说明a2+b2＝c2． （2）业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的Rt△ABC和Rt△DAE按如图2所示的方式放置，∠DAB＝∠B＝90°，AB＝AD＝b，BC＝AE＝a，AC＝DE＝c，连接CE，CD，用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，从而证明勾股定理．请你补充该证明过程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$