24.1.2垂径定理 教案 2024—2025学年人教版数学九年级上册

课 题 24.1.2垂径定理 授课时数 1 教学 内容 本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生动手实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。  教学 目标 1.能通过折纸探究圆的对称性，能证明圆是轴对称图形。 2.能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论。 3.能利用垂径定理解决相应问题。 学情 分析 学生在生活中经常遇到圆方面的图形，对本节课会比较有兴趣，并且学过轴对称图形相关知识。同时九年级的学生仍然是比较好奇、好动、好表现的。但在合作交流、探新知等方面发展的极不均衡。在学习的主动性、积极性等方面也有较大的差异。 教学 重点 理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题。 教学 难点 灵活运用垂径定理解决有关圆的问题。 教具 准备 圆形纸片、课件 教学环节 教 学 活 动 一、预习 检测 1.圆是轴对称图形吗？ 2.你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有什么发现？ 二、精讲 点拨 问题情境引入：(教材P82例2)你知道赵州桥吗？ 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 展示目标： (1)能通过折纸探究圆的对称性，能证明圆是轴对称图形。 (2)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论。 (3)能利用垂径定理解决相应问题。 （一）折一折： 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 结论：圆是轴对称图形。任何一条直径所在的直线都是对称轴。圆有无数条对称轴。 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）。 （二）探一探： 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。 （1）这个图形还是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ 解：（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴。 （2）线段： AE=BE 弧： （三）总一总： ( CD为⊙O的直径 CD⊥AB )条件 结论 AE=BE 垂径定理——垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 几何语言：∵ CD是直径，CD⊥AB，∴ AE=BE，，. 引申定理：定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。 （四）辩一辩： 垂径定理的几个基本图形： （五）推一推： 如果把垂径定理结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ 举例证明 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE。 (1) CD⊥AB吗？为什么？ (2) 与相等吗？与相等吗？为什么? 归纳总结：垂径定理的推论:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 “知二推三” ①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 如图：圆O中，AB是圆O中的一条弦，其中OC⊥AB，圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，则d，r，a之间满足什么样的关系呢？ 归纳总结：解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。 （六）解决问题：（再逛赵州石拱桥） 问题 (教材P82例2)赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ （七）用一用： 1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形． 课堂小结： 垂径定理 内容 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 推论 一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论(“知二推三”) 辅助线 两条辅助线：连半径，作弦心距 基本图形及变式图形 构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程。 三、总结 学法 鉴于教材特点及九年级学生的知识基础，根据教学目标和学生的认知水平， 让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验 观察 猜想 证明”的活动，最后得出定理， 这符合新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学” 的观点， 也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。 同时，在教学中，充分利用教具和课件，提高教学效果，在实验、演示、操作、观察、练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合新课程理念下的直观性与可接受性原则。 四、拓展 延伸 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．你认为AC和BD有什么关系？为什么？ 五、课堂练 习设计 1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8㎝,那么⊙o的半径是 。 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那么C到AB的距离等于 。 六、布置 作业 1、教材89页习题24.1第8题； 2、优化设计：轻松尝试应用。 七、板书 设计 24.1.2垂直于弦的直径 定义：垂直于弦的直径平分弦， 几何语言： 并且平分弦所对的两条弧。 ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE， ， 推论：平分弦（不是直径）的直径 。 垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 八、教学 反思 学科网（北京）股份有限公司 $$