第四章基本平面图形线段和角专题2024-2025学年北师大版数学七年级上册

七年级：基本平面图形角与线段 【题型1 两点间的距离】 【例题】直线上有A，B，C三点，已知AB＝8cm，BC＝2cm，则AC的长是（　C　） A．10cm B．6cm C．10cm或6cm D．不能确定 解：根据题意可得，如图1， ， AC＝AB+BC＝8+2＝10（cm）； 如图2， ， AC﹣AB﹣BC＝8﹣2＝6（cm）． 所以AC的长是10cm或6cm． 故答案为：C． 【练习】1．如果A、B、C三点在同一直线上，线段AB＝3cm，BC＝2cm，那么A、C两点之间的距离为（　D　） A．1cm B．5cm C．无法确定 D．1cm或5cm 解：由题意可知，C点分两种情况， ①C点在线段AB延长线上，如图1， AC＝AB+BC＝3+2＝5cm； ②C点在线段AB上，如图2， AC＝AB﹣BC＝3﹣2＝1cm． 综合①②A、C两点之间的距离为1cm或5cm． 故选：D． 2．已知点A、B、C在同一条直线上，AB＝50，BC＝20，则AC的长为（　B　） A．70 B．70或30 C．30 D．无法确定 解：若C在线段AB上， 则AC＝AB﹣BC＝50﹣20＝30； 若C在线段AB的延长线上， 则AC＝AB+BC＝50+20＝70， 故选：B． 【题型2 比较线段的长短】 【例题】如图，点B、C在线段AD上，且AB＝CD，则AC与BD的大小关系是（　B　） A．AC＞BD B．AC＝BD C．AC＜BD D．不能确定 解；AB＝CD，两边都加BC，得AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD， 故选：B． 【练习】1．平面上有三点A，B，C，如果AB＝8，AC＝5，BC＝3，下列说法正确的是（　A　） A．点C在线段AB上 B．点C在线段AB的延长线上 C．点C在直线AB外 D．点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外 解： 从图中我们可以发现AC+BC＝AB， 所以点C在线段AB上． 故选：A． 2．如图，C是线段AB的中点，D是线段CB上一点，下列说法错误的是（　C　） A．CD＝AC﹣BD B．CD＝AD﹣BC C．CD＝BCD．CD＝AB﹣BD 解：∵C是线段AB的中点， ∴AC＝BC＝AB， A、CD＝BC﹣BD＝AC﹣BD，正确； B、CD＝AD﹣AC＝AD﹣BC，正确； C、D不一定是BC的中点，故CD＝BC不一定成立； D、CD＝BC﹣BD＝AB﹣BD，正确． 故选：C． 【题型3 线段的简单计算】 【例题】点C是线段AB的中点，点D在线段AC上，AD：CB＝1：3，若AB长为12，则线段DC长为（　　） A．5 B．4.5 C．4 D．3 解：∵点C是线段AB的中点，AB＝12， ∴AC＝BC＝6， ∵AD：CB＝1：3， ∴AD：AC＝1：3， ∴， ∴DC＝AC﹣AD＝6﹣2＝4， 故选：C． 【练习】1．已知线段AB=4，在直线AB上作线段BC，使得BC=2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为_______1或3_______. 解:根据题意分两种情况，(1)如图， ∵AB=4，BC=2， ∴AC=AB-BC=2. ∵D是线段AC的中点，∴AD=AC=×2=1; (2)如图， ∵AB=4，BC=2 ∴AC=AB+BC=6. ∵D是线段AC的中点， ∴AD=AC=×6=3. ∴线段AD的长为1或3 2．已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 5cm或7cm ． 解：∵，， ∴，则， ∵点D是线段的三等分点， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，或， 故答案为：或． 3．如图，点E是线段AB的中点，C是线段EB上一点，AC＝6． （1）若F为BC的中点，且BC＝4，求EF的长； （2）若EC：CB＝1：3，求AB的长． 解：（1）∵点E是线段AB的中点， ∴AE＝BE， 设CE＝x， ∴AE＝BE＝6﹣x， ∴BC＝BE﹣CE＝6﹣x﹣x， ∵F为CB的中点， ∴CF＝BC＝3﹣x， ∴EF＝CE+CF＝x+3﹣x＝3； （2）∵EC：CB＝1：3， ∴设CE＝x，则CB＝3x， ∵点E是线段AB的中点，∴AE＝BE， ∴AE＝4x， ∴AC＝5x＝6， ∴x＝， ∴AB＝8x＝9.6． 【题型4 “双中点”模型】 【例题】如图，线段AB＝10cm，C是线段AB上一点，AC＝6cm，D、E分别是AB、BC的中点． （1）求线段CD的长； （2）求线段DE的长． 解：（1）∵D是AB的中点， ∴AD＝AB＝×10＝5cm， ∵CD＝AC﹣AD， ∴CD＝6﹣5＝1cm； （2）∵BC＝AB﹣AC， ∴BC＝10﹣6＝4cm， ∵E是BC的中点， ∴CE＝BC＝×4＝2cm， ∵DE＝DC+CE， ∴DE＝1+2＝3cm． 【练习】1．如图，已知点A、B在数轴上对应的数分别为﹣2和14，点C、D在线段AB上，且CD＝4，点E、F分别是AC、BD的中点． （1）若AC＝4，求线段EF的长． （2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化．如果不变，请求出EF的长；如果变化，请说明理由． 解：（1）∵点A、B在数轴上对应的数分别为﹣2和14， ∴AB＝16， ∵CD＝4，AC＝4， ∴BD＝AB﹣CD﹣AC＝8， ∵E、F分别是AC、BD的中点， ∴CE＝AC＝2，DF＝BD＝4， ∴EF＝CE+CD+DF＝10； （2）不改变， 理由：∵AB＝16，CD＝4， ∴AC+BD＝AB﹣CD＝12， ∵E、F分别是AC、BD的中点， ∴CE＝AC，DF＝BD， ∴CE+DF＝AC+BD＝6， ∴EF＝CE+CD+DF＝10． 2.如图，已知B、C在线段AD上． （1）图中共有 　　条线段； （2）若AB＝CD． ①比较线段的大小：AC　　BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）； ②若AC＝18，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度． 解：（1）∵B、C在线段AD上， ∴图中共有线段AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条． 故答案为：6； （2）①若AB＝CD，则AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD． 故答案为：＝； ②∵AC＝18，BC＝12， ∴AB＝CD＝AC﹣BC＝18﹣12＝6， ∵M是AB的中点，N是CD的中点， ∴， ∴， ∴MN＝BM+CN+BC＝6+12＝18． 【题型5 角的概念及表示】 【例题】下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（ D ） A． B． C． D． 【练习】1．如图，下列说法中不正确的是（ C ） A．与是同一个角 B．与是同一个角 C．可以用来表示 D．图中共有三个角：，， 2．如图，则图中共有（ B ）个角 A.9 B.6 C.5 D.2 3．如图所示，下列说法错误的是（ B ） A．可用表示 B．也可用表示 C．也可用表示 D．也可用表示 （练习1） （练习2） （练习3） 【题型6 度、分、秒的换算】 【例题】1.计算：（1）34.37°＝34°　22　′　12　″．（2）18°42′+42°58′＝　61　° 40 ′． 解：（1）34.37°＝34° 22′12″， （2）18°42'+42°58'＝60°100'＝61°40'． 故答案为：（1）22，12． （2）61°40' 2.计算 （1）23°53'×2 （2）12°31′21″÷3 解：（1）23°53'×2 （2）12°31′21″÷3 ＝23°×2+53′×2 ＝12°÷3+31′÷3+21″÷3 ＝46°106′ ＝4°+（10+）′+7″ ＝47°46′ ＝4°10′+（×60+7）″ ＝4°10′27″ 【练习】1．①120.76°＝　120　度 　45　分 　36　秒．②用度表示30°9′36″为　30.16°　 解：①（120.76﹣120）×60'＝45.6'，（45.6﹣45）×60''＝36''， 即：120.76°＝120°45'36''， 故答案为：120，45，36． ②36″÷60=0.6′ （9+0.6）′÷60=0.16° 0.16°+30°=30.16° 故答案为：30.16° 2．计算：①把18°21′36″可表示为 　18.36　° ②18.21°＝　18　° 　12　′　36　″． 解：①36″÷60=0.6′ （21+0.6）′÷60=0.36° 18°+0.36°=18.36° 故答案为：18.36° ②0.21°×60=12.6′ （12.6-12）′×60=36″ 故答案为：18°12′36″ 3．（1）25°12′35″×5 （2）134°22′÷3 解：原式=25°×5+12′×5+35″×5 解：原式=132°141′60″÷3 =125°+60′+175″ =132°÷3+141′÷3+60″÷3 =126°+2′+55″ =44°47′20″ 4．（1）19°26'﹣7°33' （2） 78°14'+25°46' 解：（1）19°26'﹣7°33'＝18°86'﹣7°33'＝11°53'； （2）78°14'+25°46'＝103°60'＝104°； 5．把16.42° 用度分秒表示为多少？ 解：（16.42°-16）×60=25.2′ (25.2-25）′×60=12″ 即：16.42°=16°25′12″ 【题型7 角平分线的定义】 【例题】如图，点O在直线AB上，射线OD是∠AOC的平分线，若∠COB＝40°，则∠DOC的度数是（　D　） A．20° B．45° C．60° D．70° 解：由题意可知，∠COB与∠AOC互补， ∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°， ∵射线OD是∠AOC的平分线， ∴∠DOC＝∠AOC＝70°． 故选：D． 【练习】1．如图，点A、O、B在同一条直线上，OC平分∠DOB，已知∠DOC＝65°，则 ∠DOA的度数是（ B ） A．45° B．50° C．55° D．65° 解：∵OC平分∠DOB，∠DOC＝65°， ∴∠DOB＝2∠DOC＝65°×2＝130°， ∵A、O、B在同一条直线上， ∴∠DOA+∠DOB＝180°， ∴∠DOA＝180°﹣∠DOB＝50°， 故选：B． 2．如图，∠AOB是直角，OD是∠AOB内的一条射线，OE平分∠BOD，若∠BOE＝24°，则 ∠AOD的度数（　C 　） A．46° B．54° C．42° D．67° （例题） （第1题） （第2题） 解：∵OE平分∠BOD， ∴∠BOD＝2∠BOE＝48° ∵∠AOB＝90° ∴∠AOD＝90°﹣∠BOD＝90°﹣48°＝42° 故选：C． 【题型8 角的大小比较】 【例题】已知∠A＝20°24′，∠B＝20.4°．比较大小：∠A　＝　∠B（填“＞或＜或＝”）． 解：∵20.4°＝20°24′， ∴∠A＝∠B， 故答案为：＝． 【练习】1．在如图所示的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O均在格点（网格线交点）上，那么∠AOC　＜　∠BOD（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【解答】解：如图， ∵∠BOD＝∠AOE，∠AOC＜∠AOE， ∴∠AOC＜∠BOD， 故答案为：＜． 2.如图所示的网格是正方形网格，∠BAC　＞　∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”） 解：如图所示，连接DF，AF，则△ADF是等腰直角三角形， ∴∠DAF＝45°＞∠DAE， 又∵∠BAC＝45°， ∴∠BAC＞∠DAE， 故答案为：＞． 第1题 第2题 【题型9 角的基本运算】 【例题】如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC． （1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数； （2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数． 解：（1）∵OA平分∠EOC， ∴∠AOC＝∠EOC＝×70°＝35°， ∴∠BOD＝∠AOC＝35°； （2）设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据题意得2x+3x＝180°，解得x＝36°， ∴∠EOC＝2x＝72°， ∴∠AOC＝∠EOC＝×72°＝36°， ∴∠BOD＝∠AOC＝36°． 【练习】1．已知如图，∠AOB：∠BOC＝3：2，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，且∠BOE＝12°，求∠DOE的度数． 解：设∠AOB＝3x，∠BOC＝2x． 则∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝5x． ∵OE是∠AOC的平分线， ∴∠AOE＝， ∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝， ∵∠BOE＝12°， ∴， 解得，x＝24°， ∵OD是∠BOC的平分线， ∴， ∴∠DOE＝∠DOB+∠BOE＝24°+12°＝36°． 2.如图，将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON． （1）当∠BON＝60°时，求∠COM的度数； （2）若∠AOM＝2∠COM，求∠AON的度数． 解：（1）∵∠BON＝60°， ∴∠AON＝120°， ∵OC平分∠AON，∴， ∵∠MON＝90°，∴∠COM＝90°﹣60°＝30°； （2）设∠COM＝x， ∵∠AOM＝2∠COM，∴∠AOM＝2x， ∴∠AOC＝3x， ∵OC平分∠AON， ∴∠AOC＝∠CON， ∴∠CON＝∠AOC＝3x， ∵∠COM+∠CON＝90°， ∴x+3x＝90°，解得x＝22.5°， ∴∠AON＝6x＝135°． 【题型10 双角平分线的运算】 【例题】如图，已知∠AOB＝90°，∠AOC是60°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC． 求∠DOE． 解：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60° ∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝150° ∵OD平分∠BOC ∴∠DOC＝∠BOC＝75° 同理∠EOC＝∠AOC＝30° ∴∠EOD＝∠COD﹣∠EOC ＝75°﹣30° ＝45°． 故答案为45°． 1．如图①，OC是∠AOE内部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC． （1）若∠AOE＝140°，∠COD＝30°，求∠BOC＝　 　； （2）∠AOE与∠BOD的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由． （3）如图②，如果OC是∠AOE外部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．那么（2）中∠AOE与∠BOD的大小关系还成立吗？请说明理由． 解：（1）∵OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC， ∴， ∵∠AOE＝140°， ∴， ∵∠COD＝30°， ∴∠BOC＝40°； 故答案为：40°． （2）∵OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC． ∴， ∴，即， 即∠AOE＝2∠BOD， （3）∠AOE＝2∠BOD成立，理由如下， ∵OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC． ∴， ∴∠AOE＝∠EOC﹣∠AOC，， ∴∠AOE＝2∠BOD． 2．已知直角三角形MON的直角顶点O在直线AB上，射线OC平分∠AON． （1）如图1，若∠MOC＝34°，求∠AOM的度数； （2）如图2，将三角形MON绕点O逆时针旋转，若∠BON＝100°，求∠AOM的度数； （3）如图3，将三角形MON绕点O逆时针旋转，试写出∠BON和∠MOC之间的数量关系，并说明理由． 解：（1）∠MOC＝34°，∠MON＝90°， ∴∠NOC＝90°﹣34°＝56°， 又∵OC平分∠AON， ∴∠NOC＝∠AOC＝56°， ∴∠AOM＝∠AOC﹣∠MOC＝56°﹣34°＝22°； （2）∵∠BON＝100°， ∴∠AON＝180°﹣∠BON＝180°﹣100°＝80°， ∵∠MON＝90°， ∴∠AOM＝90°﹣80°＝10°； （3）∠BON＝2∠MOC，理由如下： ∵OC平分∠AON， ∴∠AOC＝∠NOC，∠AON＝2∠NOC， ∵∠MON＝90°， ∴∠AOC＝∠NOC＝90°﹣∠MOC， ∴∠BON＝180°﹣∠AON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣2（90°﹣∠MOC）＝2∠MOC， 即∠BON＝2∠MOC． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级：基本平面图形角与线段 【题型1 两点间的距离】 【例题】直线上有A，B，C三点，已知AB＝8cm，BC＝2cm，则AC的长是（　　） A．10cm B．6cm C．10cm或6cm D．不能确定 【练习】1．如果A、B、C三点在同一直线上，线段AB＝3cm，BC＝2cm，那么A、C两点之间的距离为（　　） A．1cm B．5cm C．无法确定 D．1cm或5cm 2．已知点A、B、C在同一条直线上，AB＝50，BC＝20，则AC的长为（　　） A．70 B．70或30 C．30 D．无法确定 【题型2 比较线段的长短】 【例题】如图，点B、C在线段AD上，且AB＝CD，则AC与BD的大小关系是（　　） A．AC＞BD B．AC＝BD C．AC＜BD D．不能确定 【练习】1．平面上有三点A，B，C，如果AB＝8，AC＝5，BC＝3，下列说法正确的是（　　） A．点C在线段AB上 B．点C在线段AB的延长线上 C．点C在直线AB外 D．点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外 2．如图，C是线段AB的中点，D是线段CB上一点，下列说法错误的是（　　） A．CD＝AC﹣BD B．CD＝AD﹣BC C．CD＝BC D．CD＝AB﹣BD 【题型3 线段的简单计算】 【例题】点C是线段AB的中点，点D在线段AC上，AD：CB＝1：3，若AB长为12，则线段DC长为（　　） A．5 B．4.5 C．4 D．3 【练习】1．已知线段AB=4，在直线AB上作线段BC，使得BC=2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为______________. 2．已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 3．如图，点E是线段AB的中点，C是线段EB上一点，AC＝6． （1）若F为BC的中点，且BC＝4，求EF的长； （2）若EC：CB＝1：3，求AB的长． 【题型4 “双中点”模型】 【例题】如图，线段AB＝10cm，C是线段AB上一点，AC＝6cm，D、E分别是AB、BC的中点． （1）求线段CD的长； （2）求线段DE的长． 【练习】1．如图，已知点A、B在数轴上对应的数分别为﹣2和14，点C、D在线段AB上，且CD＝4，点E、F分别是AC、BD的中点． （1）若AC＝4，求线段EF的长． （2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化．如果不变，请求出EF的长；如果变化，请说明理由． 2.如图，已知B、C在线段AD上． （1）图中共有 　　条线段； （2）若AB＝CD． ①比较线段的大小：AC　　BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）； ②若AC＝18，BC＝12，M是AB的中点，N是CD的中点，求MN的长度． 【题型5 角的概念及表示】 【例题】下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（ ） A． B． C． D． 【练习】1．如图，下列说法中不正确的是（ ） A．与是同一个角 B．与是同一个角 C．可以用来表示 D．图中共有三个角：，， 2．如图，则图中共有（ ）个角 A.9 B.6 C.5 D.2 3．如图所示，下列说法错误的是（ ） A．可用表示 B．也可用表示 C．也可用表示 D．也可用表示 （练习1） （练习2） （练习3） 【题型6 度、分、秒的换算】 【例题】1.计算：（1）34.37°＝34°　　′　　″．（2）18°42′+42°58′＝　　° ′． 2.计算 （1）23°53'×2 （2）12°31′21″÷3 【练习】1．①120.76°＝　　度 　　分 　　秒．②用度表示30°9′36″为　　 2．①计算：把18°21′36″可表示为 　　° ②18.21°＝　　° 　　′　　″． 3．（1）25°12′35″×5 （2）134°22′÷3 4．（1）19°26'﹣7°33' （2） 78°14'+25°46' 5．把16.42° 用度分秒表示为多少？ 【题型7 角平分线的定义】 【例题】如图，点O在直线AB上，射线OD是∠AOC的平分线，若∠COB＝40°，则∠DOC的度数是（　　） A．20° B．45° C．60° D．70° 【练习】1．如图，点A、O、B在同一条直线上，OC平分∠DOB，已知∠DOC＝65°，则 ∠DOA的度数是（ ） A．45° B．50° C．55° D．65° 2．如图，∠AOB是直角，OD是∠AOB内的一条射线，OE平分∠BOD，若∠BOE＝24°，则 ∠AOD的度数（　 　） A．46° B．54° C．42° D．67° （例题） （第1题） （第2题） 【题型8 角的大小比较】 【例题】已知∠A＝20°24′，∠B＝20.4°．比较大小：∠A　　∠B（填“＞或＜或＝”）． 【练习】1．在如图所示的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O均在格点（网格线交点）上，那么∠AOC　　∠BOD（填“＞”，“＜”或“＝”）． 2.如图所示的网格是正方形网格，∠BAC　　∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”） 第1题 第2题 【题型9 角的基本运算】 【例题】如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC． （1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数； （2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数． 【练习】1．已知如图，∠AOB：∠BOC＝3：2，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，且∠BOE＝12°，求∠DOE的度数． 2.如图，将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON． （1）当∠BON＝60°时，求∠COM的度数； （2）若∠AOM＝2∠COM，求∠AON的度数． 【题型10 双角平分线的运算】 【例题】如图，已知∠AOB＝90°，∠AOC是60°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC． 求∠DOE． 1．如图①，OC是∠AOE内部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC． （1）若∠AOE＝140°，∠COD＝30°，求∠BOC＝　 　； （2）∠AOE与∠BOD的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由． （3）如图②，如果OC是∠AOE外部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．那么（2）中∠AOE与∠BOD的大小关系还成立吗？请说明理由． 2．已知直角三角形MON的直角顶点O在直线AB上，射线OC平分∠AON． （1）如图1，若∠MOC＝34°，求∠AOM的度数； （2）如图2，将三角形MON绕点O逆时针旋转，若∠BON＝100°，求∠AOM的度数； （3）如图3，将三角形MON绕点O逆时针旋转，试写出∠BON和∠MOC之间的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$