圆锥曲线综合（二）学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

圆锥曲线的综合问题（二） 定值、定点问题 【学习目标】 1. 运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系（重点） 2. 运用平面解析几何方法解决简单的数学问题（尤其是椭圆与抛物线的简单应用）(难点） 3. 感悟平面解析几何中蕴含的数学思想. 【学习过程】 导： 今天我们研究定点定值问题，请完成下面的思考 思： 考点一 定值问题 例1.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上． (1)写出该抛物线的方程及其准线方程． (2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求证：y1＋y2及直线AB的斜率都是定值． 考点二 定点问题 例2.已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上. （1）求C的方程； （2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为. 证明：l过定点. 议： 例1、 例2中，第2问的条件如何使用？有几种不同的解法？ 展： 例1、例2 评： 例1、例2两种不同的解法 检：已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点P(2,1) (1)求椭圆C的方程； (2)若A，B是椭圆C上的两个动点，且∠APB的角平分线总垂直于x轴，求证：直线AB的斜率为定值． 圆锥曲线的综合问题（二） 定值、定点参考答案 例1解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)． 因为点P(1,2)在抛物线上， 所以22＝2p×1，解得p＝2. 故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1. (2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB. 则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)， 因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB. 由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得所以＝－， 所以y1＋2＝－(y2＋2)．所以y1＋y2＝－4. 由①－②得，y－y＝4(x1－x2)，所以kAB＝＝＝－1(x1≠x2)． 例2. 解：（1）. （2） 设直线与直线的斜率分别为，若与轴垂直，不符合题意； 设，代入椭圆方程得. 设，则，. 由，化简得. 由得，于是，所以过定点. 检：解：(1)由题意得 解得a2＝6，b2＝3，所以椭圆C的方程是＋＝1. (2)证明：设直线AP的斜率为k，由题意知，直线BP的斜率为－k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线AP的方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx＋1－2k， 联立方程组消去y得(2k2＋1)x2＋4k(1－2k)x＋8k2－8k－4＝0， 因为P，A为直线AP与椭圆的交点， 所以2x1＝，即x1＝， 把k换为－k得，x2＝，所以x2－x1＝，所以y2－y1＝(－kx2＋1＋2k)－(kx1＋1－2k)＝k[4－(x1＋x2)]＝， 所以直线AB的斜率kAB＝＝1，故直线AB的斜率为定值． ( 第 2 页 共 3 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$