1.2.1 几个基本函数的导数-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案教用word（湘教版2019）

数学　选择性必修·第二册（湘教） 1．2．1　几个基本函数的导数 (教师独具内容) 课程标准：1．能根据导数定义求函数f(x)＝c，f(x)＝x，f(x)＝x2，f(x)＝x3，f(x)＝，f(x)＝的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． 教学重点：利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． 教学难点：基本初等函数的导数公式的运用． 核心素养：1．通过学习导数公式的推导过程提升逻辑推理素养．2．通过应用导数公式求简单函数的导数提升数学运算素养． 知识点一　常见幂函数的导数 函数 导函数 f(x)＝c，c为常数 f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝x3 f′(x)＝3x2 f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝(x＞0) f′(x)＝ 知识点二　基本初等函数的导数公式 函数 导函数 f(x)＝xα(α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0，a≠1) f′(x)＝axln__a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax(a＞0，a≠1) f′(x)＝ f(x)＝sinx f′(x)＝cosx f(x)＝cosx f′(x)＝－sinx f(x)＝tanx f′(x)＝ 基本初等函数的四类求导公式 (1)第一类为幂函数，y′＝(xα)′＝αxα－1．对于解析式为根式形式的函数，首先应把根式化为分数指数幂的形式，再求导数． (2)第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数．注意余弦函数的导数，不要漏掉前面的负号． (3)第三类为指数函数，y′＝(ax)′＝axln a，当a＝e时，ex的导数是(ax)′的一个特例． (4)第四类为对数函数，y′＝(logax)′＝，也可记为(logax)′＝·logae，当a＝e时，ln x的导数也是(logax)′的一个特例． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y＝，则y′＝×2＝1．(　　) (2)若f′(x)＝sinx，则f(x)＝cosx．(　　) (3)若f(x)＝4x，则f′(x)＝x·4x－1．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)′＝________． (2)(2x)′＝________． (3)曲线y＝cosx在点M(0，1)处的切线方程是________． (4)已知函数f(x)＝logax，若f′(1)＝1，则a＝________． 答案　(1)－　(2)2xln 2　(3)y－1＝0　(4)e 题型一　利用求导公式直接求导 　求下列函数的导数． (1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝log5x． [解]　(1)y′＝(x12)′＝12x11． (2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－． (3)y′＝()′＝(x)′＝x－＝． (4)y′＝(log5x)′＝． 感悟提升 求简单函数的导函数的方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂． (2)用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． [跟踪训练1]　求下列函数的导数． (1)y＝3x；(2)y＝x；(3)y＝2－x； (4)y＝cos2－sin2． 解　(1)y′＝(3x)′＝3xln 3． (2)y′＝(x)′＝(x)′＝x－1＝x． (3)y′＝(2－x)′＝′＝ln ＝－ln 2． (4)∵y＝cos2－sin2＝cosx， ∴y′＝(cosx)′＝－sinx． 题型二　利用导数公式求曲线的切线方程 　(1)求过曲线y＝sinx上点P且与在这点的切线垂直的直线方程． [解]　∵y＝sinx，∴y′＝cosx，设f(x)＝y， 则曲线在点P处的切线斜率是f′＝cos＝． ∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－， 故所求的直线方程为y－＝－， 即2x＋y－－＝0． (2)已知点P(－1，1)，Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程． [解]　∵y′＝(x2)′＝2x， 设切点为M(x0，y0)，f(x)＝y， 则f′(x0)＝2x0， 又直线PQ的斜率为k＝＝1， 而切线平行于直线PQ， ∴k＝2x0＝1，即x0＝， ∴切点为M． ∴所求的切线方程为y－＝x－， 即4x－4y－1＝0． 感悟提升 根据导数的几何意义，可直接得到曲线上一点处的切线的斜率．需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征．当问题中涉及相切但未出现切点坐标时要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标． [跟踪训练2]　(1)曲线y＝在点P处的切线的斜率为－4，则点P的坐标为(　　) A． B．或 C． D． 答案　B 解析　y′＝′＝－＝－4，解得x＝±，所以点P的坐标为或．故B正确． (2)P是抛物线y＝x2上的点，若在点P处的切线方程与直线y＝－x＋1垂直，则在点P处的切线方程是________． 答案　2x－y－1＝0 解析　∵在点P处的切线方程与直线y＝－x＋1垂直，∴在点P处的切线的斜率为2．∵y＝x2，∴y′＝2x，令y′＝2x＝2，则x＝1，将x＝1代入y＝x2，得y＝1，则点P的坐标为(1，1)，则在点P处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0． 题型三　导数的应用 　(1)求曲线y＝ln x在点A(1，0)处的切线方程，并利用切线方程求ln 1．0002的近似值． [解]　y′＝，当x＝1时，切线的斜率k＝y′＝1．所以切线方程为y＝x－1． 把x＝1．0002代入切线方程得y＝0．0002，所以ln 1．0002≈0．0002． (2)已知直线l：2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试在弧上求一点P，使△ABP的面积最大． [解]　由于直线l：2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点， ∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大， 设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的切线斜率为k＝y′＝2x0， ∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0＝1． 故可得P(1，1)， ∴切线方程为2x－y－1＝0． 故点P(1，1)即为所求弧上的点，使△ABP的面积最大． 感悟提升 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以求近似值，解决一些与距离、面积相关的最值问题．此外，导数不仅在数学中有着广泛的应用，在物理、化学等自然与社会科学中同样拥有广泛的应用．要学会通过导数的概念的学习，更深刻全面地认识所学的所有内容． [跟踪训练3]　(1)已知A，B，C三点在曲线f(x)＝上，其横坐标依次为1，m，4(1<m<4)，当△ABC的面积最大时，m的值为________． 答案　 解析　如图，在△ABC中，边AC是确定的，要使△ABC的面积最大，则点B到直线AC的距离应最大，可以将直线AC作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当在点B处的切线平行于直线AC时，△ABC的面积最大．因为f′(m)＝，又A点坐标为(1，1)，C点坐标为(4，2)，所以kAC＝＝，所以＝，所以m＝． (2)求曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线方程，并利用切线方程求e0．0002的近似值． 解　y′＝ex，当x＝0时，切线的斜率k＝y′＝1．所以切线方程为y＝x＋1．把x＝0．0002代入切线方程得y＝1．0002，所以e0．0002≈1．0002． 1．给出下列结论： ①(cosx)′＝sinx；②′＝cos；③若y＝，则y′＝－；④′＝－． 其中正确结论的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　因为(cosx)′＝－sinx，所以①错误；因为′＝′＝0，所以②错误；因为′＝(x－2)′＝－2x－3，所以③错误；因为′＝(x－)′＝－·x－＝－，所以④正确． 2．已知函数f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值为(　　) A．4 B．－4 C．5 D．－5 答案　A 解析　∵f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，∴a＝4． 3．(多选)若函数f(x)的导函数为偶函数，则f(x)的解析式可能是(　　) A．f(x)＝x3 B．f(x)＝cosx C．f(x)＝sinx D．f(x)＝ex 答案　AC 解析　对于A，f(x)＝x3，则f′(x)＝3x2，f′(x)为偶函数；对于B，f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sinx，f′(x)为奇函数；对于C，f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx，f′(x)为偶函数；对于D，f(x)＝ex，则f′(x)＝ex，f′(x)为非奇非偶函数．故选AC． 4．曲线y＝在x＝1处的切线的倾斜角的正切值为________． 答案　－ 解析　y′＝(x－)′＝－×x－，∴当x＝1时，y′＝－＝k，∴切线的倾斜角的正切值为－． 5．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值． 解　∵y＝x－，∴y′＝－x－，∴曲线在点(a，a－)处的切线斜率k＝－a－， ∴切线方程为y－a－＝－a－(x－a)． 令x＝0得y＝a－；令y＝0得x＝3a． ∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S＝·3a·a－＝a＝18，∴a＝64． 一、选择题 1．若函数f(x)＝x2025，则f′＝(　　) A．0 B．1 C．2024 D．2025 答案　B 解析　函数f(x)＝x2025，∴f′(x)＝2025x2024，∴f′＝2025×＝2025×＝1．故选B． 2．给出下列结论： ①若y＝tanx，则y′＝；②若y＝，则y′＝； ③若y＝，则y′＝－2x－3；④若f(x)＝x，则f′(1)＝1． 其中正确结论的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　①y＝tanx，则y′＝；②y＝＝x，则y′＝x－≠；③y＝＝x－2，则y′＝－2x－3；④由f(x)＝x，知f′(x)＝1，∴f′(1)＝1．∴①③④正确．故选C． 3．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A． B．2e2 C．e2 D． 答案　D 解析　y′＝ex，设f(x)＝y＝ex，f′(2)＝e2．∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2．令x＝0得y＝－e2；令y＝0得x＝1．∴S＝×1×e2＝．故选D． 4．设曲线y＝xn＋1(n∈N＋)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1x2·…·xn的值为(　　) A． B． C． D．1 答案　B 解析　对y＝xn＋1(n∈N＋)求导得y′＝(n＋1)xn．令x＝1，得曲线在点(1，1)处的切线的斜率k＝n＋1，∴曲线在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，得xn＝，∴x1x2·…·xn＝×××…××＝．故选B． 5．(多选)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中不具有T性质的是(　　) A．y＝sinx B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x2 答案　BC 解析　设两切点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．A中，y′＝cosx，cosx1cosx2＝－1，当x1＝0，x2＝π时满足，故A中的函数具有T性质；B，C中函数的导数均为正值，故两点处的导数之积不可能为－1；D中，y′＝2x，则2x1·2x2＝4x1x2＝－1，当x1＝，x2＝－时满足，故D中的函数具有T性质．故选BC． 二、填空题 6．曲线y＝在x＝1处的切线的倾斜角为________． 答案　 解析　y′＝′＝－，∴当x＝1时，导数为－1，∴切线斜率为－1，∴倾斜角为． 7．已知曲线y＝x3在点(2，8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝________． 答案　28 解析　∵点(2，8)在切线上，∴2k＋b＝8　①，又y＝x3，∴y′＝(x3)′＝3x2，∴切线斜率k＝3×22＝12　②，由①②可得k＝12，b＝－16，∴k－b＝28． 8．已知f(x)＝2x，则f′＝________． 答案　eln 2 解析　∵f(x)＝2x，∴f′(x)＝2xln 2，∴f′＝f′(log2e)＝2log2eln 2＝eln 2． 三、解答题 9．已知点P(e，a)在曲线f(x)＝ln x上，直线l是以点P为切点的切线，求过点P且与直线l垂直的直线的方程．(e是自然对数的底数) 解　∵f′(x)＝， ∴直线l的斜率k＝f′(e)＝． ∴所求直线的斜率为－e． ∵点P(e，a)在曲线f(x)＝ln x上， ∴a＝ln e＝1． 故所求直线的方程为y－1＝－e(x－e)， 即ex＋y－e2－1＝0． 10．已知曲线f(x)＝x3，过点P作曲线C的切线，求该切线的方程． 解　设切点为Q(x0，x)， 切线的斜率为k＝f′(x0)＝3x， 切线方程为y－x＝3x(x－x0)， 即y＝3xx－2x， ∵切线过点P， ∴2x－2x＝0，解得x0＝0或x0＝1， 故切线方程为y＝0或y＝3x－2． 1．已知抛物线y＝x2，直线x＋y＋2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解　根据题意，可知与直线x＋y＋2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x＋y＋2＝0的距离最短． 设切点坐标为(x0，x)，设f(x)＝y＝x2， 则f′(x)＝2x，则f′(x0)＝2x0＝－1， 所以x0＝－，所以切点坐标为， 切点到直线x＋y＋2＝0的距离 d＝＝． 所以抛物线y＝x2上的点到直线x＋y＋2＝0的最短距离为． 2．已知点A，B(2，1)，函数f(x)＝log2x． (1)过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程； (2)在曲线y＝f(x)上是否存在点P，使得在点P处的切线与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 解　(1)设切点为(m，log2m)(m＞0)． 因为f(x)＝log2x，所以f′(x)＝． 由题意可得＝，解得m＝e， 所以切线方程为y－log2e＝(x－e)， 即y＝x． (2)过点A，B(2，1)的直线的斜率为kAB＝． 假设存在点P，使得在点P处的切线与直线AB平行，设P(n，log2n)，≤n≤2， 则有＝，得n＝． 又＝ln ＜ln 2＜ln e＝1， 所以＜＜， 所以在曲线y＝f(x)上存在点P，使得在点P处的切线与直线AB平行，且点P的横坐标为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$