4.1.2 乘法公式与全概率公式-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册创新导学案教用word（人教B版2019）

数学 选择性必修 第二册[RJB] 4．1．2　乘法公式与全概率公式 (教师独具内容) 课程标准：1．结合古典概型，会利用乘法公式计算概率．2．结合古典概型，会利用全概率公式计算概率．3．*了解贝叶斯公式． 教学重点：理解并掌握乘法公式、全概率公式． 教学难点：应用乘法公式、全概率公式解决实际问题． 核心素养：1．通过乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式的学习培养数学抽象素养和数学运算素养．2．通过应用乘法公式、全概率公式解决问题培养数学建模素养和数学运算素养． 知识点一　乘法公式 根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率．一般地，这个结论称为乘法公式，即P(BA)＝P(A)P(B|A)． [拓展]　(1)推广到三个事件：P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)． (2)一般地，若Ai表示事件，i＝1，2，3，…，n，则P(A1A2·…·An)＝P(A1)P(A2|A1)·…·P(An|A1A2·…·An－1)． 知识点二　全概率公式 一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，则BA与B是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋)＝BA＋B，当P(A)＞0且P()＞0时，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．这称为全概率公式． 定理1：若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： (1)任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1，2，…，n，i≠j； (2)A1＋A2＋…＋An＝Ω； (3)P(Ai)>0，i＝1，2，…，n． 则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝ P(BAi) = P(Ai )P(B|Ai)． 上述公式也称为全概率公式． 知识点三　贝叶斯公式 一般地，当1>P(A)>0且P(B)>0时，有P(A|B)＝ ＝．这称为贝叶斯公式． 定理2：若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： (1)任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1，2，…，n，i≠j； (2)A1＋A2＋…＋An＝Ω； (3)1>P(Ai)>0，i＝1，2，…，n． 则对Ω中的任意概率非零的事件B，有 P(Aj|B)＝＝． 上述公式也称为贝叶斯公式． 1．(乘法公式)已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)＝________． 答案： 2．(全概率公式)已知P(BA)＝0．35，P(B)＝0．72，则P(B)＝________． 答案：0．37 3．(全概率公式、贝叶斯公式)已知P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(B)＝________，P(A|B)＝________． 答案：　 题型一　乘法公式的应用　 　10个考签中有4个难签，3人参加抽签(不放回)，甲先，乙次，丙最后．求： (1)甲抽到难签的概率； (2)甲、乙都抽到难签的概率； (3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率； (4)甲、乙、丙都抽到难签的概率． [解]　记事件A，B，C分别表示甲、乙、丙抽到难签，则 (1)P(A)＝＝． (2)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝． (3)P(B)＝P()P(B|)＝×＝． (4)P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB)＝××＝． 感悟提升　应用乘法公式求概率的步骤 (1)根据题目的提问(一般是A1，A2，A3，…，An，n个事件同时发生的概率)，找到A1，A2，A3，…，An； (2)用A1，A2，A3，…，An表示已知条件和待求事件； (3)代入乘法公式求解． 　在分别标有1，2，3，4，5这5个数字的卡片里，无放回地抽取两次，一次一张，求： (1)第一次取到奇数卡片的概率； (2)已知第一次取到偶数卡片，求第二次取到奇数卡片的概率； (3)第二次才取到奇数卡片的概率． 解：设A，B分别表示第一次和第二次取到奇数卡片这两个事件，则 (1)P(A)＝． (2)第一次取出一张偶数卡片，还剩4张卡片，而其中有3张奇数卡片，故此时取出一张奇数卡片的概率为，即P(B|)＝． (3)∵第二次才取到奇数卡片， ∴第一次应取到偶数卡片，即第一次发生，故{第二次才取到奇数卡片}应是与B同时发生， ∴P(B)＝P()P(B|)＝×＝． 题型二　全概率公式的应用　 角度1　两个事件的全概率问题 　已知某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0．15，第二车间的次品率为0．12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的产品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率． [解]　设B＝{从仓库中随机提出的一台产品是合格品}，Ai＝{提出的一台产品是第i车间生产的}，i＝1，2， 则有B＝A1B∪A2B． 由题意知，P(A1)＝0．4，P(A2)＝0．6，P(B|A1)＝0．85，P(B|A2)＝0．88． 由全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0．4×0．85＋0．6×0．88＝0．868． 感悟提升　两个事件的全概率问题的求解步骤 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)； (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率； (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)． 　(2024·浙江杭州二中高二月考)某批麦种中，一等麦种占98%，二等麦种占2%，一、二等麦种种植后所结的穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0．5，0．15，求用这批种子种植后所结的穗含有50粒以上麦粒的概率． 解：设事件B表示“任取一粒麦种，其种植后所结的穗含有50粒以上的麦粒”， 事件Ai(i＝1，2)表示“任取一粒麦种，结果为第i等麦种”，显然A1与A2互斥，且A1＋A2为样本空间Ω． 由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0．98×0．5＋0．02×0．15＝0．493． 所以用这批种子种植后所结的穗含有50粒以上麦粒的概率为0．493． 角度2　多个事件的全概率问题 　甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率． [解]　设事件A为“从乙箱中取出的1个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出的2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出的2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥． P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，P(B3)＝＝， P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝， 所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝． 感悟提升　“化整为零”求多事件的全概率问题 (1)如图，P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)． (2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和． 　某足球队为评估球员甲对球队的贡献，对球员甲近两年参加过的100场比赛进行统计：甲在前锋位置出场20次，其中球队获胜14次；甲在中锋位置出场30次，其中球队获胜21次；甲在后卫位置出场50次，其中球队获胜40次．用该样本的频率估计概率，则甲参加比赛时，求该球队某场比赛获胜的概率． 解：设事件A1表示“甲担任前锋”，事件A2表示“甲担任中锋”，事件A3表示“甲担任后卫”，事件B表示“某场比赛中该球队获胜”，则P(A1)＝＝0．2，P(A2)＝＝0．3，P(A3)＝＝0．5，P(B|A1)＝＝0．7，P(B|A2)＝＝0．7，P(B|A3)＝＝0．8，由全概率公式可得，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0．2×0．7＋0．3×0．7＋0．5×0．8＝0．75． 所以甲参加比赛时，该球队某场比赛获胜的概率是0．75． 题型三　贝叶斯公式的应用　 　设某公路上经过的货车与客车数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0．02，客车中途停车修理的概率为0．01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率． [解]　设B＝{中途停车修理}，A1＝{经过的是货车}，A2＝{经过的是客车}，则 B＝A1B∪A2B，由贝叶斯公式有 P(A1|B)＝ ＝＝0．8． 感悟提升　应用贝叶斯公式求概率的步骤 (1)根据题目的提问，事件B是由多个原因引起，这多个原因为A1，A2，…，An，且A1，A2，…，An是样本空间Ω的一个划分； (2)利用全概率公式求出P(B)； (3)代入贝叶斯公式得概率． 　设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%，35%，20%，各厂的产品的次品率分别为4%，2%，5%，现从中任取一件． (1)求取到的是次品的概率； (2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率． 解：记事件A1为“该产品为甲厂生产的”，事件A2为“该产品为乙厂生产的”，事件A3为“该产品为丙厂生产的”，事件B为“该产品是次品”．则A1∪A2∪A3＝Ω，且A1，A2，A3两两互斥，由题设，知P(A1)＝45%，P(A2)＝35%，P(A3)＝20%，P(B|A1)＝4%，P(B|A2)＝2%，P(B|A3)＝5%． (1)由全概率公式得P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝3．5%． (2)由贝叶斯公式(或条件概率定义)，得 P(A1|B)＝＝＝． 1．设A，B是任意两个随机事件，且A⊆B，P(B)>0，则下列各式中正确的是(　　) A．P(A)<P(A|B) B．P(A)≤P(A|B) C．P(A)>P(A|B) D．P(A)≥P(A|B) 答案：B 解析：因为A⊆B，所以A∩B＝A，所以P(A|B)＝＝，所以P(A)＝P(B)P(A|B)．又0＜P(B)≤1，所以P(A)≤P(A|B)．故选B． 2．学校食堂分设有一、二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐，第二天还选择一餐厅就餐的概率为0．6，第一天选择二餐厅就餐，第二天选择一餐厅就餐的概率为0．7，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为(　　) A．0．18 B．0．28 C．0．42 D．0．65 答案：D 解析：设事件A1为“第一天去一餐厅就餐”，事件B1为“第一天去二餐厅就餐”，事件A2为“第二天去一餐厅就餐”，则P(A1)＝P(B1)＝0．5，P(A2|A1)＝0．6，P(A2|B1)＝0．7，由全概率公式可知P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0．5×0．6＋0．5×0．7＝0．65． 3．(多选)公司销售10台洗衣机，其中有3台次品．现已售出1台洗衣机，若记事件A为“售出的1台洗衣机为次品”，为“售出的1台洗衣机为正品”，B为“从余下的9台洗衣机中取出2台均为正品”，则下列结论正确的是(　　) A．P(A)＝ B．P(B|A)＝ C．P(B|)＝ D．P(A|B)＝ 答案：AD 解析：由题意可得P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝＝，P(B|)＝＝，由贝叶斯公式有P(A|B)＝＝＝．故选AD． 4．一批产品中有4%的次品，而合格品中一等品占45%，从这批产品中任取一件，则该产品是一等品的概率为________． 答案：43．2% 解析：设事件A表示“取到的产品是一等品”，事件B表示“取到的产品是合格品”，则P(A|B)＝45%，P()＝4%，∴P(B)＝1－P()＝96%，∴P(A)＝P(AB)＝P(B)P(A|B)＝96%×45%＝43．2%． 5．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则从2号箱中取出红球的概率为________． 答案： 解析：记事件A为“最后从2号箱中取出的是红球”，事件B为“从1号箱中取出的是红球”，则P(B)＝＝，P()＝1－P(B)＝，P(A|B)＝＝，P(A|)＝＝，所以P(A)＝P(AB)＋P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝×＋×＝． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 利用全概率公式求概率 条件概率公式、乘法公式的理解认识 利用全概率公式求实际问题的概率 多个事件的全概率公式的应用 条件概率、全概率公式的应用 利用乘法公式求概率 利用全概率公式求实际问题的概率 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 利用贝叶斯公式求概率 乘法公式、对立事件的概率、互斥事件的概率 多个事件的全概率公式、贝叶斯公式求概率 利用贝叶斯公式求概率 利用全概率公式求概率 全概率公式、贝叶斯公式在实际问题中的应用 全概率公式、贝叶斯公式在实际问题中的应用 一、选择题 1．已知P(B|A)＝0．3，P(A)＝0．4，P(B|)＝0．2，则P(B)＝(　　) A．0．28 B．0．12 C．0．24 D．0．36 答案：C 解析：由P(A)＝0．4，得P()＝0．6，故P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0．4×0．3＋0．6×0．2＝0．24．故选C． 2．下列式子成立的是(　　) A．P(A|B)＝P(B|A) B．0<P(B|A)<1 C．P(AB)＝P(A)P(B|A) D．P((AB)|B)＝P(B|A) 答案：C 解析：显然A错误；0≤P(B|A)≤1，B错误；由 P(B|A)＝，得P(AB)＝P(A)P(B|A)，C正确；P((AB)|B)＝＝P(A|B)，D错误．故选C． 3．已知5%的男人和0．25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，现随机选一人，则此人恰好患色盲的概率是(　　) A．0．01245 B．0．05786 C．0．02625 D．0．02865 答案：C 解析：用事件A，B分别表示随机选一人是男人或女人，用事件C表示此人恰好患色盲，则Ω＝A∪B，且A，B互斥，P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×5%＋×0．25%＝0．02625． 4．设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生报名表的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：设事件A为“先取到的是女生报名表”，事件Bi为“取到第i个地区的报名表”，i＝1，2，3，所以P(A)＝(Bi)P(A|Bi)＝×＋×＋×＝． 5．(多选)在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，在箱子打开之前，主持人先打开了3号箱．用Ai表示i号箱有奖品(i＝1，2，3，4)，用Bj表示主持人打开j号箱子(j＝2，3，4)，下列结论正确的是(　　) A．P(A1)＝ B．P(B3|A2)＝ C．要使获奖概率更大，甲应该坚持选择1号箱 D．要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱 答案：ABD 解析：对于A，因为主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，所以A1，A2，A3，A4发生的概率均为，故A正确；对于B，奖品在2号箱里，主持人只能打开3，4号箱，故P(B3|A2)＝，故B正确；对于C，D，奖品在1号箱里，主持人可打开2，3，4号箱，故P(B3|A1)＝，奖品在2号箱里，主持人只能打开3，4号箱，故P(B3|A2)＝，奖品在3号箱里，主持人打开3号箱的概率为0，故P(B3|A3)＝0，奖品在4号箱里，主持人只能打开2，3号箱，故P(B3|A4)＝，由全概率公式，得P(B3)＝(Ai)P(B3|Ai)＝×＝，P(A1|B3)＝＝＝，P(A2|B3)＝＝＝>，P(A4|B3)＝＝＝＝P(A2|B3)>，故C错误，D正确．故选ABD． 二、填空题 6．在市场上供应的节能灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个甲厂的合格节能灯泡的概率是________． 答案：0．665 解析：记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则P(A)＝0．7，P(B|A)＝0．95，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0．7×0．95＝0．665． 7．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球．若随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球的概率为________． 答案： 解析：记B＝{该球是红球}，A1＝{取自甲袋}，A2＝{取自乙袋}．已知P(B|A1)＝＝，P(B|A2)＝＝，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝． 8．袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币(次品硬币的两面均为数字)，在袋中任取一枚，将它投掷r次，已知每次都得到数字，则这枚硬币是正品的概率为________． 答案： 解析：记T为“将硬币投掷r次每次都出现数字”，记A为“所取到的是正品”，由题设得P(A)＝，P()＝，P(T|A)＝，P(T|)＝1．由贝叶斯公式可得P(A|T)＝＝＝＝． 三、解答题 9．假设在空战中，若甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0．2，若乙机未被击落，进行还击击落甲机的概率为0．3，若甲机亦未被击落，再次进行进攻，击落乙机的概率是0．4． (1)计算这三个回合中，甲机被击落的概率； (2)计算这三个回合中，乙机被击落的概率． 解：设“第一个回合中乙机被击落”为事件A，“第二个回合中甲机被击落”为事件B，“第三个回合中乙机被击落”为事件C，则P(A)＝0．2，P(B|)＝0．3，P(C|)＝0．4， (1)“甲机被击落”为事件B， 则P(B)＝P()P(B|)＝(1－0．2)×0．3＝0．24． (2)“乙机被击落”为事件A＋C， 则P(A＋C)＝P(A)＋P(C)＝P(A)＋P()P(|)P(C|)， 而P(|)＝1－P(B|)＝1－0．3＝0．7， 所以P(A＋C)＝0．2＋(1－0．2)×0．7×0．4＝0．424． 10．某家公司有三台机器A1，A2，A3生产同一种产品，生产量分别占总产量的，，，且其中的不良品数分别占其生产量的2%，1．2%，1%，任取公司的一件产品， (1)求此产品为不良品的概率； (2)若已知此产品为不良品，求此产品由A1生产的概率． 解：记事件A′1为“该产品是A1生产的”，事件A′2为“该产品是A2生产的”，事件A′3为“该产品是A3生产的”，事件B为“该产品为不良品”，则 (1)P(B)＝P(A′1)P(B|A′1)＋P(A′2)P(B|A′2)＋P(A′3)P(B|A′3)＝×2%＋×1．2%＋×1%＝． (2)若此产品为不良品，则此产品由A1生产的概率为P(A′1|B)＝＝＝＝． 11．某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的．考生不知道正确答案的概率为，不知道正确答案而猜对的概率为．现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：设事件A为“不知道答案”，事件B为“答对题目”．则P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝1．所以所求概率为P(A|B)＝＝＝＝． 12．(2024·重庆万州二中高二期中)在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为DD，Dd，dd，其中D为显性基因，d为隐性基因，且这三种基因型的比为1∶2∶1，如果在子二代中任意选取2株豌豆进行杂交试验，则子三代中基因型为Dd的概率是________． 答案： 解析：子二代基因配型有六种情况，分别记为事件A1，A2，A3，A4，A5，A6，“子三代中基因型为Dd”记为事件B，则 事件 配型 P(Ai) P(B|Ai) A1 DD×DD 0 A2 DD×Dd A3 DD×dd 1 A4 Dd×Dd A5 Dd×dd A6 dd×dd 0 P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝＋＋＋＝．所以子三代中基因型为Dd的概率是． 13．设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射击手用校正过的枪射击，中靶率为0．9，用未校正过的枪射击，中靶率为0．4． (1)该射击手任取1支枪射击，中靶的概率是多少？ (2)若任取1支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率． 解：设事件A表示“枪已校正”，事件B表示“射击中靶”． 则P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝0．9， P(|A)＝0．1，P(B|)＝0．4，P(|)＝0．6． (1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) ＝×0．9＋×0．4＝0．7． (2)P(|)＝ ＝＝0．8． 14．同一种产品由甲、乙、丙三个工厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0．95，0．90，0．80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起． (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； (2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个工厂中哪个生产的可能性最大？ 解：设事件A表示“取到的产品为正品”，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”． 由已知，得 P(B1)＝0．2，P(B2)＝0．3，P(B3)＝0．5， P(A|B1)＝0．95，P(A|B2)＝0．9，P(A|B3)＝0．8． (1)由全概率公式，得P(A)＝(Bi)P(A|Bi)＝0．2×0．95＋0．3×0．9＋0．5×0．8＝0．86． (2)由贝叶斯公式，得 P(B1|A)＝＝ ≈0．2209， P(B2|A)＝＝ ≈0．3140， P(B3|A)＝＝ ≈0．4651． 由以上3个数作比较，可知这件产品由丙工厂生产的可能性最大． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$