4.2.3 第1课时 n次独立重复试验与二项分布-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案教用word（人教B版2019）

数学 选择性必修 第二册［RJB］ 4.2.3 二项分布与超几何分布 第1课时 n次独立重复试验与二项分布 （教师独具内容） 课程标准：1.理解n次独立重复试验的概念.2.通过具体实例，掌握二项分布，并能解决简单的实际问题. 教学重点：n次独立重复试验的模型、二项分布. 教学难点：二项分布的分布列及有关的概率计算. 核心素养：1.通过学习n次独立重复试验的概念、二项分布的概念培养数学抽象素养.2.通过利用二项分布解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养. 知识点一 n次独立重复试验 在Ａ相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验． 知识点二　二项分布一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Cpkqn－k，k＝0，1，…，n，此时称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)． [点拨]　根据二项分布与两点分布的定义，可知两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1时的二项分布． [想一想]　二项分布中公式P(X＝k)＝Cpkqn－k与二项式定理的通项之间有什么关系？ 提示：记P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k＝Cpkqn－k，则它恰好是二项式(q＋p)n展开式的第k＋1项，即[(1－p)＋p]n展开式的第k＋1项． 1．(n次独立重复试验的特点)(多选)对于n次独立重复试验，下列说法正确的是(　　) A．每次试验之间是相互独立的 B．每次试验只有两个相互对立的结果 C．每次试验中事件A发生的概率相等 D．各次试验中，各个事件是互斥的 答案：ABC 2．(n次独立重复试验概率的求解)连续掷一枚均匀的硬币5次，恰好有3次出现正面向上的概率是________． 答案： 3．(二项分布概率公式的应用)已知η～B，则P(η＝4)＝________． 答案： 题型一　n次独立重复试验　 　(多选)下列试验不是n次独立重复试验的是(　　) A．依次投掷四枚质地不同的硬币 B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次 C．口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球 D．小明做10道难度不同的数学单选题 [解析]　由于试验的条件不同(硬币质地不同)，因此A项不是n次独立重复试验；某人射击，击中目标的概率是稳定的，因此B项是n次独立重复试验；每次抽取，每种颜色出现的可能性不相等，因此C项不是n次独立重复试验；10道题难度不同，每道题做对的概率也不同，因此D项不是n次独立重复试验．故选ACD. [答案]　ACD 感悟提升　n次独立重复试验的判断依据 (1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行． (2)每次试验相互独立、互不影响． (3)每次试验都只有两种结果，即事件发生、不发生． 　小明同小华一起玩掷骰子游戏，比赛谁能掷出奇数点．游戏规则如下：小明先掷，小华后掷，如此间隔投掷．问： (1)小明共投掷n次，是否可看作n次独立重复试验？小华共投掷m次，是否可看作m次独立重复试验？ (2)在游戏的全过程中共投掷了m＋n次，则这m＋n次是否可看作m＋n次独立重复试验？ 解：(1)由伯努利试验的判断条件，小明、小华各自投掷骰子时可看作在相同条件下，且每次投掷互不影响，故小明投掷的n次可看作n次独立重复试验，小华投掷的m次可看作m次独立重复试验． (2)在游戏的全过程中投掷m＋n次，不是在相同条件下(两人间隔投掷)进行的，故不可看作m＋n次独立重复试验． 题型二　二项分布　 　一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列； (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率． [解]　(1)由题意知ξ～B，则P(ξ＝k)＝C，k＝0，1，2，3，4，5. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 P (2)η的概率分布为Ρ(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝×，k＝0，1，2，3，4； P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝， 故η的分布列为 η 0 1 2 3 4 5 P (3)所求概率为 P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－＝. 感悟提升　求解二项分布的分布列及概率计算问题的思路 (1)根据题意设出随机变量，并分析出随机变量服从二项分布． (2)找到参数n，p，并写出二项分布的分布列． (3)将k值代入求解概率． 注意：二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率． 　(1)若随机变量ξ服从B，则P(ξ≤3)＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：解法一：∵ξ～B，∴P(ξ＝k)＝C＝C，∴P(ξ≤3)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝(C＋C＋C＋C)×＝.故选C. 解法二：∵ξ～B，∴P(ξ＝k)＝C·＝C，∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ≥4)＝1－＝.故选C. (2)某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予以录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予以录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为，复审能通过的概率为，各专家评审的结果相互独立． ①求某应聘人员被录用的概率； ②若4人应聘，设X为被录用的人数，试求X的分布列． 解：设“两位初审专家都同意通过”为事件A，“只有一位初审专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C. ①设“某应聘人员被录用”为事件D， 则D＝A∪BC. 因为P(A)＝×＝， P(B)＝2××＝，P(C)＝， 所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝＋×＝. 所以某应聘人员被录用的概率为. ②根据题意，X的取值范围为{0，1，2，3，4}， 且X～B， 所以P(X＝0)＝C×＝， P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝C××＝， P(X＝3)＝C××＝， P(X＝4)＝C××＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 题型三　二项分布的应用　 　(1)(2024·湖北武汉高二阶段练习)某人射击一发子弹，击中目标的概率为0.8，现在他射击19发子弹，则击中目标的子弹数最可能是(　　) A．14 B．15 C．16 D．15或16 [解析]　设击中目标的子弹数为X，则X～B，有P(X＝k)＝C，k∈N，k≤19，依题意，设P(X＝k)最大，显然P(X＝0)，P(X＝19)都不是最大的，即有1≤k≤18，于是 即 即整理得解得15≤k≤16，所以击中目标的子弹数最可能是15或16.故选D. [答案]　D (2)(2024·河南郑州高二期末)掷一个质地均匀的骰子n次，设出现k次点数为1的概率为Pn(k)，若n＝20，则当Pn(k)取最大值时，k＝(　　) A．3 B．4 C．8 D．10 [解析]　掷一个质地均匀的骰子20次，其中出现点数为1的次数为X，则X～B，Pn(k)＝C··，＝，当1≤k≤3时，>1，Pn(k)>Pn(k－1)；当k≥4时，<1，Pn(k)<Pn(k－1)．因此当k＝3时，Pn(k)取得最大值．故选A. [答案]　A 感悟提升　二项分布概率最大问题的求解方法 (1)不等式组法：利用不等式组 来求解． (2)作商法：利用(k∈N，1≤k≤n)与1的大小关系来求解． 　(2024·江西九江一中高二月考)一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的n个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．则当n＝________时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为________． 答案：5或6　 解析：对一个坑而言，要补播种的概率P＝C＋C＝，所以补播种坑的数量服从B，则3个坑要补播种的概率为C·＝C.要使C最大，只需解得5≤n≤7.当n＝5或n＝6时，C＝C＝，当n＝7时，C＝.因为>，所以当n＝5或n＝6时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为. 1．下列随机变量X不服从二项分布的是(　　) A．投掷一个均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数 B．某射击运动员射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数 C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数 D．某星期内，每次下载某网站数据电脑被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数 答案：B 解析：对于A，试验出现的结果只有两种：点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为，每一次试验都是独立的，故随机变量X服从二项分布；对于B，虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种，每一次试验事件相互独立且概率不发生变化，但随机变量的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布；对于C，甲、乙的获胜率相等，进行了5局比赛，相当于进行了5次独立重复试验，故X服从二项分布；对于D，由二项分布的定义，可知电脑被病毒感染的次数X～B(n，0.3)． 2．(2024·辽宁重点中学协作体高二期末)已知X～B，则P(X＝1)＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为X～B，所以P(X＝1)＝C××＝.故选B. 3．某人通过普通话二级测试的概率是，若他连续测试3次(各次测试互不影响)，那么其中恰有1次通过的概率是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：因为某人通过普通话二级测试的概率是，所以他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率是P＝C××＝.故选C. 4．将一枚硬币连掷7次，如果出现k次正面向上的概率等于出现k＋1次正面向上的概率，那么k的值为________． 答案：3 解析：由题意，知C＝C·，∴C＝C，∴k＋(k＋1)＝7，∴k＝3. 5．(2024·江苏常州一中高二月考)随机变量ξ～B，当P(ξ＝k)取最大值时，k＝________． 答案：13或14 解析：∵随机变量ξ～B，∴P(ξ＝k)＝C，依题意有 即 解得13≤k≤14，故k＝13或14. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 二项分布的概念 二项分布的概率、互斥事件的概率 二项分布的概率公式、利用组合数的性质求参数 二项分布的概率 二项分布的概率及应用 已知二项分布的概率求参数 n次独立重复试验中求n的最值 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 两个随机变量服从二项分布求概率 二项分布的概率的综合计算 利用相互独立事件的概率求参数、二项分布的分布列 二项分布的概率 新定义下二项分布的概率计算 统计与二项分布的分布列相结合 全概率公式与二项分布的概率最值的综合应用 一、选择题 1．(2024·河北唐山高二阶段练习)在100件产品中有5件次品，采用有放回抽取的方式从中任意抽取10件，设X表示这10件产品中的次品数，则(　　) A．X～B(100，0.05) B．X～B(10，0.05) C．X～B(1000，95) D．X～B(10，0.95) 答案：B 解析：有放回抽取，每次取到次品的概率都是＝0.05，相当于10次独立重复试验，所以服从二项分布X～B(10，0.05)．故选B. 2．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为(　　) A．0.729 B．0.2916 C．0.6561 D．0.9477 答案：D 解析：至少3人被治愈的概率为C×0.93×0.1＋0.94＝0.9477.故选D. 3．(2024·山东淄博高二期末)若X～B(10，0.5)，则P(X＝k)取得最大值时，k＝(　　) A．4或5 B．5或6 C．10 D．5 答案：D 解析：因为X～B(10，0.5)，所以P(X＝k)＝C0.510－k·0.5k＝C0.510，由组合数的性质可知，当k＝5时，C取得最大值，即P(X＝k)取得最大值．故选D. 4．(2024·山东烟台招远高二4月月考)2024年3月12日植树节期间，某乡镇政府为了发展农村经济，根据当地的地理优势计划从A，B，C三种经济作物中选取两种进行种植推广．通过调研得到当地村民愿意种植A，B，C的概率均分别为，，，若从当地村民中随机选取4人进行交流，则其中至少有2人愿意种植A，且至少有1人愿意种植B的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：4人中，至少有2人愿意种植A，且至少有1人愿意种植B的可能性共有3种：①有2人愿意种植A，愿意种植B，C的各有1人，②有2人愿意种植A，有2人愿意种植B，③有3人愿意种植A，有1人愿意种植B，故所求概率P＝C××C××＋C××C×＋C××＝.故选D. 5．(多选)某班级的全体学生平均分成6个小组，且每个小组均有4名男生和多名女生，现从各个小组中随机抽取一名同学参加社区服务活动．若抽取的6名学生中至少有一名男生的概率为，则下列说法正确的是(　　) A．该班级共有36名学生 B．第一小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为 C．抽取的6名学生中男、女生数量相同的概率为 D．抽取的6名学生中女生人数不少于5的概率为 答案：ACD 解析：设每个小组有x名学生，则每个小组中女生人数为x－4.∵抽取的6名学生中至少有一名男生的概率为，∴抽取的6名学生全是女生的概率为＝，解得x＝6，∴该班级共有6×6＝36名学生，A正确；第一小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为，B错误；抽取的6名学生中男、女生数量相同的概率为C××＝，C正确；抽取的6名学生中女生人数不少于5的概率为C××＋C××＝，D正确．故选ACD. 二、填空题 6．(2024·广西玉林高二期末)设随机变量ξ～B(2，p)，若P(ξ≥1)＝，则p的值为________． 答案： 解析：P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝，即(1－p)2＝，因为0<p<1，所以p＝. 7．一个学生通过某种测试的概率是，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为________． 答案：4 解析：由1－C××>0.9，得<0.1，又n∈N＋，∴n≥4. 8．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y＝2)＝________． 答案： 解析：∵X～B(2，p)，∴P(X≥1)＝Cp(1－p)＋Cp2＝，得p＝，又Y～B(3，p)，∴P(Y＝2)＝C××＝. 三、解答题 9．某篮球运动员的罚球命中率为80%，计算(结果精确到0.01)： (1)5次罚球中恰有2次命中的概率； (2)5次罚球中至少有2次命中的概率； (3)5次罚球中恰有2次命中，且其中第3次命中的概率． 解：(1)令X表示“5次罚球中命中的次数”，则“5次罚球中恰有2次命中”的概率为P(X＝2)＝C××＝10××≈0.05. (2)“5次罚球中至少有2次命中”的概率为P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－C××－C××＝1－0.00032－0.0064≈0.99. (3)“5次罚球中恰有2次命中，且其中第3次命中”的概率为P＝C×××≈0.02. 10．(2024·山东青岛二中高二阶段考试)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别是和p，且在任意时刻至少有一个安全防范系统不发生故障的概率为. (1)求p的值； (2)设系统B在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列． 解：(1)设事件C表示“在任意时刻至少有一个安全防范系统不发生故障”， 则P(C)＝1－p＝，解得p＝. (2)由题意得，随机变量ξ的取值范围为{0，1，2，3}， P(ξ＝0)＝C＝， P(ξ＝1)＝C＝， P(ξ＝2)＝C＝， P(ξ＝3)＝C＝， 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 11．如图，一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动1个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则P(X>0)＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由题意可知，当X>0时，X的取值范围为{1，3，5}，且X～B，所以P(X>0)＝P(X＝5)＋P(X＝3)＋P(X＝1)＝＋C＋C＝.故选C. 12．已知在伯努利试验中，事件A发生的概率为p(0<p<1)，我们称将试验进行至事件A发生r次为止，试验进行的次数X服从负二项分布，记X～NB(r，p)．若X～NB，则P(X＝6)＝________． 答案： 解析：因为X～NB(r，p)，所以P(X＝k)＝Cpr－1(1－p)k－rp＝Cpr(1－p)k－r，由题意知，当k＝6，r＝5时，P(X＝6)＝C·＝. 13．某电影播放后，为了解观众的满意度，某影院随机调查了12名观看此影片的观众，并用“10分制”对该电影进行评分，分数越高表明观众的满意度越高，若分数不低于9分，则称该观众为满意观众．如图所示的茎叶图记录了他们对该电影的评分(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)． (1)求从这12人中随机选取2人，至少有1人为满意观众的概率； (2)以本次抽样的频率作为概率，从观看此影片的观众中任选3人，记ξ表示抽到满意观众的人数，求ξ的分布列． 解：(1)设“所选取的2人中至少有1人为满意观众”为事件A，则事件为“所选取的2人中没有满意观众”， 所以P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝， 即所选取的2人中，至少有1人为满意观众的概率为. (2)由茎叶图可以得到抽样中满意观众的频率为＝，即从观看此影片的观众中抽到满意观众的概率为. 由题意，知ξ的取值范围为{0，1，2，3}， P(ξ＝0)＝C×＝， P(ξ＝1)＝C××＝， P(ξ＝2)＝C××＝， P(ξ＝3)＝C×＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 14.(2024·河北邢台高二期中)小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张回答A类题正确的概率为0.9，回答B类题正确的概率为0.45.已知题库中B类题的数量是A类题数量的2倍． (1)求小张在题库中任选一题，回答正确的概率； (2)已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题目中恰好回答正确k(k＝0，1，2，…，10)个的概率为Pk，则当k为何值时，Pk最大？ 解：(1)设小张回答A类题正确的概率为P(A)，回答B类题正确的概率为P(B)，小张在题库中任选一题，回答正确的概率为P，由题意，得P(A)＝0.9，P(B)＝0.45， 所以P＝P(A)＋P(B)＝×0.9＋×0.45＝0.6， 所以小张在题库中任选一题，回答正确的概率为0.6. (2)由(1)可得Pk＝C×0.6k×0.410－k， 设 即 所以 即解得≤k≤， 又k∈Z，所以当k＝6时，Pk最大． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$