4.2.3 二项分布与超几何分布-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第四章　概率与统计 4.2　随机变量 4.2.3　二项分布与超几何分布 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 知识点一　独立重复试验的判断 1．给出下列事件：①运动员甲射击一次， “射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次．其中是独立重复试验的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 解析： ①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互独立事件；④是独立重复试验． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 15分钟对点练 4 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 15分钟对点练 5 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 15分钟对点练 6 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 15分钟对点练 7 1 2 3 4 5 6 7 15分钟对点练 8 解 1 2 3 4 5 6 7 15分钟对点练 9 解 1 2 3 4 5 6 7 15分钟对点练 10 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 15分钟对点练 11 7．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队． (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列． 1 2 3 4 5 6 7 15分钟对点练 12 解 1 2 3 4 5 6 7 15分钟对点练 13 30分钟综合练 基础题(占比60%)　　中档题(占比30%)　　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ 对点 独立重复试验的概率 独立重复试验的概率、对立事件的概率 二项分布的概率 利用超几何分布的概率求参数及随机事件的概率 多个事件的超几何分布的概率 题号 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★★★ ★★ ★★ 对点 利用二项分布的概率求参数 超几何分布的概率 二项分布的概率、对立事件的概率 超几何分布的分布列与统计知识相结合 二项分布的概率、互斥事件的概率、分布列的求解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 15 一、选择题 1．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　) A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 17 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 18 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 20 解 析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 21 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 22 7．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为_______________(用式子表示)． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 23 8．一袋中装有4个白球，2个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现3次停止．设停止时，取球次数为随机变量X，则P(X＝5)＝_____，P(X>5)＝_____． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 24 三、解答题 9．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]． (1)求图中x的值； (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人 中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的分布列． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 25 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 26 10.现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一个质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏． (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率； (2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 27 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 28 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 29 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 30 　　　　　　　　　　　　　 R 解析：抛一枚硬币，正面朝上的概率为eq \f(1,2)，则抛三枚硬币，恰有两枚正面朝上的概率为P＝Ceq \o\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq \f(3,8). 知识点二　独立重复试验的概率 2．任意抛掷三枚硬币，恰有两枚正面朝上的概率为(　　) A.eq \f(3,4) B.eq \f(3,8) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4) 解析：X＝3表示“第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品”，故其概率是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up12(2)×eq \f(3,4). 3．某电子管正品率为eq \f(3,4)，次品率为eq \f(1,4)，现对该批电子管进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X＝3)＝(　　) A．Ceq \o\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up12(2)×eq \f(3,4) B．Ceq \o\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up12(2)×eq \f(1,4) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up12(2)×eq \f(3,4) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up12(2)×eq \f(1,4) 知识点三　二项分布 4．已知随机变量X服从二项分布Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,2)))，则P(X＝3)＝________． eq \f(5,16) 解析：若随机变量X服从二项分布B(n，p)，则P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，所以P(X＝3)＝Ceq \o\al(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2))) eq \s\up12(5－3)＝eq \f(5,16). 5．甲、乙两队参加某知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为eq \f(2,3)，乙队中3人答对的概率分别为eq \f(2,3)，eq \f(2,3)，eq \f(1,2)，且各人答对与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分． (1)求随机变量ξ的分布列； (2)设C表示事件“甲队得2分，乙队得1分”，求P(C)． 解：(1)由题意知，ξ的取值范围是{0，1，2，3}， 且P(ξ＝0)＝Ceq \o\al(0,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3))) eq \s\up12(3)＝eq \f(1,27)， P(ξ＝1)＝Ceq \o\al(1,3)×eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3))) eq \s\up12(2)＝eq \f(2,9)， P(ξ＝2)＝Ceq \o\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq \f(4,9)， P(ξ＝3)＝Ceq \o\al(3,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(3)＝eq \f(8,27)， 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P eq \f(1,27) eq \f(2,9) eq \f(4,9) eq \f(8,27) (2)甲队得2分，乙队得1分，两事件是独立的， 由上表可知， 甲队得2分，其概率P(ξ＝2)＝eq \f(4,9)， 乙队得1分，其概率为P＝eq \f(2,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(5,18). 根据独立事件概率公式得P(C)＝eq \f(4,9)×eq \f(5,18)＝eq \f(10,81). 解析：Ceq \o\al(3,5)表示从5名“三好学生”中选3名，从而P(X＝3)＝3,5)eq \f(CCeq \o\al(3,7),Ceq \o\al(6,12)) . 知识点四　超几何分布 6．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于3,5)eq \f(CCeq \o\al(3,7),Ceq \o\al(6,12)) 的是(　　) A．P(X＝2) B．P(X＝3) C．P(X≤2) D．P(X≤3) 解：(1)由题意知，参加集训的男、女生各有6名， 代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为3,3)eq \f(CCeq \o\al(3,4),Ceq \o\al(3,6)Ceq \o\al(3,6)) ＝eq \f(1,100)， 因此A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－eq \f(1,100)＝eq \f(99,100). (2)根据题意，知X的取值范围是{1，2，3}． P(X＝1)＝1,3)eq \f(CCeq \o\al(3,3),Ceq \o\al(4,6)) ＝eq \f(1,5)，P(X＝2)＝2,3)eq \f(CCeq \o\al(2,3),Ceq \o\al(4,6)) ＝eq \f(3,5)， P(X＝3)＝3,3)eq \f(CCeq \o\al(1,3),Ceq \o\al(4,6)) ＝eq \f(1,5). 所以X的分布列为 X 1 2 3 P eq \f(1,5) eq \f(3,5) eq \f(1,5) 解析：根据独立重复试验公式，得该同学通过测试的概率为Ceq \o\al(2,3)×0.62×0.4＋0.63＝0.648. 解析：设所求概率为p，则1－(1－p)4＝eq \f(65,81)，得p＝eq \f(1,3). 2．在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同．若事件A至少发生1次的概率为eq \f(65,81)，则事件A在1次试验中出现的概率为(　　) A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,5) C.eq \f(5,6) D.eq \f(3,4) 解析：本题是独立重复试验，任意取球5次，取得白色乒乓球3次的概率为Ceq \o\al(3,5)×0.53×(1－0.5)5－3＝Ceq \o\al(3,5)×0.55. 3．口袋中有5只白色乒乓球，5只黄色乒乓球，从中任取5次，每次取1只后又放回，则5次中恰有3次取到白色乒乓球的概率是(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,5) C.3,5)eq \f(C,Ceq \o\al(5,10)) D．Ceq \o\al(3,5)×0.55 解析：设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝1,x)eq \f(CCeq \o\al(1,10－x),Ceq \o\al(2,10)) ＝eq \f(x（10－x）,45)＝eq \f(16,45)，所以x＝2或8.因为次品率不超过40%，所以x＝2，所以次品率为eq \f(2,10)＝20%. 4．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝eq \f(16,45)，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　) A．10% B．20% C．30% D．40% 5．[多选]某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10题中随机抽出3题进行测试，规定至少答对2题才算合格，则下列说法正确的是(　　) A．答对0题和答对3题的概率相同，都为eq \f(1,8) B．答对1题的概率为eq \f(3,8) C．答对2题的概率为eq \f(5,12) D．合格的概率为eq \f(1,2) 解析：对于A，答对0题的概率为P0＝3,5)eq \f(C,Ceq \o\al(3,10)) ＝eq \f(1,12)，答对3题的概率为P3＝3,5)eq \f(C,Ceq \o\al(3,10)) ＝eq \f(1,12)，故A错误；对于B，答对1题的概率为P1＝1,5)eq \f(CCeq \o\al(2,5),Ceq \o\al(3,10)) ＝eq \f(5,12)，故B错误；对于C，答对2题的概率为P2＝2,5)eq \f(CCeq \o\al(1,5),Ceq \o\al(3,10)) ＝eq \f(5,12)，故C正确；对于D，合格的概率为P＝2,5)eq \f(CCeq \o\al(1,5),Ceq \o\al(3,10)) ＋3,5)eq \f(C,Ceq \o\al(3,10)) ＝eq \f(1,2)，故D正确．故选CD. 解析：因为X～B(2，p)，所以P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,2)pk·(1－p)2－k，k＝0，1，2，所以P(X≥1)＝1－P(X<1)＝1－P(X＝0)＝1－Ceq \o\al(0,2)p0(1－p)2＝1－(1－p)2，所以1－(1－p)2＝eq \f(5,9)，因为0<p<1，所以p＝eq \f(1,3). eq \f(1,3) 二、填空题 6．设X～B(2，p)，若P(X≥1)＝eq \f(5,9)，则p＝_____． 4,97)eq \f(C＋Ceq \o\al(1,3)Ceq \o\al(3,97),Ceq \o\al(4,100)) 解析：设抽取的二级品的台数为X，则X服从超几何分布，且P(X＝0)＝0,3)eq \f(CCeq \o\al(4,97),Ceq \o\al(4,100)) ＝4,97)eq \f(C,Ceq \o\al(4,100)) ，P(X＝1)＝1,3)eq \f(CCeq \o\al(3,97),Ceq \o\al(4,100)) .所以P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝4,97)eq \f(C＋Ceq \o\al(1,3)Ceq \o\al(3,97),Ceq \o\al(4,100)) . eq \f(8,81) eq \f(64,81) 解析：X＝5表示前4次中有2次取到红球，2次取到白球，第5次取到红球．则P(X＝5)＝Ceq \o\al(2,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(2)×eq \f(1,3)＝eq \f(8,81).P(X>5)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)－P(X＝5)＝1－Ceq \o\al(3,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(3)－Ceq \o\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)－eq \f(8,81)＝eq \f(64,81). 解：(1)由(0.006×3＋0.01＋0.054＋x)×10＝1，解得x＝0.018. (2)分数在[80，90)，[90，100]的人数分别是50×0.018×10＝9，50×0.006×10＝3. 所以ξ的取值范围是{0，1，2}，其服从参数为N＝12，n＝2，M＝3的超几何分布，则 P(ξ＝0)＝0,3)eq \f(CCeq \o\al(2,9),Ceq \o\al(2,12)) ＝eq \f(36,66)＝eq \f(6,11)， P(ξ＝1)＝1,3)eq \f(CCeq \o\al(1,9),Ceq \o\al(2,12)) ＝eq \f(27,66)＝eq \f(9,22)， P(ξ＝2)＝2,3)eq \f(CCeq \o\al(0,9),Ceq \o\al(2,12)) ＝eq \f(3,66)＝eq \f(1,22). 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P eq \f(6,11) eq \f(9,22) eq \f(1,22) 解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为eq \f(1,3)，去参加乙游戏的概率为eq \f(2,3).设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0，1，2，3，4)， 则P(Ai)＝Ceq \o\al(i,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(i) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(4－i). (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P(A2)＝Ceq \o\al(2,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(2)＝eq \f(8,27). (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4. 由于A3与A4互斥， 故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝Ceq \o\al(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(3)×eq \f(2,3)＋Ceq \o\al(4,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(4)＝eq \f(1,9). 所以这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为eq \f(1,9). (3)ξ的取值范围是{0，2，4}． 由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故 P(ξ＝0)＝P(A2)＝eq \f(8,27)， P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝eq \f(40,81)， P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝eq \f(17,81). 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 0 2 4 P eq \f(8,27) eq \f(40,81) eq \f(17,81) $$