3.1.2 第1课时 排列与排列数-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第三章　排列、组合与二项式定理 3.1　排列与组合 3.1.2　排列与排列数 第1课时　排列与排列数 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 知识点一　排列的概念 1．下列问题是排列问题吗？ (1)从1，3，5，7四个数字中，任选两个做乘法，其结果有多少种不同的可能？ (2)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？ (3)会场有50个座位，从中选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？ 解：(1)从1，3，5，7四个数字中，任选两个做乘法，其结果与顺序无关，不是排列问题． (2)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其结果与顺序有关，是排列问题． (3)会场有50个座位，选出3个座位不是排列问题，而选出3个座位安排3位客人入座，是排列问题． 解 1 2 3 4 5 6 7 15分钟对点练 4 知识点二　排列的列举问题 2．(1)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列； (2)写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法． 解：(1)由题意作出树形图如图所示． 故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共24个． 解 1 2 3 4 5 6 7 15分钟对点练 5 解 (2)由题意作出树形图如图所示． 故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12种． 1 2 3 4 5 6 7 15分钟对点练 6 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 15分钟对点练 7 7 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 15分钟对点练 8 解 1 2 3 4 5 6 7 15分钟对点练 9 解 1 2 3 4 5 6 7 15分钟对点练 10 证明 1 2 3 4 5 6 7 15分钟对点练 11 30分钟综合练 基础题(占比60%)　　中档题(占比30%)　　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 难度 ★ ★ ★ ★ ★★★ 对点 排列的概念 排列数公式的逆用 利用排列数公式解方程 排列数公式 利用排列数公式解决多位数的个位数字问题 题号 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ 对点 与排列数有关的计算问题 排列数公式在简单实际问题中的应用 与排列数有关的不等式问题 利用排列数公式解方程 排列的列举问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 13 一、选择题 1．[多选]下列属于排列问题的是(　　) A．10本不同的书分给10名同学，每人一本 B．10位同学去做春季运动会志愿者 C．10位同学参加不同项目的运动会比赛 D．10个没有任何三点共线的点构成的线段 解析：由排列与顺序有关，可知A，C是排列问题，B，D不是排列问题．故选AC. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 14 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 15 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 17 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 18 答案 解析 120 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 19 7．从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，则共有____种不同的选法． 答案 解析 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 20 答案 解析 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 21 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 22 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 23 10．(1)从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅，分别挂在书房和客厅，用树形图表示出不同挂法的所有可能情况； (2)某农场要在3块不同类型的土地上分别试种A，B，C 3个不同品种的小麦，用树形图表示出不同试种方法的所有可能情况． 解：(1)根据题意，不同挂法的所有可能情况如下： 解 (2)根据题意，不同试种方法的所有可能情况如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 24 　　　　　　　　　　　　　 R 解析：解法一：5,9)eq \f(A＋Aeq \o\al(4,9),Aeq \o\al(6,10)－Aeq \o\al(5,10)) ＝eq \f(9×8×7×6×5＋9×8×7×6,10×9×8×7×6×5－10×9×8×7×6) ＝eq \f(（5＋1）×9×8×7×6,（5－1）×10×9×8×7×6)＝eq \f(6,40)＝eq \f(3,20). 解法二：5,9)eq \f(A＋Aeq \o\al(4,9),Aeq \o\al(6,10)－Aeq \o\al(5,10)) ＝4,9)eq \f(5A＋Aeq \o\al(4,9),50Aeq \o\al(4,9)－10Aeq \o\al(4,9)) ＝4,9)eq \f(6A,40Aeq \o\al(4,9)) ＝eq \f(3,20). 解法三：5,9)eq \f(A＋Aeq \o\al(4,9),Aeq \o\al(6,10)－Aeq \o\al(5,10)) ＝eq \f(\f(9！,4！)＋\f(9！,5！),\f(10！,4！)－\f(10！,5！))＝eq \f(5×9！＋9！,5×10！－10！)＝eq \f(6×9！,4×10！)＝eq \f(3,20). 知识点三　与排列数有关的计算、证明问题 3.5,9)eq \f(A＋Aeq \o\al(4,9),Aeq \o\al(6,10)－Aeq \o\al(5,10)) ＝(　　) A.eq \f(5,8) B .eq \f(2,5) C.eq \f(7,9) D.eq \f(3,20) 解析：原方程可化为n(n－1)＝7(n－4)(n－5)，解得n＝7eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＝\f(10,3)舍去))，所以n＝7. 4．已知Aeq \o\al(2,n)＝7Aeq \o\al(2,n－4)，则n＝____． 解：由3Aeq \o\al(3,n)＝2Aeq \o\al(2,n＋1)＋6Aeq \o\al(2,n)，得 3n(n－1)(n－2)＝2(n＋1)n＋6n(n－1)． 因为n≥3且n∈N＋，所以3n2－17n＋10＝0， 解得n＝5或n＝eq \f(2,3)(舍去)． 所以n＝5. 5．若3Aeq \o\al(3,n)＝2Aeq \o\al(2,n＋1)＋6Aeq \o\al(2,n)，求n. 解：由题意，得3(x＋2)(x＋1)＋12x(x－1)≤11(x＋1)x，化简，得2x2－7x＋3≤0，即(2x－1)(x－3)≤0，所以eq \f(1,2)≤x≤3. 因为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2≥2，,x≥2，,x＋1≥2，))所以x≥2， 故2≤x≤3，且x∈N＋，故x＝2或3. 所以原不等式的解集为{2，3}． 6．解不等式：3Aeq \o\al(2,x＋2)＋12Aeq \o\al(2,x)≤11Aeq \o\al(2,x＋1). 证明：(1)因为Aeq \o\al(n＋1,n＋1)＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2×1， Aeq \o\al(n,n＋1)＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2， (n＋1)Aeq \o\al(n,n)＝(n＋1)×n！＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2×1， 所以Aeq \o\al(n＋1,n＋1)＝Aeq \o\al(n,n＋1)＝(n＋1)Aeq \o\al(n,n). (2)因为右边＝eq \f(n！,（n－k）！)·eq \f(（n－k）！,（n－k－m＋k）！)＝eq \f(n！,（n－m）！)＝Aeq \o\al(m,n)＝左边． 所以原等式得证． 7．求证：(1)Aeq \o\al(n＋1,n＋1)＝Aeq \o\al(n,n＋1)＝(n＋1)Aeq \o\al(n,n)； (2)Aeq \o\al(m,n)＝Aeq \o\al(k,n)·Aeq \o\al(m－k,n－k)(k≤m≤n，k，m，n∈N＋)． 解析：∵20×19×18×…×9是从20开始，表示12个数字的乘积，∴20×19×18×…×9＝Aeq \o\al(12,20). 2．20×19×18×…×9＝(　　) A．Aeq \o\al(12,20) B．Aeq \o\al(11,20) C．Aeq \o\al(10,20) D．Aeq \o\al(9,20) 解析：Aeq \o\al(2,n)＝n(n－1)＝132，即n2－n－132＝0，解得n＝12或n＝－11(舍去)． 3．已知Aeq \o\al(2,n)＝132，则n＝(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 解析：∵eq \f(（n＋1）！,n＋1)＝eq \f(（n＋1）n！,n＋1)＝n！，∴A正确；∵nAeq \o\al(m－1,n－1)＝n·eq \f(（n－1）！,（n－1－m＋1）！)＝eq \f(n！,（n－m）！)＝Aeq \o\al(m,n)，∴B正确；∵Aeq \o\al(m－1,n)＝eq \f(n！,（n－m＋1）！)，∴C错误；∵Aeq \o\al(m－1,n－1)＝eq \f(（n－1）！,（n－m）！)，∴D错误．故选AB. 4．[多选]下列等式中正确的是(　　) A．n！＝eq \f(（n＋1）！,n＋1) B．Aeq \o\al(m,n)＝nAeq \o\al(m－1,n－1) C．Aeq \o\al(m－1,n)＝eq \f(n！,（n－m－1）！) D．Aeq \o\al(m－1,n－1)＝eq \f(（n－1）！,（m－n）！) 5．若M＝Aeq \o\al(1,1)＋Aeq \o\al(2,2)＋Aeq \o\al(3,3)＋…＋Aeq \o\al(2024,2024)，则M的个位数字是(　　) A．3 B．8 C．0 D．5 解析：∵当n≥5时，Aeq \o\al(n,n)＝1×2×3×4×5×6×…×n＝120×6×…×n，∴当n≥5时，Aeq \o\al(n,n)的个位数字为0.又Aeq \o\al(1,1)＋Aeq \o\al(2,2)＋Aeq \o\al(3,3)＋Aeq \o\al(4,4)＝1＋2＋6＋24＝33，∴M的个位数字为3. 解析：原式＝Aeq \o\al(6,6)－Aeq \o\al(6,6)＋Aeq \o\al(5,5)＝Aeq \o\al(5,5)＝5×4×3×2×1＝120. 二、填空题 6．Aeq \o\al(6,6)－6Aeq \o\al(5,5)＋5Aeq \o\al(4,4)＝________． 解析：由题意知，共有Aeq \o\al(2,5)＝5×4＝20种不同的选法． 8．满足不等式7,n)eq \f(A,Aeq \o\al(5,n)) >12的n的最小值为____． 解析：由排列数公式得eq \f(n！（n－5）！,（n－7）！n！)>12，即(n－5)(n－6)>12，解得n>9或n<2.又n≥7，所以n>9，又n∈N＋，所以n的最小值为10. 解：(1)∵90Aeq \o\al(2,n)＝Aeq \o\al(4,n)，∴90n(n－1)＝n(n－1)(n－2)(n－3)， ∴n2－5n＋6＝90， ∴n2－5n－84＝0，即(n－12)(n＋7)＝0， 解得n＝12或n＝－7. 由排列数的定义知n≥4，n∈N＋， ∴n＝12. 三、解答题 9．解下列各式中的n值． (1)90Aeq \o\al(2,n)＝Aeq \o\al(4,n)； (2)Aeq \o\al(4,n)Aeq \o\al(n－4,n－4)＝42Aeq \o\al(n－2,n－2). (2)∵Aeq \o\al(4,n)Aeq \o\al(n－4,n－4)＝42Aeq \o\al(n－2,n－2)， ∴eq \f(n！,（n－4）！)(n－4)！＝42(n－2)！， ∴n(n－1)＝42，即n2－n－42＝0， 解得n＝7或n＝－6. 由排列数定义知n≥5，n∈N＋，∴n＝7. $$