4.3.1 一元线性回归模型-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册作业与测评教用word（人教B版2019）

数学 选择性必修 第二册 作业与测评(B版) 4．3　统计模型 4．3.1　一元线性回归模型 知识点一　相关关系 1．下列变量关系是线性相关的是(　　) A．角的大小与所对的圆弧长 B．收入水平与纳税水平 C．人的身高与视力 D．圆的半径与面积 答案：B 解析：对于A，同一圆中，角的大小与弧长是确定的函数关系，不是线性相关关系；对于B，是线性相关关系；对于C，人的身高与视力没有什么关系，不是线性相关关系；对于D，圆的半径与面积之间是S＝πr2，它们之间是确定的函数关系，不是线性相关关系． 2．观察下列散点图，其中对两个变量之间的相关关系判断正确的是(　　) A．a中为正相关，b中为负相关，c中为不相关 B．a中为负相关，b中为不相关，c中为正相关 C．a中为负相关，b中为正相关，c中为不相关 D．a中为正相关，b中为不相关，c中为负相关 答案：D 解析：根据变量的相关性，可知图a中，两个变量正相关；图b中，两个变量不相关；图c中，两个变量负相关．故选D. 知识点二　回归直线方程 3．随着网络的普及，网上购物的方式已经受到越来越多年轻人的青睐，某家网络店铺商品的成交量x(单位：件)与店铺的浏览量y(单位：次)之间的对应数据如下表所示： x/件 2 4 5 6 8 y/次 30 40 50 60 70 (1)根据表中数据画出散点图； (2)根据表中的数据，求出y关于x的回归直线方程； (3)当这种商品的成交量突破100件(含100件)时，预测这家店铺的浏览量至少为多少次？ 解：(1)散点图如图所示． (2)根据散点图可得，变量x与y之间具有线性相关关系． 根据数据可知，＝5，＝50， xiyi＝1390, x＝145， 代入公式得=＝＝7， ＝－＝50－7×5＝15. 故所求的回归直线方程是＝7x＋15. (3)由(2)知，当成交量突破100件(含100件)，即x＝≥100时，≥715，所以预测这家店铺的浏览量至少为715次． 4．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据： 年份x 2016 2018 2020 2022 2024 需求量y/万吨 236 246 257 276 286 (1)利用所给数据求年需求量y与年份x之间的回归直线方程＝x＋； (2)利用(1)中所求出的回归直线方程预测该地2025年的粮食需求量(结果保留整数)． 解：(1)由所给数据可以看出，年需求量y与年份x之间是近似的线性关系，由于所给数据较大，故令u＝y－257，v＝x－2020，由题表变换后为 v －4 －2 0 2 4 u －21 －11 0 19 29 对处理后的数据，容易得u与v之间是近似的线性关系， 计算得＝0，＝3.2. 由公式计算得 ′＝6.5，′＝－′＝3.2. 故所求回归直线方程为－257＝′(x－2020)＋′＝6.5(x－2020)＋3.2，即＝6.5(x－2020)＋260.2＝6.5x－12869.8. (2)由(1)中回归直线方程，可预测该地2025年的粮食需求量为6.5×2025－12869.8＝292.7(万吨)≈293(万吨)． 知识点三　回归直线方程的性质 5．为了研究变量x和y的线性相关性，甲、乙两人分别利用线性回归分析的方法得到回归直线l1和l2，已知两人计算过程中，分别相同，则下列说法正确的是(　　) A．l1与l2一定平行 B．l1与l2重合 C．l1与l2相交于点(，) D．无法判断l1和l2是否相交 答案：C 解析：回归直线一定过样本点的中心(，)，故C正确． 知识点四　相关系数 6．[多选]下列关于相关系数r的说法中正确的是(　　) A．相关系数r越小两个变量间线性相关性越弱 B．相关系数r的取值范围为[－1，1] C．相关系数r>0时两个变量正相关，r<0时两个变量负相关 D．相关系数r＝1时，样本点在同一直线上 答案：BCD 解析：对于相关系数r，有以下结论：①当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关．②r的绝对值越接近于1，表明两个变量之间的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间的线性相关性越弱．对于A，当r<0时，此结论不成立，所以A不正确；对于B，C，D，由相关系数的性质可得均正确．故选BCD. 知识点五　非线性回归 7．某地区的女性在不同年龄段的身高平均值x(单位：cm)和体重平均值y(单位：kg)的数据如下表： 身高x/cm 60 70 80 90 100 110 体重y/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 身高x/cm 120 130 140 150 160 170 体重y/kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 (1)试建立y与x之间的回归方程； (2)若体重超过相同身高的女性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高175 cm、体重82 kg的女性的体重是否正常？ 解：(1)根据题表中的数据画出散点图如图1所示． 由图1可看出，样本点分布在某条类似指数函数曲线y＝em＋nx的周围，其中m和n是待定的参数．令z＝ln y，变换后的样本数据如下表： x 60 70 80 90 100 110 z 1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86 x 120 130 140 150 160 170 z 3.04 3.29 3.44 3.66 3.86 4.01 作出散点图如图2所示． 设z与x之间的回归直线方程为＝＋x， 则由表中数据得≈0.020，≈0.663， 所以z与x之间的回归直线方程为＝0.663＋0.020x， 所以＝e0.663＋0.020x. (2)当x＝175 cm时， 预测平均体重＝e0.663＋0.020×175≈64.26(kg)， 由于64.26×1.2＝77.112<82，所以这位女性偏胖． 8．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． (xi－)2 (wi－)2 46.6 563 6.8 289.8 1.6 (xi－)(yi－) (wi－)(yi－) 1469 108.8 表中wi＝，＝wi. (1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预测值是多少？ ②年宣传费x为何值时，年利润的预测值最大？ 解：(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型． (2)令w＝，先建立y关于w的回归直线方程． 由于＝＝＝68， ＝－＝563－68×6.8＝100.6， 所以y关于w的回归直线方程为＝100.6＋68w， 因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68. (3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预测值＝100.6＋68＝576.6， 年利润z的预测值＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z的预测值 ＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12. 所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值． 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预测值最大． 基础题(占比60%)　　中档题(占比30%)　　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ 对点 对回归系数的理解 求回归直线方程 求相关系数 回归直线方程的性质及应用 指数型非线性回归 题号 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★★ 对点 相关系数的性质 回归直线方程性质的应用、利用回归直线方程进行预测 残差分析、回归直线方程的性质 相关系数的性质、最小二乘法求回归直线方程 二次函数型非线性回归、古典概型的概率 一、选择题 1．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程＝＋x中，回归系数 (　　) A．可以小于0 B．只能大于0 C．能等于0 D．只能小于0 答案：A 解析：当＝0时，两个变量不具有线性相关性，但可以大于0也可小于0. 2．在一次试验中，测得(x，y)的4组值分别是(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，则y关于x的回归直线方程为(　　) A．＝x＋1 B．＝x＋2 C．＝2x＋1 D．＝x－1 答案：A 解析：易知变量y与x具有线性相关关系，且＝1，＝2.5，＝3.5，所以＝3.5－1×2.5＝1，故可得出回归直线方程为＝x＋1.故选A. 3．在一次试验中，测得(x，y)的4组值分别为(1，2)，(2，0)，(4，－4)，(－1，6)，则y与x的相关系数为(　　) A．1 B．－2 C．0 D．－1 答案：D 解析：＝1.5，＝1，x＝22，y＝56，xiyi＝－20，相关系数r＝ ＝－1. 4．[多选]已知某中学的高中女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n)，由最小二乘法近似得到y关于x的回归直线方程为 ＝0.85x－85.71，则下列结论中正确的是(　　) A．y与x是正相关的 B．该回归直线必过点(，) C．若该中学某高中女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D．若该中学某高中女生身高为160 cm，则其体重必为50.29 kg 答案：ABC 解析：根据y关于x的回归直线方程，易知y与x是正相关的，所以A正确；回归直线必过点(，)，所以B正确；根据回归直线方程＝0.85x－85.71的斜率为0.85，可知该中学某高中女生身高增加1 cm，其体重约增加0.85 kg，所以C正确；回归直线方程确定之后只能用于预测，所以D错误．故选ABC. 5．某化工厂产生的废气经过过滤后排放，以模型y＝p0e－kx去拟合过滤过程中废气的污染物浓度y mg/L与时间x h之间的一组数据，为了求出回归方程，设z＝ln y，其变换后得到回归直线方程为＝－0.5x＋2＋ln 300，则当经过6 h后，预报废气的污染物浓度为(　　) A．300e2 mg/L B．300e mg/L C. mg/L D. mg/L 答案：D 解析：当x＝6时，＝－1＋ln 300＝ln ，所以＝＝.故选D. 二、填空题 6．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的相关系数为________． 答案：1 解析：因为所有的样本点都落在一条直线上，所以相关系数|r|＝1，又回归直线方程为＝x＋1，说明x与y正相关，即r＞0，所以r＝1. 7．某种商品的广告费支出x与销售额y之间有如下关系：(单位：万元) x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 y关于x的回归直线方程为＝6.5x＋17.5，则当广告费支出每增加1万元时，销售额约增加________万元；当广告费支出9万元时，销售额约为________万元． 答案：6.5　76 解析：由回归系数＝6.5可知，x每增加1个单位时，增加6.5个单位，因此广告费支出每增加1万元，则销售额约增加6.5万元．当广告费支出x＝9时，＝6.5×9＋17.5＝76. 8．已知由一组数据确定的回归直线方程为＝－x＋2且＝4，通过残差分析，发现两个数据(－1.7，2.9)，(－2.3，5.1)的残差绝对值较大，去除这两个数据后，重新求得回归直线的斜率为－1.5，则当x＝－4时，＝________． 答案：7 解析：由题意得＝2－＝2－4＝－2，设原来有n个数据，则去除两个数据后还有n－2个数据，设这n－2个数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn－2，yn－2)，x1，x2，…，xn－2和y1，y2，…，yn－2的平均数分别为′，′，则′＝＝－2，′＝＝4.设重新求得的回归直线方程为＝－1.5x＋m，则4＝－1.5×(－2)＋m，可得m＝1，则＝－1.5x＋1，则当x＝－4时，＝－1.5×(－4)＋1＝7. 三、解答题 9．为了对某市中考成绩进行分析，所有成绩均已按百分制进行了折算，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，若这8位同学的数学、物理、化学分数对应如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95 化学分数z 67 72 76 80 84 87 90 92 (1)用变量y与x，z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度； (2)求y关于x，z关于x的回归直线方程(系数精确到0.01)． (参考数据：＝77.5，＝85，＝81， (xi－)2≈1050， (yi－)2≈456， (zi－)2≈550， (xi－)(yi－)≈688， (xi－)(zi－)≈755， (yi－i)2≈7， (zi－z^i)2≈94，≈32.4，≈21.4，≈23.5) 解：(1)变量y与x，z与x的相关系数分别是r＝≈0.99，r′＝≈0.99. 可以看出，物理与数学、化学与数学的成绩都是高度正相关的． (2)设y关于x，z关于x的回归直线方程分别是＝x＋，＝′x＋′. 根据所给的数据，可以计算出＝≈0.66，≈85－0.66×77.5＝33.85，′＝≈0.72，′≈81－0.72×77.5＝25.20. 所以y关于x，z关于x的回归直线方程分别是＝0.66x＋33.85，＝0.72x＋25.20. 10．为落实“精准扶贫”政策，某县决定利用扶贫资金帮扶具有地方特色的传统手工业发展．扶贫项目组利用数据分析技术，模拟扶贫项目的未来预期，模拟结果显示，项目投资额x(单位：万元)和产品利润y(单位：万元)的关系如下表所示： 序号i 1 2 3 4 5 项目投资额xi/万元 30 40 50 60 70 产品利润yi/万元 90 120 180 260 310 分析发现用模型y＝bx2＋a可以较好地反映项目投资额x与产品利润y的关系．设ti＝x(i＝1，2，3，4，5)，＝ti，对数据初步处理得到下面一些统计量的值： (ti-)2 (ti-)(yi-) 50 192 2700 10140000 586000 （1）求回归方程＝x2＋（结果中保留到小数点后两位）； （2）该扶贫项目用于支付工人劳动所得资金总额w（单位：万元）用公式w＝y－1.2x来估算，并以（1）中所求回归方程预测产品利润，当工人劳动所得资金总额不少于120万元时，认为该项目可以完成“脱贫”任务.假设政府投入该项目的扶贫资金（单位：万元）是区间[45，80]内的任意整数值，求可以完成“脱贫”任务的概率. 解：（1）由题意，知回归方程可变为＝t＋. 根据所给数据得＝＝≈0.06. 因为回归直线经过点(2700，192)， 所以＝－＝192－0.06×2700＝30， 所以回归方程为＝0.06t＋30， 即＝0.06x2＋30. (2)由 ＝－1.2x＝0.06x2－1.2x＋30≥120， 解得x≥50(x≤－30舍去)． 区间[45，80]内共含有36个整数，其中不小于50的整数个数为31，所以可以完成“脱贫”任务的概率为. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$