3.3 第2课时 二项式系数的性质与杨辉三角-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册作业与测评教用word（人教B版2019）

数学 选择性必修 第二册 作业与测评(B版) 第2课时　二项式系数的性质与杨辉三角 知识点一　二项式系数和与系数和的问题 1．若的展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　) A．10 B．20 C．30 D．120 答案：B 解析：由2n＝64，得n＝6，∴Tk＋1＝Cx6－k·＝Cx6－2k(0≤k≤6，k∈N)．由6－2k＝0，得k＝3.∴常数项为T4＝C＝20. 2．若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，x∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为(　　) A．29 B．29－1 C．39 D．39－1 答案：D 解析：(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，令x＝0，得a0＝1；令x＝2，得a0＋a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39，所以a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39－1.故选D. 3．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64∶1，则x3的系数为________． 答案：135 解析：令x＝1，得各项系数和为4n，则＝64，解得n＝6，所以展开式的通项为Tk＋1＝Cx6－k＝3kCx6－.令6－＝3，得k＝2，则x3的系数为32C＝135. 知识点二　二项式系数的性质应用 4．已知(a＋b)n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n＝(　　) A．15 B．14 C．13 D．12 答案：D 解析：∵只有第7项的二项式系数最大，∴＋1＝7，∴n＝12. 5．如果C＋C＋C＋…＋C＝，求(1＋x)2n的展开式中二项式系数最大的项． 解：由C＋C＋C＋…＋C＝，可得(n＋1)C＋(n＋1)C＋(n＋1)C＋…＋(n＋1)C＋C＝31， ∴C＋C＋C＋…＋C＋C＝31. 即2n＋1－1＝31，∴n＝4. ∴(1＋x)2n的展开式中二项式系数最大的项为T5＝Cx4＝70x4. 6．在二项式的展开式中， (1)若第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14∶3，求展开式中的常数项； (2)若所有奇数项的二项式系数和为A，所有项的系数和为B，且＝，求展开式中二项式系数最大的项． 解：(1)依题意得C∶C＝14∶3， 化简，得(n－2)(n－3)＝56， 解得n＝10或n＝－5(舍去)． ∴Tk＋1＝Cx(3x2)－k＝3－kCx. 令＝0，得k＝2. ∴常数项为第3项，T3＝3－2C＝5. (2)由题意可知，A＝2n－1，B＝， 则＝＝，解得n＝5， 展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项， T3＝C()3＝x－， T4＝C()2＝x－5. 知识点三　与杨辉三角有关的问题 7．[多选]杨辉三角是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于杨辉三角的结论正确的是(　　) A．在第10行中第5个数最大 B．第2024行中第1012个数和第1014个数相等 C．C＋C＋C＋…＋C＝120 D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 答案：BD 解析：对于A，第10行中最大的数为C，即在第10行中第6个数最大，故A错误；对于B，因为2024是偶数，所以在第2024行中，中间一项最大，即C最大，所以第2024行中第1012个数和第1014个数相等，故B正确；对于C，C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋C＋…＋C－1＝C＋C＋C＋…＋C－1＝…＝C－1＝164，故C错误；对于D，C＋C＋C＝C＋C＋C＝C＋C＝C，故D正确． 基础题(占比60%)　　中档题(占比30%)　　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ 对点 二项式系数的性质 系数最大问题 赋值法求系数的绝对值之和 利用杨辉三角求二项式系数之和 二项式系数和、二项式系数的性质 题号 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★★ 对点 已知系数和求特定项的二项式系数 利用二项式系数的性质求参数及二项展开式的常数项 赋值法求系数和、对数运算 系数和、二项式系数的性质、系数绝对值的最大项问题 系数和、奇数项系数和、系数绝对值的和、奇数项与偶数项的二项式系数和 一、选择题 1．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是(　　) A．第n－k项 B．第n－k－1项 C．第n－k＋1项 D．第n－k＋2项 答案：D 解析：第k项的二项式系数是C，由于C＝C，故第n－k＋2项的二项式系数与第k项的二项式系数相同． 2.的展开式中第8项是常数，则展开式中系数最大的项是(　　) A．第8项 B．第9项 C．第8项和第9项 D．第11项和第12项 答案：D 解析：T8＝C()n－7＝Cx，因为第8项是常数项，所以＝0，所以n＝21.则展开式中系数最大的项是第11项和第12项． 3．若(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝(　　) A．1 B．513 C．512 D．511 答案：D 解析：令x＝0，得a0＝1，令x＝－1，得|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝511. 4．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所连的数组成一个锯齿形的列数：1，2，3， 3，6，4，10，…，则前16个数的和为(　　) A．164 B．155 C．144 D．128 答案：A 解析：前16个数的和为C＋C＋C＋C＋…＋C＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋C＋…＋C－1＝…＝C－1＝164.故选A. 5．[多选]下列关于(a＋b)10的说法，正确的是(　　) A．展开式中的各二项式系数之和为1024 B．展开式中第6项的二项式系数最大 C．展开式中第5项与第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小 答案：AB 解析：根据二项式系数的性质，知(a＋b)10的展开式中的各二项式系数之和为210＝1024，故A正确；(a＋b)10的展开式中，二项式系数最大的项是中间一项，即第6项的二项式系数最大，故B正确，C错误；(a＋b)10的展开式中各项的系数等于二项式系数，故第6项的系数最大，故D错误．故选AB. 二、填空题 6．已知的展开式的各项系数之和为243，则展开式中含x7的项的二项式系数为________． 答案：10 解析：∵的展开式的各项系数之和为243，∴令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5.∴的展开式的通项为Tk＋1＝C25－kx15－4k，k∈{0，1，…，5}．令15－4k＝7，得k＝2，∴展开式中含x7的项的二项式系数为C＝10. 7.的展开式中第8项和第9项的二项式系数同时取最大，则展开式的常数项为________． 答案：3640 解析：由题意得C＝C，解得n＝15，的展开式的通项为Tk＋1＝C()15－k·＝C2kx，令＝0，解得k＝3，所以展开式的常数项为T4＝C23＝3640. 8．已知x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝________． 答案：7 解析：令x＝－1，得28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.令x＝－3，得0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，∴a1＋a3＋…＋a11＝27，∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7. 三、解答题 9．已知(＋x2)2n的展开式的系数和比(3x－1)n的展开式的系数和大992，求的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项． 解：由题意得22n－2n＝992，解得n＝5. (1)的展开式中第6项的二项式系数最大， 即T6＝C(2x)5＝－8064. (2)设第k＋1项的系数的绝对值最大， 则Tk＋1＝C(2x)10－k ＝(－1)kC210－k·x10－2k， ∴得 即∴≤k≤，∴k＝3. 故系数的绝对值最大的是第4项， T4＝(－1)3C27x4＝－15360x4. 10．已知(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9，求： (1)各项系数之和； (2)所有奇数项系数之和； (3)系数的绝对值的和； (4)奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和． 解：(1)令x＝1，y＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (2)由(1)知，a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1.① 令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59.② 将①②两式相加，可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝. (3)解法一：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9， 令x＝1，y＝－1，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝59. 解法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|即为(2x＋3y)9的展开式中各项的系数和， 令x＝1，y＝1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59. (4)奇数项的二项式系数之和为C＋C＋…＋C＝28. 偶数项的二项式系数之和为C＋C＋…＋C＝28. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$