3.1.2 第2课时 排列数的应用-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册作业与测评教用word（人教B版2019）

数学 选择性必修 第二册 作业与测评(B版) 第2课时　排列数的应用 知识点一　无限制条件的排列问题 1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为(　　) A．36 B．120 C．720 D．240 答案：C 解析：由于6人排两排，没有什么特殊要求的对象，故排法种数为A＝720. 2．有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有________种不同的送法． 答案：210 解析：从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个对象中任取3个对象的一个排列，所以共有A＝210种不同的送法． 知识点二　对象的“在”与“不在”问题 3．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，要派5名队员参加比赛，其中3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有________种． 答案：252 解析：3名主力队员排在第一、三、五位置有A种排法，其余7名队员选2名排在第二、四位置有A种排法，故共有AA＝252种不同的出场安排． 4．两个家庭的4个大人与2个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排2个爸爸，则这6人入园顺序的排法种数为________． 答案：48 解析：第一步：将2个爸爸排在首尾位置，有2种排法；第二步：将其余4人全排列，有A＝24种排法．故总的排法共有2×24＝48种． 5．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有________种． 答案：42 解析：因为丙必须排在最后一位，所以只需考虑其余五个节目在前五位上的排法．当甲排在第一位时，有A＝24种排法；当甲排在第二位时，有AA＝18种排法，所以共有24＋18＝42种编排方案． 知识点三　捆绑与插空问题 6．6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有(　　) A．720种 B．360种 C．240种 D．120种 答案：C 解析：将甲、乙两人视为一人，则有A种排法，再将甲、乙两人排序，则共有AA＝240种排法． 7．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目、2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不相邻，则不同排法的种数是(　　) A．1800 B．3600 C．4320 D．5040 答案：B 解析：先排4个音乐节目和1个曲艺节目有A种方法，这5个节目之间以及两端共有6个空位，从中选两个放入舞蹈节目，共有A种方法．所以两个舞蹈节目不相邻的排法共有AA＝3600种． 知识点四　定序问题 8．用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，若1，3，5的顺序一定，则符合条件的五位数有________个． 答案：20 解析：1，3，5的排列顺序有A＝6种，故1，3，5的顺序一定的排法数占总排法数的.故符合条件的五位数有A＝20个． 9．某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后才能进行．那么这6项工程的不同排法种数是________． 答案：30 解析：解法一：依题意知，只需将剩余2项工程插入由甲、乙、丙、丁这4项工程形成的5个空中(插1个或2个)，可得有A＋AA＝30种不同排法． 解法二：＝30，即安排这6项工程的不同排法种数是30. 知识点五　数字问题 10．用0，1，2，3，4这五个数字： (1)可以组成多少个五位数？ (2)可以组成多少个无重复数字的五位数？ (3)可以组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数？ (4)可以组成多少个无重复数字的五位奇数？ (5)在没有重复数字的五位数中，比42130小的数有几个？按从小到大排列，则第61个数是多少？ (6)可以组成多少个无重复数字且奇数在奇数位上的五位数？ 解：(1)各数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理可知，可以组成4×5×5×5×5＝2500个五位数． (2)解法一：考虑特殊位置“万位”，从1，2，3，4中任选一个填入万位，共有4种填法，其余4个数字全排列，有A种排法，故共有AA＝96个符合条件的五位数． 解法二：先考虑特殊对象“0”，先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入，有A种填法，然后将其余4个数字在剩余4个位置上全排列，有A种排法，故共有AA＝96个符合条件的五位数． (3)构成3的倍数的三位数，各数位上数字之和是3的倍数，将0，1，2，3，4按除以3的余数分成3类，按照取0和不取0分类：取0，从1和4中取一个数，再取2进行排列，先填百位有A种填法，再填其余位有A种排法，故有2AA个；不取0，则必取3，从1和4中任取一数，再取2，然后进行全排列，故有2A个．所以共有2AA＋2A＝8＋12＝20个符合条件的三位数． (4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1，3中选一个填入个位，有A种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有A种填法，最后将包含0在内的剩余3个数在中间三个位置上全排列，有A种填法，故共有AAA＝36个符合条件的五位数． (5)按分类加法计数原理，当万位数字为1，2，3时均可以，共有AA个数；当万位数字为4，千位数字为0，1时均满足，共有AA个数；当万位数字为4，千位数字为2，百位数字为0，1时，除了42130均满足，共有(AA－1)个数．所以比42130小的数有AA＋AA＋AA－1＝87个．万位是1，2的各有A个数，万位是3，千位是0，1的各有A个数，所以共有2A＋2A＝60个数，故第61个数是32014. (6)运用排除法，先将1，3在奇数位上排列，有A种排法，再将其余3个偶数在剩余3个位置上全排列，有A种排法，而其中1，3在个位和百位上，0在万位上的排法不符合题意，有AA种排法．所以符合条件的五位数共有AA－AA＝32个． 基础题(占比60%)　　中档题(占比30%)　　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ 对点 插空法解决不相邻问题 捆绑法解决相邻问题、定序问题 捆绑法解决对象的“在”与“不在”问题 有限制条件的排列问题 数字排列中对象的“在”与“不在”问题 题号 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★★ 对点 数字排列中的不相邻问题 排列数公式在实际问题中的应用 无限制条件的排列问题、对象的“在”与“不在”问题 捆绑法、插空法解决对象的“在”与“不在”问题、相邻与不相邻问题 有限制条件的数字排列问题 一、选择题 1．3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为(　　) A．144 B．72 C．36 D．12 答案：A 解析：先将老师排好，有A种排法，形成4个空，将3名学生插入4个空中，有A种排法，故共有AA＝144种不同的排法．故选A. 2．现有A，B，C，D，E五位运动员站成一排拍照留念，要求A，B相邻且B在A的右边，则不同的排法种数为(　　) A．120 B．48 C．24 D．20 答案：C 解析：因为A，B相邻且B在A的右边，所以将A，B捆绑看作一个对象，且A，B位置不可换，故不同的排法种数为A＝4×3×2×1＝24.故选C. 3．有10幅画展出，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画排成一排，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，则不同的排列方法有(　　) A．A种 B．AA种 C．AAA种 D．AAA种 答案：C 解析：把品种相同的画看成整体，水彩画不能放在两端，故只能放在中间，所以油画与国画放两端，有A种放法，再考虑油画与国画内部本身又可以全排列，故不同的排列方法有AAA种． 4．某高校从5名男大学生志愿者和4名女大学生志愿者中选出3名派到3所学校支教(每所学校一名志愿者)，要求这3名志愿者中男、女大学生都有，则不同的选派方案共有(　　) A．210种 B．420种 C．630种 D．840种 答案：B 解析：从这9名大学生志愿者中任选3名派到3所学校支教，则有A种选派方案，3名志愿者全是男生或全是女生的选派方案有A＋A种，故不同的选派方案共有A－(A＋A)＝420种． 5．[多选]由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成无重复数字的五位数，且1不能在个位，则关于这样的五位数的个数，下列表示正确的是(　　) A．(A)2A B．A＋(A)2A C．A－2A＋A D．A＋AAA＋AA 答案：BCD 解析：解法一：从这十个数字中任意选五个无重复的数字全排列，共有A种排法，减去1在个位和0在第一位的2A种排法，加上0在第一位且1在个位的A种排法，共有A－2A＋A个符合条件的五位数． 解法二：若有1，①若1在第一位，有A种；②若1在第2，第3，第4位，有AAA种．若没有1，第1位有A种，剩下有A种，共有AA种，故共有A＋AAA＋AA个符合条件的五位数． 解法三：①若0在个位，有A种；②若0不在个位，个位有A种，第1位有A种，剩下有A种，故共有A＋(A)2A个符合条件的五位数．故选BCD. 二、填空题 6．由1，2，3，4，5组成没有重复数字且1，2都不与5相邻的五位数的个数是________． 答案：36 解析：将3，4两个数全排列，有A种排法，当1，2不相邻且不与5相邻时有A种方法，当1，2相邻且不与5相邻时有AA种方法，故满足题意的五位数有A(A＋AA)＝36个． 7．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________． 答案：96 解析：5张参观券全部分给4人，同一人分到的2张参观券连号，共有1和2，2和3，3和4，4和5四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有4A＝96种分法． 8．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，则共有________种参赛方案；若甲不能跑第一棒和第四棒，则共有________种参赛方案． 答案：360　240 解析：从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，共有A＝360种参赛方案．甲不一定被选中，因此需分两类： 第一类，甲不参赛，有A种排法；第二类，甲参赛，甲只有两个位置可供选择，故有A种排法，其余5人有A种排法，故有AA种方案．所以共有A＋AA＝240种参赛方案． 三、解答题 9．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌节目、3个舞蹈节目、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？ (1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台； (2)2个唱歌节目互不相邻； (3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻． 解：(1)先排唱歌节目有A种排法，再排其他节目有A种排法，所以共有AA＝1440种编排方法． (2)先排3个舞蹈节目、3个曲艺节目有A种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A种插入方法，所以共有AA＝30240种编排方法． (3)把2个相邻的唱歌节目看作一个对象，与3个曲艺节目排列有A种排法，再将3个舞蹈节目插入，有A种插入方法，最后将2个唱歌节目排列，有A种排法，所以共有AAA＝2880种编排方法． 10．用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？ (1)比21034大的偶数； (2)左起第二、四位是奇数的偶数． 解：(1)可分五类： 当末位数字是0，而首位数字是2时，有A＝6个五位数； 当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有AA＝12个五位数； 当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有AA＝12个五位数； 当末位数字是4，而首位数字是2时，有3个五位数； 当末位数字是4，而首位数字是3时，有A＝6个五位数． 故共有6＋12＋12＋3＋6＝39个满足条件的五位数． (2)解法一：可分为两类： 末位数是0，有AA＝4个五位数； 末位数是2或4，有AA＝4个五位数． 故共有4＋4＝8个满足条件的五位数． 解法二：第二、四位从奇数1，3中取，有A种排法，首位从2，4中取，有A种排法，余下的排在剩下的两位，有A种排法，故共有AAA＝8个满足条件的五位数． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$