24.1.2 垂径定理 课件 2024—2025学年人教版数学九年级上册

它是1400多年前,我国隋朝建造的石拱桥(如图)，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m)。你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 你知道赵州桥吗？ 问题情境引入： 24.1.2垂直于弦的直径 ———（垂径定理） (1)通过折纸探究圆的对称性，能证明圆是轴对称图形。 (2)由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论。 (3)利用垂径定理解决相应问题。 学习目标： 一、实践探究（折一折）： 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 结论：圆是轴对称图形。 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ） × 任何一条直径所在的直线都是对称轴。圆有无数条对称轴。 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形还是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ · O A B C D E 二、探一探： （1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴 （2） 线段： AE=BE ⌒ ⌒ 弧：ＡＣ＝ＢＣ　，ＡＤ＝ＢＤ ⌒ ⌒ 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 C A E B O . D 三、总一总： 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦对的两条弧。 CD为⊙O的直径 CD⊥AB 条件 结论 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AE=BE AC=BC AD=BD 应用垂径定理的书写步骤 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. ●O A B C D E└ CD⊥AB, 几何语言： ∵ CD是直径, ∴AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 引申定理： 定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理的变式： 一条直线具有： 平分弦 经过圆心 垂直于弦 可推得 平分弦所对的劣（优）弧 E O A B D C E A B C D E O A B D C E O A B C E O C D A B 四、辩一辩： O B A E D 下列图形，符合垂径定理的条件吗？ O 垂径定理的几个基本图形 · A B C D E · Ｏ Ｏ A B D C 条件 CD为直径 结论　 AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD ⌒ ⌒ CD⊥AB CD⊥AB AE=BE 垂径定理的推论:平分弦 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （不是直径） 五、推一推： CD⊥AB吗？ (E) “知二推三” (1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 注意:当具备了(1)(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制. 如图：圆O中，AB是圆O中的一条弦，其中OC⊥AB，圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，则d，r，a之间满足什么样的关系呢？ 方法归纳: 解决有关弦的问题时，经常连接半径；过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径定理创造条件。 垂径定理经常和勾股定理结合使用。 E . A C D B O . A B O 解：如图，设半径为R， 在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得 解得 R≈27.9（m）. 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. D 37.4 7.2 赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ AB=37.4, CD=7.2 R 18.7 R-7.2 六、解决问题：（再逛赵州石拱桥） 1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． O · A B E 七、用一用： 解： 答：⊙O的半径为5cm. 在Rt△AOE中 2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形． D · O A B C E 证明： ∴四边形ADOE为矩形， 又　∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形. ∴ ∵ OE⊥AC OD⊥AB 拓展延伸: 已知：如图１，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 求证：AC＝BD。 . A C D B O 课堂小结 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形后利用勾股定理解答. 别忘记还有我哟！！ 1、教材89页习题24.1 　　　 第8题； 2、优化设计：轻松尝试应用。 作业： 1.过⊙O内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长 为8㎝,那么⊙O的半径是 。 2.已知⊙O的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那 么C到AB的距离等于 。 5㎝ 1㎝或9㎝ 自我诊断： 8cm 1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是 。 2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 。 3．半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 。 练习 1 A B O E A B O E O A B E 垂径定理的应用 1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB的距离为3cm,则⊙O的半径为 . 练习 2： · A B O ∟ C 5cm 3 4 2.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为8cm，则这弓形所在圆的半径为　　　　. 13cm (1)题 (2)题 12 8 垂径定理及推论 ●O A B C D E└ 条件 结论 命题 ①② ③④⑤ ①③ ②④⑤ ①④ ②③⑤ ①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤ ②④ ①③⑤ ②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤ ③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦. ① CD是直径, ③ AE=BE, ② CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. $$