3.1.1 第2课时 基本计数原理的应用-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第三章　排列、组合与二项式定理 3.1　排列与组合 3.1.1　基本计数原理 第2课时　基本计数原理的应用 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 知识点一　数字排列问题 1．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是(　　) A．25 B．20 C．16 D．12 解析：分两步：先选十位，再选个位，可组成无重复数字的两位数的个数为4×4＝16. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 15分钟对点练 4 2．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成三位数，其中奇数的个数为(　　) A．24 B．18 C．12 D．6 解析：①当从0，2中选取2时，先排2，再排从1，3，5中选出的两个数字，共有2×3×2＝12个奇数；②当从0，2中选取0时，0必须排在十位，从1，3，5中选出的两个数字排在个位和百位，共有3×2＝6个奇数．由分类加法计数原理，知共有12＋6＝18个奇数． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 15分钟对点练 5 3．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有____个． 解析：解法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数的个数为8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36. 解法二：按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9的情况分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数的个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36. 答案 解析 36 1 2 3 4 5 6 7 8 15分钟对点练 6 4．用0，1，2，3，4，5这六个数字： (1)可以组成多少个无重复数字且为奇数的四位数？ (2)可以组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数？ 解：(1)依题意，因为这个四位数没有重复数字且为奇数， 第一步，考虑个位数，必然是从1，3，5这三个数中选一个，故有3种选法； 第二步，考虑千位数，由于个位占用了一个数字，0又不能放在首位(即千位)，故有4种选法； 第三步，考虑百位数，易知有4种选法； 第四步，考虑十位数，易知有3种选法． 由分步乘法计数原理知，可以组成3×4×4×3＝144个满足条件的四位数． (2)解法一：按个位数字是0，2，4分为三类： 第一类，个位数字是0的有4×4×3＝48个； 解 1 2 3 4 5 6 7 8 15分钟对点练 7 解 第二类，个位数字是2的有3×4×3＝36个； 第三类，个位数字是4的有3×4×3＝36个． 由分类加法计数原理知，可以组成48＋36＋36＝120个无重复数字且比2000大的四位偶数． 解法二：按千位数字是2，3，4，5分为四类： 第一类，千位数字是2的有2×4×3＝24个； 第二类，千位数字是3的有3×4×3＝36个； 第三类，千位数字是4的有2×4×3＝24个； 第四类，千位数字是5的有3×4×3＝36个． 由分类加法计数原理知，可以组成24＋36＋24＋36＝120个无重复数字且比2000大的四位偶数． 1 2 3 4 5 6 7 8 15分钟对点练 8 知识点二　选取问题 5．现有A，B两种类型的机床各一台，甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种机床，丙只会操作A种机床．现在要从这三名工人中选两名分别去操作以上机床，不同的选派方法有(　　) A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 解析：分两类：第一类，不选丙，有2×1＝2种选派方法；第二类，选丙，再从甲、乙两人中选一人，有1×2＝2种选派方法．故共有2＋2＝4种不同的选派方法． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 15分钟对点练 9 6．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一种，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和会日语的各1人，共有多少种不同的选法？ 解：由题意，可得此外语组有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．若既会英语又会日语的人未被选中，则有6×2＝12种选法；若既会英语又会日语的人被选中，则有6＋2＝8种选法．所以共有12＋8＝20种不同的选法． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 15分钟对点练 10 知识点三　涂色问题 7．给一个凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但相邻边的颜色不同，则不同的染色方法有___种． 解析：如图，染边1时有3种染法，染边2时有2种染法． (1)当边3与边1同色时，边3有1种染法，则边4有2种染法，边5有 1种染法，此时不同的染色方法共有3×2×1×2×1＝12种； (2)当边3与边1不同色时，边3有1种染法，①当边4与边1同色时，边4有1种染法，边5有2种染法；②当边4与边1不同色时，边4有1种染法，边5有1种染法，则此时不同的染色方法共有3×2×1×(1×2＋1×1)＝18种． 由分类加法计数原理，可得不同的染法种数为12＋18＝30. 30 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 15分钟对点练 11 8．如图，用5种不同的颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色，且相邻区域涂不同的颜色，那么共有多少种不同的涂色方法？ 解：先分两类：第一类，A，D颜色不相同；第二类，A，D颜色相同．在第一类中分四步：先涂A，有5种方法，再涂B，有4种方法，然后涂C，有3种方法，最后涂D，有2种方法．于是第一类共有5×4×3×2＝120种不同的涂色方法．类似地，可得第二类共有5×4×3＝60种不同的涂色方法．所以共有120＋60＝180种不同的涂色方法． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 15分钟对点练 12 30分钟综合练 基础题(占比50%)　　中档题(占比40%)　　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 难度 ★ ★ ★ ★ ★★★ 对点 利用分步乘法计数原理解决实际问题中的选取问题 利用分步乘法计数原理解决与对数有关的选取问题 利用分步乘法计数原理解决涂色问题 利用分步乘法计数原理解决实际问题中的选取问题 利用分类加法计数原理解决数字排列问题 题号 6 7 8 9 10 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ 对点 两个计数原理相结合解决选取问题 两个计数原理相结合解决数字排列问题 利用分步乘法计数原理解决集合中的选取问题 两个计数原理相结合解决数字排列问题 两个计数原理相结合解决涂色问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 14 一、选择题 1．甲、乙两人从4门不同的课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有(　　) A．6种 B．12种 C．24种 D．30种 解析：分步完成．首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法；其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法；最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法．由分步乘法计数原理知，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2＝24种． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 15 2．从1，3，5，7，9这五个数字中，每次取出两个不同的数字分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是(　　) A．9 B．10 C．18 D．20 解析：分两步完成：第一步，取数字a，有5种不同的取法；第二步，取数字b，有4种不同的取法．所以可以得到5×4＝20个不同的差式lg a－lg b，但其中lg 9－lg 3＝lg 3－lg 1，lg 3－lg 9＝lg 1－lg 3，故不同的值有18个． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 16 3．用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有(　　) A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 解析：首先涂A有4种涂法，则涂B有3种涂法，由于C与A，B均相邻，则C有2种涂法，D只与C相邻，则D有3种涂法，由分步乘法计数原理，知共有4×3×2×3＝72种不同的涂色方法． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 17 4．五名护士上班前将外衣放在护士站，下班后回护士站取外衣，由于灯光暗淡，只有两人拿到了自己的外衣，另外三人拿到别人外衣的情况有(　　) A．60种 B．40种 C．20种 D．10种 解析：设五名护士分别为A，B，C，D，E.其中两人拿到自己的外衣，可能是AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种情况，假设A，B两人拿到自己的外衣，则C，D，E三人不能拿到自己的外衣，所以只有C取D，D取E，E取C或C取E，D取C，E取D两种情况．所以根据分步乘法计数原理，知有10×2＝20种情况． 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 18 5．[多选]我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2031是“六合数”)，则下列说法正确的是(　　) A．“六合数”中千位为1的“六合数”共有21个 B．“六合数”中千位为2的“六合数”共有15个 C．“六合数”中千位为3的“六合数”共有10个 D．“六合数”中千位为4的“六合数”共有7个 解析：对于A，依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为5.由5，0，0组成的3个数分别为500，050，005；由4，1，0组成的6个数分别为410，401，140，104，014，041；由3，2，0组成的6个数分别为320，302，230，203，023，032；由3，1，1组成的3个数分别为311，131，113；由2，2，1组成的3个数分别为122，212，221.共计3＋6＋6＋3＋3＝21个，故A正确；对于B，依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4，0，0组成的3个数分别为400，040，004； 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 19 解 析 由3，1，0组成的6个数分别为310，301，130，103，013，031；由2，2，0组成的3个数分别为220，202，022；由2，1，1组成的3个数分别为211，121，112.共计3＋6＋3＋3＝15个，故B正确；对于C，依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为3.由3，0，0组成的3个数分别为300，030，003；由2，1，0组成的6个数分别为210，201，120，102，012，021；由1，1，1组成的1个数为111.共计3＋6＋1＝10个，故C正确；对于D，依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为2.由2，0，0组成的3个数分别为200，020，002；由1，1，0组成的3个数分别为011，101，110.共计3＋3＝6个，故D错误．故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 20 二、填空题 6．甲、乙、丙3个班各有3，5，2名三好学生，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有____种推选方法． 解析：分为三类：①甲班选1名，乙班选1名，根据分步乘法计数原理，有3×5＝15种选法；②甲班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有3×2＝6种选法；③乙班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有5×2＝10种选法．综上，根据分类加法计数原理，共有15＋6＋10＝31种推选方法． 答案 解析 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 21 7．用1，2，3组成四位数，其中恰有一个数字出现两次的四位数有____个． 解析：出现两次的数字可以是1，2，3，按这三种情况讨论：①出现两次的数字是1时，要排一个四位数，先为2选位置，有4种选法；再为3选位置，有3种选法；剩余位置直接放1即可．共有4×3＝12个满足题意的四位数．②出现两次的数字是2时，要排一个四位数，先为1选位置，有4种选法；再为3选位置，有3种选法；剩余位置直接放2即可．共有4×3＝12个满足题意的四位数．③出现两次的数字是3时，要排一个四位数，先为1选位置，有4种选法；再为2选位置，有3种选法；剩余位置直接放3即可．共有4×3＝12个满足题意的四位数．综上，用1，2，3组成四位数，其中恰有一个数字出现两次的四位数有12＋12＋12＝36个． 答案 解析 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 22 8．从集合{1，2，3，4，…，10}中选出5个元素组成子集，使得这5个元素中任意两个元素的和都不等于11，则这样的子集有____个． 解析：先把集合中的元素分成5组：{1，10}，{2，9}，{3，8}，{4，7}，{5，6}，由于选出的5个元素中，任意两个元素的和都不等于11，所以从每组中任选1个元素即可，故共可组成2×2×2×2×2＝32个满足题意的子集． 答案 解析 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 23 三、解答题 9．用0，1，2，3，…，9这十个数字： (1)可以组成多少个三位数？ (2)可以组成多少个无重复数字的三位数？ (3)可以组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？ 解： (1)由于0不能在百位，所以百位上的数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法，所以可以组成9×10×10＝900个三位数． (2)百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，个位上的数字应从剩余8个数字中选取，所以可以组成9×9×8＝648个无重复数字的三位数． (3)满足条件的一位自然数有10个，两位自然数有9×9＝81个，三位自然数有4×9×8＝288个． 所以可以组成10＋81＋288＝379个小于500且无重复数字的自然数． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 24 10．如图，有4个编号为1，2，3，4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？ 解：分为两类： 第一类，若1，3同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有1种涂法 (与1相同)，4有4种涂法， 故N1＝5×4×1×4＝80种； 第二类，若1，3不同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有3种涂法，4有3种涂法， 故N2＝5×4×3×3＝180种． 综上可知，不同的涂色方法共有N＝N1＋N2＝80＋180＝260种． 解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 25 　　　　　　　　　　　　　 R $$