2.5 简单复合函数的求导法则-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册作业与测评教用word（北师大版2019）

数学 选择性必修 第二册 作业与测评(北师) §5　简单复合函数的求导法则 知识点一　复合函数求导 1．函数y＝(ex＋e－x)的导数是(　　) A．y′＝(ex－e－x) B．y′＝(ex＋e－x) C．y′＝ex－e－x D．y′＝ex＋e－x 答案：A 解析：设u＝e－x，v＝－x，则ux′＝(ev)′·(－x)′＝ev·(－1)＝－e－x，即y′＝(ex－e－x)． 2．函数y＝x2cos2x的导数为(　　) A．y′＝2xcos2x－x2sin2x B．y′＝2xcos2x－2x2sin2x C．y′＝x2cos2x－2xsin2x D．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x 答案：B 解析：y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－2sin2x)＝2xcos2x－2x2sin2x. 3．求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝log2(2x＋1)； (3)y＝e3x＋2； (4)y＝sin. 解：(1)y＝(1－2x)－，设y＝u－，u＝1－2x， 则yx′＝yu′·ux′＝(u－)′·(1－2x)′＝·(－2)＝(1－2x)－， 即y′＝(1－2x)－. (2)设y＝log2u，u＝2x＋1， 则yx′＝yu′·ux′＝(log2u)′·(2x＋1)′＝·2＝， 即y′＝. (3)设y＝eu，u＝3x＋2， 则yx′＝yu′·ux′＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2， 即y′＝3e3x＋2. (4)设y＝sinu，u＝2x＋，则yx′＝yu′·ux′＝(sinu)′·′＝cosu·2＝2cos，即y′＝2cos. 知识点二　导数的综合应用 4．函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则实数a的值为________． 答案：1 解析：y′＝(1－ax)2＋x[(1－ax)2]′＝(1－ax)2＋x[2(1－ax)(－a)]＝(1－ax)2－2ax(1－ax)．由y′|x＝2＝(1－2a)2－4a(1－2a)＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1. 5．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线，求b的值． 解：设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋2和y＝ln (x＋1)的切点分别为(x1，ln x1＋2)和(x2，ln (x2＋1))． 则切线分别为y－ln x1－2＝(x－x1)，y－ln (x2＋1)＝(x－x2)， 化简得y＝x＋ln x1＋1，y＝·x－＋ln (x2＋1)， 依题意，得 解得x1＝，从而b＝ln x1＋1＝1－ln 2. 6．设曲线y＝e－x(x≥0)在点M(t，e－t)处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t)． (1)求切线l的方程； (2)求S(t)的解析式． 解：(1)∵y＝e－x，∴y′＝(e－x)′＝－e－x， ∴y′|x＝t＝－e－t. 故切线l的方程为y－e－t＝－e－t(x－t)， 即x＋ety－(t＋1)＝0. (2)令y＝0，得x＝t＋1；令x＝0，得y＝e－t(t＋1)． ∴S(t)＝(t＋1)e－t(t＋1)＝(t＋1)2e－t(t≥0)． 7．某市在一次降雨过程中，降雨量y(单位：mm)与时间t(单位：min)在某一个小时内的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝(0≤t≤60)．求f′(20)，并解释它的实际意义． 解：因为f(t)＝(0≤t≤60)， 所以f′(t)＝＝. 令t＝20，得f′(20)＝＝. 它表示在t＝20 min时，降雨强度为 mm/min，也就是说，如果保持t＝20 min时的降雨强度，那么每经过1 min，降雨量为 mm. 一、选择题 1．函数y＝的导数是(　　) A．y′＝ B．y′＝ C．y′＝－ D．y′＝－ 答案：C 解析：y′＝′＝·(3x－1)′＝－.故选C. 2．已知函数f(x)在R上可导，函数F(x)＝f(x2－4)＋f(4－x2)，则F′(2)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案：B 解析：∵F(x)＝f(x2－4)＋f(4－x2)，∴F′(x)＝2xf′(x2－4)－2xf′(4－x2)，∴F′(2)＝4f′(0)－4f′(0)＝0.故选B. 3．函数y＝cos2x＋sin的导数为(　　) A．y′＝－2sin2x＋ B．y′＝2sin2x＋ C．y′＝－2sin2x＋ D．y′＝2sin2x－ 答案：A 解析：y′＝－sin2x·(2x)′＋cos·()′＝－2sin2x＋. 4．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M0×2－，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(单位：太贝克/年)，则t＝60时，铯137的含量为(　　) A．5太贝克 B．75ln 2太贝克 C．150ln 2太贝克 D．150太贝克 答案：D 解析：因为M′(t)＝－ln 2×M0×2－，所以M′(30)＝－ln 2×M0×2－＝－10ln 2，解得M0＝600，所以M(t)＝600×2－，所以t＝60时，铯137的含量为600×2－＝600×＝150(太贝克)． 5．设f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R且为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在点(0，0)处相切，则a＋b的值为(　　) A．－1 B．1 C．0 D．2 答案：A 解析：由曲线y＝f(x)过点(0，0)得b＝－1，∴f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax－1，∴f′(x)＝＋＋a，又曲线y＝f(x)与直线y＝x在点(0，0)处相切，即曲线y＝f(x)在点(0，0)处切线的斜率为，∴f′(0)＝，即1＋＋a＝，∴a＝0，故a＋b＝－1，故选A. 二、填空题 6．下列各函数的导数： ①()′＝x(x2＋1) －；②(ax)′＝axln x(a>0，且a≠1)；③(cos2x)′＝－sin2x；④′＝. 其中正确的有________(填序号)． 答案：①④ 解析：()′＝(x2＋1)－·(x2＋1)′＝x(x2＋1)－，①正确；(ax)′＝axln a(a>0，且a≠1)，②错误；(cos2x)′＝－sin2x·(2x)′＝－2sin2x，③错误；′＝＝＝，④正确． 7．已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________． 答案：2x－y＝0 解析：设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x.所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x.因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0. 8．设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)为奇函数，则φ＝________． 答案： 解析：f′(x)＝－sin(x＋φ)·(x＋φ)′＝－sin(x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝2cos.因为f(x)＋f′(x)为奇函数，所以φ＋＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z，又0<φ<π，所以k只能取0，从而φ＝. 三、解答题 9．求下列函数的导数： (1)y＝(2x－1)4；(2)y＝102x＋3； (3)y＝e2－x·sin2x；(4)y＝. 解：(1)设y＝u4，u＝2x－1， 则yx′＝yu′·ux′＝(u4)′·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3. (2)设y＝10u，u＝2x＋3， 则yx′＝yu′·ux′＝(10u)′·(2x＋3)′＝10uln 10·2＝2·102x＋3·ln 10＝102x＋3·ln 100. (3)y′＝(e2－x)′·sin2x＋e2－x·(sin2x)′ ＝－e2－x·sin2x＋e2－x·2sinxcosx ＝－e2－x·sin2x＋e2－x·sin2x. (4)y′＝ ＝＝. 10．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数关系为s＝s(t)＝5－.求函数在t＝1 s时的导数，并解释它的实际意义． 解：函数s＝5－可以看作函数s＝5－和x＝25－9t2的复合函数， 其中x是中间变量．由导数公式表可得 sx′＝－x－，xt′＝－18t. 故由复合函数求导法则得 st′＝sx′·xt′＝·(－18t)＝， 将t＝1代入s′(t)，得s′(1)＝2.25. 它表示当t＝1 s时，梯子上端下滑的瞬时速度为2.25 m/s. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$