4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册作业与测评教用word（人教A版2019）

数学　选择性必修·第二册[人教A版]作业与测评 第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 知识点一　等比数列前n项和的性质 1．等比数列{an}中，已知前3项和为4，前6项和为36，则此等比数列的公比q为(　　) A．2 B．4 C．2或－2 D. 答案：A 解析：∵S3＝4，S6＝S3＋q3S3＝4＋4q3＝36，∴q＝2. 2．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是(　　) A．7 B．9 C．63 D．7或63 答案：A 解析：∵S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，∴(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(21－S10)2＝S10(49－21)，∴S10＝7或63.当S10＝63时，S20－S10＝－42，则q10＝－＝－，显然不成立，故S10＝7.故选A. 3．已知等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________． 答案：24 解析：设M＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，N＝a1＋a3＋a5＋…＋a79，则＝q＝3，即M＝3N.∵M＋N＝S80＝32，∴M＝32，解得M＝24，即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24. 4．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________． 答案：2 解析：由题意，得 解得∴q＝＝＝2. 5．正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20＝________． 答案：40 解析：由S30＝13S10，知q≠1，由得由等比数列的前n项和的性质得S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，则(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(130－S20)，解得S20＝40或S20＝－30(舍去)． 知识点二　等比数列前n项和的实际应用 6．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为(　　) A．1.14a B．1.15a C．10a(1.15－1) D．11a(1.15－1) 答案：D 解析：因为去年的产值为a，所以从今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a，所以从今年起5年内，该厂的总产值为1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1)．故选D. 7．有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的数量为________盏． 答案：30 解析：依题意，从下往上每层所开灯的数量构成等比数列{an}，公比q＝2，n＝6，前6项和S6＝1890，于是S6＝＝＝1890，解得a1＝30，所以底层所开灯的数量为30盏． 8．某单位制作了一个热气球用于广告宣传．已知热气球在第一分钟内能上升30米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球距地面超过70米至少要经过________分钟． 答案：4 解析：由题意，知热气球在每分钟上升的高度构成等比数列{an}，则an表示热气球在第n分钟上升的高度(单位：米)，a1＝30，公比q＝.经过n分钟，热气球上升的总高度Sn＝＝＝90×.因为S3＝90×≈63.3＜70，S4＝90×≈72.2＞70，所以该气球至少要经过4分钟才能距地面超过70米． 9．某地投入资金进行生态环境建设，并以此为基础发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加. (1)设n年内(本年度为第一年)的总投入为an万元，旅游业的总收入为bn万元，求an，bn的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 解：(1)第一年投入为800万元，第二年投入为800×万元，…，第n年投入为800×万元， 所以n年内的总投入为an＝800＋800×＋…＋800×＝4000－4000×. 第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为400×万元，…，第n年旅游业收入为400×万元，所以n年内旅游业的总收入为bn＝400＋400×＋…＋400×＝1600×－1600. (2)设至少经过n年，旅游业的总收入才能超过总投入， 由此得bn－an＞0， 即1600×－1600－4000＋4000×＞0，化简，得2×＋5×－7＞0. 设＝x，代入上式得5x2－7x＋2＞0. 解得x＜或x＞1(舍去)． 即＜， 由于n∈N*，故n的最小值为5. 故至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入． 一、选择题 1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝3，S9＝39，则S6＝(　　) A．24或－16 B．18或－3 C．12或－9 D．36或－12 答案：C 解析：∵{an}为等比数列，∴S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，设S6＝x，则(x－3)2＝3(39－x)，解得x＝12或－9. 2．在等比数列{an}中，若a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则S6＝(　　) A．140 B．120 C．210 D．520 答案：A 解析：依题意，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列，即402＝20(a5＋a6)，∴a5＋a6＝80，∴S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝20＋40＋80＝140.故选A. 3．已知等比数列{an}的公比q＝2，前100项和为S100＝90，则其偶数项a2＋a4＋…＋a100＝(　　) A．15 B．30 C．45 D．60 答案：D 解析：设S＝a1＋a3＋…＋a99，则a2＋a4＋…＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)q＝2S，又S100＝a1＋a2＋…＋a100＝90，所以3S＝90，S＝30，所以a2＋a4＋…＋a100＝2S＝60.故选D. 4．(2024·云南昆明月考)第七届国际数学大会(ICNE7)的会徽图案是由若干三角形组成的．如图所示，作Rt△AOB，OA＝1，∠AOB＝30°，再依次作相似三角形△BOC，△COD，△DOE，…，直至最后一个三角形的斜边OM与OA第一次重叠为止．则所作的所有三角形的面积和为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：因为＝12，设第n(n∈N*，1≤n≤12)个三角形的斜边长为an，面积为bn，由题意可知，a1＝＝，an＋1＝＝an，bn＝×an×an＝a，则b1＝≠0，＝＝＝，可知数列{bn}是首项b1＝，公比为的等比数列，所以所作的所有三角形的面积和为＝.故选D. 5．[多选]在《算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”则下列说法正确的是(　　) A．此人第二天走了96里路 B．此人第三天走的路程占全程的 C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里 D．此人后三天共走了42里路 答案：ACD 解析：设第n天走的路程为an(单位：里)(1≤n≤6，n∈N*)，{an}的前n项和为Sn，则数列{an}是公比q＝的等比数列，由题意知S6＝378，即S6＝＝378，解得a1＝192，故an＝192×＝(1≤n≤6，n∈N*)．对于A，令n＝2，得a2＝＝96，即此人第二天走了96里路，故A正确；对于B，令n＝3，得a3＝＝48，故此人第三天走的路程占全程的＝，故B错误；对于C，由a1＝192，知S6－a1＝378－192＝186，故此人第一天走的路程比后五天走的路程多192－186＝6(里)，故C正确；对于D，易知S6－S3＝378－(192＋96＋48)＝42，即此人后三天共走了42里路，故D正确． 二、填空题 6．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________． 答案：6 解析：设每天植树的棵数构成数列{an}，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，可得≥100，即2n≥51.而25＝32，26＝64，n∈N*，所以需要的最少天数n＝6. 7．(2024·云南保山高二开学考试)等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项和为，偶数项和为，则这个等比数列的公比q＝________． 答案： 解析：设数列{an}共有2m＋1项，由题意得S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝，S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝，则S奇＝a1＋a2q＋…＋a2mq＝2＋q(a2＋a4＋…＋a2m)＝2＋q＝，解得q＝. 8．(2024·湖南衡阳高二期末)已知公比q≠1的等比数列{an}满足a3，a9，a6成等差数列，设{an}的前n项和为Sn，则＝__________． 答案： 解析：由a3，a9，a6成等差数列，得a3＋a6＝2a9，即a3＋a3q3＝2a3q6，因为a3≠0，所以1＋q3＝2q6，解得q3＝1(舍去)或q3＝－，易知S9，S18－S9，S27－S18成等比数列，所以S27＝S9(1＋q9＋q18)＝S9＝S9，所以＝. 三、解答题 9．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2024年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2024年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式； (2)国家计划10年后终止该矿区的出口，问2024年最多出口多少吨？(0.910≈0.35，精确到0.1) 解：(1)由题意知，每年的出口量构成等比数列， 且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9， ∴an＝a·0.9n－1. (2)10年的出口总量S10＝＝10a(1－0.910)． ∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80， 即a≤≈≈12.3. 故2024年最多出口12.3吨． 10．(1)若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，求这个数列的公比和项数； (2)一个项数为偶数的等比数列{an}，所有项之和为奇数项之和的4倍，前3项之积为27，求该数列的通项公式． 解：(1)由性质S奇＝a1＋qS偶，可知341＝1＋170q， 所以q＝2， S2n＋1＝＝341＋170＝511， 解得n＝4，即这个等比数列的项数为9. (2)设数列{an}的首项为a1，公比为q， 所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶， 由题意可知，S奇＋S偶＝4S奇， 即S偶＝3S奇， 因为数列{an}的项数为偶数， 所以有q＝＝3. 又因为a1·a1q·a1q2＝27， 所以a·q3＝27， 即a1＝1， 故所求通项公式为an＝3n－1，n∈N*. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$