4.3.1 第1课时 等比数列的概念与通项公式-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册作业与测评课件PPT（人教A版2019）

第四章　数列 4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念与通项公式 15分钟对点练 目录 30分钟综合练 15分钟对点练 知识点一　等比数列的定义 1．[多选]下列说法正确的是(　　) A．等比数列中的项不能为0 B．等比数列的公比的取值范围是R C．若一个常数列是等比数列，则公比为1 D．q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，…成等比数列 解析：A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错误；C显然正确；当q＝1时，数列为0，0，0，0，…，故不是等比数列，D错误． 答案 解析 15分钟对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 4 答案 解析 15分钟对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 5 知识点二　等比数列的通项公式 3．(2024·广东佛山高二月考)若一数列为a－6，1，a6，a12，a18，…，其中a≠0，则a2028是这个数列的(　　) A．不在此数列中 B．第337项 C．第338项 D．第340项 解析：记a－6，1，a6，a12，a18，…为数列{bn}，则它是首项为a－6，公比为a6的等比数列，于是bn＝a－6·(a6)n－1＝a6n－12，由6n－12＝2028，得n＝340，所以a2028是这个数列的第340项．故选D. 答案 解析 15分钟对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 6 4．[多选]下列通项公式可以作为等比数列通项公式的是(　　) A．an＝(－1)n·32n－1 B．an＝ C．an＝2－n D．an＝log2n 答案 解析 15分钟对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 7 解 15分钟对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 8 6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)． (1)求a1，a2，a3的值； (2)设bn＝an＋3，证明数列{bn}是等比数列，并求数列{an}的通项公式． 解：(1)数列{an}的前n项和为Sn， 且Sn＝2an－3n(n∈N*)， 当n＝1时，由a1＝S1＝2a1－3×1， 解得a1＝3， 当n＝2时，由S2＝2a2－3×2，得a2＝9， 当n＝3时，由S3＝2a3－3×3，得a3＝21. 解 15分钟对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解 15分钟对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 10 答案 解析 15分钟对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 11 解析 答案 4 15分钟对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 12 30分钟综合练 一、选择题 1．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 解析：由anan＋1＝16n，知a1a2＝16，a2a3＝162，后式除以前式得q2＝16，∴q＝±4.∵a1a2＝aq＝16＞0，∴q＞0，∴q＝4. 答案 解析 30分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 2．在数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)在直线y＝2x上，则a4的值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．16 解析：∵点(an，an＋1)在直线y＝2x上，∴an＋1＝2an.∵a1＝1≠0，∴an≠0.∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a4＝1×23＝8. 答案 解析 30分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 答案 30分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 解 析 30分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 答案 解析 30分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 答案 解析 30分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 二、填空题 6．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________． 答案 解析 30分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 7．各项均为正数的等比数列{an}中，a2－a1＝1.当a3取最小值时，等比数列的公比q＝________，此时数列{an}的通项公式为an＝________． 答案 解析 2 2n－1 30分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 答案 解析 30分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 三、解答题 9．已知数列{an}是由正数组成的等比数列，且a3·a4＝288，a6＋a7＝6a5，求数列{an}的通项公式． 解：设等比数列{an}的公比为q(q>0)， 由a6＋a7＝6a5，得a1q5＋a1q6＝6a1q4，即q2＋q－6＝0， 解得q＝2或q＝－3(舍去)． 由a3·a4＝288，得a1q2·a1q3＝288， 解得a1＝3， 所以an＝3·2n－1. 解 30分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 10．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2，3，…)． (1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列； (2)求an. 解 30分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 　　　　　　　　　　　　　 R 2．[多选]下列数列为等比数列的是(　　) A．b，b，b，b，…(b为常数，b≠0) B．22，42，62，82，… C．1，－eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，－eq \f(1,8)，… D．eq \f(1,a)，eq \f(1,a2)，eq \f(1,a3)，eq \f(1,a4)，… 解析：A中的数列为常数列，公比为1，所以该数列是等比数列；B中，eq \f(42,22)≠eq \f(62,42)，所以该数列不是等比数列；C中的数列是首项为1，公比为－eq \f(1,2)的等比数列；D中的数列是首项为eq \f(1,a)，公比为eq \f(1,a)的等比数列．故选ACD. 解析：对于A，an＝(－1)n·32n－1，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(（－1）n＋1·32n＋1,（－1）n·32n－1)＝－9，是常数；对于B，an＝eq \r(n)，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(\r(n＋1),\r(n))，不是常数；对于C，an＝2－n，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(2－n－1,2－n)＝eq \f(1,2)，是常数；对于D，an＝log2n，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(log2（n＋1）,log2n)，不是常数．故选AC. 知识点三　等比数列的判定与证明 5．已知数列{an}的首项a1＝eq \f(3,5)，an＋1＝eq \f(3an,2an＋1)，n∈N*，求证eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))是等比数列，并求出{an}的通项公式． 解：由题意知an>0，eq \f(1,an＋1)＝eq \f(2an＋1,3an)＝eq \f(1,3an)＋eq \f(2,3)， eq \f(1,an＋1)－1＝eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))，eq \f(1,a1)－1＝eq \f(2,3)， 所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))是首项为eq \f(2,3)，公比为eq \f(1,3)的等比数列， 所以eq \f(1,an)－1＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(n－1)＝eq \f(2,3n)，an＝eq \f(3n,3n＋2). (2)因为Sn＝2an－3n， 所以Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)， 两式相减，得an＋1＝2an＋3， 又bn＝an＋3，所以bn＋1＝an＋1＋3， 所以eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(an＋1＋3,an＋3)＝eq \f(2an＋3＋3,an＋3)＝2， 得bn＋1＝2bn(n∈N*)，且b1＝6， 所以数列{bn}是以6为首项，2为公比的等比数列， 所以bn＝6×2n－1， 所以an＝bn－3＝6×2n－1－3＝3(2n－1)． 知识点四　等比中项及应用 7．若1，x，y，z，16成等比数列，则y的值为(　　) A．4 B．－4 C．±4 D．2 解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝1×y，,y2＝1×16，))解得y＝4.故选A. 8．已知一等比数列的前3项依次为x，2x＋2，3x＋3，那么－13eq \f(1,2)是该数列的第________项． 解析：由x，2x＋2，3x＋3成等比数列，可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或－4.又当x＝－1时，2x＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾；当x＝－4时，2x＋2＝－6，3x＋3＝－9，eq \f(－6,－4)＝eq \f(－9,－6)＝eq \f(3,2)，故该数列是首项为－4，公比为eq \f(3,2)的等比数列，其通项公式为an＝－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up12(n－1)，由－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up12(n－1)＝－13eq \f(1,2)，得n＝4. 3．(2024·重庆高二月考)若数列{an}的通项公式为an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) eq \s\up12(n)，则(　　) A．数列{an＋an＋1}是首项为eq \f(1,4)，公比为eq \f(1,2)的等比数列 B．数列{an＋an＋1}是首项为－eq \f(1,4)，公比为－eq \f(1,2)的等比数列 C．数列{an＋an＋1}是首项为－eq \f(1,4)，公比为eq \f(1,2)的等比数列 D．数列{an＋an＋1}是首项为－eq \f(1,2)，公比为－eq \f(1,2)的等比数列 解析：因为an＋an＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) eq \s\up12(n)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) eq \s\up12(n＋1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) eq \s\up12(n) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) eq \s\up12(n＋1)，eq \f(an＋1＋an＋2,an＋an＋1)＝eq \f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(n＋2),－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(n＋1))＝－eq \f(1,2)，a1＋a2＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＝－eq \f(1,4)，所以{an＋an＋1}是首项为－eq \f(1,4)，公比为－eq \f(1,2)的等比数列．故选B. 4．一个数分别加上20，50，100后得到的三个数成等比数列，则其公比为(　　) A．eq \f(5,3) B．eq \f(4,3) C．eq \f(3,2) D．eq \f(1,2) 解析：设这个数为x，则(50＋x)2＝(20＋x)·(100＋x)，解得x＝25.故这三个数分别为45，75，125，公比q＝eq \f(75,45)＝eq \f(5,3). 5．[多选](2024·湖南长沙期末)已知等比数列{an}的公比为q，a3＝4，且a2，a3＋1，a4成等差数列，则q的值可能为(　　) A．eq \f(1,2) B．1 C．2 D．3 解析：因为a2，a3＋1，a4成等差数列，所以a2＋a4＝2(a3＋1)，又{an}是公比为q的等比数列，a3＝4，所以由a2＋a4＝2(a3＋1)，得a3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(q＋\f(1,q)))＝2(a3＋1)，即q＋eq \f(1,q)＝eq \f(5,2)，解得q＝2或q＝eq \f(1,2).故选AC. eq \f(\r(5)－1,2) 解析：设该直角三角形的三边分别为a，aq，aq2(q＞1)，则(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝eq \f(\r(5)＋1,2).记较小锐角为θ，则sinθ＝eq \f(1,q2)＝eq \f(\r(5)－1,2). 解析：由a2－a1＝1，得a1(q－1)＝1，所以a1＝eq \f(1,q－1).a3＝a1q2＝eq \f(q2,q－1)＝eq \f(1,－\f(1,q2)＋\f(1,q))(q＞0)，而－eq \f(1,q2)＋eq \f(1,q)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,q)－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(1,4)　①，当q＝2时，①式有最大值eq \f(1,4)，所以当q＝2时，a3有最小值4.此时a1＝eq \f(1,q－1)＝eq \f(1,2－1)＝1，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1. 3±2eq \r(2)或－5±2eq \r(6) 8．已知一个等比数列的前4项之积为eq \f(1,16)，第2项与第3项的和为eq \r(2)，则这个等比数列的公比为__________________． 解析：设这四个数为a，aq，aq2，aq3(其中aq≠0)，由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·aq·aq2·aq3＝\f(1,16)，,aq＋aq2＝\r(2)，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2q3＝±\f(1,4)，,a2（q＋q2）2＝2，))所以eq \f(a2q3,a2（q＋q2）2)＝±eq \f(1,8)，整理得q2－6q＋1＝0或q2＋10q＋1＝0，解得q＝3±2eq \r(2)或q＝－5±2eq \r(6). 解：(1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15. 下面证明{an－n}是等比数列： 证明：由an＝3an－1－2n＋3可得 an＋1＝3an－2(n＋1)＋3，an＋1－(n＋1)＝3an－2(n＋1)＋3－(n＋1)＝3(an－n)． 因为a1－1＝－2≠0，所以an－n≠0， 所以eq \f(an＋1－（n＋1）,an－n)＝eq \f(3an－3n,an－n)＝3(n＝1，2，3，…)． 又a1－1＝－2，所以数列{an－n}是以－2为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)知an－n＝－2×3n－1，所以an＝n－2×3n－1. $$