2025届高考物理一轮复习讲义：58 带电粒子在圆形磁场中的运动

58　带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动模型 【情景一】粒子进入磁场时，速度方向指向圆心 沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏向角 粒子做圆周运动的半径r＝ 粒子在磁场中运动的时间t＝T＝θ＋α＝90° 【典例】如图所示，虚线圆所围区域有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。一束电子沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁场，电子束经过磁场区后，其运动方向与原入射方向成θ角。设电子质量为m，电荷量为e，不计电子之间相互作用力及所受的重力，求： (1)电子在磁场中运动轨迹的半径R； (2)电子在磁场中运动的时间t； (3)圆形磁场区域的半径r。 [审题指导] 第一步：抓关键点 关键点 获取信息 一束电子沿圆形区域的直径方向射入 沿半径方向入射，一定会沿半径方向射出 运动方向与原入射方向成θ角 θ为偏向角等于轨道圆弧所对圆心角 第二步：找突破口 (1)要求轨迹半径→应根据洛伦兹力提供向心力求解。 (2)要求运动时间→可根据t＝ T，先求周期T。 (3)要求圆形磁场区域的半径→可根据几何关系求解。 [方法规律] 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题三步法 【变式训练1】如图所示，半径为r的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子（不计重力），从A点以速度v0垂直磁场方向射入磁场中，并从B点射出，。 （1）在图中作出该带电粒子运动轨迹的圆心O1的位置； （2）求该粒子在磁场中运动的轨迹半径； （3）求该粒子在磁场中运动的时间。    【变式训练2】在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿－x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿＋y方向飞出。 (1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷 ； (2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′的大小；此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？ 【变式训练3】如图所示，半径为R的圆形区域内存在着磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v正对圆心射入磁场，通过磁场区域后速度方向偏转了60°. (1)求粒子的比荷及粒子在磁场中的运动时间t； (2)如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度的基础上，需将粒子的入射点沿圆弧向上平移的距离d为多少？ 【变式训练4】如图所示，匀强磁场限定在一个圆形区域内，磁感应强度大小为B，一个质量为m，电荷量为q，初速度大小为v的带电粒子沿磁场区域的直径方向从P 点射入磁场，从Q 点沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时相比偏转了θ角，忽略重力及粒子间的相互作用力，下列说法错误的是(　　) A．粒子带正电 B．粒子在磁场中运动的轨迹长度为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．圆形磁场区域的半径为tan θ 【变式训练5】(2021·全国乙卷·16)如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场．若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°，不计重力，则为(　　) A. B. C. D．3 【变式训练6】如图所示，圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c，以不同速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，其运动轨迹如图所示．若带电粒子只受磁场力作用，则下列说法正确的是(　　) A. a粒子动能最大 B. c粒子速率最大 C. c粒子在磁场中运动时间最长 D．它们做圆周运动的周期Ta<Tb<Tc 【提高练习1】如图所示，以O为圆心、半径为R的圆形区域内存在垂直圆面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。圆上有A、C、D三点，从A点沿半径AO方向射入一个带电粒子（不计重力），入射速度为v1时，粒子恰好从C点离开磁场。已知粒子的比荷为k，且∠AOC=90°，∠AOD=120°，下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中的运动时间为 B．圆形区域的半径为 C．要使粒子从D点离开磁场，入射速度为 D．若只改变入射速度方向，粒子不可能经过O点 【提高练习2】如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O为圆心，一带电粒子从磁场边界圆上的A点以速度v0沿圆的半径方向射入磁场，经磁场偏转，粒子从P点射出磁场，PO⊥AO，仅改变粒子从A点射入磁场的速度大小，改变后粒子从Q点射出磁场，∠QOC＝60°，则改变后粒子的速度为(　　) A.v0 B. v0 C. 2v0 D. v0 【提高练习3】如图所示，在虚线所包围的圆形区域内有方向垂直于圆面向外的匀强磁场，从磁场边缘的A点沿半径方向射入一束速率不等的质子，不计质子重力，这些质子在磁场里运动的过程中（    ） A．运动时间均相等 B．速率越大的质子运动时间越长 C．轨迹半径越大的质子运动时间越短 D．轨迹半径越大的质子向心加速度越小 【提高练习4】如图所示为一圆形区域的匀强磁场，在O点处有一放射源，沿半径方向射出速率为v的不同带电粒子，其中带电粒子1从A点飞出磁场，带电粒子2从B点飞出磁场，不考虑带电粒子的重力，则(　　) A．带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷的比为3∶1 B．带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷的比为∶1 C．带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间的比为2∶1 D．带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间的比为1∶2 【提高练习5】如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直正方形平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从b点沿ba方向射入磁场，结果粒子恰好能通过c点，不计粒子的重力，则粒子的速度大小为(　　) A. B. C. D. 【提高练习6】如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，两带电粒子（不计重力）沿直线AB方向从A点射入磁场中，分别从圆弧上的P、Q两点射出，则下列说法正确的是（    ）    A．若两粒子比荷相同，则从A 分别到P、Q 经历时间之比为1:2 B．若两粒子比荷相同，则从A 分别到P、Q经历时间之比为2:1 C．若两粒子比荷相同，则两粒子在磁场中速率之比为2:1 D．若两粒子速率相同，则两粒子的比荷之比为3:1 【提高练习7】如图所示，在直角坐标xOy平面内，有一半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里，边界与x、y轴分别相切于a、b两点，ac为直径。一质量为m，电荷量为q的带电粒子从b点以某一初速度v0（v0大小未知）沿平行于x轴正方向进入磁场区域，从a点垂直于x轴离开磁场，不计粒子重力。下列判断不正确的是（　　）    A．该粒子的速度为 B．该粒子从b点运动到a点的时间为 C．以从b点沿各个方向垂直进入磁场的该种粒子从边界出射的最远点恰为a点 D．以从b点沿各个方向垂直进入磁场的该种粒子在磁场中运动的最长时间是 【情景二】粒子进入磁场时，速度方向不指向圆心 速度方向不指向圆心：如图乙所示。粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与半径夹角也为θ。 【典例1】如图所示，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一电荷量为q(q>0)、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为，已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为(不计重力)(　　) A． B． C． D． 审题指导：解此题关键有两点： (1)射入点与ab的距离为，由此可确定射入点与圆心的连线和竖直方向之间的夹角是30°。 (2)粒子的偏转角是60°，由此确定粒子的轨迹圆弧对应的圆心角为60°。 [变式1]　上例中，带电粒子在圆柱形匀强磁场区域中的运行时间为(　　) A． B． C． D． [变式2]上例中，若带电粒子对准圆心沿直径ab的方向射入磁场区域，粒子射出磁场与射入磁场时运动方向的夹角仍为60°，则粒子的速率为(　　) A． B． C． D． [变式3]上例中，若带电粒子速率不变，磁场方向改为垂直纸面向里，带电粒子从磁场射出时与射入磁场时运动方向的夹角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 无论带电粒子在哪类边界磁场中做匀速圆周运动，解题时要抓住三个步骤： 【变式训练1】如图所示，在半径为R的圆形区域内有垂直于竖直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AC为该圆的一条直径，O为圆心．一带电粒子以初速度v0从C点垂直磁场沿竖直方向射入圆形区域，离开磁场时速度方向恰好水平向左．已知该粒子从C点入射时速度方向与直径AC的夹角θ＝45°，不计粒子重力，则有(　　) A．该粒子一定带负电 B．该粒子的比荷为 C．该粒子在磁场中做圆周运动的半径为R D．该粒子在磁场中的运动时间为 【变式训练2】如图所示圆形区域内存在一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，一带正电荷的粒子沿图中直线以速率v0从圆周上的a点射入圆形区域，从圆周上b点射出（b点图中未画出）磁场时速度方向与射入时的夹角为60°，已知圆心O到直线的距离为横截面半径的一半。现将磁场换为平行于纸面且垂直于直线的匀强电场，同一粒子以同样速度沿直线从a点射入圆形区域，也从b点离开该区域，若不计重力，则匀强电场的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【评析】本题以圆形电磁场区域考察带电粒子在组合场中的运动及关键几何条件。熟悉并利用好电磁场规律并结合平面几何的基本知识是解答此类问题的关键。 【变式训练3】如图所示，半径为的圆形区域有方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为，今有一质量为（不计重力），带电量为的离子以某一速度沿平行于直径的方向射入磁场区域，射入点与间距离为，（    ）    A．若该离子在磁场中的运动半径为，则该离子一定能够通过磁场圆的圆心 B．若该离子在磁场中的运动半径为，则该离子在磁场中入射点与出射点相距小于 C．若该离子能够通过磁场圆的圆心，则该离子在磁场中的运动时间为 D．若该离子在磁场中入射点与出射点相距最远，则该离子在磁场中的运动时间为 【典例2】如图所示，在平面中的圆形区域内有一个垂直纸面向里匀强磁场，其边界过原点O和y轴上的点a（0，L）。一电子从a点以初速度v平行于x轴正方向射入磁场，并从x轴上的b点射出磁场，此时速度方向与x轴正方向的夹角为。电子在磁场中运动的时间为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】如图所示，半径为R的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度B，一比荷为的带正电粒子，从圆形磁场边界上的A点以的速度垂直直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且，下列选项正确的是（　　）    A．粒子在磁场中运动的时间为 B．粒子从N点射出方向竖直向下 C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出 D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场的最小面积为 【变式训练2】(多选)如图所示，半径为R＝2 cm的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度B＝2 T，一个比荷为2×106 C/kg的带正电的粒子从圆形磁场边界上的A点以v0＝8×104 m/s 的速度垂直直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且∠AON＝120°，下列选项正确的是(　　) A．带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为1 cm B．带电粒子在磁场中运动轨迹的圆心一定在圆形磁场的边界上 C．若带电粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出 D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则该圆形磁场的最小面积为3π×10－4 m2 【变式训练3】如图所示，圆形区域内存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，质量为、电荷量为的带电粒子从点沿平行于直径的方向射入磁场，粒子经过圆心，最后离开磁场。已知圆形区域半径为与间的夹角为，不计粒子重力。则（    ） A．粒子运动速率为 B．粒子在磁场中运动的时间为 C．粒子在磁场中运动的路程为 D．粒子离开磁场时速度方向不可能平行于 【变式训练4】如图所示，半径为R的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度B，一比荷为的带正电粒子，从圆形磁场边界上的A点以的速度垂直直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且，下列选项正确的是（　　）    A．粒子在磁场中运动的时间为 B．粒子从N点射出方向竖直向下 C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出 D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场的最小面积为 【变式训练5】如图所示，半径为R圆形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。质量为m、电荷量为q的带正电粒子由M点沿与过该点的直径成30°角的方向射入磁场，经过圆心O，最后离开磁场。不计粒子重力，则（    ） A．粒子的运动速度大小为 B．粒子在磁场中运动的时间为 C．若仅改变粒子的入射方向，粒子离开磁场时的速度方向不变 D．若仅增大粒子的入射速度，则粒子在磁场中的运动时间变长 【情景三】粒子射入环形磁场 如图丙所示，带电粒子沿径向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场区域内运动，则一定沿半径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度。 【基础练习1】(2020·全国Ⅲ卷，18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图7所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　) A. B. C. D. 【基础练习2】如图所示，磁场的边界是两个同心圆，内圆的半径为r，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，A是内侧边界上的一点。在圆心O处沿平行纸面方向射出一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，粒子速度方向与OA成60°角，粒子经磁场第一次偏转后刚好从A点射出磁场，不计粒子重力，则下列说法正确的是(　　) A.粒子一定带正电 B.粒子第一次在磁场中运动的时间为 C.粒子运动的速度大小为 D.磁场外边界圆的半径至少为r 【提高练习1】科学仪器常常利用磁场将带电粒子“约束”在一定区域内，使其不能射出。如图所示的磁场区域：匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里，其边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心，A为磁场内在圆弧上的一点，P为OA的中点。若有一粒子源向纸面内的各个方向发射出比荷为的带负电粒子，粒子速度连续分布，且无相互作用。不计粒子的重力，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求： (1)粒子源在A点时，被磁场约束的粒子速度的最大值vAm； (2)粒子源在O点时，被磁场约束的粒子每次经过磁场时间的最大值tm； (3)粒子源在P点时，被磁场约束的粒子速度的最大值vPm。 【提高练习2】如图所示为空心圆柱形磁场的截面图，O点为圆心，半径为R内圆与半径为3R外圆之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，A为外圆上一点。一粒子源s可持续发射出大小均为v、质量为m，电荷量为q的粒子，不计粒子重力，以下说法正确的是（　　） A．若粒子源放置在O点向各个方向均匀发射粒子，且所有粒子均不从外圆射出，则磁感应强度最小值为 B．若粒子源放置在O点向各个方向均匀发射粒子，且所有粒子均不从外圆射出，则磁感应强度最小值为 C．若粒子源放置A点且沿连线发射粒子，为使粒子不进入内圆，则磁感应强度的最小值为 D．若粒子源放置A点且沿连线发射粒子，为使粒子不进入内圆，则磁感应强度的最小值为 【提高练习3】来自太阳和其他星体的宇宙射线含有大量高能带电粒子，若这些粒子都到达地面，将会对地球上的生命带来危害．但由于地磁场的存在改变了宇宙射线中带电粒子的运动方向，使得很多高能带电粒子不能到达地面。为研究地磁场，某研究小组模拟了一个地磁场，如图所示，半径分别为R、2R的两个同心圆，圆心为O，大圆和小圆之间有垂直于纸面向外的匀强磁场、磁感应强度为B，一个不计重力比荷为k的带正电粒子从大圆边缘的A点沿与AO连线成某一θ角（）以速度v射入磁场，要使粒子不进入小圆，则v的最大值为（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 58　带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动模型 【情景一】粒子进入磁场时，速度方向指向圆心 沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏向角 粒子做圆周运动的半径r＝ 粒子在磁场中运动的时间t＝T＝θ＋α＝90° 【典例】如图所示，虚线圆所围区域有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。一束电子沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁场，电子束经过磁场区后，其运动方向与原入射方向成θ角。设电子质量为m，电荷量为e，不计电子之间相互作用力及所受的重力，求： (1)电子在磁场中运动轨迹的半径R； (2)电子在磁场中运动的时间t； (3)圆形磁场区域的半径r。 [审题指导] 第一步：抓关键点 关键点 获取信息 一束电子沿圆形区域的直径方向射入 沿半径方向入射，一定会沿半径方向射出 运动方向与原入射方向成θ角 θ为偏向角等于轨道圆弧所对圆心角 第二步：找突破口 (1)要求轨迹半径→应根据洛伦兹力提供向心力求解。 (2)要求运动时间→可根据t＝ T，先求周期T。 (3)要求圆形磁场区域的半径→可根据几何关系求解。 [解析]　(1)由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得evB＝ 解得R＝。 (2)设电子做匀速圆周运动的周期为T，则T＝＝ 由如图所示的几何关系得圆心角α＝θ， 所以t＝T＝。 (3)由如图所示几何关系可知， tan＝， 所以r＝tan。 [答案]　(1)　(2)　(3)tan [方法规律] 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题三步法 【变式训练1】如图所示，半径为r的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子（不计重力），从A点以速度v0垂直磁场方向射入磁场中，并从B点射出，。 （1）在图中作出该带电粒子运动轨迹的圆心O1的位置； （2）求该粒子在磁场中运动的轨迹半径； （3）求该粒子在磁场中运动的时间。    【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】（1）（2）由图可知，粒子转过的圆心角为，则粒子运动的半径为    （3）转过的弧长为，则运动所用时间 【变式训练2】在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿－x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿＋y方向飞出。 (1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷 ； (2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′的大小；此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？ 【答案】　(1)负电荷　　(2)B　 【解析】　(1)由粒子的运动轨迹(如图)，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径为r，又qvB＝m，则粒子的比荷＝。 (2)设粒子从D点飞出磁场，运动轨迹如图，速度方向改变了60°角，故AD弧所对圆心角为60°，由几何知识可知，粒子做圆周运动的半径r′＝＝r，又r′＝，所以B′＝B，此次粒子在磁场中运动所用时间t＝T＝×＝。 【变式训练3】如图所示，半径为R的圆形区域内存在着磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v正对圆心射入磁场，通过磁场区域后速度方向偏转了60°. (1)求粒子的比荷及粒子在磁场中的运动时间t； (2)如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度的基础上，需将粒子的入射点沿圆弧向上平移的距离d为多少？ 【答案】　(1)　　(2)R 【解析】　(1)粒子的轨迹半径：r＝① 粒子所受洛伦兹力提供向心力，有：qvB＝m② 由①②两式得粒子的比荷：＝③ 粒子的运动周期T＝④ 粒子在磁场中的运动时间t＝T⑤ 由①④⑤式得t＝.⑥ (2)当粒子的入射点和出射点的连线是磁场圆的直径时，粒子速度偏转的角度最大． 由图可知sin θ＝⑦ 平移距离d＝Rsin θ⑧ 由①⑦⑧式得d＝R. 【变式训练4】如图所示，匀强磁场限定在一个圆形区域内，磁感应强度大小为B，一个质量为m，电荷量为q，初速度大小为v的带电粒子沿磁场区域的直径方向从P 点射入磁场，从Q 点沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时相比偏转了θ角，忽略重力及粒子间的相互作用力，下列说法错误的是(　　) A．粒子带正电 B．粒子在磁场中运动的轨迹长度为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．圆形磁场区域的半径为tan θ 【答案】　D 【解析】　根据粒子的偏转方向，由左手定则可以判断出粒子带正电，A不符合题意；由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，解得粒子在磁场中运动时，其轨迹的半径为r＝，由几何关系可知其对应的圆心角为θ，则粒子在磁场中运动的轨迹长度为s＝θr＝，B不符合题意；粒子做匀速运动的周期为T＝＝，则粒子在磁场中运动的时间为t＝·T＝，C不符合题意；设圆形磁场区域的半径为R，由tan ＝，解得R＝rtan ＝·tan ，D符合题意。 【变式训练5】(2021·全国乙卷·16)如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场．若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°，不计重力，则为(　　) A. B. C. D．3 【答案】　B 【解析】　如图所示， 设圆形磁场区域的半径为R，粒子以v1射入磁场时的轨迹半径为r1 根据几何关系r1＝R， 以v2射入磁场时的轨迹半径r2＝R. 根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝， 可得v＝， 所以＝＝，故选B. 【变式训练6】如图所示，圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c，以不同速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，其运动轨迹如图所示．若带电粒子只受磁场力作用，则下列说法正确的是(　　) A. a粒子动能最大 B. c粒子速率最大 C. c粒子在磁场中运动时间最长 D．它们做圆周运动的周期Ta<Tb<Tc 【解析】由r＝，v＝，由图得，a粒子半径最小，c粒子半径最大，所以a粒子动能最小，c粒子速率最大，A错，B对；做图找圆心，可以看出a转过的圆心角最大，在磁场中的运动时间最长，C错；由T＝可知周期相等，D错． 【答案】B 【提高练习1】如图所示，以O为圆心、半径为R的圆形区域内存在垂直圆面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。圆上有A、C、D三点，从A点沿半径AO方向射入一个带电粒子（不计重力），入射速度为v1时，粒子恰好从C点离开磁场。已知粒子的比荷为k，且∠AOC=90°，∠AOD=120°，下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中的运动时间为 B．圆形区域的半径为 C．要使粒子从D点离开磁场，入射速度为 D．若只改变入射速度方向，粒子不可能经过O点 【答案】C 【解析】A．粒子从A点进入磁场，C点离开磁场，则粒子的速度方向改变了，所以粒子在磁场中的运动时间为故A错误； B．粒子从A点进入磁场，C点离开磁场，根据几何知识可知，粒子的轨迹半径 而粒子在磁场中的运动时间为联立可得，圆形区域的半径为故B错误； C．粒子从C、D点离开磁场的运动轨迹如下图所示 根据几何知识可得， 根据洛伦兹力提供向心力有联立可得 即要使粒子从D点离开磁场，入射速度为，故C正确； D．由于，所以若只改变入射速度方向，粒子可能经过O点，故D错误。故选C。 【提高练习2】如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O为圆心，一带电粒子从磁场边界圆上的A点以速度v0沿圆的半径方向射入磁场，经磁场偏转，粒子从P点射出磁场，PO⊥AO，仅改变粒子从A点射入磁场的速度大小，改变后粒子从Q点射出磁场，∠QOC＝60°，则改变后粒子的速度为(　　) A.v0 B. v0 C. 2v0 D. v0 【答案】　B 【解析】　设圆形区域半径为R，粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示．当粒子的速度为v0时，由几何知识得r1＝R 则qv0B＝m 设改变后粒子的速度大小为v，由几何关系知r2＝则qvB＝m解得v＝v0，故选B. 【提高练习3】如图所示，在虚线所包围的圆形区域内有方向垂直于圆面向外的匀强磁场，从磁场边缘的A点沿半径方向射入一束速率不等的质子，不计质子重力，这些质子在磁场里运动的过程中（    ） A．运动时间均相等 B．速率越大的质子运动时间越长 C．轨迹半径越大的质子运动时间越短 D．轨迹半径越大的质子向心加速度越小 【答案】C 【解析】ABC．设质子的轨迹半径为R，圆形磁场区域的半径为r，如图所示 由洛伦兹力提供向心力得可得 可知v越大，则R越大；质子的周期为可知周期与运动速度大小无关，运动时间为 其中所以v越大，则R越大、越小、t越小，故AB错误，C正确； D．向心加速度为由得联立可得则R越大，向心加速度a越大，故D错误。 故选C。 【提高练习4】如图所示为一圆形区域的匀强磁场，在O点处有一放射源，沿半径方向射出速率为v的不同带电粒子，其中带电粒子1从A点飞出磁场，带电粒子2从B点飞出磁场，不考虑带电粒子的重力，则(　　) A．带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷的比为3∶1 B．带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷的比为∶1 C．带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间的比为2∶1 D．带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间的比为1∶2 【解析】选A　设匀强磁场圆形区域的半径为R，由qBv＝，得R′＝，可知带电粒子1从A点飞出磁场，带电粒子2从B点飞出磁场，半径分别为R1′＝Rtan 30°，R2′＝Rtan 60°，所以R1′∶R2′＝1∶3，则带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷的比为3∶1；由T＝知，带电粒子1和2的周期之比为1∶3，所以带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间的比为＝。综上本题选A。 【提高练习5】如图所示，abcd为边长为L的正方形，在四分之一圆abd区域内有垂直正方形平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从b点沿ba方向射入磁场，结果粒子恰好能通过c点，不计粒子的重力，则粒子的速度大小为(　　) A. B. C. D. 【解析】选C　粒子沿半径方向射入磁场，则出射速度的反向延长线一定过圆心，由于粒子能经过c点，因此粒子出磁场时一定沿ac方向，轨迹如图所示，设粒子做圆周运动的半径为r，由几何关系可知，r＋r＝L，则r＝(－1)L，根据牛顿第二定律得qv0B＝m，解得v0＝，C项正确。 【提高练习6】如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，两带电粒子（不计重力）沿直线AB方向从A点射入磁场中，分别从圆弧上的P、Q两点射出，则下列说法正确的是（    ）    A．若两粒子比荷相同，则从A 分别到P、Q 经历时间之比为1:2 B．若两粒子比荷相同，则从A 分别到P、Q经历时间之比为2:1 C．若两粒子比荷相同，则两粒子在磁场中速率之比为2:1 D．若两粒子速率相同，则两粒子的比荷之比为3:1 【答案】AD 【解析】AB．两粒子运动轨迹如图    粒子运动时间为 若两粒子比荷相同，则从A分别到P、Q 经历时间之比为A正确； C．设圆形区域半径为R，由题意可知，两粒子运动半径之比为 根据 若两粒子比荷相同，则两粒子在磁场中速率之比为C错误； D．同理C选项，若两粒子速率相同，则两粒子的比荷之比为3:1，D正确。故选AD。 【提高练习7】如图所示，在直角坐标xOy平面内，有一半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里，边界与x、y轴分别相切于a、b两点，ac为直径。一质量为m，电荷量为q的带电粒子从b点以某一初速度v0（v0大小未知）沿平行于x轴正方向进入磁场区域，从a点垂直于x轴离开磁场，不计粒子重力。下列判断不正确的是（　　）    A．该粒子的速度为 B．该粒子从b点运动到a点的时间为 C．以从b点沿各个方向垂直进入磁场的该种粒子从边界出射的最远点恰为a点 D．以从b点沿各个方向垂直进入磁场的该种粒子在磁场中运动的最长时间是 【答案】D 【解析】AB．粒子从b点以某一初速度沿平行于x轴正方向进入磁场区域，从a点垂直于轴离开磁场，如图所示由洛伦兹力提供向心力可得由几何关系可得联立解得 该粒子从b点运动到a点的时间为故AB正确；    C．以从b点沿各个方向垂直进入磁场，粒子在磁场中的半径为 该种粒子从边界出射的最远点与入射点的距离为粒子轨迹圆的直径，由几何关系可知 可知该种粒子从边界出射的最远点恰为a点，故C正确；    D．以从b点沿各个方向垂直进入磁场，粒子在磁场中的半径为 当该粒子在磁场中运动轨迹对应的弦长最大时，轨迹对应的圆心角最大，粒子在磁场中运动的时间最长，如图所示    由几何关系可知，最大圆心角为，则最长时间为故D错误。 此题选择不正确的选项，故选D。 【情景二】粒子进入磁场时，速度方向不指向圆心 速度方向不指向圆心：如图乙所示。粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与半径夹角也为θ。 【典例1】如图所示，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一电荷量为q(q>0)、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为，已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为(不计重力)(　　) A． B． C． D． 审题指导：解此题关键有两点： (1)射入点与ab的距离为，由此可确定射入点与圆心的连线和竖直方向之间的夹角是30°。 (2)粒子的偏转角是60°，由此确定粒子的轨迹圆弧对应的圆心角为60°。 【答案】B　 【解析】[如图所示，粒子做圆周运动的圆心O2必在过入射点垂直于入射速度方向的直线EF上，由于粒子射入、射出磁场时运动方向间的夹角为60°，故圆弧ENM对应圆心角为60°，所以△EMO2为等边三角形。由于O1D＝，所以∠EO1D＝60°，△O1ME为等边三角形，所以可得到粒子做圆周运动的半径EO2＝O1E＝R，由qvB＝，得v＝，B正确。] [变式1]　上例中，带电粒子在圆柱形匀强磁场区域中的运行时间为(　　) A． B． C． D． 答案：B　[粒子在磁场中做圆周运动，转过的圆心角θ＝60°，则在磁场中运行时间t＝T＝×＝，B项正确。] [变式2]上例中，若带电粒子对准圆心沿直径ab的方向射入磁场区域，粒子射出磁场与射入磁场时运动方向的夹角仍为60°，则粒子的速率为(　　) A． B． C． D． 答案：C[由题意粒子运动轨迹如图所示，则∠aO2c＝60°，∠aO1c＝120°。由几何知识得r＝R，又qvB＝m，则v＝＝，C项正确。] [变式3]上例中，若带电粒子速率不变，磁场方向改为垂直纸面向里，带电粒子从磁场射出时与射入磁场时运动方向的夹角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 答案：D　[因带电粒子的速率不变， 由qvB＝得r＝R， 则粒子运动轨迹如图所示，由几何知识得∠EO2F＝120°，D项正确。] 无论带电粒子在哪类边界磁场中做匀速圆周运动，解题时要抓住三个步骤： 【变式训练1】如图所示，在半径为R的圆形区域内有垂直于竖直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AC为该圆的一条直径，O为圆心．一带电粒子以初速度v0从C点垂直磁场沿竖直方向射入圆形区域，离开磁场时速度方向恰好水平向左．已知该粒子从C点入射时速度方向与直径AC的夹角θ＝45°，不计粒子重力，则有(　　) A．该粒子一定带负电 B．该粒子的比荷为 C．该粒子在磁场中做圆周运动的半径为R D．该粒子在磁场中的运动时间为 【答案】　B 【解析】　作出粒子运动的轨迹如图， 由左手定则可知，粒子带正电，选项A错误；由轨迹图结合题意可知粒子在磁场中偏转角度为90°，设O′为圆周运动的圆心，由几何关系可知2r2＝(2R)2，整理可得r＝R，由洛伦兹力提供向心力有qv0B＝，整理可得＝，选项B正确，C错误；由图可知粒子在磁场中的偏转角为90°，故粒子在磁场中的运动时间为 t＝×＝，选项D错误． 【变式训练2】如图所示圆形区域内存在一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，一带正电荷的粒子沿图中直线以速率v0从圆周上的a点射入圆形区域，从圆周上b点射出（b点图中未画出）磁场时速度方向与射入时的夹角为60°，已知圆心O到直线的距离为横截面半径的一半。现将磁场换为平行于纸面且垂直于直线的匀强电场，同一粒子以同样速度沿直线从a点射入圆形区域，也从b点离开该区域，若不计重力，则匀强电场的场强大小为（　　） A． B． C． D． 【评析】本题以圆形电磁场区域考察带电粒子在组合场中的运动及关键几何条件。熟悉并利用好电磁场规律并结合平面几何的基本知识是解答此类问题的关键。 【答案】A 【解析】设圆形区域半径为，粒子在匀强磁场中运动轨迹为圆，分析几何关系知，圆心一定在入射方向的垂线上，由于速度的偏向角为60o，因此圆心角为60°，又圆心O到直线的距离为横截面半径的一半，知直线与aO连线的夹角为30°，故粒子的运动半径为，出射时距离直线的距离为 根据牛顿第二定律换为平行于纸面且垂直于直线的匀强电场后，粒子做类平抛运动，沿直线方向匀速运动，有垂直直线方向做匀加速直线运动根据牛顿第二定律联立解得匀强电场的场强大小为故选A。 【变式训练3】如图所示，半径为的圆形区域有方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为，今有一质量为（不计重力），带电量为的离子以某一速度沿平行于直径的方向射入磁场区域，射入点与间距离为，（    ）    A．若该离子在磁场中的运动半径为，则该离子一定能够通过磁场圆的圆心 B．若该离子在磁场中的运动半径为，则该离子在磁场中入射点与出射点相距小于 C．若该离子能够通过磁场圆的圆心，则该离子在磁场中的运动时间为 D．若该离子在磁场中入射点与出射点相距最远，则该离子在磁场中的运动时间为 【答案】C 【解析】A．若该离子在磁场中的运动半径为，此时圆心在初速度垂直线段与ab交线处，设为，粒子轨迹如下图    由题意可知而故故该粒子不经过磁场圆的圆心，故A错误； BD．若该离子在磁场中的运动半径为，粒子轨迹如下图    根据几何知识可知粒子在磁场中的圆弧等于完整圆弧的，即 因此为等边三角形，故 此时该离子在磁场中入射点与出射点相距最远，根据洛伦兹力提供向心力可得该粒子做圆周运动周期为 则该离子在磁场中的运动时间为故BD错误； C．若该离子能够通过磁场圆的圆心，粒子轨迹如下图    由几何知识可知 根据可得 解得故为等边三角形，故 故粒子在整个磁场中的圆心角为，粒子在磁场中的圆弧等于完整圆弧的，故该离子在磁场中的运动时间为 故C正确。故选C。 【典例2】如图所示，在平面中的圆形区域内有一个垂直纸面向里匀强磁场，其边界过原点O和y轴上的点a（0，L）。一电子从a点以初速度v平行于x轴正方向射入磁场，并从x轴上的b点射出磁场，此时速度方向与x轴正方向的夹角为。电子在磁场中运动的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设电子的轨迹半径为R，电子的运动轨迹如图所示 根据几何关系可得解得 电子在磁场中运动的时间为 故选B。 【变式训练1】如图所示，半径为R的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度B，一比荷为的带正电粒子，从圆形磁场边界上的A点以的速度垂直直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且，下列选项正确的是（　　）    A．粒子在磁场中运动的时间为 B．粒子从N点射出方向竖直向下 C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出 D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场的最小面积为 【答案】C 【解析】A．粒子恰好从N点射出，轨迹如下图所示，运动周期为 四边形AONP的圆心角为 粒子在磁场中运动的时间为故A错误； B．粒子在磁场中速度偏转，从N点射出方向是与竖直方向呈，故B错误； C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，轨迹如下图所示，四边形SCON为菱形，由几何知识可知一定从N点射出，故C正确； D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场以AN为直径时面积最小，最小面积为故D错误。故选C。 【变式训练2】(多选)如图所示，半径为R＝2 cm的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度B＝2 T，一个比荷为2×106 C/kg的带正电的粒子从圆形磁场边界上的A点以v0＝8×104 m/s 的速度垂直直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且∠AON＝120°，下列选项正确的是(　　) A．带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为1 cm B．带电粒子在磁场中运动轨迹的圆心一定在圆形磁场的边界上 C．若带电粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出 D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则该圆形磁场的最小面积为3π×10－4 m2 【答案】　BCD 【解析】　根据洛伦兹力提供向心力可得qv0B＝m，解得r＝＝0.02 m＝2 cm＝R，又因为∠AON＝120°，所以带电粒子在磁场中运动轨迹的圆心一定在圆形磁场的边界上，故A错误，B正确；若带电粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，假设出射点位置在N′点，圆心在O′点，如图所示，根据几何关系可得CON′O′为菱形，则CO′∥ON′，N′和N重合，粒子从N点射出，故C正确；若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则该圆形磁场的最小直径等于AN长度，即rmin＝＝R＝×10－2 m，所以该圆形磁场的最小面积为 S＝πr＝3π×10－4 m2，故D正确。 【变式训练3】如图所示，圆形区域内存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，质量为、电荷量为的带电粒子从点沿平行于直径的方向射入磁场，粒子经过圆心，最后离开磁场。已知圆形区域半径为与间的夹角为，不计粒子重力。则（    ） A．粒子运动速率为 B．粒子在磁场中运动的时间为 C．粒子在磁场中运动的路程为 D．粒子离开磁场时速度方向不可能平行于 【答案】AC 【详解】A．根据题意画出粒子的运动轨迹，如图所示 由于圆形区域半径为，则点到的距离为，设粒子做圆周运动的半径为，根据几何关系有 粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有解得A正确； BD．根据上述分析可知，粒子在磁场中运动轨迹为半个圆周，粒子圆周运动的周期 则粒子在磁场中运动的时间为粒子出磁场时速度方向平行于，BD错误； C．粒子在磁场中运动的路程为C正确。故选AC。 【变式训练4】如图所示，半径为R的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度B，一比荷为的带正电粒子，从圆形磁场边界上的A点以的速度垂直直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且，下列选项正确的是（　　）    A．粒子在磁场中运动的时间为 B．粒子从N点射出方向竖直向下 C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出 D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场的最小面积为 【答案】C 【解析】A．粒子恰好从N点射出，轨迹如下图所示，运动周期为 四边形AONP的圆心角为 粒子在磁场中运动的时间为故A错误； B．粒子在磁场中速度偏转，从N点射出方向是与竖直方向呈，故B错误； C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，轨迹如下图所示，四边形SCON为菱形，由几何知识可知一定从N点射出，故C正确； D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场以AN为直径时面积最小，最小面积为 故D错误。故选C。 【变式训练5】如图所示，半径为R圆形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。质量为m、电荷量为q的带正电粒子由M点沿与过该点的直径成30°角的方向射入磁场，经过圆心O，最后离开磁场。不计粒子重力，则（    ） A．粒子的运动速度大小为 B．粒子在磁场中运动的时间为 C．若仅改变粒子的入射方向，粒子离开磁场时的速度方向不变 D．若仅增大粒子的入射速度，则粒子在磁场中的运动时间变长 【答案】C 【解析】A．根据题意作出粒子运动轨迹图 根据几何关系可知半径为 根据洛伦兹力提供向心力有解得故A错误； B．根据几何关系可知圆心角为120°，则运动时间为故B错误； C．只改变粒子的速度方向，不改变粒子的速度大小，则粒子轨迹圆的半径保持不变；则粒子轨迹圆的圆心、磁场区域圆的圆心、两个圆的交点构成菱形，故粒子出磁场时速度方向不变，故C正确； D．若增大粒子的运动速度，则半径增大，轨迹如图 根据几何关系可知圆心角减小，则粒子在磁场中的运动时间变小，故D错误。故选C。 【情景三】粒子射入环形磁场 如图丙所示，带电粒子沿径向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场区域内运动，则一定沿半径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度。 【基础练习1】(2020·全国Ⅲ卷，18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图7所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　) A. B. C. D. 【答案】　C 【解析】　为使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，电子进入匀强磁场中做匀速圆周运动轨迹的半径最大时轨迹如图所示，设其轨迹半径为r，圆心为M，磁场的磁感应强度最小为B，由几何关系有 ＋r＝3a，解得r＝a，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有evB＝m，解得B＝，选项C正确。 【基础练习2】如图所示，磁场的边界是两个同心圆，内圆的半径为r，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，A是内侧边界上的一点。在圆心O处沿平行纸面方向射出一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，粒子速度方向与OA成60°角，粒子经磁场第一次偏转后刚好从A点射出磁场，不计粒子重力，则下列说法正确的是(　　) A.粒子一定带正电 B.粒子第一次在磁场中运动的时间为 C.粒子运动的速度大小为 D.磁场外边界圆的半径至少为r 【答案】　D 【解析】　粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，根据左手定则可以判断粒子带负电，故A错误；粒子第一次在磁场中运动的时间为t＝T＝，故B错误；根据图中几何关系可得粒子在磁场中做圆周运动的半径为 R＝rtan 30°＝r，根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，解得v＝，故C错误；磁场外边界圆的半径至少为r′＝R＋＝r，故D正确。 【提高练习1】科学仪器常常利用磁场将带电粒子“约束”在一定区域内，使其不能射出。如图所示的磁场区域：匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里，其边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心，A为磁场内在圆弧上的一点，P为OA的中点。若有一粒子源向纸面内的各个方向发射出比荷为的带负电粒子，粒子速度连续分布，且无相互作用。不计粒子的重力，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求： (1)粒子源在A点时，被磁场约束的粒子速度的最大值vAm； (2)粒子源在O点时，被磁场约束的粒子每次经过磁场时间的最大值tm； (3)粒子源在P点时，被磁场约束的粒子速度的最大值vPm。 【答案】　(1)　(2)　(3) 【解析】　(1)如图甲所示， 甲 粒子源在A点时，粒子最大运动半径为rmax＝＝R， 由运动的半径 rmax＝ 解得vAm＝。 (2)设粒子运动半径为r0，粒子在磁场中的运动轨迹与磁场外边界相切时，如图乙所示，被磁场约束的粒子每次经过磁场时间最长，在△OAC中，OA2＋AC2＝OC2 乙 则R2＋r＝(2R－r0)2 得r0＝R，则∠ACO＝53°，∠ACD＝106°， 轨迹圆心角为360°－106°＝254° 解得tm＝T＝。 (3)当粒子源在P点时，粒子在磁场中的运动轨迹与磁场外边界相切时，如图丙所示，被磁场约束的粒子半径最大，速度为最大值，设粒子运动半径为rP。 丙 在△OGE中，OG2＋GE2＝OE2，其中，OG＝R，EG＝rP－R，OE＝2R－rP得rP＝R 由运动半径r＝，解得vPm＝。 【提高练习2】如图所示为空心圆柱形磁场的截面图，O点为圆心，半径为R内圆与半径为3R外圆之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，A为外圆上一点。一粒子源s可持续发射出大小均为v、质量为m，电荷量为q的粒子，不计粒子重力，以下说法正确的是（　　） A．若粒子源放置在O点向各个方向均匀发射粒子，且所有粒子均不从外圆射出，则磁感应强度最小值为 B．若粒子源放置在O点向各个方向均匀发射粒子，且所有粒子均不从外圆射出，则磁感应强度最小值为 C．若粒子源放置A点且沿连线发射粒子，为使粒子不进入内圆，则磁感应强度的最小值为 D．若粒子源放置A点且沿连线发射粒子，为使粒子不进入内圆，则磁感应强度的最小值为 【答案】C 【解析】AB．若粒子源放置在O点向各个方向均匀发射粒子，且所有粒子均不从外圆射出，轨迹最大半径如图所示 根据几何关系有解得 根据洛伦兹力提供向心力磁感应强度最小值为故AB错误； CD．若粒子源放置A点且沿连线发射粒子，为使粒子不进入内圆，轨迹最大半径如图所示 根据几何关系有解得 根据洛伦兹力提供向心力 磁感应强度最小值为故C正确，D错误。故选C。 【提高练习3】来自太阳和其他星体的宇宙射线含有大量高能带电粒子，若这些粒子都到达地面，将会对地球上的生命带来危害．但由于地磁场的存在改变了宇宙射线中带电粒子的运动方向，使得很多高能带电粒子不能到达地面。为研究地磁场，某研究小组模拟了一个地磁场，如图所示，半径分别为R、2R的两个同心圆，圆心为O，大圆和小圆之间有垂直于纸面向外的匀强磁场、磁感应强度为B，一个不计重力比荷为k的带正电粒子从大圆边缘的A点沿与AO连线成某一θ角（）以速度v射入磁场，要使粒子不进入小圆，则v的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】粒子的临界图像，如图所示 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由余弦定理有 整理有 粒子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，有 由题意知，其比荷为k，解得所以其最大值为。故选A。 学科网（北京）股份有限公司 $$