专题5.17 二次函数与商品利润问题（2大知识点7类题型）（方法梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.17 二次函数与商品利润问题（2大知识点7类题型）（方法梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 二次函数与利润问题在中考中占据非常重要的地位，是中考数学中的必考考点之一。‌ 【知识点一】利润几个重要的公式 (1)利润=售价一进价；(2)总利润=单个商品的利润×销售量；(3)利润率=. 通过公式建立二次函数模型，把利润问题转化为函数的最值问题，从而使问题得以解决 【知识点二】解决二次函数与利润问题的基本步骤 （1）‌审题‌：理解题意，找到未知量和已知量之间的关系。 （2）‌建模‌：根据销售利润方面的知识列出等量关系。 ‌建立二次函数模型‌：用含有未知量的式子表达出单个利润和销售量，根据等量关系建立二次函数。 （3）‌求解‌：应用二次函数的性质和图像找出所求最值。 通过这些步骤，学生不仅能够掌握二次函数的基本应用，还能学会如何将复杂的实际问题简化为数学模型进行求解，这对于培养学生的逻辑思维和数学应用能力具有重要意义。 【题型目录】 【题型1】二次函数与最大利润——通过二次函数顶点坐标直接求最大利润...........1 【题型2】二次函数与最大利润——通过求自变量取值范围求最大利润...............4 【题型3】二次函数与最大利润——欲求最大利润先求定（售）价...................7 【题型4】二次函数与最大利润——与一次函数综合求最大利润....................10 【题型5】二次函数与最大利润——与反比例函数综合求最大利润..................14 【题型6】直通中考..........................................................18 【题型7】拓展延伸..........................................................22 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次函数与最大利润——通过二次函数顶点坐标直接求最大利润 【例1】（24-25九年级上·江苏镇江·期中）“香梨”是新疆特产水果，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱． (1)现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？ (2)若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？最高是多少元？ 【答案】(1)每箱产品应涨价元；(2)每箱产品应涨价元才能获利最高，最高是元 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是学会构建一元二次方程和二次函数解决实际问题，学会利用二次函数的性质，解决最值问题，属于中考常考题型． （1）设每箱应涨价元，则每天可售出箱，每箱盈利元．根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． （2）设利润为元，依题意得出，根据二次函数的性质，即可求解． 解：（1）设每箱应涨价元，则每天可售出箱，每箱盈利元． ， 整理，得， 解这个方程，得， ∵要使顾客得到实惠， 应取． 答：每箱产品应涨价元． （2）设利润为元，则 ， 整理得：， 当元，可以取得最大值． 答：每箱产品应涨价元才能获利最高，最高是元． 【变式1】（24-25九年级上·吉林松原·阶段练习）如图，某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，每台蒸蛋器进价为30元，在销售过程中发现：当这款蒸蛋器销售单价为50元时，每星期卖出100台．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2台，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期的销售量为台． (1)请直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？ (3)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？并求最大利润． 【答案】(1)； (2)当销售单价为60元或70元时，该网店每星期的销售利润是2400元； (3)当销售单价为65元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润为2450元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的实际应用，熟练掌握求二次函数的最大值，学会列一元二次方程解决实际问题是解题的关键． （1）根据题意用x表示出y，再结合和求出自变量x的取值范围即可； （2）利用公式：总利润销售量每台蒸蛋器利润，列出方程求解x的值即可； （3）设该网店每星期的销售利润为W元，表示W出与x之间的函数关系式，再通过配方求出W的最大值以及对应x的值即可． 解：（1）由题意得，， ， ， 解得：， 又， 自变量x的取值范围为， ． （2）依据题意得：， 整理得：， 解得． 答：当销售单价为60元或70元时，该网店每星期的销售利润是2400元． （3）设该网店每星期的销售利润为W元， 依据题意得：， ， 当时，W有最大值2450， 答：当销售单价为65元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润为2450元． 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）食品厂加工生产某规格的食品的成本价为30元/千克，根据市场调查发现，当出厂价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保准盈利的情况下，工厂采取降价措施，调查发现：出厂价每降低1元，每天可多销售50千克． (1)若出厂价降低2元，求该工厂销售此规格的食品每天的利润； (2)求工厂销售此规格的食品每天获得的利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系； (3)当降价多少元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)9600元 (2) (3)降价4元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大，最大利润为9800元 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意是关键； （1）由每千克利润乘以销售数量可得总利润； （2）由每千克利润乘以销售数量可得函数关系式； （3）把二次函数化为顶点式，再根据二次函数的性质可得答案. 解：（1）（元） 答：若出厂价降低2元，该工厂销售此规格的食品每天的利润为9600元； （2）由题意可得：每千克利润为：元，销售数量为：千克， ∴； （3）     ∴当时（符合实际），W取得最大值9800     ∴当降价4元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大，最大利润为9800元. 【题型2】二次函数与最大利润——通过求自变量取值范围求最大利润 【例2】（24-25九年级上·山东威海·期中）水果店销售樱桃，已知樱桃的进价为元/千克，若售价为元/千克，则每天可售出千克；若售价为元/千克，则每天可售出千克．经调查发现：每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系．若规定樱桃的售价不得高于元/千克，售价定为多少元时，水果店每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】元；元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．首先根据每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，求出一次函数的解析式，然后再根据：利润销量每千克的利润，得到总利润与销售单价之间的函数关系为，根据二次函数的性质求出最大利润． 解：设与之间的函数关系式为， 当时，，当时，， 可得：， 解得：， 与之间的函数关系式为， 设每天获利元． 则有， 整理得：， ， 抛物线开口向下， 又对称轴为， 在时，随的增大而增大． 时，． 答：售价为元时，每天获利最大为元． 【变式1】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．不妨设该种品牌玩具的实际销售单价为元，销售该品牌玩具获得的利润为元． (1)求出与之间的函数关系式； (2)若商场只获得了6000元的销售利润，求该玩具销售单价为多少元？ (3)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售单价为90元 (3)最大利润是10000元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解． （1）一件的利润为元，涨价后的销售量为元，根据一件的利润与销售数量的积，即可表示出函数关系式； （2）由所得函数关系式，求出当函数值为6000时，解一元二次方程即可求出自变量的值； （3）由题意解不等式组，可求得x的范围，再由二次函数的性质即可求得最大利润． 解：（1）由题意得：， 整理得：； 答：与之间的函数关系式为； （2）由题意得：， 整理，得：， 解得：（舍去）， 答：该玩具销售单价为90元； （3）由题意得：， 解得：； ∵，， ∴当时，函数取得最大值，且最大值为10000； 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元． 【变式2】（24-25九年级上·重庆·期中）世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于12元．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售为y本，销售单价为x元． (1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ (3)将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)；(2)当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；(3)将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润最大，最大利润是2640元. 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨元，每天销售量减少本，所以，然后利用销售单价不低于44元且不高于52元确定的范围； （2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到，然后解方程后利用的范围确定销售单价； （3）利用利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到，再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到时最大，从而计算出时对应的的值即可． 解：（1）由题意得，， 即：； （2）根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， 答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元； （3）由题意得， ， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润最大，最大利润是2640元． 【题型3】二次函数与最大利润——欲求最大利润先求定（售）价 【例3】（2024九年级上·浙江·专题练习）某商场销售一款篮球，每个篮球进价50元，经市场部调查发现：当篮球的销售单价为60元时，该款篮球的日均销售量为200个，当销售单价在60元到95元之间浮动时（含60元与95元），每个篮球的售价每增加4元，日均销售量减少20个，设该款篮球的销售单价为x元，请回答下列问题： (1)写出该款篮球的日均销售量y（个）与x（元）之间的函数关系式：___________． (2)求当x为多少时，销售该款篮球的日均利润w（元）存在最大值，并求出最大值． (3)若该款篮球的日均销量不低于100个，销售利润至少为2405元，则该款篮球的销售单价应定在什么范围内？ 【答案】(1); (2)当x＝75时，w存在最大值，最大值为3125元; (3)不低于63元，不高于80元. 【分析】（1）根据“日均销售量＝原销售量﹣售价增加减少的销售量”列关系式即可； （2）根据“日均利润＝每个利润×日均销售量”列函数解析式，即可解答问题； （3）根据“日均销量不低于100个，销售利润至少为2405元”列不等式组，即可求出答案． 解：（1）由题意，得， 故答案为：； （2）由题意，得 ， ， ∴抛物线开口向下， ∴对称轴在范围内， 当时取得最大值，为（元）， 答：时，w存在最大值，最大值为3125元； （3）根据题意，得， 解得， 答：该款篮球的销售单价应不低于63元，不高于80元． 【点拨】本题考查了一次函数与二次函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求出一次函数与二次函数的解析式． 【变式1】（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）某个体商户购进某种电子产品的进价是元个，根据市场调研发现售价是元个时，每周可卖出个.若销售单价每个降低元，则每周可多卖出个.设销售价格每个降低元，每周销售量为个． (1)求出销售量个与降价元之间的函数关系式； (2)设商户每周获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元? 【答案】(1)销售量个与降价元之间的函数关系式为；(2)当销售单价降低元时，每周销售利润最大，最大利润是元． 【分析】（）根据题意，由售价是元个时，每周可卖出个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出个，可得销售量个与降价元之间的函数关系式； （）根据题意结合每周获得的利润销量每个的利润，进而利用二次函数增减性求出答案； 本题考查了二次函数和一次函数的应用，熟练掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键． 解：（1）∵由售价是元个时，每周可卖出个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出个， ∴， ∴销售量个与降价元之间的函数关系式为； （2） ， ∵， ∴当时，利润为有最大值，最大值为元， 答：当销售单价降低元时，每周销售利润最大，最大利润是元． 【变式2】（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）新冠疫情期间，邻居小王在淘宝上销售某类型口罩，每袋进价为20元，经市场调研，销售定价为每袋25元时，每天可售出250袋；销售单价每提高1元，每天销售量将减少10袋，已知平台要求该类型口罩每天销售量不得少于120袋． (1)直接写出： ①每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式______________； ②每天的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式______________． (2)小王希望每天获利1760元，则销售单价应定为多少元? 【答案】(1)①；②；(2)要想获利1760元，销售单价应定为28元； 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）①根据销售定价为每袋25元时，每天可售出250袋；销售单价每提高1元，每天销售量将减少10袋，即可列出函数关系式； ②根据每天的销售利润w（元）等于每袋的利润乘以每天的销售量即可列出每天的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． （2）根据平台要求该类型口罩每天销售量不得少于120袋，可得关于x的一元一次不等式，从而可解得x的取值范围；根据小王希望每天获利1760元，可得关于x的一元二次方程，解方程并作出取舍即可． 解：（1）①∵销售定价为每袋25元时，每天可售出250袋；销售单价每提高1元，每天销售量将减少10袋， ∴ ； 故答案为：； ②根据题意得： ； 故答案为：． （2）∵， ∴， 小王希望每天获利1760元，则， 解得：，（舍去）， ∴要想获利1760元，销售单价应定为28元． 【题型4】二次函数与最大利润——与一次函数综合求最大利润 【例4】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）某商场以每件元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于元，经市场调查发现：该商品每天的销售量（件）与每件售价（元）之间符合一次函数关系，如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)设商场销售这种商品每天获利（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)；(2)售价定为元时，每天销售利润最大，最大利润是元. 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数的应用，正确解读题意，列出关系式是解题的关键． （1）设与之间的函数关系式为（），然后用待定系数法求函数解析式； （2）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后有函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 解：（1）设与之间的函数关系式为． 由图象，把代入得， 解得， ∴与之间的函数关系式为． （2）∵， ∴ ∵，开口向下，对称轴为直线， ∴当随的增大而增大， ∴当时， 答：当每件商品的售价定为元时，每天销售利润最大，最大利润是元． 【变式1】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）经市场调查，商场某种运动服成本80元/件，月销量（件）是售价（元）的一次函数， (1)当售价是______元/件时，月销售利润最大，最大利润是______元； (2)由于某种原因，该商品进价降低了元/件，商家规定该运动服售价不得低于150元/件，该商场在今后的售价中，月销量与售价仍满足上述一次函数关系，若月销售最大利润是8000元，求的值. 【答案】(1)140；7200; (2). 【分析】（1）运动服的利润等于销售价减去每件的进价，根据每件的利润乘以月销售量等于月销售利润，得到关于x的二次函数，配方，根据二次函数的性质可得到答案； （2）根据进价变动后每件的利润变为元，用其乘以月销售量，得到关于x的二次函数，求得对称轴，判断对称轴小于150，由开口向下的二次函数的性质可知，当时w取得最大值8000，解关于n的方程即可． 解：（1）由题可得每件的利润为元， 月销售利润 ∴当销售价是140元时，月销售利润最大，最大利润为7200元； （2）由题意得： 对称轴为， ∵， ∴， ∵商家规定该运动服售价不得低于150元/件， ∴由二次函数的性质，可知当时，月销售量最大利润是8000元， ∴， 解得， ∴n的值为10． 【点拨】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润问题常利用函数的增减性来解答，建立函数模型是解题的关键，结合实际选择最优方案，要注意是在自变量的取值范围内求取最值，二次函数的最值不一定在对称轴处取得． 【变式2】（22-23九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）小明投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%． (1)设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ (3)如果小明想要每月获得的利润不低于1500元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量） 【答案】(1); (2)当销售单价定为24元时，每月可获得最大利润，最大利润是2340元; (3)想要每月获得的利润不低于1500元，小明每月的成本最少为3900元. 【分析】（1）根据利润=（售价-进价）×销售量求解即可，结合题意即可直接得出自变量x的取值范围； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）利用图象法求解一元二次方程，再结合一次函数的性质求解即可． 解：（1）由题意，得：， ∵， ∴， ∴； （2）， ∵， ∴抛物线开口向下． ∵其对称轴为直线，， ∴当时，w最大，． 答：当销售单价定为24元时，每月可获得最大利润，最大利润是2340元； （3）令，即， 解得：，． ∵，抛物线开口向下． ∴当时，． ∵， ∴当时，． 设每月的成本为P（元），由题意，得：， ∵， ∴P随的增大而减小． ∴当时，P的值最小，． 答：想要每月获得的利润不低于1500元，小明每月的成本最少为3900元． 【点拨】本题考查二次函数的实际应用，一次函数的实际应用．读懂题意，找到等量关系，正确列出函数关系是解题关键． 【题型5】二次函数与最大利润——与反比例函数综合求最大利润 【例5】（2023·安徽合肥·模拟预测）某水果店去年2月至5月份销售甲乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与月份x之间存在的反比例函数关系如表所示． 时间x/月份 2 3 4 5 售价 /（元/千克） 12 8 6 甲种水果进价为3元/千克，销售量P（千克）与x之间满足关系式；乙种水果每月售价与月份x之间满足，对应的图象如图所示．乙种水果进价为元/千克，平均每月销售160千克．    (1)求与x之间的函数关系式； (2)求与x之间的函数关系式； (3)若水果店销售水果时需要缴纳元/千克的税费，问该水果店哪个月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)为整数）; (2)，且x为整数）; (3)水果店2月份销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是720元. 【分析】（1）根据表中数据，用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据图象用待定系数法求函数解析式即可； （3）根据总利润等于甲乙两种水果利润之和列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 解：（1）设与x之间的函数关系式为 ， 把代入解析式，则 ， 解得， ∴与x之间的函数关系式为为整数）； （2）把代入，得： ，解得 ， ∴与x之间的函数关系式为，且x为整数）； （3）设甲乙两种水果获得的总利润为w，则 ， = ， 对称轴为直线 ． ∵， ∴当时，w随x的增大而减小． ∵x为整数， ∴当时，w有最大值，最大值（元）， 答：水果店2月份销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是720元． 【点拨】本题考查反比例函数和二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求面积的最大值． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为; (2)4. 【分析】本题考查了求一次函数和反比例函数的解析式、二次函数的应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键． （1）将点、代入即可得一次函数的解析式；从而可得点的坐标，再代入可得反比例函数的解析式； （2）先分别求出点的坐标，从而可得的长，再利用三角形的面积公式和二次函数的性质求最值即可得． 解：（1）将点、代入得：， 解得， 则一次函数的表达式为， 将点代入得：， 则点的坐标为， 将点代入得：， 则反比例函数的表达式为． （2）∵点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点， ∴，，的边上的高为， ∴， ∴面积为， 由二次函数的性质可知，在内，当时，面积取得最大值，最大值为4， 所以面积的最大值为4． 【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）某花店在一段时间内推销一种新型花卉，经过统计发现：销售量y（株）与销售时间第x（x为正整数）天的变化情况，获得部分数据如表： x 1 2 3 4 5 y 31 56 75 88 95 (1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定y与x之间的函数关系式； (2)花店第几天获得的销售量最大？最多销售多少株？ (3)花店为了扩大影响，计划确保连续6天的销售量不得低于a（a为正整数）株，请直接写出a的最大值． 【答案】(1); (2)花店第6天获得的销售量最大，最多销售96株; (3)a的最大值为75. 【分析】本题主要考查了二次函数．熟练掌握判定表中数据函数关系，待定系数法求函数解析这种，根据解析式作判断，根据函数图象作判断，是解决问题的关键． （1）观察表中数据，判断y与x之间的函数关系是二次函数类型关系，设，把，，代入，解方程组，求得； （2）配方得，根据，开口向下，得在附近，y取得最大值， 得到当时，，故花店第6天获得的销售量最大，96株； （3）由图象得6天内最多不低于最大为75，故a的最大值为75． 解：（1）观察表中数据知，y与x之间的函数关系是二次函数关系， 设， 把，，代入， 得， 解得， ∴； （2）由（1）知，， ∵， ∴当时，y取得最大值， ∴在附近取整数， 当时，；当时，， ∴花店第6天获得的销售量最大，最多销售96株； （3）当时， ， 结合表格可知，连续6天的销售量不低于a株， 则a的最大值为75． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型6】直通中考 【例1】（2024·新疆·中考真题）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． (1)求出成本关于销售量x的函数解析式； (2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ (3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额成本） 【答案】(1) (2)销售产品所获利润是万元； (3)当销售量吨时，获得最大利润，最大利润为：万元； 【分析】（1）设抛物线为：，再利用待定系数法求解即可； （2）先求解当时，成本的最小值为，再计算销售额，从而可得答案； （3）设销售利润为万元，可得，再利用二次函数的性质解题即可； 解：（1）∵成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． ∴设抛物线为：， 把代入可得：， 解得：， ∴抛物线为； （2）∵， ∴当时，成本最小值为， ∴， ∴销售产品所获利润是（万元）； （3）解：设销售利润为万元， ∴ ， 当时，获得最大利润， 最大利润为：（万元）； 【点拨】本题考查的是二次函数的实际应用，一次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法的含义，熟练的建立二次函数的关系式是解本题的关键． 【例2】（2024·山东青岛·中考真题）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园 第x天的单价、销售量与x的关系如下表： 单价（元/盒） 销售量（盒） 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 … … … 第x天 10x+10 第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元． B樱桃园 第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图： (1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）； (2)求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本） (3)①与x的函数关系式是______； ②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？ (4)这15天中，共有______天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大． 【答案】(1); (2); (3)①；②第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元；(4)4. 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用： （1）设出对应的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求结合利润单价销售量固定成本进行求解即可； （3）①利用待定系数法求解即可；②根据前面所求求出的结果，再利用二次函数的性质求解即可； （4）根据题意建立不等式，求出不等式的正整数解即可得到答案． 解：（1）第天的单价与满足的一次函数关系式为， 把代入中得， ∴， ∴第天的单价与满足的一次函数关系式为， ∴A樱桃园第x天的单价是元/盒， 故答案为：； （2）由题意得， （3）①把代入中得：， 解得， ∴； ②∵，， ∴ ， ∵，且（x为正整数）， ∴当时，有最大值，最大值为4800， ∴第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元； （4）当时，则， ∴， ∴， ∴， ∵x的正整数解有4个， ∴这15天中，共有4天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大． 【题型7】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）某水果店购入一批进价为10元/千克的水果进行销售，经调查发现：销售单价不低于进价且不超过30元/千克时，日销售量（千克）与销售单价（元）是一次函数关系，如下表． 销售单价 20 22 24 销售量 32 28 24 (1)求与的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若为了尽快销售完这批水果，水果店决定降价销售，每千克降价元，该店经调查发现当取值在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加，求的取值范围． 【答案】(1); (2)销售单价定为23元时，所获日销售利润最大，最大利润是338元; (3). 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）设，把，代入再计算即可； （2）设日销售利润为w元，结合单件利润乘以销售量等于总利润，再建立函数解析式求解即可； （3）结合单件利润乘以销售量等于总利润，得到，再根据在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加求解即可． 解：（1）设，由题意得， ， 解得：， ∴y与x的函数表达式为， 答：y与x的函数表达式为； （2）设日销售利润为w元，由题意得， ， ∵销售单价不低于进价且不超过30元/千克， ∴， ∴当时，w有最大值338元， 答：当销售单价定为23元时，所获日销售利润最大，最大利润是338元； （3）由题意得， ∴对称轴为直线， ∴当时销售利润会随着售价的增加而增加， ∵销售单价不低于进价且不超过30元/千克， ∴， ∵该店经调查发现当取值在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加， ∴当时销售利润会随着售价的增加而增加， 解得， ∵， ∴． 【例2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型药品未来两年的销售进行预测，发现月销售量（吨）与（月）的函数关系式如下：． (1)根据图象求与的函数关系式； (2)预测月销量不低于15吨有______个月； (3)若该药品每吨的利润（万元）与（月）之间满足如下关系：预测药厂未来两年的月最大利润． 【答案】(1); (2)12; (3)在21个月的时候，月利润最大，为529万元． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出分段函数的解析式是解题的前提，利用二次函数的性质求得所对应的的取值是解题的关键． （1）设时，，将、代入求解可得； （2）将将分别代入，进行求解即可； 分、和三种情况，根据月毛利润月销量每吨的毛利润可得函数解析式，当时，的值始终是240当时，，当时，当时，当时，根据二次函数的性质即可得到结论． 解：（1）当时，， 将代入，得： ，得：， ； 当时，， 将、代入，得： ，得：， ； ； （2）将代入得：，解得：， 将代入得：，解得：， 预测月销量不低于15吨有（个月）， 故答案为：12； （3）设月利润为万元， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，的值始终是240， 当时，， 时，随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为448， 当时，， 当时，取得最大值529， 综上，在21个月的时候，毛利润最大，为529万元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.17 二次函数与商品利润问题（2大知识点7类题型）（方法梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 二次函数与利润问题在中考中占据非常重要的地位，是中考数学中的必考考点之一。‌ 【知识点一】利润几个重要的公式 (1)利润=售价一进价；(2)总利润=单个商品的利润×销售量；(3)利润率=. 通过公式建立二次函数模型，把利润问题转化为函数的最值问题，从而使问题得以解决 【知识点二】解决二次函数与利润问题的基本步骤 （1）‌审题‌：理解题意，找到未知量和已知量之间的关系。 （2）‌建模‌：根据销售利润方面的知识列出等量关系。 ‌建立二次函数模型‌：用含有未知量的式子表达出单个利润和销售量，根据等量关系建立二次函数。 （3）‌求解‌：应用二次函数的性质和图像找出所求最值。 通过这些步骤，学生不仅能够掌握二次函数的基本应用，还能学会如何将复杂的实际问题简化为数学模型进行求解，这对于培养学生的逻辑思维和数学应用能力具有重要意义。 【题型目录】 【题型1】二次函数与最大利润——通过二次函数顶点坐标直接求最大利润...........1 【题型2】二次函数与最大利润——通过求自变量取值范围求最大利润...............2 【题型3】二次函数与最大利润——欲求最大利润先求定（售）价...................3 【题型4】二次函数与最大利润——与一次函数综合求最大利润.....................4 【题型5】二次函数与最大利润——与反比例函数综合求最大利润...................5 【题型6】直通中考...........................................................6 【题型7】拓展延伸...........................................................7 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次函数与最大利润——通过二次函数顶点坐标直接求最大利润 【例1】（24-25九年级上·江苏镇江·期中）“香梨”是新疆特产水果，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱． (1)现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？ (2)若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？最高是多少元？ 【变式1】（24-25九年级上·吉林松原·阶段练习）如图，某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，每台蒸蛋器进价为30元，在销售过程中发现：当这款蒸蛋器销售单价为50元时，每星期卖出100台．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2台，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期的销售量为台． (1)请直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？ (3)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？并求最大利润． 【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）食品厂加工生产某规格的食品的成本价为30元/千克，根据市场调查发现，当出厂价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保准盈利的情况下，工厂采取降价措施，调查发现：出厂价每降低1元，每天可多销售50千克． (1)若出厂价降低2元，求该工厂销售此规格的食品每天的利润； (2)求工厂销售此规格的食品每天获得的利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系； (3)当降价多少元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大？最大利润为多少元？ 【题型2】二次函数与最大利润——通过求自变量取值范围求最大利润 【例2】（24-25九年级上·山东威海·期中）水果店销售樱桃，已知樱桃的进价为元/千克，若售价为元/千克，则每天可售出千克；若售价为元/千克，则每天可售出千克．经调查发现：每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系．若规定樱桃的售价不得高于元/千克，售价定为多少元时，水果店每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？ 【变式1】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．不妨设该种品牌玩具的实际销售单价为元，销售该品牌玩具获得的利润为元． (1)求出与之间的函数关系式； (2)若商场只获得了6000元的销售利润，求该玩具销售单价为多少元？ (3)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【变式2】（24-25九年级上·重庆·期中）世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于12元．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售为y本，销售单价为x元． (1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ (3)将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 【题型3】二次函数与最大利润——欲求最大利润先求定（售）价 【例3】（2024九年级上·浙江·专题练习）某商场销售一款篮球，每个篮球进价50元，经市场部调查发现：当篮球的销售单价为60元时，该款篮球的日均销售量为200个，当销售单价在60元到95元之间浮动时（含60元与95元），每个篮球的售价每增加4元，日均销售量减少20个，设该款篮球的销售单价为x元，请回答下列问题： (1)写出该款篮球的日均销售量y（个）与x（元）之间的函数关系式：___________． (2)求当x为多少时，销售该款篮球的日均利润w（元）存在最大值，并求出最大值． (3)若该款篮球的日均销量不低于100个，销售利润至少为2405元，则该款篮球的销售单价应定在什么范围内？ 【变式1】（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）某个体商户购进某种电子产品的进价是元个，根据市场调研发现售价是元个时，每周可卖出个.若销售单价每个降低元，则每周可多卖出个.设销售价格每个降低元，每周销售量为个． (1)求出销售量个与降价元之间的函数关系式； (2)设商户每周获得的利润为元，当销售单价降低多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元? 【变式2】（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）新冠疫情期间，邻居小王在淘宝上销售某类型口罩，每袋进价为20元，经市场调研，销售定价为每袋25元时，每天可售出250袋；销售单价每提高1元，每天销售量将减少10袋，已知平台要求该类型口罩每天销售量不得少于120袋． (1)直接写出： ①每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式______________； ②每天的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式______________． (2)小王希望每天获利1760元，则销售单价应定为多少元? 【题型4】二次函数与最大利润——与一次函数综合求最大利润 【例4】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）某商场以每件元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于元，经市场调查发现：该商品每天的销售量（件）与每件售价（元）之间符合一次函数关系，如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)设商场销售这种商品每天获利（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【变式1】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）经市场调查，商场某种运动服成本80元/件，月销量（件）是售价（元）的一次函数， (1)当售价是______元/件时，月销售利润最大，最大利润是______元； (2)由于某种原因，该商品进价降低了元/件，商家规定该运动服售价不得低于150元/件，该商场在今后的售价中，月销量与售价仍满足上述一次函数关系，若月销售最大利润是8000元，求的值. 【变式2】（22-23九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）小明投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%． (1)设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ (3)如果小明想要每月获得的利润不低于1500元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量） 【题型5】二次函数与最大利润——与反比例函数综合求最大利润 【例5】（2023·安徽合肥·模拟预测）某水果店去年2月至5月份销售甲乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与月份x之间存在的反比例函数关系如表所示． 时间x/月份 2 3 4 5 售价 /（元/千克） 12 8 6 甲种水果进价为3元/千克，销售量P（千克）与x之间满足关系式；乙种水果每月售价与月份x之间满足，对应的图象如图所示．乙种水果进价为元/千克，平均每月销售160千克．    (1)求与x之间的函数关系式； (2)求与x之间的函数关系式； (3)若水果店销售水果时需要缴纳元/千克的税费，问该水果店哪个月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是多少？ 【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求面积的最大值． 【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）某花店在一段时间内推销一种新型花卉，经过统计发现：销售量y（株）与销售时间第x（x为正整数）天的变化情况，获得部分数据如表： x 1 2 3 4 5 y 31 56 75 88 95 (1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定y与x之间的函数关系式； (2)花店第几天获得的销售量最大？最多销售多少株？ (3)花店为了扩大影响，计划确保连续6天的销售量不得低于a（a为正整数）株，请直接写出a的最大值． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型6】直通中考 【例1】（2024·新疆·中考真题）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． (1)求出成本关于销售量x的函数解析式； (2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ (3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额成本） 【例2】（2024·山东青岛·中考真题）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园 第x天的单价、销售量与x的关系如下表： 单价（元/盒） 销售量（盒） 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 … … … 第x天 10x+10 第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元． B樱桃园 第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图： (1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）； (2)求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本） (3)①与x的函数关系式是______； ②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？ (4)这15天中，共有______天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大． 【题型7】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）某水果店购入一批进价为10元/千克的水果进行销售，经调查发现：销售单价不低于进价且不超过30元/千克时，日销售量（千克）与销售单价（元）是一次函数关系，如下表． 销售单价 20 22 24 销售量 32 28 24 (1)求与的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若为了尽快销售完这批水果，水果店决定降价销售，每千克降价元，该店经调查发现当取值在一定范围内时，销售利润会随着售价的增加而增加，求的取值范围． 【例2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型药品未来两年的销售进行预测，发现月销售量（吨）与（月）的函数关系式如下：． (1)根据图象求与的函数关系式； (2)预测月销量不低于15吨有______个月； (3)若该药品每吨的利润（万元）与（月）之间满足如下关系：预测药厂未来两年的月最大利润． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$