5.2.3 简单复合函数的导数-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册作业与测评教用word（人教A版2019）

数学　选择性必修·第二册[人教A版]作业与测评 5．2.3　简单复合函数的导数 知识点一　复合函数求导 1．函数y＝ln (x>－1)的导数是(　　) A．y′＝ B．y′＝－ C．y′＝ D．y′＝－ 答案：B 解析：y′＝[ln (x＋3)－ln (x＋1)]′＝－＝－. 2．函数y＝x2cos2x的导数为(　　) A．y′＝2xcos2x－x2sin2x B．y′＝2xcos2x－2x2sin2x C．y′＝x2cos2x－2xsin2x D．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x 答案：B 解析：y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－2sin2x)＝2xcos2x－2x2sin2x. 3．求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝log2(2x＋1)； (3)y＝e3x＋2；(4)y＝sin. 解：(1)y＝(1－2x)，设y＝u，u＝1－2x， 则yx′＝yu′·ux′＝(u)′·(1－2x)′＝·(－2)＝(1－2x)，即y′＝(1－2x). (2)设y＝log2u，u＝2x＋1， 则yx′＝yu′·ux′＝(log2u)′·(2x＋1)′＝·2＝，即y′＝. (3)设y＝eu，u＝3x＋2， 则yx′＝yu′·ux′＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2， 即y′＝3e3x＋2. (4)设y＝sinu，u＝2x＋， 则yx′＝yu′·ux′＝(sinu)′·′＝cosu·2＝2cos， 即y′＝2cos. 知识点二　导数的综合应用 4．函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则实数a的值为________． 答案：1 解析：y′＝(1－ax)2＋x[(1－ax)2]′＝(1－ax)2＋x[2(1－ax)(－a)]＝(1－ax)2－2ax(1－ax)．由y′|x＝2＝(1－2a)2－4a(1－2a)＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1. 5．(2024·河南许昌高二期末)已知函数f(x)＝aex2＋bx2＋x－2，若f′(1)＝1，则f′(－1)＝________． 答案：1 解析：因为f(x)＝aex2＋bx2＋x－2，则f′(x)＝2axex2＋2bx＋1，因为f′(1)＝2ae＋2b＋1＝1，所以2ae＋2b＝0，所以f′(－1)＝－2ae－2b＋1＝1. 6．(2024·湖南衡阳高二期末)曲线f(x)＝xln (2x－1)＋在点(1，f(1))处的切线方程为________． 答案：7x－4y－5＝0 解析：因为f(x)＝xln (2x－1)＋，则f(1)＝1×ln 1＋＝，所以切点为，且f′(x)＝ln (2x－1)＋－，则k＝f′(1)＝ln 1＋－＝，由直线的点斜式可得y－＝(x－1)，化简可得7x－4y－5＝0，所以切线方程为7x－4y－5＝0. 7．设曲线y＝e－x(x≥0)在点M(t，e－t)处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t)． (1)求切线l的方程； (2)求S(t)的解析式． 解：(1)∵y＝e－x，∴y′＝(e－x)′＝－e－x， ∴y′|x＝t＝－e－t. 故切线l的方程为y－e－t＝－e－t(x－t)， 即x＋ety－(t＋1)＝0. (2)令y＝0，得x＝t＋1； 令x＝0，得y＝e－t(t＋1)． ∴S(t)＝(t＋1)e－t(t＋1)＝(t＋1)2e－t(t≥0)． 8．(2024·河北张家口高二阶段测试)某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)关于时间t(单位：s)的函数满足关系式y＝6sin.求函数y在t＝3 s时的导数，并解释它的实际意义． 解：因为y＝6sin＝－6cost， 所以y′＝6×sint＝2πsint， 所以y′|t＝3＝2πsinπ＝0， 即函数y在t＝3 s时的导数为0. 故它的实际意义为：当t＝3 s时，弹簧振子在振动过程中的瞬时速度为0 mm/s. 一、选择题 1．函数y＝的导数是(　　) A．y′＝ B．y′＝ C．y′＝－ D．y′＝－ 答案：C 解析：y′＝′＝·(3x－1)′＝－.故选C. 2．曲线y＝xex－1在点(1，1)处的切线的斜率等于(　　) A．2e B．e C．2 D．1 答案：C 解析：y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1，1)处的切线的斜率为y′|x＝1＝2. 3．函数y＝cos2x＋sin的导数为(　　) A．y′＝－2sin2x＋ B．y′＝2sin2x＋ C．y′＝－2sin2x＋ D．y′＝2sin2x－ 答案：A 解析：y′＝－sin2x·(2x)′＋cos·()′＝－2sin2x＋. 4．(2024·江苏盐城高二期末)盐城沿海滩涂湿地现已发现高等植物559种、动物1665种，经研究发现其中某生物种群数量的增长规律可以用逻辑斯谛模型N(t)＝刻画，其中r是该种群的内禀增长率，若r＝0.08，则当t＝0时，N(t)的瞬时变化率为(　　) A．0.04 B．0.08 C．2 D．0.559 答案：A 解析：当r＝0.08时，N(t)＝，则N′(t)＝，则当t＝0时，N(t)的瞬时变化率为N′(0)＝＝0.04. 5．(2024·四川广安高二阶段练习)已知直线y＝kx＋b既是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝－ln (－x)的切线，则k＋b＝(　　) A． B．e C．1 D．－1 答案：A 解析：设曲线y＝ln x，y＝－ln (－x)与直线y＝kx＋b的切点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，易知两曲线对应函数的导函数分别为y′＝，y′＝－，所以⇒⇒则k＋b＝. 二、填空题 6．下列各函数的导数： ①()′＝x(x2＋1)；②(ax)′＝axln x(a>0，且a≠1)；③(sin2x)′＝cos2x；④′＝. 其中正确的是________(填序号)． 答案：①④ 解析：()′＝(x2＋1)·(x2＋1)′＝x(x2＋1)，①正确；(ax)′＝axln a(a>0，且a≠1)，②错误；(sin2x)′＝cos2x·(2x)′＝2cos2x，③错误；′＝＝＝，④正确． 7．曲线y＝ln (2x－1)在点(1，0)处的切线方程为________． 答案：2x－y－2＝0 解析：因为y′＝·(2x－1)′＝，所以y′|x＝1＝2，故切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0. 8．(2024·湖北武汉高二期末)已知函数f(x)＝f′cos2x＋sinx，则f′＝________． 答案： 解析：由已知可得f′(x)＝－2f′sin2x＋cosx，所以f′＝－2f′sin＋cos，所以f′＝. 三、解答题 9．求下列函数的导数： (1)y＝(2x－1)4；(2)y＝102x＋3； (3)y＝e2－x·sin2x；(4)y＝. 解：(1)设y＝u4，u＝2x－1， 则yx′＝yu′·ux′＝(u4)′·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3. (2)设y＝10u，u＝2x＋3， 则yx′＝yu′·ux′＝(10u)′·(2x＋3)′ ＝10uln 10·2＝2·102x＋3·ln 10＝102x＋3·ln 100. (3)y′＝(e2－x)′·sin2x＋e2－x·(sin2x)′＝－e2－x·sin2x＋e2－x·2sinxcosx＝－e2－x·sin2x＋e2－x·sin2x. (4)y′＝ ＝＝. 10．(2024·云南曲靖高二期末)已知函数f(x)＝2e2x－x，不用计算器，用切线“以直代曲”，求f的近似值(精确到四位小数)． 解：求导得f′(x)＝4e2x－1， 则f′(0)＝3，而f(0)＝2， 因此函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y－2＝3(x－0)， 即y＝3x＋2， 函数y＝3x＋2中，当x＝时，y＝3×＋2≈2.0015， 所以f的近似值为2.0015. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$