3.3 第3课时 二项式定理的应用-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册作业与测评教用word（人教B版2019）

数学 选择性必修 第二册 作业与测评(B版) 第3课时　二项式定理的应用 知识点一　三项展开式问题 1.展开式中的常数项为(　　) A．－8 B．－12 C．－20 D．20 答案：C 解析：＝的展开式的通项为Tk＋1＝C(－1)kx6－2k，令6－2k＝0，得k＝3，则展开式中的常数项为C(－1)3＝－20. 2．(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数是________． 答案：240 解析：解法一：(x2＋3x＋2)5＝[(x2＋3x)＋2]5＝C(x2＋3x)5＋C(x2＋3x)4·2＋C(x2＋3x)3·22＋C(x2＋3x)2·23＋C(x2＋3x)·24＋C·25，显然在(x2＋3x)n中，n>1时展开式中不含x项，所以x的系数为C·3·24＝240. 解法二：(x2＋3x＋2)5相当于5个(x2＋3x＋2)相乘，所以(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数是C·24·3＝240. 知识点二　多个二项式相乘问题 3．若(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 答案：D 解析：由二项式定理，得(1＋x)5的展开式的通项为Tk＋1＝Cxk，所以(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为C＋Ca＝5，所以a＝－1.故选D. 4．(x＋x2)(1－x)10的展开式中x5的系数为(　　) A．120 B．135 C．－140 D．90 答案：D 解析：(1－x)10的展开式的通项为Tk＋1＝C(－x)k＝(－1)k·Cxk，令k＝4，得x(1－x)10的展开式中x5的系数为(－1)4C＝210；令k＝3，得x2(1－x)10的展开式中x5的系数为(－1)3C＝－120.所以(x＋x2)(1－x)10的展开式中x5的系数为210－120＝90.故选D. 5．(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________． 答案：－20 解析：由二项展开式的通项公式可知，含x2y7的项为xCxy7－yCx2y6，故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20. 6．(2024·山东青岛高二期中)在(2x＋a)的展开式中，x2的系数为－120，则该二项展开式中的常数项为________． 答案：－320 解析：由二项式定理知，的展开式中含x2的项为Cx4＝60x2，其展开式中没有含x的项，也没有含的项，常数项为Cx3＝160，所以(2x＋a)的展开式中，含x2的项为a×60x2＝60ax2，由题意得60a＝－120，解得a＝－2，此时(2x－2)展开式中的常数项为－2×160＝－320. 7．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝________． 答案：120 解析：f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝CC＋CC＋CC＋CC＝120. 知识点三　近似计算与整除问题 8．1.056的计算结果精确到0.01的近似值是(　　) A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34 答案：D 解析：1.056＝(1＋0.05)6＝C＋C×0.05＋C×0.052＋C×0.053＋…＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…≈1.34. 9．233除以9的余数是________． 答案：8 解析：233＝(23)11＝811＝(9－1)11＝C911×(－1)0＋C910×(－1)1＋…＋C91×(－1)10＋C90×(－1)11.其展开式中C911×(－1)0＋C910×(－1)1＋…＋C91×(－1)10能被9整除，而最后一项为－1，则233除以9的余数是8. 10．求证：2n＋2·3n＋5n－4能被25整除(n∈N＋)． 证明：原式＝4(5＋1)n＋5n－4＝4(C5n＋C5n－1＋C5n－2＋…＋C)＋5n－4＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C52)＋25n，以上各项均为25的整数倍，故得证． 知识点四　利用二项式定理证明等式或不等式 11．求证：对任意正整数n，Cx(1－x)n－1＋2Cx2·(1－x)n－2＋…＋nCxn＝nx. 证明：∵k·C＝＝nC， ∴Cx(1－x)n－1＋2Cx2(1－x)n－2＋…＋nCxn＝nCx(1－x)n－1＋nCx2(1－x)n－2＋…＋nCxn＝nx[C(1－x)n－1＋Cx(1－x)n－2＋…＋Cxn－1]＝nx[(1－x)＋x]n－1＝nx，∴原式成立． 12．求证：对一切n∈N＋，都有2≤<3. 证明： ＝C＋C＋C＋C＋…＋C ＝1＋1＋×＋××＋…＋×××…× <2＋＋＋…＋ ≤2＋＋＋…＋ ＝2＋＋＋…＋ ＝3－ <3， ＝1＋C＋C＋…＋C≥1＋1＝2， 所以2≤<3. 基础题(占比60%)　　中档题(占比30%)　　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 难度 ★ ★ ★ ★ ★ 对点 两个二项式相乘求特定项的系数 构造二项式解决近似计算问题 构造二项式求数的末尾连续零的个数 三项展开式中特定项的系数 两个二项式相乘求特定项的系数、常数项 题号 6 7 8 9 10 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 构造二项式解决余数问题 已知两个二项式相乘中特定项的系数求参数 构造二项式求整除问题中的参数 构造两个二项式的和证明整除问题 两个二项式相乘求特定项、两个二项式相加解决特定项的系数最小问题 一、选择题 1．在(1＋x)6(2＋y)4的展开式中，x4y3的系数为(　　) A．210 B．120 C．80 D．60 答案：B 解析：在展开式中，含x4y3的项为Cx4·C·2·y3＝120x4y3，故x4y3的系数为120. 2．0.996的计算结果精确到0.001的近似值是(　　) A．0.940 B．0.941 C．0.942 D．0.943 答案：B 解析：0.996＝(1－0.01)6＝C×1－C×0.01＋C×0.012－C×0.013＋…＝1－0.06＋0.0015－0.00002＋…≈0.941.故选B. 3．11100－1末尾连续零的个数为(　　) A．7 B．5 C．4 D．3 答案：D 解析：11100－1＝(10＋1)100－1＝C10100＋C1099＋…＋C10＋C－1＝10100＋C1099＋…＋C103＋C102＋1000，则末尾连续零的个数为3.故选D. 4.的展开式中x2的系数为(　　) A．120 B．80 C．20 D．45 答案：A 解析：解法一：原式可写为，其展开式中可出现x2的只有C·23与C·21两项，所以其展开式中含x2的项分别为CCx2·23＝80x2，CCx3·21＝40x2，所以x2的系数为80＋40＝120.故选A. 解法二：的展开式中含x2的项为Cx2·23＋Cx3C·2＝120x2.故选A. 5．[多选](1＋x2)(2＋x)4的展开式中，(　　) A．x3的系数为40 B．x3的系数为32 C．常数项为16 D．常数项为8 答案：AC 解析：(1＋x2)(2＋x)4＝(2＋x)4＋x2(2＋x)4，展开式中x3的系数分为两部分，一部分是(2＋x)4中含x3项的系数C2＝8，另一部分是(2＋x)4中含x项的系数C23＝32，所以x3的系数是8＋32＝40，故A正确，B错误；展开式中的常数项为1×24＝16，故C正确，D错误． 二、填空题 6．20232024被4除的余数为________． 答案：1 解析：因为20232024＝(2024－1)2024＝C·20242024－C20242023＋C20242022－…－C2024＋1，且2024可以被4整除，所以余数为1. 7．若(x2－a)的展开式中x6的系数为30，则a＝________． 答案：2 解析：的展开式的通项是Tk＋1＝Cx10－k＝Cx10－2k，的展开式中x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)的系数分别为C，C，所以C－aC＝120－45a＝30，解得a＝2. 8．设m∈Z，且0≤m＜100，若9192＋m能被100整除，则m＝________． 答案：19 解析：由题意，得9192＋m＝(1＋90)92＋m＝C×192＋C×90×191＋C×902×190＋…＋C×9091×1＋C×9092＋m＝1＋C×90＋C×902＋…＋C×9091＋C×9092＋m＝(C×902＋…＋C×9091＋C×9092)＋8281＋m，其中C×902＋…＋C×9091＋C×9092能被100整除，所以要使9192＋m能被100整除，只需要8281＋m能被100整除．结合题意可得，当m＝19时，8281＋m＝8281＋19＝8300能被100整除．所以m＝19. 三、解答题 9．利用二项式定理证明4·6n＋5n＋1－9(n∈N＋)能被20整除． 证明：因为4·6n＋5n＋1－9 ＝4(6n－1)＋5(5n－1) ＝4[(5＋1)n－1]＋5[(4＋1)n－1] ＝4(C5n＋C5n－1＋C5n－2＋…＋C5)＋5(C4n＋C4n－1＋C4n－2＋…＋C4) ＝20(C5n－1＋C5n－2＋C5n－3＋…＋C＋C4n－1＋C4n－2＋C4n－3＋…＋C)， 所以4·6n＋5n＋1－9(n∈N＋)能被20整除． 10．已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋5x)n(m，n∈N＋)． (1)若m＝4，n＝5，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项； (2)若h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)的展开式中x的系数为24，那么当m，n为何值时，h(x)的展开式中x2的系数取得最小值？ 解：(1)当m＝4，n＝5时，f(x)＝(1＋x)4＝Cx0＋Cx1＋Cx2＋Cx3＋Cx4， g(x)＝(1＋5x)5＝C(5x)0＋C(5x)1＋…＋C(5x)5， 则f(x)g(x)的展开式中含x2的项为(C·50C＋C·5C＋C·52C)x2＝356x2， 即f(x)g(x)的展开式中含x2的项为356x2. (2)因为h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)的展开式中x的系数为24，所以C＋5C＝24，即m＝24－5n(其中1≤n≤4，n∈N＋)． 又h(x)的展开式中x2的系数为C＋52C＝＋＝＋＝25n2－130n＋276＝25＋107(其中1≤n≤4，n∈N＋)， ＞， 所以当n＝3时(此时m＝9)，h(x)的展开式中x2的系数取得最小值111. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$