4.2.4 第2课时 离散型随机变量的方差-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册作业与测评教用word（人教B版2019）

数学 选择性必修 第二册 作业与测评(B版) 第2课时　离散型随机变量的方差 知识点一　离散型随机变量方差的求法 1．已知X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则D(X)的值为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：∵E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，∴D(X)＝×＋×＋×＋×＝. 2．已知随机变量X的分布列如下表，则X的标准差为(　　) X 1 3 5 P 0.4 0.1 m A.0.95 B. C．0.7 D. 答案：D 解析：由题意，得E(X)＝1×0.4＋3×0.1＋5×(1－0.4－0.1)＝3.2，∴方差为(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝1.936＋0.004＋1.62＝3.56，∴X的标准差为.故选D. 知识点二　离散型随机变量方差的性质 3．D(ξ－D(ξ))的值为(　　) A．0 B．1 C．D(ξ) D．2D(ξ) 答案：C 解析：∵D(ξ)是一个常数，而常数的方差等于零，∴D(ξ－D(ξ))＝D(ξ)． 4．若随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝(　　) X 0 2 a P p A.2 B．3 C．4 D．5 答案：C 解析：p＝1－－＝，E(X)＝0×＋2×＋a×＝2，解得a＝3，∴D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1，∴D(2X－3)＝22D(X)＝4. 5．袋中有20个大小相同的球，其中标记上0号的有10个，标记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号． (1)求ξ的分布列、均值和方差； (2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值． 解：(1)由题意，得ξ的取值范围是{0，1，2，3，4}， P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝＝. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5， D(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75. (2)由E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝1，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)＝11，及E(ξ)＝1.5，D(ξ)＝2.75，得1.5a＋b＝1，2.75a2＝11， 解得a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝4. 知识点三　两点分布与二项分布的方差 6．设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量X＝则X的方差D(X)等于(　　) A．m B．2m(1－m) C．m(m－1) D．m(1－m) 答案：D 解析：随机变量X的分布列为 X 0 1 P 1－m m ∴E(X)＝0×(1－m)＋1×m＝m，∴D(X)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)． 7．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)＝________． 答案： 解析：由题意知取到次品的概率为，∴X～B，∴D(X)＝3××＝. 8．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10，0.6)，则E(Y)＝________，D(Y)＝________． 答案：2　2.4 解析：∵X～B(10，0.6)，∴E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4.又X＋Y＝8，∴Y＝8－X，∴E(Y)＝E(8－X)＝8－E(X)＝8－6＝2，D(Y)＝D(－X＋8)＝D(X)＝2.4. 9．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到奖券1张，每张奖券的中奖概率为，且每张奖券是否中奖是相互独立的，若中奖，则商场返回顾客现金100元．某顾客现购买单价为2300元的台式电脑一台，得到奖券4张． (1)设4张奖券中中奖的张数为ξ，求ξ的分布列； (2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(单位：元)，用ξ表示η，并求η的数学期望和方差． 解：(1)∵每张奖券是否中奖是相互独立的， ∴ξ～B， ∴P(ξ＝i)＝C(i＝0，1，2，3，4)， ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P (2)∵ξ～B， ∴E(ξ)＝4×＝2，D(ξ)＝4××＝1. 又由题意可知η＝2300－100ξ， ∴E(η)＝E(2300－100ξ)＝2300－100E(ξ)＝2300－100×2＝2100， D(η)＝1002D(ξ)＝10000. 基础题(占比50%)　　中档题(占比30%)　　拔高题(占比20%) 题号 1 2 3 4 5 6 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ 对点 利用公式求离散型随机变量的方差 分布列的性质、均值与方差的计算 由二项分布的均值与方差公式及性质求参数 离散型随机变量的方差与二次函数的性质相结合 分布列的性质、利用二次函数的性质求离散型随机变量方差的最值 利用均值、方差公式列方程组求参数 题号 7 8 9 10 11 12 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 二项分布的方差、方差的性质 二项分布的方差与基本不等式相结合 超几何分布的分布列、均值、方差与统计知识相结合 相互独立事件的概率、随机变量的分布列与均值、二项分布的均值与方差 利用随机变量的均值求参数、利用均值与方差解决概率中的决策问题 离散型随机变量的分布列、均值与方差 一、选择题 1．已知随机变量X的分布规律为P(X＝k)＝，k＝3，6，9，则D(X)＝(　　) A．6 B．9 C．3 D．4 答案：A 解析：E(X)＝3×＋6×＋9×＝6，D(X)＝(3－6)2×＋(6－6)2×＋(9－6)2×＝6. 2．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)： X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 0.4 a 则下列计算结果正确的是(　　) A．a＝0.2 B．P(X≥2)＝0.7 C．E(X)＝1.4 D．D(X)＝6.3 答案：C 解析：因为0.2＋0.3＋0.4＋a＝1，所以a＝0.1，故A错误；由分布列知P(X≥2)＝0.4＋0.1＝0.5，故B错误；E(X)＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.1＝1.4，故C正确；D(X)＝(0－1.4)2×0.2＋(1－1.4)2×0.3＋(2－1.4)2×0.4＋(3－1.4)2×0.1＝0.84，故D错误．故选C. 3．[多选]已知X～B(n，p)，且E(3X－9)＝D(3X－9)＝27，则(　　) A．n＝18 B．n＝16 C．p＝ D．p＝ 答案：BD 解析：由题意可知3E(X)－9＝9D(X)＝27，则解得故选BD. 4．设0<p<1，随机变量ξ的分布列是 ξ 0 1 2 P 则当p在(0，1)内增大时(　　) A．D(ξ)减小 B．D(ξ)增大 C．D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小 答案：D 解析：由题可得E(ξ)＝＋p，所以D(ξ)＝－p2＋p＋＝－＋，所以当p在(0，1)内增大时，D(ξ)先增大后减小．故选D. 5．若随机变量ξ的分布列为P(ξ＝m)＝，P(ξ＝n)＝a，n∈[1，2)，若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最大值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．无法计算 答案：B 解析：∵分布列中概率和为1，∴a＋＝1，∴a＝.∵E(ξ)＝2，∴＋＝2，∴m＝6－2n，∴D(ξ)＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝×(n－2)2＋×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2.∵n∈[1，2)，∴当n＝1时，D(ξ)取得最大值2. 二、填空题 6．已知离散型随机变量X的分布列如下表： X －1 0 1 2 P a b c 若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________． 答案： 解析：E(X)＝0，D(X)＝1，由离散型随机变量X的分布列的性质知计算得出a＝. 7．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或选错得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的方差为________． 答案：48 解析：设小王选对题的个数为X，得分η＝5X，则X～B(12，0.8)，D(X)＝12×0.8×(1－0.8)＝1.92，D(η)＝D(5X)＝25D(X)＝25×1.92＝48. 8．设每次试验成功的概率都为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的方差的值最大，其最大值为________． 答案：　25 解析：设每次试验失败的概率为q，则p＋q＝1，设进行100次独立重复试验成功的次数为ξ，则D(ξ)＝100pq≤100＝＝25，当且仅当p＝q＝时，等号成立，此时，D(ξ)＝25. 三、解答题 9．某班共50名同学，在一次数学考试中全班同学成绩全部在90分到140分之间．将成绩按如下方式分成五组：第一组：[90，100)，第二组：[100，110)，…，第五组：[130，140]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示．将成绩大于或等于100分且小于120分记为“良好”，120分及以上记为“优秀”，小于100分记为“及格”． (1)求该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数； (2)若从第一、五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X的分布列、数学期望与方差． 解：(1)由频率分布直方图知，成绩在[100，120)内的人数为50×0.016×10＋50×0.038×10＝27，所以该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数为27. (2)由频率分布直方图可知第一组有0.006×10×50＝3个成绩，第五组有0.008×10×50＝4个成绩，即第一、五组中共有7个成绩． 由题意知，X的取值范围是{0，1，2}， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 则X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝， D(X)＝×＋×＋×＝. 10．学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否相互独立．已知小明每次投篮投中的概率都是，小强每次投篮投中的概率都是p(0<p<1)． (1)求小明直到第3次才投中的概率； (2)求小明4次投篮后的总得分ξ的分布列和期望； (3)小强投篮4次，记投中的次数为X，若E(X)＝1，求p和D(X)． 解：(1)设“小明在投篮过程中直到第3次才投中”为事件A，事件A说明小明前2次未投中，第3次投中， 所以P(A)＝×＝， 故小明直到第3次才投中的概率为. (2)小明4次投篮后的总得分ξ的取值范围为{0，2，4，6，8}． P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝2)＝C×＝， P(ξ＝4)＝C×＝， P(ξ＝6)＝C×＝， P(ξ＝8)＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 2 4 6 8 P E(ξ)＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝. (3)由题意，知随机变量X～B(4，p)， 所以E(X)＝4p＝1，解得p＝， 所以D(X)＝4p(1－p)＝4××＝. 11．随着经济的飞速发展，市场条件的成熟以及监管机制的不断完善，投资理财逐渐融入人们的生活．若A家庭有资产100万，他们的投资预期年收益率不低于20%，通过考察，有两个投资方案供他们选择： 甲方案： 年收益(万元) －15 30 概率 1－a a 乙方案： 年收益(万元) －30 0 50 概率 (1)如果A家庭投资甲方案，且达到他们的投资预期年收益率，试求a的最小值； (2)在a取得(1)中最小值的条件下他们投资哪个方案较好？请说明理由． 解：(1)设他们投资甲方案的年收益为E(X)万元， 则E(X)＝(－15)×(1－a)＋30×a＝45a－15， ∴要达到他们的投资预期年收益率， 则45a－15≥100×20%，解得a≥， 又0≤a≤1，0≤1－a≤1， ∴a∈，即amin＝. (2)由(1)知，E(X)＝(－15)×＋30×＝20. 设投资乙方案的年收益为E(Y)万元， 则E(Y)＝(－30)×＋0×＋50×＝20. 设投资甲方案的方差为D(X)，则D(X)＝(－15－20)2×＋(30－20)2×＝350.设投资乙方案的方差为D(Y)，则D(Y)＝(－30－20)2×＋(0－20)2×＋(50－20)2×＝1400. ∵E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)， ∴选择甲方案比较好． 12．某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间． (1)求ξ的分布列； (2)求ξ的均值和方差． 解：(1)ξ的取值范围是{1，3，4，6}， 当ξ＝1时，直接从1号通道走出， 则P(ξ＝1)＝； 当ξ＝3时，先走2通道，再走1通道， 则P(ξ＝3)＝×＝； 当ξ＝4时，先走3通道，再走1通道， 则P(ξ＝4)＝×＝； 当ξ＝6时，先走2通道，再走3通道，最后再走1通道，或者先走3通道，再走2通道，最后再走1通道， 则P(ξ＝6)＝2××1＝. 所以ξ的分布列为 ξ 1 3 4 6 P (2)E(ξ)＝1×＋3×＋4×＋6×＝， D(ξ)＝×＋×＋×＋×＝. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$