3.1.3 第2课时 组合数的应用-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册作业与测评教用word（人教B版2019）

数学 选择性必修 第二册 作业与测评(B版) 第2课时　组合数的应用 知识点一　无限制条件的组合问题 1．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有(　　) A．C种 B．A种 C．AA种 D．CC种 答案：D 解析：每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C种选法；第二步，选男工，有C种选法．故共有CC种不同的选法． 知识点二　有限制条件的组合问题 2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为(　　) A．14 B．24 C．28 D．48 答案：A 解析：6人中选4人的方案有C＝15种，没有女生的方案只有1种，所以不同的选派方案共有15－1＝14种． 3．将1，2，3，…，9这九个数字无重复地填在如图所示的九个空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下依次增大，当3，4固定在图中位置时，填写空格的方法共有(　　) 3 4 A.6种 B．12种 C．18种 D．24种 答案：A 解析：由题意可得数字1，2，9的位置也是固定的，如图所示，5，6，7，8四个数字在A，B，C，D四个位置上，A，B两个位置的填法有C种，C，D两个位置则只有C种填法．由分步乘法计数原理知，填写空格的方法共有CC＝6种. 1 3 C 2 4 D A B 9 知识点三　不同对象分组、分配问题 4．4件不同的装饰品要装进包装盒里，在下列不同的条件下，一共有多少种包装方法？ (1)有3个不同形状的精美盒子可供选择； (2)有3个不同形状的精美盒子可供选择，每个盒子至少有1件装饰品； (3)有3个大小、形状、图案等完全相同的精美盒子可供选择，每个盒子至少有1件装饰品； (4)有3个大小、形状、图案等完全相同的精美盒子可供选择． 解：(1)由分步乘法计数原理可得，一共有34＝81种包装方法． (2)因为每个盒子至少有1件装饰品，故有且只有两个装饰品放到同一个盒子中，故一共有CA＝36种包装方法． (3)将4件不同的装饰品分成三堆，不同的分法有C＝6种，故一共有6种包装方法． (4)将4件不同的装饰品分成一堆，有1种分法；4件不同的装饰品分成两堆，有C＋＝7种分法；由(3)可得4件不同的装饰品分成三堆，有6种分法．故共有1＋7＋6＝14种包装方法． 知识点四　相同对象分配问题 5．有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，有多少种不同的分配方案？ 解：先给每个小朋友分3个苹果，剩余18个苹果利用“隔板法”，18个苹果有17个空，插入3个“板”，共有C＝680种方法，故有680种不同的分配方案． 知识点五　排列与组合的综合应用 6．某市践行“干部村村行”活动，现有5名干部可供选派，下乡到3个村蹲点指导工作，每个村至少有1名干部，每名干部只能去1个村，则不同的选派方案共有(　　) A．243种 B．210种 C．150种 D．125种 答案：C 解析：把5名干部分为(1，1，3)和(1，2，2)两组，当分为(1，1，3)时，有CA＝60种派法；当分为(1，2，2)时，有·A＝90种派法．根据分类加法计数原理可得，共有60＋90＝150种不同的选派方案． 7．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6节课的课程表，要求数学排在上午(前4节)，体育排在下午(后2节)，不同的排法种数是________． 答案：192 解析：由题意，要求数学课排在上午(前4节)，体育课排在下午(后2节)，有CC＝8种，再排其余4节，有A＝24种．根据分步乘法计数原理知，共有8×24＝192种不同的排法． 8．集合A＝{x∈Z|x≥10}，集合B是集合A的子集，且B中的元素满足：①任意一个元素的各数位的数字互不相同；②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不为9. (1)集合B中两位数和三位数各有多少个？ (2)集合B中是否有五位数？是否有六位数？ (3)将集合B中的元素从小到大排列，求第1081个元素． 解：将0，1，…，9这10个数字按照和为9进行配对，则有(0，9)，(1，8)，(2，7)，(3，6)，(4，5)，故B中元素的每个数位只能从这五组数的每组中至多取一个数． (1)两位数有C·22·A－C·2＝72个， 三位数有C·23·A－C·22·A＝432个． (2)存在五位数，只需从上面五组数的每组中取一个数即可构成符合条件的五位数；不存在六位数，若存在，则至少要从一组数中取出两个数，则这两个数字之和为9，与B中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9矛盾，因此不存在六位数． (3)由(1)知，集合B中的两位数有72个，三位数有432个，又四位数共有C·24·A－C·23·A＝1728个，因此第1081个元素是四位数，且是第577个四位数．我们考虑千位，千位为1，2，3的四位数共有3·C·23·A＝576个，故第1081个元素是4012. 基础题(占比60%)　　中档题(占比30%)　　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 难度 ★ ★ ★ ★ ★★★ 对点 无限制条件的组合问题 利用分类加法计数原理解决不同对象的分配问题 有限制条件的组合问题 利用分类加法计数原理解决不同对象的分组问题 隔板法解决相同对象的分配问题 题号 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ 对点 与分步乘法计数原理有关的组合问题 排列组合的综合应用 不同对象的分组、分配问题 两个计数原理与不同对象的分组、分配问题相结合 利用两个计数原理解决有限制条件的组合问题 一、选择题 1．从2，3，…，8七个自然数中任取三个数组成有序数组a，b，c且a<b<c，则不同的数组有(　　) A．35组 B．42组 C．105组 D．210组 答案：A 解析：不同的数组有C＝35组． 2．将四名新来的学生分到高三两个班，每班至少一人，不同的分配方法数为(　　) A．12 B．16 C．14 D．18 答案：C 解析：每个班至少分到一名学生有两种情况：四名学生中有两名学生分在一个班的方法数是C＝6；有三名学生分在一个班的方法数是CA＝8.∴不同的分配方法数为6＋8＝14.故选C. 3．凸十边形的对角线的条数为(　　) A．10 B．35 C．45 D．90 答案：B 解析：C－10＝35条．故选B. 4．某地招募了20名志愿者，他们编号分别为1号，2号，…，19号，20号，如果要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取方法种数是(　　) A．16 B．21 C．24 D．90 答案：B 解析：第1类，5号与14号为编号较大的一组，则另一组编号较小的有C＝6种选取方法；第2类，5号与14号为编号较小的一组，则编号较大的一组有C＝15种选取方法．由分类加法计数原理得，共有6＋15＝21种选取方法． 5．[多选]某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进行社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是(　　) A．若1班不再分配名额，则共有C种分配方法 B．若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有C种分配方法 C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法 D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法 答案：BD 解析：对于A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有C种分配方法，故A错误；对于B，若1班有除劳动模范之外学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有C种分配方法，故B正确；对于C，D，若每个班至少3人参加，1班有2个劳动模范，先满足每个班级2个名额，还剩10个名额，分配到6个班级，每个班级至少一个，根据隔板法，有C＝126种分配方法，故C错误，D正确． 二、填空题 6．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有________种． 答案：75 解析：第一步，先从6名男医生中选出2名男医生有C＝15种选法；第二步，从5名女医生中选出1名女医生有C＝5种选法．根据分步乘法计数原理可知，选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组的不同选法共有15×5＝75种． 7．5名乒乓球队员中有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1，2号中至少有1名新队员的排法有________种． 答案：48 解析：两老一新时，有CCA＝12种排法；两新一老时，有CCA＝36种排法．故共有12＋36＝48种排法． 8．艺术节期间，秘书处派甲、乙、丙、丁四名工作人员分别到A，B，C三个不同的演出场馆工作，每个演出场馆至少派一人，则不同的分派方案有________种；若要求甲、乙两人不能到同一演出场馆工作，则不同的分派方案有________种． 答案：36　30 解析：四个人分别到三个不同的演出场馆工作，每个演出场馆至少派一人的方法总数为CA＝36.甲、乙两人在同一演出场馆工作的方法数为A＝6，故甲、乙两人不能到同一演出场馆工作的不同的分派方案有36－6＝30种． 三、解答题 9．编号分别为1，2，3，4的4个盒子和4个小球，把小球全部放入盒子．问： (1)共有多少种不同的放法？ (2)恰有2个空盒，有多少种不同的放法？ 解：(1)1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法．同理，2，3，4号小球也各有4种放法，故共有44＝256种不同的放法． (2)恰有2个空盒，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法： 第一类，一个盒子内放1个小球，另一个盒子内放3个小球．先把小球分为两组，其中一组1个，另一组3个，有C种分法，再放到2个盒子内，有A种放法，共有CA种放法． 第二类，2个盒子内各放2个小球．先把4个小球平均分成2组，每组2个，有种分法，再放到2个盒子内，有A种放法，共有种放法． 由分类加法计数原理知，共有CA＋＝84种不同的放法． 10．高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动． (1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？ (2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？ (3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？ 解：(1)从余下的34名学生中选取2名，有C＝561种． ∴不同的选法有561种． (2)从34名可选学生中选取3名，有C＝5984种． ∴不同的选法有5984种． (3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有CC＝2100种． ∴不同的选法有2100种． (4)选取2名女生有CC种，选取3名女生有C种，选取方法共有CC＋C＝2100＋455＝2555种． ∴不同的选法有2555种． (5)选取3名的总数为C，因此选取方法共有C－C＝6545－455＝6090种． ∴不同的选法有6090种． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$