第2章 导数及其应用 章末总结-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案教用word（北师大版2019）

数学 选择性必修 第二册(北师) 知识系统整合 堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 规律方法收藏 1．导数的概念，要注意结合实例理解概念的实质，利用导数的几何意义求曲线的切线方程，要注意当切线平行于y轴时，导数不存在，此时的切线方程为x＝x0. 2．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键． 3．对复合函数的求导，关键在于选取合适的中间变量，弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆，最后要把中间变量换成自变量的函数．复合函数的导数(高考要求f(ax＋b)的形式)，在学习的过程中不要无限制地拔高． 4．利用导数判断函数的单调性应注意的几点 (1)确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域上，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间． (2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义域上的不连续点或不可导点． (3)f′(x)>0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件，因为当f(x)在(a，b)上为增函数时，f′(x)≥0，如f(x)＝x3.由于f′(x)≥0时，f′(x)可能恒为0，则f(x)为常函数，所以由f′(x)≥0不能得到f(x)为增函数．因此，课本上关于单调性的结论在解题时要注意，它并非充要条件． 5．利用导数研究函数的极值应注意的几点 (1)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充分必要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧，f′(x)的符号不同，f′(x0)＝0是x0为极值点的必要不充分条件． (2)极值点也可以是不可导的，如函数f(x)＝|x|在极小值点x0＝0处不可导． (3)求一个可导函数的极值时，常常把使f′(x0)＝0的点x0附近的函数值的变化情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然． 6．极值与最值的区别 (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性概念． (2)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间上的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值． (3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有极值． 7．导数的实际应用 利用导数研究实际问题的最值的关键在于建立数学模型，因此要认真审题，分析各个量的关系，列出函数式y＝f(x)，然后利用导数求出函数f(x)的最值，求函数f(x)的最值时，若f(x)在区间(a，b)上只有一个极值点，要根据实际意义判断是最大值还是最小值，不必再与端点的函数值比较． 学科思想培优 一、导数几何意义的应用 利用导数求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程时，应注意： (1)判断点P(x0，y0)是否在曲线y＝f(x)上； (2)(ⅰ)若点P(x0，y0)为切点，则曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率为f′(x0)，切线的方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)； (ⅱ)若点P(x0，y0)不是切点，则设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，① 又y1＝f(x1)，② 由①②求出x1，y1的值． 即求出了过点P(x0，y0)的切线方程． [典例1]　设曲线C：y＝x3－3x和直线x＝a(a>0)的交点为P，曲线C在点P处的切线与x轴交于点Q(－a，0)，求a的值． [解]　由解得 所以P(a，a3－3a)． y′＝3x2－3， 所以曲线C在点P处的切线方程为y－(a3－3a)＝(3a2－3)(x－a)． 令y＝0，得x＝，所以切线与x轴的交点为， 则有＝－a，解得a＝±或a＝0. 由已知，知a>0，所以a的值为. 二、求函数的单调区间 准确求出导函数并在函数的定义域上准确的解不等式f′(x)>0或f′(x)<0是求函数单调区间的基础，如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”“或”连接，而只能用逗号“，”或者“和”字隔开． [典例2]　已知实数a≠0，函数f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)有极大值32. (1)求实数a的值； (2)求函数f(x)的单调区间． [解]　(1)f(x)＝ax3－4ax2＋4ax， 所以f′(x)＝3ax2－8ax＋4a＝a(3x－2)·(x－2)． 令f′(x)＝0，得x＝或x＝2. 因为f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)有极大值32，而当x＝2时，f(2)＝0， 所以当x＝时，f(x)有极大值32. 即a＝32，解得a＝27，经检验知符合题意，故a＝27. (2)由(1)得f′(x)＝27(3x－2)(x－2)， 由f′(x)>0，得x>2或x<， 所以函数f(x)的单调递增区间为和(2，＋∞)； 由f′(x)<0，得<x<2， 所以函数f(x)的单调递减区间为. 三、求函数的极值与最值 设f(x)是在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)上可导的函数，则求f(x)在闭区间[a，b]上最值的步骤如下： (1)求f′(x)＝0在区间(a，b)上的根，即导数为0的点．导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y′的符号，若左正右负，则该点为极大值点．若左负右正，则该点为极小值点．若符号相同，则不是极值点．求出这些导数为0的点的函数值； (2)求f(x)在闭区间[a，b]两端点处的函数值，即f(a)与f(b)； (3)将导数为0的函数值与两端点处的函数值进行比较，其中最大的一个即为最大值，最小的一个即为最小值． [典例3]　已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在x＝－1时取极小值，在x＝时取极大值． (1)求曲线y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程； (2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值． [解]　(1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b. 因为x＝－1，x＝分别是函数f(x)的极小值点、极大值点， 所以－1，为方程－3x2＋2ax＋b＝0的两个根， 所以a＝－1＋，－＝(－1)×. 于是a＝－，b＝2，经检验知符合题意， 则f(x)＝－x3－x2＋2x，f′(x)＝－3x2－x＋2，当x＝－2时，f(－2)＝2，f′(－2)＝－8， 故所求切线方程为y－2＝－8(x＋2)， 即为8x＋y＋14＝0. (2)x在变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表： x －2 (－2，－1) －1 1 f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 2  －   则f(x)在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－. 四、函数零点(方程根)问题 函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解，在高考中常作为压轴题出现． [典例4]　已知函数f(x)＝x2＋ex－x－m(m∈R)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若方程f(x)＝x2在区间[－1，2]上恰有两个不等的实根，求实数m的取值范围． [解]　(1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝2x＋ex－1， 则f′(0)＝0，(2x＋ex－1)′＝2＋ex. 由于2＋ex＞0恒成立， 所以f′(x)＝2x＋ex－1在R上单调递增． 又f′(0)＝0， 所以当x＞0时，f′(x)＞f′(0)＝0，则函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，当x＜0时，f′(x)＜f′(0)＝0，则函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)． (2)令g(x)＝f(x)－x2＝ex－x－m，则g′(x)＝ex－1. 令g′(x)＝ex－1＞0，解得x＞0， 则g(x)的单调递增区间为(0，2)； 令g′(x)＝ex－1＜0，解得x＜0， 则g(x)的单调递减区间为(－1，0)， 由此可得g(x)的大致图象如图所示，所以要使方程f(x)＝x2在区间[－1，2]上恰有两个不等的实根等价于函数g(x)的图象与x轴在区间[－1，2]上有两个不同的交点，从图象可得 解得1＜m≤1＋. 五、恒成立问题 恒成立问题是常见且非常重要的题型之一，解决这类问题常用的方法是：转化成求函数最值问题．若是一元二次不等式恒成立问题，也可利用对应二次函数的开口方向和对应一元二次方程的判别式求解． [典例5]　已知f(x)＝x3－x2－2x＋5，当x∈[－1，2]时，f(x)<m恒成立，求实数m的取值范围． [解]　因为f(x)＝x3－x2－2x＋5， 所以f′(x)＝3x2－x－2. 令f′(x)＝0，即3x2－x－2＝0， 解得x＝1或x＝－. 当x∈时，f′(x)>0，f(x)为增函数； 当x∈时，f′(x)<0，f(x)为减函数； 当x∈(1，2)时，f′(x)>0，f(x)为增函数． 所以当x＝－时，f(x)取得极大值f＝5＋； 当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝. 又f(－1)＝，f(2)＝7， 因此，f(x)在[－1，2]上的最大值为f(2)＝7. 要使f(x)<m恒成立，需f(x)max<m，即m>7. 所以实数m的取值范围是(7，＋∞)． 六、利用导数证明不等式 对于某些不等式的证明，常常通过构造函数，利用导数的性质讨论函数的单调性进行证明．这种构造转换的过程与方法，体现了深刻的化归思想． “构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合． [典例6]　(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当a>0时，f(x)>2ln a＋. [解]　(1)因为f(x)＝a(ex＋a)－x，定义域为R，所以f′(x)＝aex－1， 当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，故f′(x)＝aex－1<0恒成立， 所以f(x)在R上单调递减； 当a>0时，令f′(x)＝aex－1＝0， 解得x＝－ln a， 当x<－ln a时，f′(x)<0， 则f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减， 当x>－ln a时，f′(x)>0， 则f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增． 综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减； 当a>0时，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增． (2)证法一：由(1)得， f(x)min＝f(－ln a)＝a(e－ln a＋a)＋ln a＝1＋a2＋ln a， 要证f(x)>2ln a＋，即证1＋a2＋ln a>2ln a＋，即证a2－－ln a>0恒成立， 令g(a)＝a2－－ln a(a>0)， 则g′(a)＝2a－＝， 令g′(a)<0，则0<a<， 令g′(a)>0，则a>， 所以g(a)在上单调递减，在上单调递增， 所以g(a)min＝g＝－－ln ＝ln >0，则g(a)>0恒成立，所以当a>0时，f(x)>2ln a＋恒成立，证毕． 证法二：令h(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1， 由于y＝ex在R上单调递增，所以h′(x)＝ex－1在R上单调递增， 又h′(0)＝e0－1＝0， 所以当x<0时，h′(x)<0， 当x>0时，h′(x)>0， 所以h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 故h(x)≥h(0)＝0，则ex≥x＋1，当且仅当x＝0时，等号成立， 因为f(x)＝a(ex＋a)－x＝aex＋a2－x＝ex＋ln a＋a2－x≥x＋ln a＋1＋a2－x， 当且仅当x＋ln a＝0，即x＝－ln a时，等号成立，所以要证f(x)>2ln a＋，即证x＋ln a＋1＋a2－x>2ln a＋，即证a2－－ln a>0恒成立， 以下同证法一． 七、利用导数解决实际问题 利用导数求函数的极大(小)值，求函数在区间[a，b]上的最大(小)值或利用求导法解决一些实际问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法能使复杂的问题简单化，因而已逐渐成为高考的又一新热点． 利用导数求实际问题的最大(小)值的一般步骤： (1)设出恰当的未知量，并确定未知量的取值范围(即函数的定义域)； (2)依题意将所求最值的量表示为未知量的函数； (3)求出函数的导数，令导数等于0，得到导数为0的点； (4)通过单调性确定出函数的最值点以及最值． 利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题： (1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的值应舍去； (2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间上得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值． [典例7]　两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧 上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. (1)将y表示成x的函数； (2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由． [解]　(1)如图，由题意知AC⊥BC，|BC|2＝400－x2，y＝＋(0<x<20)，其中当x＝10时，y＝0.065， 所以k＝9，则y＝＋(0<x<20)． (2)y′＝－＋ ＝， 令y′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)． 当0<x<4时，y′<0； 当4<x<20时，y′>0. 所以函数在(0，4)上单调递减，在(4，20)上单调递增． 所以函数在x＝4处取得最小值，为. 所以在弧上存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小，该点到城A的距离为4 km. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$