3.3 第1课时 二项式定理-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册作业与测评教用word（人教B版2019）

数学 选择性必修 第二册 作业与测评(B版) 3．3　二项式定理与杨辉三角 第1课时　二项式定理 知识点一　二项式定理的正用、逆用 1．已知(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝(　　) A．44 B．46 C．110 D．120 答案：D 解析：二项式(1＋)5的展开式为1＋C()1＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5＝1＋5＋30＋30＋45＋9＝76＋44，所以a＝76，b＝44，a＋b＝76＋44＝120. 2．已知(1＋x)5＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a5(1－x)5，则a3＝(　　) A．－40 B．40 C．10 D．－10 答案：A 解析：因为(1＋x)5＝－[－2＋(1－x)]5，通项Tk＋1＝－C(－2)5－k(1－x)k，所以a3＝－C(－2)2＝－40. 3．化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)． 解：原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. 知识点二　求二项展开式的特定项的系数或特定项 4.的展开式中x4的系数为(　　) A．10 B．20 C．40 D．80 答案：C 解析：的展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)5－k＝C2kx10－3k.令10－3k＝4，得k＝2，所以的展开式中x4的系数为C×22＝40.故选C. 5．二项式(x－2y)8的展开式的第3项为(　　) A．－1792x3y5 B．－448x5y3 C．1792x2y6 D．112x6y2 答案：D 解析：二项式(x－2y)8的展开式的第3项为T3＝Cx6(－2y)2＝112x6y2.故选D. 6.的展开式的常数项是(　　) A．20 B．－20 C．40 D．－40 答案：B 解析：的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)6－k＝(－1)kC26－2kx6－2k，令6－2k＝0，得k＝3，故常数项为(－1)3C＝－20. 7．二项式(1＋)6的展开式中有理项系数之和为(　　) A．64 B．32 C．24 D．16 答案：B 解析：二项式(1＋)6的展开式的通项为Tk＋1＝Cx，令为整数，可得k＝0，2，4，6，故展开式中有理项系数之和为C＋C＋C＋C＝32.故选B. 知识点三　二项式系数与项的关系 8．已知的展开式中含x3的项的系数为a，二项式系数为b，求的值． 解：的展开式的通项为 Tk＋1＝Cx6－k＝C(－2)kx6－， 令6－＝3，得k＝2， 所以含x3的项的系数为a＝C(－2)2＝60，二项式系数为b＝C＝15，所以＝＝4. 9．在的展开式中，求： (1)第5项的二项式系数及第5项的系数； (2)倒数第3项． 解：(1)T5＝C(2x2)8－4＝C24x， ∴第5项的二项式系数是C＝70， 第5项的系数是C×24＝1120. (2)解法一：的展开式中的倒数第3项即为第7项， T7＝C(2x2)8－6＝112x2. 解法二：的展开式中的倒数第3项就是的展开式中的第3项，T3＝C(－2x2)2＝112x2. 基础题(占比60%)　　中档题(占比30%)　　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 难度 ★ ★ ★ ★ ★★★ 对点 求二项展开式的常数项 求二项展开式特定项的项数 已知特定项的系数求参数 已知特定项系数的关系求参数 二项展开式中特定项的系数、特定项、参数的求解 题号 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ 对点 已知特定项的项数求参数 方程思想求二项展开式特定项的系数 二项式定理 二项展开式特定项的系数、常数项、参数的求解 利用特定项的系数求参数、探索特定项是否存在问题 一、选择题 1.展开式中的常数项为(　　) A. B. C. D．105 答案：B 解析：的展开式的通项为Tk＋1＝C()8－k＝Cx4－k，令4－k＝0，解得k＝4，所以T5＝C＝.故选B. 2．(＋)12的展开式中，含x的正整数次幂的项共有(　　) A．4项 B．3项 C．2项 D．1项 答案：B 解析：Tk＋1＝C()12－k()k＝Cxx＝Cx6－.要使6－为正整数，则k＝0，6，12.所以含x的正整数次幂的项共有3项． 3.(x≠0)的展开式中，x3的系数为10，则实数a＝(　　) A．－1 B. C．1 D．2 答案：D 解析：Tk＋1＝Cx5－k＝Cakx5－2k，令5－2k＝3，得k＝1，∴Ca＝10，∴a＝2. 4．若(1＋2x)n的展开式中，x3的系数等于x的系数的8倍，则n＝(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 答案：A 解析：因为Tk＋1＝C(2x)k＝2kCxk，所以＝8，解得n＝5(负值舍去)．故选A. 5．[多选]已知的展开式中的第2项系数比的展开式中的第2项系数小4，则下列说法正确的是(　　) A．n的值为4 B. 的展开式中的有理项有1项 C. 的展开式中无常数项 D. 的展开式中的第3项是 答案：ABC 解析：对于A，因为C－C＝4，所以n＝4，故A正确；对于B，的展开式的通项是Tk＋1＝C()4－k＝Cx2－k，令2－k为整数，可得k＝0，所以展开式中的有理项有1项，故B正确；对于C，令2－k＝0，可得k＝，所以展开式中无常数项，故C正确；对于D，T3＝Cx2－×2＝6，故D错误．故选ABC. 二、填空题 6．若的展开式中，含x2的项为第3项，则自然数n＝________． 答案：8 解析：∵Tk＋1＝C()n－k＝Cx，由题意知k＝2时，＝2，∴n＝8. 7．若多项式x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a10＝________，a9＝________． 答案：1　－10 解析：∵x10的系数为a10，∴a10＝1.∵x9的系数为a9＋Ca10，∴a9＋10＝0，∴a9＝－10. 8．若n∈N＋，(1－)n＝an＋bn(an，bn∈Z)，则a5＋b5的值为________． 答案：12 解析：当n＝5时，(1－)5＝C＋C(－)＋C(－)2＋C(－)3＋C(－)4＋C(－)5＝1－5＋20－20＋20－4＝41－29，所以a5＋b5＝－29＋41＝12. 三、解答题 9．记的展开式中第m项的系数为bm. (1)求bm的表达式； (2)若n＝6，求展开式中的常数项； (3)若b3＝2b4，求n. 解：(1)的展开式中第m项为 C(2x)n－m＋1＝2n＋1－mCxn＋2－2m， 所以bm＝2n＋1－mC. (2)当n＝6时，的展开式的通项为 Tk＋1＝C(2x)6－k＝26－kCx6－2k. 令6－2k＝0，得k＝3， 故展开式中的常数项为T4＝23C＝160. (3)由(1)及已知b3＝2b4， 得2n－2C＝2×2n－3C， 所以C＝C，所以n＝5. 10．已知的展开式的前3项系数的和为129，这个展开式中是否存在有理项？若存在，求出有理项；若不存在，请说明理由． 解：Tk＋1＝C()n－k＝C2kx(k＝0，1，2，…，n)， 依题意有C＋2C＋22C＝129， 解得n＝8(n＝－8舍去)， ∴Tk＋1＝C2kx，且0≤k≤8，k∈N. 又＝4－k，∴当k＝0或k＝6时，∈Z，即展开式中存在有理项，它们是T1＝x4，T7＝C26x－1＝. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$