5.3.1 第1课时 函数的单调性(1)-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册作业与测评教用word（人教A版2019）

数学　选择性必修·第二册[人教A版]作业与测评 5．3　导数在研究函数中的应用 5．3.1　函数的单调性 第1课时　函数的单调性(1) 知识点一　函数的单调性与其导数的关系 1．函数y＝f(x)是定义在R上的可导函数，则“y＝f(x)为R上的增函数”是“f′(x)＞0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：函数y＝f(x)在R上为增函数，说明f′(x)≥0在R上恒成立，且f′(x)在R的任意子区间上都不恒等于0，推不出f′(x)＞0.根据函数单调性与导数正负的关系，由f′(x)＞0显然能推出函数y＝f(x)在R上为增函数．所以“y＝f(x)为R上的增函数”是“f′(x)＞0”的必要不充分条件． 2.(2024·河南郑州高二期末)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，那么该函数的图象可能是(　　) 答案：D 解析：由题意知f′(x)与x轴有三个交点，不妨设为x1<x2＝0<x3，当x∈(－∞，x1)时，f′(x)<0，当x∈(x1，0)时，f′(x)>0，当x∈(0，x3)时，f′(x)<0，当x∈(x3，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(－∞，x1)上和(0，x3)内单调递减，在区间(x1，0)内和(x3，＋∞)上单调递增，故A，B，C错误，D正确．故选D. 3.如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是(　　) A．f(x)在(－3，1)内单调递增 B．f(x)在(1，3)内单调递减 C．f(x)在(2，4)内单调递减 D．f(x)在(3，＋∞)上单调递增 答案：C 解析：根据f(x)的单调性与f′(x)的正负之间的关系进行判断，当x∈(2，4)时，f′(x)<0，故f(x)在(2，4)内单调递减，其余判断均错误．故选C. 4．求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数． 证明：由于f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1， 当x∈(0，＋∞)时，ex>1，即f′(x)＝ex－1>0； 当x∈(－∞，0)时，ex<1，即f′(x)＝ex－1<0， 故函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数． 知识点二　求函数的单调区间 5．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　) A．(－∞，2) B．(0，3) C．(1，4) D．(2，＋∞) 答案：D 解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝ex(x－2)．由f′(x)>0得x>2，∴f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)． 6．函数f(x)＝x－2sinx＋1在(0，π)内的单调递增区间是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由f(x)＝x－2sinx＋1，x∈(0，π)，f′(x)＝1－2cosx>0可得<x<π，故f(x)在(0，π)内的单调递增区间是.故选D. 7．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　) A．(－1，1] B．(0，1] C．[1，＋∞) D．(0，＋∞) 答案：B 解析：函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，得0<x≤1，∴函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(0，1]． 8．求下列函数的单调区间： (1)y＝x3－2x2＋3； (2)y＝ln (2x＋3)＋x2. 解：(1)函数y＝x3－2x2＋3的定义域为R. y′＝2x2－4x＝2x(x－2)． 令y′>0，则2x(x－2)>0，解得x<0或x>2， 所以函数的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)； 令y′<0，则2x(x－2)<0，解得0<x<2， 所以函数的单调递减区间为(0，2)． 故函数的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)． (2)函数y＝ln (2x＋3)＋x2的定义域为. y′＝＋2x＝＝. 令y′>0，解得－<x<－1或x>－， 所以函数的单调递增区间为，； 令y′<0，解得－1<x<－， 所以函数的单调递减区间为. 故函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 一、选择题 1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　) A．y＝sin2x B．y＝xex C．y＝x3－x D．y＝－x＋ln (1＋x) 答案：B 解析：对于B，因为y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)在(0，＋∞)上恒大于0，所以y＝xex在(0，＋∞)上为增函数．故选B. 2．函数f(x)＝1－x－sinx(　　) A．在(0，2π)内单调递增 B．在(0，2π)内单调递减 C．在(0，π)内单调递增，在(π，2π)内单调递减 D．在(0，π)内单调递减，在(π，2π)内单调递增 答案：B 解析：当x∈(0，2π)时，f′(x)＝－1－cosx≤0，所以f(x)在(0，2π)内单调递减．故选B. 3.(2024·安徽淮南高二下期中)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) 答案：D 解析：由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时，y＝f(x)为减函数，故f′(x)<0，排除A，C；当x>0时，y＝f(x)先增再减后增，故先正再负后正，排除B. 4．(2024·广西南宁高二期末)函数f(x)＝ln (2x－1)－x2＋x的单调递增区间是(　　) A．(0，1) B． C． D． 答案：D 解析：函数f(x)＝ln (2x－1)－x2＋x的定义域为，且f′(x)＝－2x＋1＝＝，令f′(x)>0，解得<x<，所以f(x)的单调递增区间为.故选D. 5．[多选]设函数f(x)的定义域为D，f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x)在D上单调，则称函数f(x)为“C函数”．下列函数中为“C函数”的是(　　) A．y＝ex B．y＝ln x C．y＝x3 D．y＝tanx 答案：AB 解析：对于A，y＝ex的定义域为R，y′＝ex，则y′在定义域内单调递增，∴y＝ex是“C函数”．对于B，y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝，则y′在定义域内单调递减，∴y＝ln x是“C函数”．对于C，y＝x3的定义域为R，y′＝3x2，则y′在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝x3不是“C函数”．对于D，y＝tanx的定义域为(k∈Z)，y′＝，令f(x)＝，则f′(x)＝′＝，当x∈时，f′(x)>0，∴y′单调递增；当x∈时，f′(x)<0，∴y′单调递减，∴y＝tanx不是“C函数”．故选AB. 二、填空题 6．函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则f′(x)<0的解集为________． 答案：∪(2，3) 解析：f′(x)<0的解集即为f(x)的单调递减区间，结合题图可知f′(x)<0的解集为∪(2，3)． 7．设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________． 答案：(－∞，－1)，(0，＋∞)　(－1，0) 解析：∵f(x)＝x(ex－1)－x2，∴f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1，0)内单调递减． 8．已知f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，且f′(x)<0.若f(lg x)>f(1)，则x的取值范围是________． 答案：(1，10) 解析：∵在区间(0，＋∞)上f′(x)<0，∴f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数．∵f(lg x)>f(1)，∴∴1<x<10. 三、解答题 9．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其中a＋b＝0，a，b，c均为常数，曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x＋y－1＝0. (1)求a，b，c的值； (2)求函数f(x)的单调区间． 解：(1)因为f′(x)＝3ax2＋2bx，所以f′(1)＝3a＋2b， 又切线x＋y＝1的斜率为－1，所以3a＋2b＝－1， 又a＋b＝0，解得a＝－1，b＝1， 所以f(1)＝a＋b＋c＝c， 由点(1，c)在直线x＋y＝1上， 可得1＋c＝1，即c＝0， 所以a＝－1，b＝1，c＝0. (2)由(1)，令f′(x)＝－3x2＋2x＝0， 解得x1＝0，x2＝， 当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0； 当x∈时，f′(x)＞0； 当x∈时，f′(x)＜0. 所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为(－∞，0)和. 10．已知函数f(x)＝x2·ex－1＋ax3＋bx2，且x＝－2和x＝1是f′(x)＝0的两根． (1)求a，b的值； (2)求f(x)的单调区间． 解：(1)因为f′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx＝xex－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)， 又x＝－2和x＝1是f′(x)＝0的两根， 所以f′(－2)＝f′(1)＝0，故 解方程组得a＝－，b＝－1. (2)因为a＝－，b＝－1，所以f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)． 令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝0，x3＝1. 当x∈(－2，0)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0； 当x∈(－∞，－2)∪(0，1)时，f′(x)<0， 所以f(x)的单调递增区间为(－2，0)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)和(0，1)． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$