1.3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案教用word（北师大版2019）

数学 选择性必修 第二册(北师) 3.1　等比数列的概念及其通项公式 第1课时　等比数列的概念及其通项公式 (教师独具内容) 课程标准：通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 教学重点：1.等比数列的概念.2.等比数列的通项公式． 教学难点：等比数列通项公式的推导过程． 核心素养：1.通过学习等比数列的概念及判断方法，提升数学抽象和逻辑推理素养.2.通过运用等比数列的通项公式求项或公比、项数，提升数学运算素养． 知识点一　等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 知识点二　等比数列的通项公式 若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)． 1．有关等比数列的定义应注意的问题 (1)注意定义中“从第2项起”这一条件的两层含义． 其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的比”相吻合；其二，等比数列的定义包括了首项这一基本量，且必须从第2项起使数列中各项均与其前面一项作商． (2)注意定义中“每一项与它的前一项的比”这一运算要求，它的含义也有两个．其一，强调作商的顺序，即后面的项比前面的项；第二，强调这两项必须相邻． (3)注意定义中的“同一个常数”这一要求，否则这个数列不能称为等比数列． 2．由等比数列的任意两项可求公比 若已知等比数列{an}中的任意两项an，am，由an＝amqn－m可以求得公比 q＝ 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，－1，1，－1是等比数列．(　　) (2)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列．(　　) (3)若an＝则数列{an}是等比数列．(　　) (4)等比数列至少有3项．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)等比数列1，5，25，125，…的通项公式为________． (2)等比数列－，－，－，…的公比为________． (3)在等比数列{an}中，已知an＝4n－3，则a1＝________，q＝________． (4)已知等比数列{an}中，a1＝1，a3＝9，则a2＝________． 答案　(1)an＝5n－1　(2)　(3)　4　(4)±3 题型一　等比数列的概念 例1　观察下面几个数列： ①1，1，2，4，8，16，32，64； ②数列{an}中，已知＝2，＝2； ③常数列a，a，…，a，…； ④在数列{an}中，＝q，其中n∈N＋. 其中是等比数列的是________(只填序号)． [解析]　①不符合等比数列的定义，故不是等比数列；②不一定是等比数列，当数列{an}只有3项时，是等比数列，当数列{an}的项数超过3项时，不一定符合等比数列的定义；③不一定是等比数列，当常数列的各项都为0时，不是等比数列，当常数列的各项不为0时，是等比数列；④是等比数列． [答案]　④ 判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义，即＝q(与n无关的常数，且不等于0)． [跟踪训练1]　设数列{an}为等比数列，q为公比，有下面四个数列： ①{a}；②{pan}(p为非零常数)； ③{an·an＋1}；④{an＋an＋1}． 其中是等比数列的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案　C 解析　对于①，因为＝＝q3(常数)，所以{a}是等比数列；对于②，因为＝＝q(常数)，所以{pan}是等比数列；对于③，因为＝＝q2(常数)，所以{an·an＋1}是等比数列；对于④，当q＝－1时，an＋an＋1＝0，故此时{an＋an＋1}不是等比数列，当q≠－1时，因为＝＝＝q(常数)，所以{an＋an＋1}是等比数列．故是等比数列的有3个．故选C. 题型二　等比数列的通项公式及应用 例2　在等比数列{an}中， (1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. [解]　(1)解法一：因为 所以 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2. 解法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4. 所以an＝a4qn－4＝2·()n－4＝2. (2)解法一：由题意， 知 由得q＝，从而a1＝32. 又an＝1，所以32×＝1， 即26－n＝20，所以n＝6. 解法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)， 所以q＝. 由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32. 由an＝a1qn－1＝1，知n＝6. 等比数列通项公式的求法 a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．关于a1和q的求法通常有以下两种方法： (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． [跟踪训练2]　(1)已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an. 解　由已知，得 解得 ∵an>0，∴ ∴an＝128×＝. (2)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n. 解　由an＝a1qn－1，得＝×， 即＝，解得n＝4. 题型三　等比数列的判定与证明 例3　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.证明：数列{an＋1}是等比数列． [证明]　因为an＋1＝2an＋1， 所以an＋1＋1＝2(an＋1)． 由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0， 所以＝2(n∈N＋)． 所以数列{an＋1}是等比数列． [变式探究]　本例中若将“an＋1＝2an＋1”改为“an＋1＝2Sn＋1(其中Sn为数列{an}的前n项和)”，其他条件不变，试判断数列{an}是否为等比数列？ 解　∵an＋1＝2Sn＋1， ∴an＝2Sn－1＋1(n≥2)， 两式相减得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)， 又a2＝2S1＋1＝3，a1＝1，∴a2＝3a1， ∴数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列． (1)等比数列的判定与证明 利用定义：＝q(与n无关的常数)． (2)如果证明数列不是等比数列，可以通过选择三个连续项不成等比数列来证明． (3)对形如an＋1＝can＋b(n∈N＋，b，c≠0，且c≠1，b，c为常数)的递推公式，通常可以变形为an＋1＋＝c，从而构造一个等比数列，通过求该等比数列的通项公式可得an.证明一个数列为等比数列，要紧扣定义，这里采用了转化与化归的策略． (4)涉及Sn与an的式子，则利用an＝Sn－Sn－1，n≥2，消去Sn，判断an，an－1或an＋1，an的关系证明． [跟踪训练3]　已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝an＋b(n∈N＋，b∈R，b≠0)．求证：{an}是等比数列． 证明　由a1＝S1＝a1＋b，得a1＝－2b. 因为Sn＝an＋b， 所以当n≥2时，Sn－1＝an－1＋b， 两式相减得Sn－Sn－1＝an＋b－an－1－b， 所以an＝an－an－1， 所以an＝3an－1， 又a1＝－2b≠0， 故{an}是公比q＝3的等比数列． 1．下列各组数成等比数列的是(　　) ①1，－2，4，－8；②－，2，－2，4；③x，x2，x3，x4；④a－1，a－2，a－3，a－4. A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 答案　C 解析　由等比数列的定义，知①②④是等比数列．③中当x＝0时，不是等比数列． 2．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　) A．21 B．42 C．63 D．84 答案　B 解析　设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B. 3．(多选)如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第3行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N＋)，则下列式子正确的是(　　) ， ，， … A．a53＝ B．a51＝ C．a44＝ D．a41＝1 答案　ABD 解析　第1列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝，a41＝1.又因为从第3行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，a44＝1×＝，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×＝. 4．首项为3的等比数列的第n项是48，第2n－3项是192，则n＝________． 答案　5 解析　设公比为q，则⇒⇒q2＝4，得q＝±2.由(±2)n－1＝16，得n＝5. 5．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N＋)． (1)求a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． 解　(1)由S1＝(a1－1)， 得a1＝(a1－1)， 故a1＝－. 又S2＝(a2－1)， 即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝. (2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)， 得an＝－an－1， 又a1＝－≠0， 所以数列{an}是首项为－，公比为－的等比数列． 一、选择题 1．在等比数列{an}中，a2024＝8a2021，则公比q的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 答案　A 解析　∵a2024＝8a2021，∴q3＝＝8，∴q＝2. 2．若一数列为a－6，1，a6，a12，a18，…，其中a≠0，则a822是这个数列的(　　) A．不在此数列中 B．第137项 C．第138项 D．第139项 答案　D 解析　数列为a－6，1，a6，a12，a18，…，记此数列为{bn}，则它是首项为a－6，公比为a6的等比数列，于是得数列{bn}的通项公式为bn＝a－6·(a6)n－1＝a6n－12，由6n－12＝822，得n＝139，所以a822是这个数列的第139项． 3．设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝(　　) A．8 B．－8 C．4 D．－4 答案　B 解析　设等比数列{an}的公比为q，∵a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，∴a1(1＋q)＝－1，a1(1－q2)＝－3，解得q＝－2，a1＝1.则a4＝1×(－2)3＝－8.故选B. 4．一个各项均为正的等比数列，每一项都等于它后面相邻两项之和，则公比q＝(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意有an＝an＋1＋an＋2＝anq＋anq2，而an≠0，∴q2＋q－1＝0，∴q＝，而an>0，∴q>0，∴q＝. 5．(多选)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N＋，则下列说法正确的是(　　) A．{an－n}是等比数列 B．an＝4n－1 C．{log2(an－n)}是等差数列 D．{log4an}是等比数列 答案　AC 解析　对于A，由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N＋.又a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以＝4，所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列，故A正确；对于B，由上可知an－n＝4n－1，所以数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n，故B错误；对于C，log2(an－n)＝log24n－1＝log222(n－1)＝2n－2，所以{log2(an－n)}是等差数列，故C正确；对于D，log4an＝log4(4n－1＋n)，{log4an}既不是等差数列，又不是等比数列，故D错误．故选AC. 二、填空题 6．在正项等比数列{an}中，若3a1，a3，2a2成等差数列，则＝________． 答案　 解析　设正项等比数列{an}的公比q>0，∵3a1，a3，2a2成等差数列，∴2×a3＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a1q，∴q2－2q－3＝0，q>0，解得q＝3，则原式＝＝＝. 7．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an－1(n∈N＋)，则数列{an－1}是________数列(填“等差”或“等比”)，数列{an}的通项公式为an＝________． 答案　等比　2n－1＋1 解析　根据题意，数列{an}满足an＋1＝2an－1，即an＋1－1＝2(an－1)，又a1－1＝1≠0，则数列{an－1}是以1为首项，2为公比的等比数列，则an－1＝1×2n－1＝2n－1，则an＝2n－1＋1. 8．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，且对任意正整数n，3an＋1－an＝0，bn是an与an＋1的等差中项，则数列{bn}的通项公式为bn＝________． 答案　 解析　由题设＝，∴数列{an}是等比数列，公比为，∴an＝2×，bn＝(an＋an＋1)＝＝. 三、解答题 9．在等比数列{an}中． (1)已知a1＝3，q＝－2，求a6； (2)已知a3＝20，a6＝160，求an. 解　(1)由等比数列的通项公式， 得a6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)设等比数列的公比为q， 那么解得 所以an＝a1qn－1＝5×2n－1(n∈N＋)． 10．设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列． (1)求数列{an}的公比； (2)证明：对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列． 解　(1)设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)． 由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4， 即2a1q2＝a1q4＋a1q3. 由a1≠0，q≠0，得q2＋q－2＝0， 解得q1＝－2或q2＝1(舍去)． 所以q＝－2. (2)证明：对任意k∈N＋， Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)＝0， 所以对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列． 1．设关于x的一元二次方程anx2－an＋1x－1＝0(n＝1，2，3，…)有两根α和β，且满足6α＋2αβ＋6β＝3，a1＝. (1)试用an表示an＋1； (2)求证：数列是等比数列． 解　(1)由根与系数的关系，知 代入6α＋2αβ＋6β＝3，得－＝3， 所以an＋1＝an＋. (2)证明：因为an＋1＝an＋， 所以an＋1－＝， 又a1－＝≠0，所以an－≠0， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． 2．设数列{an}的前n项和Sn＝2an－2n. (1)求a3，a4； (2)证明：{an＋1－2an}是等比数列； (3)求{an}的通项公式． 解　(1)∵a1＝S1，S1＝2a1－2， ∴a1＝2，S1＝2. 由Sn＝2an－2n，即2an＝Sn＋2n知 2an＋1＝Sn＋1＋2n＋1＝an＋1＋Sn＋2n＋1， ∴an＋1＝Sn＋2n＋1，① ∴a2＝S1＋22＝2＋22＝6，S2＝8， a3＝S2＋23＝8＋23＝16，S3＝24， a4＝S3＋24＝40. (2)证法一：由题设和①式知 an＋1－2an＝(Sn＋2n＋1)－(Sn＋2n)＝2n＋1－2n＝2n， ∴{an＋1－2an}是首项为2，公比为2的等比数列． 证法二：由Sn＝2an－2n，② 得Sn＋1＝2an＋1－2n＋1.③ ③－②得an＋1＝2an＋1－2n＋1－2an＋2n， 即an＋1－2an＝2n. ∴{an＋1－2an}是首项为2，公比为2的等比数列． (3)由(2)知an＋1－2an＝2n， 等号两端同时除以2n＋1，得－＝， ∴数列是以＝1为首项，为公差的等差数列， ∴＝1＋(n－1)，即an＝(n＋1)·2n－1. 11 学科网（北京）股份有限公司 $$